Ngatif Binom Dağılımı Brnoulli dnyinin tüm varsayımları ngatif binom dağılımı içind gçrlidir. Binom dağılımında n dnmd adt başarı olasılığı l ğ il ilgilnilirkn, ili ngatif binom dağılımındağ d is şans dğişkni ( ) k ncı başarıyı ld dincy kadar yapılan dny sayısına karşılık glir. Örnklr: Bir parayı kzturaglincy kadar attığımızdağ nci turayı ld ttiğimiz dnm sayısı, Bir basktbolcunun 3 sayılık atışlardancu sağlaması için grkli olan atış sayısı. isabti : dny sayısı p:başarı olasılığı k:başarı sayısı S{/k,k+,k+,k+3 } 3. - 3.... k- k Binom dağılımını kullanarak - dnmd k- adt başarı olasılığını hsaplanır v nci dnmdki k ncı başarıyı ld tm olasılığı p il bağımsız olaylar olduğundan çarpılarak aşağıdaki olasılık fonksiyonu ld dilir. p X ) k k ( p) k k, k +, k +,... d. d
Ngatif Binom Dağılımının Bklnn Dğr v Varyansı E ) μ k p k( p) Var( ) p ( Yandaki histogram p, v k 8 paramtrli ngatif binom dağılım göstrn bir populasyondan alınmış hacimlik bir örnk için oluşturulmuştur. 3 8,,, 4, 6, 8,,, 4, 3 Örnk: Bir kişinin hilsiz bir zarı kz atması sonucunda, ncu atışında nci kz 6 glmsi olasılığını hsaplayınız. p/6 -p/6 k P ( X ; k ) 9. 4 6.(. 6 ).( 6 ) Zarın kaçıncı kz atılması sonucu nci kz 6 glmsini bklrsiniz? k E( ) 3 p 6 4
Gomtrik Dağılım Brnoulli dnyinin tüm varsayımları gomtrik dağılım içind gçrlidir. Ngatif Binom dağılımının özl bir durumudur. kolduğunda ngatif binom dağılımı gomtrik dağılımı olarak ifad dilir. Gomtrik dağılım göstrn şans dğişkni X, ilk başarıyı ld dincy kadar yapılan dny sayısını ifad dr. Örnklr: Bir parayı tura glincy kadar attığımızda tura glmsi için yapılan atış sayısı, Bir işltmnin dposundan ilk hatalı ürünü bulana kadar alınan örnk sayısı. : dny sayısı p: başarı olasılığı S { /,, 3, 4.. } Ngatif Binom dağılımında k alındığında; P ( X ) p k k ( p ) k k, k +, k d. d +,... P ( X ) p p ( p) ( p ) p,,3,... X ) d. d 6 3
Gomtrik Dağılımının Bklnn Dğr v Varyansı E( ) μ p p Var( ) p Yandaki histogram p, paramtrli gomtrik dağılım göstrn populasyondan alınmış hacimlik bir örnk için oluşturulmuştur.. 4. 6. 8... 7 Örnk: Bir avcı hdf isabt sağlayana kadar atş tmktdir. Avcının hdfi vurma olasılığı,7 olduğuna gör avcının hdfi ilk kz 8 nci kz atış yaptığında isabt ttirmsinin olasılığını hsaplayınız. 8 X8)? (,7)(,7),,3... X ) d. d ( )( ) 8,7,7 (,7)(, ) 7 X 8) ÖDEV: Avcının hdfi ilk kz vurma olasılığı, dn az olması için hdf n az kaç kz atş tmlidir? 8 4
Hiprgomtrik Dağılım Varsayımları, n dnm bnzr koşullarda tkrarlanabilir. Hr dnmnin mümkün sonucu vardır. Sonlu populasyondan iadsiz örnklm yapılır. Örnklm iadsiz olduğundan başarı olasılığı ( p ) dnydn dny dğişir. 9 Hiprgomtrik Dağılımın Olasılık Fonksiyonu n : örnk hacmi N : anakütl lman sayısı B : populasyondaki başarı sayısı : örnktki başarı sayısı S { /,,, 3,..,n } B N B n X ) N n,,,3..., n d. d
Hiprgomtrik Dağılımın Karaktristiklri p B/N için 6 E ( ) n p Var ( ) np ( N n p ) N Yandaki histogram N v B paramtrli hiprgomtrik dağılım göstrn populasyondan alınmış hacimlik bir örnk için oluşturulmuştur. 4 3 3. 37. 4. 4. 4. 47.... 7. 6. 6. 6. 67. X Örnk: Yni açılan bir bankanın ilk müştrisi içind 6 tansi mvduat hsabına sahiptir. İadsiz olarak rasgl sçiln 8 müştridn tansinin mvduat hsabına sahip olmasının olasılığı ndir? N B 6 n 8 P ( X 6 6 8 ) 8 6 4 3 X ) 8,,,3..., 8 d. d ÖDEV: En çok kişinin mvduat hsabına sahip olmasının olasılığını hsaplayınız. 6
Poisson Dağılımı Ksikli Şans dğişknlrinin olasılık dağılımlarından n önmlilrindn biri Poisson Dağılımıdır. Günlük hayatta v uygulamada çok sayıda kullanım alanı bulunmaktadır. Ünlü Fransız matmatikçisi Poisson tarafından bulunmuştur. Blirli bir alan içrisind rasgl dağılan vya zaman içrisind rasgl gözlnn olayların olasılıklarının hsaplanabilmsi için çok kullanışlı bir modldir. 3 Poisson Sürcinin Varsayımları. Blirlnn priyotta mydana gln ortalama olay sayısı sabittir.. Hrhangi bir zaman dilimind bir olayın mydana glmsi bir öncki zaman dilimind mydana gln olay sayısından bağımsızdır.(priyotların ksişimi olmadığı varsayımı il) 3. Mümkün olabilck n küçük zaman aralığındağ n fazla bir olay grçklşbilir. 4. Ortaya çıkan olay sayısı il priyodun uzunluğu doğru orantılıdır. 4 7
Örnklr Bir şhird bir aylık sür içrisind mydana gln hırsızlık olayların sayısı, Bir tlfon santralin dk. içrisind gln tlfon çağrılarının sayısı, Bir kitap içindki baskı hatalarının sayısı, İstanbul da m y düşn kişi sayısı, Eg Bölgsind 3 aylık sürd 4, şiddtindn büyük olarak grçklşn dprm sayısı. λ Poisson Dağılımının Olasılık Fonksiyonu : blirlnn priyotta ortaya çıkan olay sayısı : ortaya çıkma olasılığı araştırılan olay sayısı S { /,,, 3,.., } X ) λ λ!,,,... digr durumlarda 6 8
Poisson Dağılımının Bklnn Dğr v Varyansı Bklnn Dğr E() μ λ Varyans Var() λ Bklnn dğri v varyansı birbirin şit olan tk dağılıştır. 7 4 λ n 3 Frkans 3 4 6 λ n 4 Frkans 8 6 4 3 6 9 8 8 9
Örnk: Bir mağazaya Cumartsi günlri dakikada ortalama olarak 4 müştri glmktdir. Bir Cumartsi günü bu mağazaya, a) dakika içind müştri glmsi olasılığını, b)yarım saat dn fazla müştri glmsi olasılığını, 4 4 4 a) λ 4 )? X ) 4! b) dk da 4 müştri glirs, 3 dk da 4 müştri glir. λ 4 P ( > )? > ) [)+)+)] 4 4! + 4 4! 4 4! ÖDEV: saatt n çok müştri glmsinin olasılığını hsaplayınız. + 33 4 9 SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK YOĞUNLUK FONKSİYONLARI Üstl Dağılım Sürkli Üniform Dağılım Normal Dağılımğ
Üstl Dağılım Mydana gln iki olay arasındaki gçn sür vya bir başka ifadyl ilgilniln olayın ilk dfa ortaya çıkması için gçn sürnin dağılışıdır. Örnk: Bir bankada vznd yapılan işlmlr arasındaki gçn sür, Bir taksi durağına gln müştrilr arasındaki sür, Bir hastannin acil srvisin gln hastaların arasındaki gçn sür, Bir kumaşta iki adt dokuma hatası arasındaki uzunluk (mtr). Blirli bir zaman aralığında mağazaya gln müştri sayılarının dağılışı Poisson Dağılımına uygundur. Bu müştrilrin mağazaya varış zamanları arasındaki gçn sürnin dağılımı da Üstl Dağılıma uyacaktır. ÜstlDağılımın paramtrsi β olmak üzr Üstl v Poisson Dağılımlarının paramtrlri arasında şu şkild bir ilişki vardır. λ β
Üstl Dağılımın Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu β: iki durumun gözlnmsi için grkn ortalama sür yada ölçülbilir uzaklık. : iki durum arasında vya ilk durumun ortaya çıkması grkn sür yada uzaklık. S { / < < } f ( ) β β, > digr durumlarda 3 Üstl Dağılımının Bklnn Dğr v Varyansı Bklnn Dğr E( ) β Varyans ( ) Var β Frkans β paramtrli bir populasyondan alınan n hacimlik bir örnk için oluşturulan histogram. 3 4 X 6 7 8 4
Örnk: Bir taksi durağına bir saatlik zaman dilimi içrisind gln taksilrin gliş sayısı Poisson Dağılışına uygun bir şkild grçklşmktdir. Durağa saatt ortalama 4 adt taksinin gldiği bilindiğin gör durağa gln bir yolcunun n çok dakika bklmsi olasılığı ndir? Saatt ( 6 dakikada ) 4 adt taksi gliyorsa, dakikada 4/6 adt taksi glir. adt taksi glmsi için grkn sür β, dk olur. P ( )? f ( ),,, > digr durumlarda HESAPLAMA KOLAYLIĞI!! β P ( a ) d β a a β ),, d,, d, Sürkli Üniform Dağılımı a v b gibi iki nokta arasından bir sayı sçmk istdiğimizd hrhangi bir dğri alabilck şans dğişkni uniform dağılışı göstrmktdir. Sürkli üniform dağılımı ilgilniln şans dğişkninin olasılık fonksiyonu hakkında bir bilgiy sahip olunmadığında v vriln aralıkiçrisindtanımlanan olayınşit olasılıklarla ortaya çıkacağı varsayımı yapıldığında kullanışlıdır. 6 3
f Sürkli Uniform Dağılımının Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu ( ) E b a HESAPLAMA KOLAYLIĞI!! c d) a d c b a Bklnn Dğr v Varyans a + b ( ) Var( ) ( b a) dd b 7 b v a paramtrli sürkli üniform dağılımı göstrn bir populasyondan n hacimlik örnk için oluşturulan histogram. rkans F 6 7 X 8 9 8 4
Örnk: Bir dmir-çlik fabrikasında ürtiln çlik lvhaların kalınlıklarının il mm arasında dğiştiği v bunların sürkli uniform şans dğişknin uygun olduğu bilinmktdir. Lvha kalınlıkları mm altında çıktığı zaman tkrar ürtim göndrildiğin gör bu dağılımın bklnn dğrini v varyansını bulunuz v ürtim sürcind tkrar ürtim göndriln lvhaların oranını bulunuz. a) Bu dağılışın ortalama v varyansı; E()(+)/ 7 mm Var()(-) ( / 8.33 mm bulunur. b) Ürtim gri döndürüln ürünlrin oranı is; < < ) (-) / (-), Ürünlrin % u ürtim gri göndrilmktdir. 9