Kesikli Üniform Dağılımı

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Kesikli Üniform Dağılımı"

Asli Ayvaz
8 yıl önce
İzleme sayısı:

1 9.. KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI. Kesili Üniform Dağılımı. Bernoulli Dağılımı 3. Binom Dağılımı 4. Negatif Binom Dağılımı. Geometri Dağılım. Hiergeometri Dağılım 7. Poisson Dağılımı Kesili Üniform Dağılımı Kesili bir şans eğişeni tanımlı oluğu tüm notalara eşit olasılı eğerine sahi ise bir başa ifaeyle tanımlı oluğu eğerlerin hesine olasılı fonsiyonun alığı eğer sabit ise bu esili şans eğişeni üniform ağılımına uygunur. Üniform ağılımı gösteren bir şans eğişeni farlı notaa tanımlı ise olasılı ağılımı; X ) şeline ifae eilir.,,3...,. Kesili Üniform Dağılımının Belenen Değer ve Varyansı Örne: Hilesiz bir zar atılığına şans eğişeni ortaya çıabilece farlı urum sayısını ifae ettiğine göre in olasılı ağılımı oluşturara belenen eğerini ve varyansını bulunuz. E( ) ) i i i ( )( ) Var( ) ( ) 3 S = { /,,3,4,, } Ortaya çıan olaylar eşit olasılılı olaylar şans eğişeninin ağılımı = olan esili üniform ağılımına uygunur. X ) E( ) 3,,,3,4,,. ( )( ) 3 Var ( ) 4

2 9.. Bernoulli Dağılımı Bir şans eğişeninin bernoulli ağılımı göstermesi için ilgilenilen süreçte bernoulli eneyinin varsayımlarının sağlanması gereliir. Bernoulli Deneyinin Varsayımları:. Deneyler aynı oşullara terarlanabilirli özelliğine sahi olmalıır.. Deneylerin yalnız ii mümün sonucu olması gereliir. 3. Başarı olasılığı (), eneyen eneye eğişmemeliir. (Başarısızlı olasılığı q = - ile gösterilir) 4. Denemeler birbirinen bağımsız olmalıır. Örneler: Bir fabriaa üretilen bir ürünün hatalı veya sağlam olması, Bir maeni ara atılığına üst yüze yazı veya tura gelmesi, Hilesiz bir zar atılığına zarın te veya çift gelmesi, Bernoulli eneyine ortaya çıan sonuçlaran biri tanesi başarı urumu iğeri ise başarısızlı olara ifae eilir. Bernoulli şans eğişeninin ağılımı ifae eiliren eneyin saece ez terarlanması gereliir. Bernoulli ağılışına şans eğişeni başarı urumu için, başarısızlı urumu için ise eğerini alır. S = { /, } Bernoulli Dağılımının Olasılı Fonsiyonu; Örne: Bir este isambilen çeilen bir ağıın as olu olmaması ile ilgileniyor. As gelmesi başarı olara ifae eiliği urum için olasılı fonsiyonunu oluşturunuz. = (as gelmemesi) = ( as gelmesi) S = { /, } X = ) = 48 / X = ) = 4 / m = E ( ) = s = Var ( ) = (-) = q X ) ( ),. 7 X ) 4 48,. 8

3 9.. Binom Dağılımı Birbirinen bağımsız n aet bernoulli eneyinin bir araya gelmesi sonucuna binom eneyi gerçeleşir. Binom eneyinin gerçeleşmesi için bernoulli eneyinin bütün varsayımlarının sağlanması gereliir. Binom şans eğişeni, n aet enemeei başarı sayısını ifae etmeteir. n enemee en az, en fazla n aet başarı gözlenebileceğinen S = { /,,,,n } olur. Binom Olasılı Fonsiyonunun Ele Eilmesi Gerçeleştirilen her bir Bernoulli eneyi birbirinen bağımsızır ve olasılı fonsiyonu ).q, olara ife eilmiş ii. Bernoulli eneyi n efa terarlanığı uruma tolam aet başarı olmasının olasılığı, aet başarı olasılığı () ile n - aet başarısızlı olasılığının (q=-) çarımını içermeliir. 9 Başarı ve başarısızlıların oluşum sırası yani sıralama önemsiz ise n farlı şeile ortaya çıtığı n için ; C n..( ) X ) n,,,..., n. Örneler: Bir fabrianın eosunan seçilen ürünen sinin hatalı olması, Bir maeni ara ez atılığına hiç tura a gelmemesi üst yüze yazı veya tura gelmesi, Hilesiz bir zar 4 ez atılığına zarın en ço ez çift gelmesi, olara ele eilir. 3

4 9.. Binom Dağılımının Karateristileri Örne: Bir işletmee üretilen ürünlerin % sının hatalı oluğu bilinmeteir. Rasgele ve iaeli olara seçilen ürünen, a) tanesinin hatalı olmasının olasılığını, b) En az 4 tanesinin hatalı olmasının olasılığını hesalayınız. Aritmeti Ortalama m Varyans s E ( X ) n n( ) nq X)..4.. X)..4.. n = =. 3 4 n = =. 3 4 X X 3 =, - =,94 n = a)p ( X = ) =? 4 b)p ( X 4 ) =? X ). (,).(,94),3 P ( X 4 ) = P ( X = 4) + P ( X = ) 4 4.(,).(,94).(,).(,94) 4 Negatif Binom Dağılımı Bernoulli eneyinin tüm varsayımları negatif binom ağılımı içine geçerliir. Binom ağılımına n enemee aet başarı olasılığı ile ilgileniliren, negatif binom ağılımına ise şans eğişeni ( ) ncı başarıyı ele einceye aar yaılan eney sayısına arşılı gelir. Örneler: Bir arayı ez tura gelinceye aar attığımıza nci turayı ele ettiğimiz eneme sayısı, Bir basetbolcunun 3 sayılı atışlara ncu sağlaması için gereli olan atış sayısı. isabeti : eney sayısı : başarı sayısı : başarı olasılığı S = { /, +, +, +3 } Binom ağılımını ullanara - enemee - aet başarı olasılığını hesalanır ve nci enemeei ncı başarıyı ele etme olasılığı ile bağımsız olaylar oluğunan çarılara aşağıai olasılı fonsiyonu ele eilir. X ),,,.... 4

5 9.. Negatif Binom Dağılımının Belenen Değer ve Varyansı ( E ) m Var( ) ( Yanai histogram =, ve = 8 arametreli negatif binom ağılım gösteren bir oulasyonan alınmış hacimli bir örne için oluşturulmuştur. ) 3 8,,, 4,, 8,,, 4, 7 Örne: Bir işinin hilesiz bir zarı ez atması sonucuna, ncu atışına nci ez gelmesi olasılığını hesalayınız. = / - = / = = X ; ). ( ).( ) Zarın açıncı ez atılması sonucu nci ez gelmesini belersiniz? E( ) 3 8 Geometri Dağılım Bernoulli eneyinin tüm varsayımları geometri ağılım içine geçerliir. Negatif Binom ağılımının özel bir urumuur. = oluğuna negatif binom ağılımı geometri ağılımı olara ifae eilir. Geometri ağılım gösteren şans eğişeni X, il başarıyı ele einceye aar yaılan eney sayısını ifae eer. Örneler: Bir arayı tura gelinceye aar attığımıza tura gelmesi için yaılan atış sayısı, Bir işletmenin eosunan il hatalı ürünü bulana aar alınan örne sayısı. 9 : eney sayısı : başarı olasılığı S = { /,, 3, 4.. } Negatif Binom ağılımına = alınığına; X ) X ) X ),,,....,,3,....

6 9.. Geometri Dağılımının Belenen Değer ve Varyansı E( ) m Var ( ) Örne: Bir avcı heefe isabet sağlayana aar ateş etmeteir. Avcının heefi vurma olasılığı,7 oluğuna göre avcının heefi il ez 8 nci ez atış yatığına isabet ettirmesinin olasılığını hesalayınız. = 8 P ( X = 8) =? Yanai histogram =, arametreli geometri ağılım gösteren oulasyonan alınmış hacimli bir örne için oluşturulmuştur X ),7,7,, ,7,7,7, 7 X 8) ÖDEV: Avcının heefi il ez vurma olasılığı, en az olması için heefe en az aç ez ateş etmeliir? Hiergeometri Dağılım Varsayımları, n eneme benzer oşullara terarlanabilir. Her enemenin mümün sonucu varır. Sonlu oulasyonan iaesiz örneleme yaılır. Örneleme iaesiz oluğunan başarı olasılığı ( ) eneyen eneye eğişir. 3 Hiergeometri Dağılımın Olasılı Fonsiyonu n : örne hacmi N : anaütle eleman sayısı B : oulasyonai başarı sayısı : örnetei başarı sayısı S = { /,,, 3,..,n } B N B n X ) N n,,,3..., n. 4

7 9.. Hiergeometri Dağılımın Karateristileri = B/N için Yanai histogram N = ve B = arametreli hiergeometri ağılım gösteren oulasyonan alınmış hacimli bir örne için oluşturulmuştur E( ) n N n Var ( ) n( ) N X Örne: Yeni açılan bir bananın il müşterisi içine tanesi mevuat hesabına sahitir. İaesiz olara rasgele seçilen 8 müşterien tanesinin mevuat hesabına sahi olmasının olasılığı neir? N= B = n = 8 = 8 X ) 8 X ) 4 3 8,,,3...,8. ÖDEV: En ço işinin mevuat hesabına sahi olmasının olasılığını hesalayınız. Poisson Dağılımı Kesili Şans eğişenlerinin olasılı ağılımlarınan en önemlilerinen biri Poisson Dağılımıır. Günlü hayatta ve uygulamaa ço sayıa ullanım alanı bulunmataır. Ünlü Fransız matematiçisi Poisson tarafınan bulunmuştur. Belirli bir alan içerisine rasgele ağılan veya zaman içerisine rasgele gözlenen olayların olasılılarının hesalanabilmesi için ço ullanışlı bir moelir. Poisson Sürecinin Varsayımları. Belirlenen eriyotta meyana gelen ortalama olay sayısı sabittir.. Herhangi bir zaman ilimine bir olayın meyana gelmesi bir öncei zaman ilimine meyana gelen olay sayısınan bağımsızır.(eriyotların esişimi olmaığı varsayımı ile) 3. Mümün olabilece en üçü zaman aralığına en fazla bir olay gerçeleşebilir. 4. Ortaya çıan olay sayısı ile eriyoun uzunluğu oğru orantılıır

8 Freans Freans 9.. Örneler Bir şehire bir aylı süre içerisine meyana gelen hırsızlı olayların sayısı, Bir telefon santraline. içerisine gelen telefon çağrılarının sayısı, Bir ita içinei bası hatalarının sayısı, İstanbul a m ye üşen işi sayısı, Ege Bölgesine 3 aylı süree 4, şietinen büyü olara gerçeleşen erem sayısı. l Poisson Dağılımının Olasılı Fonsiyonu : belirlenen eriyotta ortaya çıan olay sayısı : ortaya çıma olasılığı araştırılan olay sayısı S = { /,,, 3,.., } l e l X )!,,,... iger urumlara 9 3 Poisson Dağılımının Belenen Değer ve Varyansı 4 3 l n = Belenen Değer E() m l 3 4 l n= Varyans Var() l Belenen eğeri ve varyansı birbirine eşit olan te ağılıştır

9 9.. Örne: Bir mağazaya Cumartesi günleri aiaa ortalama olara 4 müşteri gelmeteir. Bir Cumartesi günü bu mağazaya, a) aia içine müşteri gelmesi olasılığını, b)yarım saate en fazla müşteri gelmesi olasılığını, a) l 4 P ( = ) =? e 4! e 4 X )! b) a 4 müşteri gelirse, 3 a 4 müşteri gelir. l 4 P ( > ) =? > ) = [=)+=)+=)] e 4 e! 4 4! ÖDEV: saatte en ço müşteri gelmesinin olasılığını hesalayınız. 4e 4 33e

Benzer belgeler

Kesikli Üniform Dağılımı

KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI Kesikli Üniform Dağılımı Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Negatif Binom Dağılımı Geometrik Dağılım Hipergeometrik Dağılım Poisson Dağılımı Kesikli Üniform