Merkezi Eğilim (Yer) Ölçüleri

Transkript

1 Merkez Eğlm (Yer) Ölçüler Ver setn tanımlamak üzere kullanılan ve genellkle tüm elemanları dkkate alarak ver setn özetlemek çn kullanılan ölçülerdr. Ver setndek tüm elemanları temsl edeblecek merkez noktasına yakın br değerdr. Merkez eğlm ölçüler olarak da adlandırılır. 1

2 Merkez eğlm ölçüler başlıca k gruba ayrılır: 1. Sernn bütün brmlerne tab olan merkez eğlm ölçüler(parametrk merkez eğlm ölçüler):tek br değern değşmesnden etklenr. Aşırı uçların etksnde kalır:a.o,g.o.,h.o.,k.o. 2. Sernn bütün brmlerne tab olmayan merkez eğlm ölçüler:serdek her br değerden doğrudan etklenmez: Medyan, mod, kantller ve ortalama kartller. 2

3 Merkez Eğlm (Yer) Ölçüler Br veya brden azla dağılışı karşılaştırmak çn kullanılan ve ayrıca örnek verlernden hareketle rekans dağılışlarını sayısal olarak özetleyen değerlere tanımlayıcı statstkler denr. Analzlerde kullanılan ser tplerne (bast, gruplanmış, sınılanmış) göre hesaplamalarda kullanılacak ormüller değşmektedr. 3

4 Tanımlayıcı İstatstkler Yer Ölçüler 1)Artmetk ort. 2)Geometrk ort. 3)Harmonk ort. 4)Mod 5)Medyan 6)Kartller Değşkenlk Ölçüler 1) Range (Değşm Aralığı) 2) Ort. Mutlak sapma 3) Varyans 4) Standart Sapma 5) Değşkenlk(Varyasyon) Katsayısı Çarpıklık Ölçüler 1)Pearson Asmetr Ölçüsü 2)Bowley Asmetr Ölçüsü Basıklık Ölçüler 4

5 I.Parametrk Merkez Eğlm Ölçüler 1) Artmetk Ortalama Üzernde nceleme yapılan ver setndek elemanların toplanıp ncelenen eleman sayısına bölünmesyle elde edlen yer ölçüsüne artmetk ortalama denr. Serdek bütün değerlerden etklenr. Halk dlnde ortalama ades kullanıldığında lk akla gelen kavram artmetk ortalamadır. Örnek: Sınav notlarının ortalaması, Yaz aylarında m 2 ye düşen ortalama yağış mktarı 5

6 Artmetk Ortalamanın Bazı Özellkler Artmetk dz şeklnde artış veya azalışı gösteren serler eny temsl eden parametrk merkez eğlm ölçüsüdür. Serdek brmlern a.o.dan sapmalarının toplamı sıırdır. ( X X) 0 Serdek brmlern a.o.dan sapmaların kareler toplamı mnmumdur. 2 ( X X) 0 6

7 Bast Serler İçn Artmetk Ortalama x n 1 n X n: örnek hacm = 1,2,3,.,n Örnek: Br abrkada çalışan 5 endüstr mühendsnn bldğ yabancı dl sayıları aşağıda verlmştr. Buna göre bu mühendslern bldğ yabancı dl sayısının artmetk ortalamasını hesaplayınız. 2,0,1,2,0 X İ = 0,0,1,2,2. n = 5 = 1,2,,5 x n X n 5 7

8 Gruplanmış Serler İçn Artmetk Ortalama x k 1 k 1 X Grup Frekans() x = k 1 n : rekans k: grup sayısı = 1,2,3,.,k Örnek: Br Samsung baysndek LCD televzyonların ekran boyutlarına göre satış mktarları verlmştr. Frekans dağılımının artmetk ortalamasını hesaplayınız. x k 1 k 1 X 51(1) 66(3)... 94(7) ,25 8

9 Sınılanmış Serler İçn Artmetk Ortalama : rekans k : sını sayısı = 1,2,3,.,k x k 1 m k 1 k 1 n m : sını orta noktası Sınılanmış serlerde her br sını çndek değerlern neler olduğu blnmedğnden ve yalnızca her br sınıın rekans değerler blndğnden sınıı temsl etmek üzere sını orta noktaları hesaplanır. Kullanılan ormül gruplanmış serler çn kullanılan ormüle benzerdr. 9

10 Örnek: Aşağıdak Tabloda 30 günlük süre çnde br restoranın kullandığı et mktarının dağılımı verlmştr. Günlük kullanılan et mktarının artmetk ortalamasını hesaplayınız. Sınılar m m dan az den az den az dan az den az den az Toplam x k 1 k 1 m 33(2) 39(6)... 63(1) kg. 10

11 II.Parametrk Olmayan Merkez Eğlm Ölçüler 1.Mod Br ver setnde en çok gözlenen ( en çok tekrar eden ) değere veya rekansı en azla olan şans değşken değerne mod adı verlr. Ver setnn modu olmayacağı gb brden azla da modu olablr. Mod genellkle keskl şans değşkenl çn oluşturulan gruplanmış serlerde artmetk ortalama yerne kullanılablr. 11

12 Bast Serler İçn Mod Örnek: Br abrkada çalışan 5 endüstr mühendsnn bldğ yabancı dl sayıları aşağıda verlmştr. Buna göre bu mühendslern bldğ yabancı dl sayısının modunu hesaplayınız. x : 2,0,1,2,0,1,0 0,0,0,1,1,2,2. Ver setnde en çok tekrar eden eleman 0 olduğundan (3 kez ) mod değer 0 dır. Eğer ver set 1,0,1,2,0,1,0 şeklnde olsaydı ver set k modlu olacaktı. ( 0 ve 1 ) Eğer ver set 2,0,1,2,0,1 şeklnde olsaydı ver setnn modunun olmadığı ade edlecekt. 12

13 Gruplanmış Serler İçn Mod Örnek: Aşağıdak tabloda br Samsung baysndek LCD televzyonların ekran boyutlarına göre satış mktarları verlmştr. Frekans dağılımının artmetk ortalamasını hesaplayınız. Ekran Satış Aded Frekans dağılımına bakıldığında en azla satış mktarı 94 ekran LCD televzyonda olduğundan dolayı ( 7 adet ) dağılımın modunun 94 olduğu söylenr. Eğer 82 ekran LCD televzyonlarından da 7 adet satılsaydı dağılımın k modu olduğu ade edlrd. ( 82 ve 94 ) 13

14 Sınılanmış Serler İçn Mod Sınılanmış serlerde mod değer hesaplanırken lk olarak mod sınıı belrlenr. Mod sınıı rekansı en yüksek olan sınıtır. Mod sınıı belrlendkten sonra bu sını çersnde yer alan modun tam değer sını rekansı ve kendne komşu olan sını rekansları dkkate alınarak hesaplanır. 14

15 Mod = L 1. mod 1 2 L Mod = Mod Sınıı Aralığının Alt Sınırı = 1 2 Mod Sınıı Frekansı - Kendnden Br Öncek Sını Frekansı = Mod Sınıı Frekansı Kendnden Br Sonrak Sını Frekansı = Mod Sınıının Sını Aralığı 15

16 Örnek: Aşağıdak tabloda 30 günlük süre çnde br restoranın kullandığı et mktarının dağılımı verlmştr. Günlük kullanılan et mktarının modunu hesaplayınız. Mod sınıı Sınılar dan az den az den az dan az den az den az 1 Toplam 30 1 Mod Lmod. 1 2 (10 6) kg. (10 6) (10 7) 16

17 2. Medyan Br ver setn büyükten küçüğe veya küçükten büyüğe sıraladığımızda tam orta noktadan ver setn k eşt parçaya ayıran değere medyan adı verlr. Ver setnde aşırı uçlu elemanlar olduğunda artmetk ortalamaya göre daha güvenlrdr. Medyan, ver setndek tüm elemanlardan etklenmez. 17

18 Bast Serler İçn Medyan Ver Setnn Hacm Tek Sayı İse; n 1 2 nc gözlem değer medyandır. Ver Setnn Hacm Çt Sayı İse; n 2 ve n 2 1 nc gözlem değernn artmetk ortalaması medyandır. 18

19 Örnek: İstatstk I dersn alan 10 öğrencnn vze notları aşağıdak gb sıralanmıştır. Buna göre vze notları çn medyan değern hesaplayınız. 30,42,56,61,68,79,82,88,90,98 n/2 ve (n/2)+1 nc elemanlar 68 ve 79 olup bunların ortalaması 73.5 medyan değerdr. Ver Set 30,42,56,61,68,79,82,88,90 şeklnde 9 adet verden oluşsaydı (n+1)/2 nc eleman olan 68 ver setnn medyanı olacaktı. 19

20 Gruplanmış Serler İçn Medyan Gruplanmış serlerde medyan değer hesaplanırken ver setnn tam orta noktasının hang gruba at olduğunu belrlemek çn kümülat rekans sütunu oluşturulur. Sıra numarası belrlendkten sonra o sıra numarasına at grup medyan değer olarak ade edlr. 20

21 Grup Frekans Örnek: Yandak tabloda br Samsung baysndek LCD televzyonların ekran boyutlarına göre satış mktarları verlmştr. Frekans dağılımının medyanını hesaplayınız. n/2 ve (n/2)+1 nc gözlem değerlerne karşılık gelen değerler (10 ve 11 nc sıra ) 82 olduğundan dolayı medyan değer 82 dr. Grup Frekans Frekans dağılımı yandak gb olsaydı (n+1)/2 nc elemana ( 8 nc elemana ) karşılık gelen sayı 72 olduğunda dolayı ver setnn medyanı 72 olacak d. 21

22 Sınılanmış Serler İçn Medyan Sınılanmış serlerde medyan değer hesaplanırken lk olarak medyan sınıı belrlenr. Medyan sınıı kümülat rekanslar dkkate alındığında toplam rekansın yarısını çnde bulunduran sınıtır. Medyan sınıı belrlendkten sonra medyan sınıından br öncek sınıın kümülat rekansı ve medyan sınıı rekansı dkkate alınarak hesaplanır. 22

23 Medyan L 2 med l. med L med : Medyan sınıının alt sınırı l : Medyan sınıından br öncek sınıın kümülat rekansı med : Medyan sınıının rekansı 23

24 Örnek: Aşağıdak tabloda 30 günlük süre çnde br restoranın kullandığı et mktarının dağılımı verlmştr. Günlük kullanılan et mktarının medyanını hesaplayınız. Medyan sınıı Sınılar dan az den az den az dan az den az den az 1 30 Toplam 30 l Medyan L 2 med. med kg

25 3.Kartller Br ver setn büyükten küçüğe veya küçükten büyüğe sıraladığımızda dört eşt parçaya ayıran üç değere kartller adı verlr. İlk % 25 lk kısmı çnde bulunduran 1. Kartl (Q 1 ), % 50 lk kısmı çnde bulunduran 2. Kartl (Q 2 ), % 75 lk kısmı çnde bulunduran 3. Kartl (Q 2 ), olarak adlandırılır. %50 lk kısmı çnde bulunduran 2. Kartl (Q 2 ) aynı zamanda ver setnn medyanıdır. %25 %25 %25 Q 1 Q 2 Q 3 %25 25

26 Bast Serler İçn Kartller 1.Kartl Q 1 Ver Setnn Hacm Tek Sayı İse; 3.Kartl Q 3 Ver Setnn Hacm Tek Sayı İse; n 1 4 nc gözlem değer, değer, 3n 1 4 nc gözlem Ver Setnn Hacm Çt Sayı İse; n 4 ve n 4 1 nc gözlem Ver Setnn Hacm Çt Sayı İse; 3n 4 ve 3n 1 4 nc gözlem değerlernn artmetk ortalaması 1.Kartl verr. değerlernn artmetk ortalaması 3.Kartl verr. 26

27 Örnek: İstatstk I dersn alan 10 öğrencnn vze notları aşağıdak gb sıralanmıştır. Buna göre vze notları çn Q 1 ve Q 3 değerlern hesaplayınız. 30,42,56,61,68,79,82,88,90,98 n/4=2.5 ve (n/4)+1=3.5 nc elemanların =6/2=3 ncü eleman 56 olduğundan Q 1 =56, 3n/4=3(10)/4=7.5 ve (3n/4)+1=7.5+1=8.5 nc elemanların artmetk ortalaması 16/2=8nc eleman 88 olduğundan Q 3 =88 dr 30,42,56,61,68,79,82,88,90 şeklnde 9 hacml olsaydı, (n+1)/4=2.5 ncü eleman olan 42+56=98/2=49 olduğundan Q 1 =49, 1.Kartl, (3n+1)/4 =28/4=7. nc eleman olan 82 Q 3 =82 olarak ade edlrd. 27

28 Gruplanmış Serler İçn Kartller Gruplanmış serlerde kartller hesaplanırken ver setnn lk çeyrek ve son çeyrek kısmını tam olarak ade etmek amacıyla kümülat rekans sütünü oluşturulur. Gruplanmış serlerde örnek hacmnn tek veya çt olduğuna bakılmaksızın n/4 ncü eleman 1.Kartl (Q 1 ), (3n)/4 ncü eleman se 3. Kartl (Q 3 ), olarak ade edlr. 28

29 Grup Frekans Grup Frekans Örnek: Yandak tabloda br Samsung baysndek LCD televzyonların ekran boyutlarına göre satış mktarları verlmştr. Frekans dağılımının 1. ve 3 ncü Kartllern hesaplayınız. n/4=20/4=5 değerne karşılık gelen sıra grup değer 72 olduğundan 1.Kartl; ve 3(20)/4 =60/4=15 değerne karşılık gelen grup değer 94 olduğundan 3.Kartl olarak ade edlr. Frekans dağılımı yandak gb verlmş olsaydı n/4=3.75 değerne karşılık Q 1 = 66 ve 3(15)/4 =11.25 Q = 66 ve Q = 82 olacak d. 29

30 Sınılanmış Serler İçn Kartller Sınılanmış serlerde kartller hesaplanırken lk olarak kümülat rekans sütunu oluşturularak kartl sınıları belrlenr. Kartl sınıları belrlenrken gruplanmış serlerde olduğu gb n/4 ve (3n)/4 ncü sıralardak elemanların hang sınılara at seler o sınılar kartl sınıları olur. Kartl sınıları belrlendkten sonra bu sınılardan br öncek sınıın kümülat rekansı ve mevcut sını rekansı dkkate alınarak kartl değerler hesaplanır. 30

31 31 L Medyan Q Q l Q L Q Q l Q L Q Q l Q Kartl 3. Kartl 2. Kartl

32 Örnek: Aşağıdak tabloda 30 günlük süre çnde br restoranın kullandığı et mktarının dağılımı verlmştr. Günlük kullanılan et mktarının 1 nc ve 3 ncü kartllern hesaplayınız. Q 1 sınıı Q 3 sınıı l Q 4 1 LQ. 1 Sınılar dan az den az den az dan az den az den az 1 30 Toplam 30 Q kg l Q 4 3 LQ. 3 Q kg