Taımlayıcı İstatstkler Br veya brde azla dağılışı karşılaştırmak ç kullaıla ve ayrıca örek verlerde hareket le rekas dağılışlarıı sayısal olarak özetleye değerlere taımlayıcı statstkler der. Aalzlerde kullaıla ser tplere (bast, gruplamış, sıılamış) göre hesaplamalarda kullaılacak ormüller değşmektedr.
Taımlayıcı İstatstkler Yer Ölçüler )Artmetk ort. 2)Geometrk ort. 3)Harmok ort. 4)Mod 5)Medya 6)Kartller Değşkelk Ölçüler ) Rage (Değşm Aralığı) 2) Ort. Mutlak sapma 3) Varyas 4) Stadart Sapma 5) Değşkelk(Varyasyo) Katsayısı Çarpıklık Ölçüler )Pearso Asmetr Ölçüsü 2)Bowley Asmetr Ölçüsü Basıklık Ölçüler 2
Yer Ölçüler Ver set taımlamak üzere kullaıla ve geellkle tüm elemaları dkkate alarak ver set özetlemek ç kullaıla adelerdr. Ver setdek tüm elemaları temsl edeblecek merkez oktasıa yakı br değerdr. Merkez eğlm ölçüler olarak da adladırılırlar. 3
) Artmetk Ortalama Üzerde celeme yapıla ver setdek elemaları toplaıp celee elema sayısıa bölümesyle elde edle yer ölçüsüe artmetk ortalama der. Halk dlde ortalama ades kullaıldığıda lk akla gele kavram artmetk ortalamadır. Örek: Sıav otlarıı ortalaması, Yaz aylarıda m 2 ye düşe ortalama yağış mktarı 4
Bast Serler İç Artmetk Ortalama x x : örek hacm =,2,3,., Örek: Br abrkada çalışa 5 edüstr müheds bldğ yabacı dl sayıları aşağıda verlmştr. Bua göre bu mühedsler bldğ yabacı dl sayısıı artmetk ortalamasıı hesaplayıız. 2,0,,2,0 X İ = 0,0,,2,2. = 5 =,2,,5 x 2 0 2 5 0 x 5
Gruplamış Serler İç Artmetk Ortalama x k k x Grup Frekas x 5 5 66 3 98 72 4 288 82 5 40 94 7 658 =20 605 x k : rekas k: grup sayısı =,2,3,.,k Örek: Yadak tabloda br Samsug baysdek LCD televzyoları ekra boyutlarıa göre satış mktarları verlmştr. Frekas dağılımıı artmetk ortalamasıı hesaplayıız. k x k 5() 66(3)... 94(7) 3 4 5 7 605 20 80,25 6
Sıılamış Serler İç Artmetk Ortalama : rekas k : sıı sayısı =,2,3,.,k m : sıı orta oktası x k m k k Sıılamış serlerde her br sıı çdek değerler eler olduğu blmedğde dolayı ve yalızca her br sııı rekas değerler bldğde dolayı sııı temsl etmek üzere sıı orta oktaları hesaplamada kullaılır. Kullaıla ormül gruplamış serler ç kullaıla ormüle bezerdr. 7
Örek: Aşağıdak tabloda 30 gülük süre çde br restoraı kulladığı et mktarıı dağılımı verlmştr. Gülük kullaıla et mktarıı artmetk ortalamasıı hesaplayıız. Sıılar m m 30-36 da az 2 33 66 36-42 de az 6 39 234 42-48 de az 0 45 450 48-54 da az 7 5 357 54-60 de az 4 57 228 60-66 de az 63 63 Toplam 30 398 x k k m 33(2) 39(6)... 63() 30 398 30 46,6 kg. 8
2) Geometrk Ortalama Br ver setde bulua adet elemaı çarpımıı c derecede köküü alımasıyla elde edle yer ölçüsüdür. G x x2... Geometrk ortalamaı ormülüe bakıldığıda hesaplama zorluğu olduğuda dolayı logartma ades kullaılır. Geellkle bast serler ç kullaışlı olup egat sayılar ç kullaışlı değldr. x Log G log x G at log log x 9
Geometrk Ortalama ı Kullaım Alaları Ortalama oraları, Değşm Oraları, Logartmk dağılış göstere ver setler, ç kullaışlıdır. Örek: yat deksler, az ormüller. 0
Örek: Br alışverş merkezdek 5 arklı meyve satış yatı aşağıdak gbdr. Bua göre meyveler satış yatlarıı geometrk ortalamasıı hesaplayıız. Elma:,5 YTL. Üzüm: 2,5 YTL Erk: YTL Muz : 3 YTL. Armut : 2 YTL. G x x2... x log x Log G,3528 Log G 5 0,27045 5 5 (,5)(2)(2,5)(3) 22,5,86YTL. 0 0,7609 0,3003 0,39794 0,4772 5 G = at log 0,27045 = 0 0,27045,86 YTL.
2 3) Harmok Ortalama Br ver setde bulua adet elemaı çarpma şleme göre tersler ortalamasıı ters alımasıyla elde edle yer ölçüsüdür. Geellkle bast serler ç kullaışlıdır. x x x x x x H...... 2 2 x H
Harmok Ortalama ı Kullaım Alaları Belrl yat tpler, Zama serler, ç kullaışlıdır. Örek: Zama brm başıa hız, para brm başıa satı alıa brm sayısı. NOT: ARİTMETİK ORT. > GEOMETRİK ORT. > HARMONİK ORT. 3
Örek: Br tekstl abrkasıda çalışa dört kş br patolou ütüleme süreler aşağıda verlmştr. Bua göre bu abrkada br patolo ortalama kaç dakkada ütüler? İşç : 0 dk. İşç 2: 6 dk. İşç 3: 4 dk. İşç 4 : 5 dk. H x 4 5 6 4 0 43 240 H 240 43 5,58dk. 4
4) Mod Br ver setde e çok gözlee ( e çok tekrar ede ) değere veya rekası e azla ola şas değşke değere mod adı verlr. Ver set modu olmayacağı gb brde azla da modu olablr. Mod geellkle keskl şas değşkel ç oluşturula gruplamış serlerde artmetk ortalama yere kullaılablr. 5
Bast Serler İç Mod Örek: Br abrkada çalışa 5 edüstr müheds bldğ yabacı dl sayıları aşağıda verlmştr. Bua göre bu mühedsler bldğ yabacı dl sayısıı moduu hesaplayıız. x : 2,0,,2,0,,0 0,0,0,,,2,2. Ver setde e çok tekrar ede elema 0 olduğuda (3 kez ) mod değer 0 dır. Eğer ver set,0,,2,0,,0 şeklde olsaydı ver set k modlu olacaktı. ( 0 ve ) Eğer ver set 2,0,,2,0, şeklde olsaydı ver set moduu olmadığı ade edlecekt. 6
Gruplamış Serler İç Mod Örek: Aşağıdak tabloda br Samsug baysdek LCD televzyoları ekra boyutlarıa göre satış mktarları verlmştr. Frekas dağılımıı artmetk ortalamasıı hesaplayıız. Ekra Satış Aded 5 66 3 72 4 82 5 94 7 Frekas dağılımıa bakıldığıda e azla satış mktarı 94 ekra LCD televzyoda olduğuda dolayı ( 7 adet ) dağılımı moduu 94 olduğu söyler. Eğer 82 ekra LCD televzyolarıda da 7 adet satılsaydı dağılımı k modu olduğu ade edlrd. ( 82 ve 94 ) 7
Sıılamış Serler İç Mod Sıılamış serlerde mod değer hesaplaırke lk olarak mod sııı belrler. Mod sııı rekası e yüksek ola sııtır. Mod sııı belrledkte sora bu sıı çersde yer ala modu tam değer sıı rekası ve kede komşu ola sıı rekasları dkkate alıarak hesaplaır. 8
Mod = L mod. 2 L Mod 2 = Mod Sııı Aralığıı Alt Sıırı = Mod Sııı Frekası - Kedde Br Öcek Sıı Frekası = Mod Sııı Frekası Kedde Br Sorak Sıı Frekası = Mod Sıııı Sıı Aralığı 9
Örek: Aşağıdak tabloda 30 gülük süre çde br restoraı kulladığı et mktarıı dağılımı verlmştr. Gülük kullaıla et mktarıı moduu hesaplayıız. Mod sııı Mod L mod 42 Sıılar 30-36 da az 2 36-42 de az 6 42-48 de az 0 48-54 da az 7 54-60 de az 4 60-66 de az Toplam 30 2. (0 6).6 (0 6) (0 7) 45,4 kg. 20
5) Medya Br ver set büyükte küçüğe veya küçükte büyüğe sıraladığımızda tam orta oktada ver set k eşt parçaya ayıra değere medya adı verlr. Ver setde aşırı uçlu elemalar olduğuda artmetk ortalamaya göre daha güvelrdr. Medya, ver setdek tüm elemalarda etklemez. 2
Bast Serler İç Medya Ver Set Hacm Tek Sayı İse; 2 c gözlem değer medyadır. Ver Set Hacm Çt Sayı İse; 2 ve 2 c gözlem değer artmetk ortalaması medyadır. 22
Örek: İstatstk I ders ala 0 öğrec vze otları aşağıdak gb sıralamıştır. Bua göre vze otları ç medya değer hesaplayıız. 30,42,56,6,68,79,82,88,90,98 /2 ve (/2)+ c elemalar 68 ve 79 olup buları ortalaması 73,5 medya değerdr. Ver Set 30,42,56,6,68,79,82,88,90 şeklde 9 adet verde oluşsaydı (+)/2 c elema ola 68 ver set medyaı olacaktı. 23
Gruplamış Serler İç Medya Gruplamış serlerde medya değer hesaplaırke ver set tam orta oktasıı hag gruba at olduğuu belrlemek ç kümülat rekas sütuu oluşturulur. Sıra umarası belrledkte sora o sıra umarasıa at grup medya değer olarak ade edlr. 24
Grup Frekas 5 66 3 4 72 4 8 82 5 3 94 7 20 Örek: Yadak tabloda br Samsug baysdek LCD televzyoları ekra boyutlarıa göre satış mktarları verlmştr. Frekas dağılımıı medyaıı hesaplayıız. /2 ve (/2)+ c gözlem değerlere karşılık gele değerler (0 ve c sıra ) 82 olduğuda dolayı medya değer 82 dr. Grup Frekas 5 66 3 4 72 4 8 82 5 3 94 2 5 Frekas dağılımı yadak gb olsaydı (+)/2 c elemaa ( 8 c elemaa ) karşılık gele sayı 72 olduğuda dolayı ver set medyaı 72 olacak d. 25
Sıılamış Serler İç Medya Sıılamış serlerde medya değer hesaplaırke lk olarak medya sııı belrler. Medya sııı kümülat rekaslar dkkate alıdığıda toplam rekası yarısıı çde buludura sııtır. Medya sııı belrledkte sora medya sıııda br öcek sııı kümülat rekası ve medya sııı rekası dkkate alıarak hesaplaır. 26
Medya L 2 med l. med L med : Medya sıııı alt sıırı l : Medya sıııda br öcek sııı kümülat rekası med : Medya sıııı rekası : Medya sıııı sıı aralığı 27
Örek: Aşağıdak tabloda 30 gülük süre çde br restoraı kulladığı et mktarıı dağılımı verlmştr. Gülük kullaıla et mktarıı medyaıı hesaplayıız. Medya sııı Sıılar 30-36 da az 2 2 36-42 de az 6 8 42-48 de az 0 8 48-54 da az 7 25 54-60 de az 4 29 60-66 de az 30 Toplam 30 l Medya L 2 med. med 5 8 42.6 0 46,2kg. 28
6) Kartller Br ver set büyükte küçüğe veya küçükte büyüğe sıraladığımızda dört eşt parçaya ayıra üç değere kartller adı verlr. İlk % 25 lk kısmı çde buludura. Kartl (Q ), % 50 lk kısmı çde buludura 2. Kartl (Q 2 ), % 75 lk kısmı çde buludura 3. Kartl (Q 2 ), olarak adladırılır. %25 %25 %25 %25 %50 lk kısmı çde buludura 2. Kartl (Q 2 ) ayı zamada ver set medyaıdır. Q Q 2 Q 3 29
Bast Serler İç Kartller.Kartl Q Ver Set Hacm Tek Sayı İse; 3.Kartl Q 3 Ver Set Hacm Tek Sayı İse; 4 c gözlem değer, değer, 3 4 c gözlem Ver Set Hacm Çt Sayı İse; 4 ve 4 c gözlem değerler artmetk ortalaması.kartl verr. Ver Set Hacm Çt Sayı İse; 3 4 ve 3 4 c gözlem değerler artmetk ortalaması 3.Kartl verr. 30
Örek: İstatstk I ders ala 0 öğrec vze otları aşağıdak gb sıralamıştır. Bua göre vze otları ç Q ve Q 3 değerler hesaplayıız. 30,42,56,6,68,79,82,88,90,98 /4 ve (/4)+ c elemaları artmetk ortalaması 56 olduğuda Q =56, 3/4 ve (3/4)+ c elemaları artmetk ortalaması 88 olduğuda Q 3 =88 dr Ver Set, 30,42,56,6,68,79,82,88,90 şeklde 9 hacml olsaydı, (+)/4 cü elema ola 49.Kartl, (3+)/4 cü elema ola 82 3.Kartl olarak ade edlrd. 3
Gruplamış Serler İç Kartller Gruplamış serlerde kartller hesaplaırke ver set lk çeyrek ve so çeyrek kısmıı tam olarak ade etmek amacıyla kümülat rekas sütüü oluşturulur. Gruplamış serlerde örek hacm tek veya çt olduğua bakılmaksızı /4 cü elema.kartl (Q ), (3)/4 cü elema se 3. Kartl (Q 3 ), olarak ade edlr. 32
Grup Frekas 5 66 3 4 72 4 8 82 5 3 94 7 20 Grup Frekas 5 66 3 4 72 4 8 82 5 3 94 2 5 Örek: Yadak tabloda br Samsug baysdek LCD televzyoları ekra boyutlarıa göre satış mktarları verlmştr. Frekas dağılımıı. ve 3 cü Kartller hesaplayıız. /4 değere karşılık gele sıra grup değer 82 olduğuda.kartl, ve 3/4 değere karşılık gele grup değer 94 olduğuda 3.Kartl olarak ade edlr. Frekas dağılımı yadak gb verlmş olsaydı Q = 66 ve Q 3 = 82 olacak d. 33
Sıılamış Serler İç Kartller Sıılamış serlerde kartller hesaplaırke lk olarak kümülat rekas sütuu oluşturularak kartl sııları belrler. Kartl sııları belrlerke gruplamış serlerde olduğu gb /4 ve (3)/4 cü sıralardak elemaları hag sıılara at seler o sıılar kartl sııları olur. Kartl sııları belrledkte sora bu sıılarda br öcek sııı kümülat rekası ve mevcut sıı rekası dkkate alıarak kartl değerler hesaplaır. 34
35 L Medya Q Q l Q. 2 2 2 2 L Q Q l Q. 4 3 3 3 3 L Q Q l Q. 4. Kartl 3. Kartl 2. Kartl
Örek: Aşağıdak tabloda 30 gülük süre çde br restoraı kulladığı et mktarıı dağılımı verlmştr. Gülük kullaıla et mktarıı c ve 3 cü kartller hesaplayıız. Q sııı Q Q 3 sııı L Q 36 7,5 6 Sıılar 30-36 da az 2 2 36-42 de az 6 8 42-48 de az 0 8 48-54 da az 7 25 54-60 de az 4 29 60-66 de az 30 Toplam 30 4 Q l 2.6. 4,5 kg. Q 3 L Q 3 48 3 4 Q 3. 22,5 8.6 5,9 kg. 7 l 36
Uygulama. Beş kş yaşları: 24, 26, 20, 8, 24 olduğua göre artmetk ortalamasıı hesaplayıız. 2. 0 bayaı ayakkabı umaraları: 35, 38, 36, 36, 37, 36, 38, 35, 39, 37 olduğua göre bu sery grupladırılmış ser yaparak artmetk ortalamasıı buluuz. 3. Aşağıdak sııladırılmış ser artmetk ortalamasıı, moduu ve medyaıı bularak grak üzerde gösterz. Sıılar m m 0-0 da az 2 5 60 2 0-20 de az 6 5 90 8 20-30 da az 4 25 00 22 30-40 da az 2 35 70 24 40-50 de az 45 45 25 toplam 25 365 37
4. Aşağıdak sııladırılmış ser artmetk ortalamasıı, medyaıı ve moduu buluuz. Sıılar m m 40-49 3 45 35 3 50-59 5 55 275 8 60-69 65 75 9 70-79 22 75 650 4 80-89 5 85 275 56 90-00 6 95 570 62 toplam 62 4620 5. Aşağıdak sııladırılmış ser.,2. ve 3. kartller elde edz. sıılar 0-20 de az 8 8 20-40 da az 2 20 40-60 da az 25 45 60-80 de az 5 60 80-00 0 70 38