Fonksiyon Kavramı Yazar Prof. Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; fonksiyon kavramını tanıyacak, bir fonksiyonun bire-bir ve örten olup olmadığını araştırabilecek, iki fonksiyonun bileşkesini bulabilecek, ters fonksiyon kavramını anlayacak, fonksiyon grafiği kavramını öğrenip bazı fonksiyonların grafiklerini çizebileceksiniz. İçindekiler Giriş 83 Fonksiyon Kavramı 83 Fonksiyon Grafikleri 98 Değerlendirme Soruları 116
Çalışma Önerileri Yazarak çalışınız Bir kavramı anlamadan diğerine geçmeyiniz Çözümleri size bırakılan soruları mutlaka çözünüz ve cevaplarınızı kontrol ediniz Grafikleri doğru çizebilmek için yanınızda kareli kağıt ve cetvel bulundurunuz Hesap makinesinden yararlanınız. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
FONKSİ YON KAVRAMI 83 1. Giriş Fonksiyon kavramı matematiğin en temel kavramlarından birisidir. Bu kavramı tanımlamadan önce birkaç örneği ele alalım. i) Fiyatı 40 000 TL olan ekmekten tane aldığımızda ödeyeceğimiz paraya y dersek y = 40 000 yazabiliriz. Burada ödeyeceğimiz paranın aldığımız ekmeğin miktarına bağlı olduğu açıktır. Ekmek miktarı değiştikçe ödenecek para da değişecektir. İşte bu durumda ödenecek para alınan ekmek miktarının bir fonksiyonudur diyoruz. ii) Bir çemberde, Ç çevre uzunluğu, r yarıçap olmak üzere, Ç = πr olduğunu biliyoruz. Burada da yarıçap değiştikçe çevre uzunluğu değişecek ve her bir yarıçap için çevre uzunluğu olarak tek bir sayı bulunacaktır. Bu durumda da çevre uzunluğu yarıçapın bir fonksiyonudur diyoruz. iii) Hava direncinin olmadığı bir ortamda belirli bir yükseklikten serbest bırakılan bir cismin aldığı s yolu ile t zamanı arasında s = 1 gt, g = 9,8 m / sn bağıntısının varlığını fizik derslerinden biliyoruz. Burada da s yolu t zamanına bağlıdır. Yani t değiştikçe s de değişmektedir. Bu durumda da s yolu t zamanının bir fonksiyonudur diyoruz.. Fonksiyon Kavramı Yukarıdaki örneklerle sezdirmeye çalıştığımız fonksiyon kavramının kesin tanımını verelim. Boş kümeden farklı A ve B gibi iki küme verilsin. A kümesindeki her bir elemana B kümesinden bir ve yalnız bir eleman karşılık getiren bir eşlemeye A kümesinden B kümesine bir fonksiyon denir. Bu eşleme genellikle bir kuralla verilir. Bu kural çoğu kez f, g,..., h gibi harflerle gösterilir. A kümesinden B kümesine f kuralı ile verilen fonksiyon f : A B şeklinde gösterilir. Bu durumda A kümesine f fonksiyonunun tanım kümesi, B kümesine de değer kümesi denir. A kümesinden alınan bir elemanına B kümesinden f ile karşı getirilen elemana in f altında görüntüsü denir ve bu eleman f() ile gösterilir. A kü- AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
84 FONKSİ YON KAVRAMI mesindeki tüm elemanların f fonksiyonu altındaki görüntülerinin oluşturduğu kümeye f fonksiyonunun görüntü kümesi denir ve f (A) ile gösterilir. Bazen, f : A B fonksiyonuna A üzerinde bir fonksiyon da denir. Örneğin, A ve B kümeleri olarak Z tamsayılar kümesini alalım ve her tam sayıyı karesi ile eşleyen eşlemeyi düşünelim. Bu eşlemede her tam sayıya karşılık o sayının karesi olan bir tam sayı vardır ve bu tamsayı tektir. Bu nedenle bu eşlemeye bir fonksiyondur diyebiliriz. Bu fonksiyon, f : Z Z, veya f : Z Z, f () = şeklinde gösterilir. Bu fonksiyon altında 0 ın görüntüsünün 0, - 1 ile 1 in görüntüsünün 1, - 4 ile 4 ün görüntüsünün 16 olduğunu şu şekilde ifade ederiz: f (0) = 0, f (-1) = 1, f (1) = 1, f (- 4) = 16, f (4) = 16. Bu fonksiyonun tanım ve değer kümeleri Z tam sayılar kümesi iken her tam sayının karesi pozitif tam sayı veya 0 olduğundan görüntü kümesi, f (Z) = IN {0} dır. Bu fonksiyonu Venn şeması ile şöyle gösterebiliriz. f Z Z...... -4. 0. -1 0 1 1.... 4 16...... Tanım kümesine ait her bir elemanın bir fonksiyon altındaki görüntüsü tek olmak zorundadır, ancak tanım kümesine ait farklı iki elemanın görüntüsü aynı olabilir. Örneğin yukarıdaki f fonksiyonunda f (-1) = f (1) = 1 dir. Ünitenin başlangıcındaki birinci örneğimizde, alınan ekmek sayısı doğal sayılarla ifade edildiğinden tanım kümesi IN doğal sayılar kümesi, değer kümesi ise, satın alınan ekmek sayısı 40 000 katı ile eşlendiğinden o da IN olarak alınabilir. Buna göre bu fonksiyon şu şekilde ifade edilir: g: IN IN, g () = 40 000. Burada değer kümesi, 40 000 den büyük doğal sayılar kümesini içeren herhangi bir küme de olabilir. Örneğin Z, Q veya IR alınabilir: ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
FONKSİ YON KAVRAMI 85 h: IN Z, h () = 40 000, k: IN Q, k () = 40 000, l: IN IR, l () = 40 000. Ancak bu durumlarda fonksiyon doğal sayılar kümesinden doğal sayılar kümesine değil, doğal sayılar kümesinden sırasıyla tamsayılar, rasyonel sayılar veya gerçel sayılar kümesine tanımlanmış bir fonksiyon olur. Bu fonksiyonların görüntüleri aynıdır ve hepsinde 40 000 den büyük doğal sayılar kümesidir. İkinci ve üçüncü örneklerimizi bir fonksiyon olarak şöyle ifade edebiliriz: t: IR + IR, t (r) = πr, burada yarıçapın herhangi bir pozitif gerçel sayı olabileceğine dikkat ediniz, s : IR + IR, s t = 1 gt, burada da her türlü kesirli zamanın ölçülebildiğini varsaymış bulunuyoruz. Bu son örneklerimizden de görüldüğü gibi, bir fonksiyonda tanım kümesinin elemanları den farklı harflerle de gösterilebilir. Örneğin yukarıdaki f fonksiyonu, f : Z Z, f (n) = n, veya f : Z Z, f (u)= u şeklinde de ifade edilebilir. Bir fonksiyonda önemli olan,tanım ve değer kümelerinin elemanlarının, bunlar farklı harfle gösterilmek koşuluyla, hangi harfle gösterildiği değil, tanım ve değer kümeleri ile bu kümelere ait elemanların nasıl eşlendiği, yani kural önemlidir. Alanı 10 birim olan dikdörtgeninin yüksekliğini taban uzunluğunun fonksiyonu olarak yazınız.? Cevabınız f = 10 olmalıdır. Örnek: Yukarıda verilen g, t, s fonksiyonlarına göre g (10), t (3) ve s (5) görüntülerini bulalım. Çözüm: g : IN IN, g () = 40 000 olduğundan g (10) = 40 000. 10 = 400 000, buna göre 10 ekmeğin bedelinin 400 000 TL olduğu açıktır. t: R + IR, t (r) = πr olduğundan t (3) = π. 3 = 6 π 18,84, buna göre, yarıçapı 3 cm olan bir çemberin çevresi yaklaşık olarak 18,84 cm dir. s : IR + IR, s t = 1 gt, g = 9,8 m /sn olduğundan s 5 = 1 9,8. 5 = 4,9. 5 = 1,5, buna göre, yeteri kadar yüksek bir yerden serbest düşmeye bırakılan bir cisim 5 saniyede 1,5 m yol alır. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
86 FONKSİ YON KAVRAMI Örnek: A = { Türkiye de bir il}, B = IN olmak üzere, her ili trafikteki plaka numarasına gönderen bir fonksiyondan söz edebiliriz. Bu fonksiyona göre Eskişehir in görüntüsü 6, İstanbul un görüntüsü 34 dür. Bu fonksiyona p dersek, p(eskişehir) = 6, p(istanbul) = 34 yazabiliriz.(bu fonksiyonda 1 i 01, yi 0,..., 9 u 09 şeklinde gösteriyoruz.) Örnek: f:ir IR, f()= - fonksiyonu veriliyor. f(1) + f(-1) i bulunuz. Çözüm: Fonksiyon tanım kümesinin her bir elemanını bu elemanın karesi ile katının farkına göndermektedir. Yani - dir. Buna göre f(1)= 1 -.1= -1, f(- 1)= (-1) -.(-1)= 3 olduğundan f(1) + f(-1)= -1 + 3= dir. Örnek: f : IR IR, f () = 3-4 + + 1 fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyon kuralına göre her gerçel sayısı 3-4 + + 1 gerçel sayısı ile eşlenmektedir. Şimdi f (0), f (1), f (-3), f görüntülerini bulalım. Bunun için fonksiyonun kuralında yerine ilgili sayıyı yazıp gerekli işlemleri yapacağız. f (0) = 0 3-4.0 +.0 + 1 = 1, f (1) = 1 3 4.1 +.1 +1 = 1-4 + + 1 = 0, f (-3) = (-3) 3 4.(-3) +.(-3) + 1 = -7 36 6 + 1 = - 68,? f = 3-4. +. + 1 = - 8 + + 1 = 4-7 - 1,343. f:ir IR, f()= - fonksiyonu için f(π) ve f(-) sayılarını bulunuz. Cevaplarınız 3,58 ve 8 olmalıdır. f : A B fonksiyonu verildiğinde tanım kümesine ait bir elemanının bu fonksiyon altındaki görüntüsünün f () şeklinde gösterildiğini yukarıda ifade etmiştik. f () de bazen y,z..gibi harflerle gösterilir. Bir fonksiyonun tanım ve değer kümeleri açıkça biliniyor ve eşleme f () gibi bir kuralla ifade edilebiliyorsa, fonksiyon kısaca, y = f () şeklinde de gösterilir. Örneğin her gerçel sayıyı katı ile eşleyen fonksiyon, f : IR IR, f () = gösterimi yerine, kısaca y = biçiminde de gösterilmektedir. Ancak bu tür gösterimlerde tanım ve değer kümelerinin çok açık olarak biliniyor olması gerekir. Burada tanım kümesindeki tüm elemanları tararken y de e bağlı olarak değişecektir. Bu nedenle e bağımsız değişken y ye de bağımlı değişken denir. Bir fonksiyonda tanım kümesi, IR gerçel sayılar kümesinin alt kümesi ise fonksiyona gerçel değişkenli fonksiyon denir. f : A A, f () = fonksiyonuna A kümesinin birim fonksiyonu denir ve I A şeklinde gösterilir. Sözle ifade edersek, bir kümenin her bir elemanını kendisiyle eşleyen fonksiyona bu kümenin birim fonksiyonu denir. f : A B, f () = c, yani A kümesinin tüm elemanlarını B kümesinin tek bir c elemanı ile eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
FONKSİ YON KAVRAMI 87 f : A B, g : C D fonksiyonları verilsin. Eğer aşağıdaki koşullar sağlanırsa bu iki fonksiyona eşittir denir ve f = g şeklinde gösterilir. i) A = C, ii) B = D, iii) her A (= C ) için f ( ) = g (). Bir fonksiyonda asıl olanın tanım kümesi ve tanım kümesindeki her bir elemanın ne ile eşlendiği diyorsanız, o zaman iki fonksiyonun eşitliği için değer kümelerinin eşitliği koşulunu aramayabilirsiniz. Örnek : A = {0,}, B = {0,4} olmak üzere, f : A B, f () =, g: A B, g () = fonksiyonları yukarıdaki koşulları sağladığından bu iki fonksiyon eşittir. Gerçel değişkenli bir fonksiyon, y = f () biçiminde verilip tanım kümesi açıkça verilmemişse, bu durumda tanım kümesi olarak fonksiyonun kuralının anlamlı olduğu en geniş gerçel sayılar kümesi fonksiyonun tanım kümesi olarak alınır. Örnek: y = f () = 1 fonksiyonunun tanım kümesi açıkça verilmemiştir. Bu - 3 durumda 1 ün anlamlı olduğu (yani bir gerçel sayı olduğu) en geniş gerçel - 3 sayılar kümesini bu fonksiyonun tanım kümesi olarak alacağız. 1 ifadesinde - 3 yerine 3 den farklı hangi sayıyı yazarsak yazalım bir gerçel sayı bulabiliriz. Ancak = 3 için payda sıfır olur, bir sayının sıfıra bölümü ise tanımsızdır. Bu nedenle bu fonksiyonun tanım kümesi olarak IR {3} kümesini alacağız. Yani y = fonksiyonunu, f : IR {3} IR, f () = olarak kabul edeceğiz. 1-3 1-3 fonksiyonunun kısaca ifade edilmiş biçimi Örnek: y = 4 + fonksiyonunun tanım kümesini bulalım. Çözüm: Bu fonksiyonun kuralı 4 + dir. Bu kuralın anlamlı olabilmesi için 4 + 0 olmalıdır. Bu eşitsizliğin çözüm kümesi, [- 4, ) olduğundan fonksiyonun tanım kümesi [- 4, ) dır. Bu fonksiyonu da g : [- 4, ) IR, g () = 4 + fonksiyonu olarak anlayacağız. y = g () = y = h () = 3 4-4 - fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz. fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz. Birinci soruda cevabınız [-,] aralığı, ikinci soruda ise IR olmalıydı. Nedenlerini düşününüz.?? Sayılarla yapılan bazı işlemler, fonksiyonlarla da yapılabilir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
88 FONKSİ YON KAVRAMI f : A IR, g : A IR fonksiyonları verilsin. Her A için i f() + g () ile eşleyen fonksiyona f ile g nin toplamı denir ve f+g ile gösterilir. Buna göre, Benzer şekilde, f + g : A IR, (f + g) ( ) = f () + g (). f - g : A IR, (f - g) ( ) = f() - g() fonksiyonuna f ile g nin farkı, f.g: A IR, (f.g) () = f ().g () fonksiyonuna f ile g nin çarpımı, f g : A IR, f g = f g ( her A için g 0 ) fonksiyonuna da f ile g nin bölümü denir. Örnek: f: IR IR, f () = - + 3-4, g: IR IR, g () = +1 fonksiyonları veriliyor. i) (f + g) (), (f - g) (), (f. g) (), f (), g ii) (f + g) (), (f- g) (), (f. g) (), f () g değerlerini bulalım. Çözüm: i) (f + g) () = f () + g () = (-. + 3. - 4) + ( +1) = - 6 + 5 = -1, (f g) () = f () - g () = (-. + 3. - 4) - ( +1) = - 6-5 = -11, (f.g) () = f ().g () = (-. + 3. - 4). ( +1) = - 6.5 = -30, f g = f g = -. + 3. - 4 = -6 + 1 5 bulunur. Benzer şekilde, ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
FONKSİ YON KAVRAMI 89 ii) (f + g) () = f () + g () = (- +3-4) + ( + 1) = - +3-3, (f - g) () = f () g () = (- +3-4) - ( + 1) = - 3 +3-5, (f.g) () = f ().g () = (- + 3-4) ( +1 ) = - 4 + 3 3-6 + 3-4, f g = f g = - + 3-4. + 1 (f + g) (), (f g) (), (f. g) (), f ( ) sayılarını son bulduğumuz kurallara g? göre bulup, yukarıda bulunan değerlerle karşılaştırınız. f()= + 3-5 ve g()= - + 3 + 4 fonksiyonlarının toplamını ve farkını bulunuz.? Cevaplarınız 6-1 ve -9 olmalıdır. Bire bir fonksiyon f: A B fonksiyonu verilsin. Eğer her 1, A ve 1 için f ( 1 ) f ( ) ise f fonksiyonuna bire bir (1-1) fonksiyon denir. Sözle ifade edersek, tanım kümesinin herhangi farklı iki elemanının görüntüleri farklı ise, fonksiyona bire bir fonksiyon denir. Örnek: f : IN IN, f () = 40 000 fonksiyonu bire birdir. Çünkü 1, IN ve 1 için 40 000 1 40 000 olduğundan f ( 1 ) f ( ) dir. Örnek: f: IR IR, f () = fonksiyonu bire bir değildir. Örneğin - olduğu halde f (-) = f () = 4 dür. Farklı iki elemanın görüntüsü eşit olduğundan bu fonksiyon bire bir olamaz. Örnek: f : IR IR, f () = - 6 + 7 fonksiyonunun bire bir olup olmadığını araştırınız. Çözüm: Her 1, IR ve 1 için f ( 1 ) f ( ) olup olmadığını görmek kolay görünmemektedir. Bu örnekte f(1) = 1-6 + 7 =, f (5) = 5-30 +7 = dir. Farklı iki elemanın görüntüleri eşit olduğundan bu fonksiyon bire - bir değildir. Sizde bu örnek için görüntüleri eşit başka sayılar bulabilirsiniz. Ancak her zaman bu kadar şanslı olmayabiliriz. Aşağıdaki önermeyi ispatladıktan sonra, fonksiyonların bire bir olup olmadıklarını biraz daha kolay araştırabiliriz. Önerme: f : A B fonksiyonu verilsin. Eğer her 1, A ve f ( 1 ) = f ( ) iken 1 = oluyorsa, f fonksiyonu bire birdir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
90 FONKSİ YON KAVRAMI İspat: Bire birliğin tanımına göre, her 1, A ve 1 için f ( 1 ) f ( ) olduğunu göstermeliyiz. En az bir 1, A, 1 için f ( 1 ) = f ( ) olamaz. Çünkü, f ( 1 ) = f ( ) olsaydı, hipoteze göre, 1 = olurdu. Bu ise 1 ile çelişirdi. Bu önerme bire birliğin ikinci tanımı olarak alınabilir. Buna göre, her 1, A ve f ( 1 ) = f ( ) iken 1 = oluyorsa, f fonksiyonu bire birdir diyebiliriz. Örnek : Yukarıda en son verdiğimiz örneğin bire bir olmadığını bir de bu önermeyi kullanarak görmeye çalışalım. f: IR IR, f () = 6 + 7 olduğundan f ( 1 ) = f ( ) ise 1-6 1 + 7 = 6 + 7 dır. Buradan 1-6 1 - + 6 = 0, ( 1 - ) ( 1 + - 6) = 0, 1 = veya 1 + = 6 bulunur. Bu eşitliklerin manası tanım kümesi olan IR den alınan iki sayının f altında görüntüleri eşitse ya bu sayılar eşittir, ya da bu sayıların toplamı 6 dır. Tanım kümesi olan IR deki sayıların toplamı 6 ise bu sayılar eşit olmak zorunda olmadığından (örneğin 1 ile 5, ile 4... gibi) fonksiyon bire bir değildir. Örnek: f: IR IR, f () = + 1 fonksiyonunun bire bir olduğunu gösteriniz. Çözüm: Herhangi 1, gerçel sayıları için f ( 1 ) = f ( ) ise 1 = olduğunu göstermeliyiz. f ( 1 ) = f ( ) ise 1 + 1= +1 dir. Buradan 1 =, 1 = elde edilir. Dolayısıyla fonksiyon bire birdir. Örnek: f: IR + {0} IR, f () = fonksiyonunun bire bir olup olmadığını araştırınız. Çözüm: Herhangi 1, IR + {0} için f ( 1 ) = f ( ) ise 1 = dir. Buradan 1 = 0, ( 1 ) ( 1 + ) = 0 buradan da 1 - = 0 veya 1 + = 0 olmalıdır. Bu eşitliklerin birincisinden 1 =, ikincisinden 1 = - elde edilir. İkinci eşitlik sadece 1 = = 0 için doğrudur ( 1 0, 0 olduğunu hatırlayınız). Bu nedenle 1 = olmak zorundadır. Dolayısıyla fonksiyon bire birdir. IR üzerinde tanımlı f()= fonksiyonunun bire bir olmadığını göstermiştik. Bu örnekle, fonksiyonun bire birliğinin, fonksiyonun kuralı kadar tanım kümesine de bağlı olduğunu görmüş olduk. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
FONKSİ YON KAVRAMI 91 f:ir IR, f()= 3 - fonksiyonunun bire-bir olmadığını gösteriniz. (f (0) ve f (1) değerlerini karşılaştırınız). Bir fonksiyonun sadece kuralına bakarak bire birliğine karar veremeyiz. Kuralla birlikte tanım kümesini de göz önüne almamız gerekir.? Örten fonksiyon f : A B fonksiyonu verilsin. Eğer f (A) = B ise yani değer kümesindeki herhangi bir eleman tanım kümesindeki en az bir elemanın görüntüsü ise, f fonksiyonuna örten fonksiyon denir. Fonksiyonun örtenliğini şöyle de ifade edebiliriz. B değer kümesinden alınan herhangi bir b elemanına karşılık, f (a) = b olacak şekilde A tanım kümesinden en az bir a elemanı bulunabiliyorsa, f fonksiyonu örtendir denir. Örnek: f : IR IR, f () = +1 fonksiyonunun örten olup olmadığını araştıralım. Çözüm: Fonksiyonun örten olduğunu görmek için her bir b IR için f (a ) = b olacak şekilde en az bir a IR nin varlığını görmeliyiz. f (a) = b ise a + 1 = b dir. Buradan a = b - 1 bulunur. b gerçel sayısı için a = b - 1 de bir gerçel sayıdır ve fonksiyonun tanım kümesinin elemanıdır. Böylece herhangi bir b sayısına karşılık f (a) = b koşulunu sağlayan bir a sayısı bulabildiğimizden fonksiyon örtendir. Örnek: g: IR IR, g () = fonksiyonunun örten olmadığı açıktır. Çünkü değer kümesinden alacağımız herhangi bir negatif sayı, örneğin - 1, hiçbir gerçel sayının karesine eşit olamaz, dolayısıyla tanım kümesine ait hiçbir elemanın görüntüsü değildir. Buna karşılık f : IR IR + {0}, f () = fonksiyonu örtendir. Çünkü değer kümesinden alınacak herhangi bir b değeri, hem - b hem de b nin görüntüsüdür. Bir fonksiyonun sadece kuralına bakarak örten olup olmadığına karar veremeyiz. Kuralla birlikte değer kümesini de göz önüne almamız gerekir. Bir fonksiyonun tanım kümesi ve kuralı değiştirilmeden, fonksiyon örten bir fonksiyona dönüştürülebilir. Bunun için değer kümesi olarak görüntü kümesini almak yeterlidir. Yani, f : A f (A) fonksiyonu daima örten fonksiyondur. Bir fonksiyonun bire-bir veya örten olmadığını göstermek için tanımlarla uyuşmayan elemanlar (sayılar) bulmak yeterli iken bu özelliklerin varlığını görmek için genel ispat yapmamız gerektiğine dikkat ediniz. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
9? FONKSİ YON KAVRAMI f:[-, 3] B, f()= fonksiyonunun örten olması için B kümesi ne olmalıdır? Cevabınız B= [0, 9] aralığı olmalıdır. Bileşke Fonksiyon f :A B, g : B C fonksiyonları verilsin. Herhangi bir A elemanını g (f ()) ile eşleyen, yani i f () in g altındaki görüntüsü ile eşleyen fonksiyona f ile g nin bileşkesi denir ve gof ile gösterilir. A f B g C f() gof g(f()) Buna göre, gof : A C, (gof) () = g (f ()) dir. gof fonksiyonunun tanım kümesinin f nin tanım kümesi olan A, değer kümesinin ise g nin değer kümesi olan C olduğuna dikkat ediniz. Örnek : A = {-1,, 3}, B = {0,1,4,5}, C = {1,} kümeleri veriliyor. Bu kümeler üzerinde, f : A B, f (- 1) = 5, f () = 0, f (3) = 1, g : B C, g (0) = 1, g (1) = 1, g (4) =, g (5) = fonksiyonları tanımlanıyor. A f B g C -1 0 1 1 3 4 5 gof fonksiyonunu bulunuz. Çözüm: gof : A C, (gof) (-1) = g (f (- 1)) = g (5) =, (gof) () = g (f ()) = g (0) = 1, dir. (gof) (3) = g (f(3)) = g (1) = 1 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
FONKSİ YON KAVRAMI 93 Örnek: f: IR IR, f () = 3 + 1, g : IR IR, g ( ) = 4 fonksiyonları veriliyor. (gof) (1), (gof) (), (gof) (), (fog) (1), (fog) () ve (fog) () görüntülerini bulalım. Çözüm: (gof) (1) = g (f (1)) = g (3.1+1) = g (4) = 16-4 = 1, (gof) () = g (f ()) = g (3. +1) = g (7) = 49-4 = 45, (gof) () = g (f ()) = g ( 3+1) = (3 +1 ) - 4 = 9 + 6-3. Bu son eşitlikle gof fonksiyonunun kuralını bulmuş olduk. (gof) (1) ve (gof) () görüntülerini bu kural yardımıyla da bulabileceğinizi görünüz. Diğer sorulara cevap vermeden önce şunu ifade edelim: gof tanımlı iken fog tanımlı olmayabilir. fog nin tanımlı olabilmesi için g nin görüntü kümesinin f nin tanım kümesinin bir alt kümesi olması gerektiğini görmeye çalışınız. Bu soruda bu koşul sağlanmaktadır. Bu nedenle soru anlamlıdır. (fog) (1) = f (g (1)) = f (1-4) = f (-3) = 3.(-3) +1 = - 8, (fog) () = f ( g()) = f ( -4) = f (0) = 3.0 +1 = 1, (fog) () = f (g ()) = f ( - 4) = 3 ( 4) + 1 = 3 11. Bu örnekten de görüldüğü gibi, genel olarak dir. gof fog f : A B, g: B C, h : C D fonksiyonları verildiğinde dir. fo (goh) = (fog) oh f : IR + 0 IR, f = ve g : IR IR, g = - - 1 fonksiyonları verilsin. gof ve fog bileşke fonksiyonlarını bulunuz.? Cevaplarınız gof: IR + { 0 } IR, (gof) () = - - 1, fog ise "tanımsızdır" olmalıdır. Örnek: f: IR IR, f () = +1 olduğuna göre f ( - ) yi bulunuz. Çözüm: g () = f ( - ) dersek, g fonksiyonu h () = - fonksiyonu ile f () = + 1 fonksiyonunun bileşkesidir. Bu nedenle g () i bulmak için + 1 ifadesinde yerine yazmak yeterlidir. Buna göre, bulunur. f ( - ) = ( - ) + 1 = - 4 + 5 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
94? FONKSİ YON KAVRAMI g: IR IR, g () = 3 4 + olduğuna göre, g ( + 1) i bulunuz. Cevabınız 3 + 3 - -1 olmalıdır. Ters fonksiyon f: A B fonksiyonu verildiğinde tanım kümesine ait herhangi bir elemanın görüntüsünü, diğer bir deyişle in resmini f() kuralı ile bulabiliyoruz. Acaba resmi bilirsek aslı bulabilir miyiz? Şimdi bu soruya cevap vermeye çalışacağız. f (A) görüntü kümesinden alınan herhangi bir eleman, görüntü kümesinin tanımı gereği, tanım kümesinden en az bir elemanın görüntüsüdür. Bu nedenle herhangi bir b f (A) elemanına karşılık f (a) = b olacak şekilde en az bir a A elemanı bulabiliriz. Ancak fonksiyon bire bir değilse b ye karşılık bulunan a birden fazla olabilir. Eğer f fonksiyonu bire bir olursa, herhangi bir b f( A) için f (a) = b olacak şekilde tek bir a A bulunur ve dolayısıyla ters yönde bir eşlemeyle, yani f (A) dan A ya tanımlanan yeni bir fonksiyonla b ye karşı gelen a yı bulabiliriz. İşte bu eşlemeye f nin ters fonksiyonu denir. f: A B bire bir fonksiyonu verilsin. f (A) görüntü kümesinden alınan herhangi bir görüntüyü (resmi) A daki aslına gönderen fonksiyona f nin ters fonksiyonu denir ve f -1 ile gösterilir. Buna göre, f -1 : f (A) A, f -1 (b) = a f (a) = b. Örnek: A ={1,,3,4}, B ={- 1, - 4, - 7, -10, - 15 } olmak üzere A dan B ye aşağıdaki Venn şeması ile verilen f fonksiyonu tanımlanıyor. A 1 3 4 f B -1-4 -7-10 -15 Bu f fonksiyonunun varsa ters fonksiyonunu bulalım. f nin bire bir olduğu açıkça görülmektedir. Bu nedenle f (A) = {- 1, - 4, - 7, - 10 } kümesinden A kümesine f -1 tersi fonksiyonu vardır. f -1 : {- 1, - 4, - 7, - 10 } {1,, 3,4} ve ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
FONKSİ YON KAVRAMI 95 f (1) = -1 olduğundan f -1 (-1) = 1, f () = - 4 f -1 (- 4) =, f (3) = -7 f -1 (-7) = 3, f (4) = -10 f -1 (- 10) = 4 dir. f 1 fonksiyonunun Venn şeması ile gösterimi aşağıdaki gibidir. f(a) -1-4 -7-10 -1 f A 1 3 4 i) f: A B fonksiyonunun ters fonksiyonu varsa, f -1 : f (A) A ters fonksiyonunun bire bir ve örten olduğuna dikkat ediniz. ii) f fonksiyonu bire bir ve örten ise, ters fonksiyonun değer kümesinden tanım kümesine tanımlandığına dikkat ediniz. Örnek: f : IR + {0} IR, f () = +1 fonksiyonunun varsa ters fonksiyonunu bulunuz. Çözüm: Ters fonksiyonun olması için f nin bire bir olması gerekir. Şimdi bunu araştıralım. 1, IR + {0} için f ( 1 ) = f ( ) ise 1 = olduğunu görmeliyiz. f ( 1 ) = f ( ) 1 +1 = +1 1 - = 0, ( 1 ) ( 1 + ) = 0, buradan da 1 = veya 1 = - bulunur. 1, IR + {0} olduğundan 1 = - eşitliği ancak 1 = = 0 ise mümkündür, bunun dışında 1 = - olamaz. Bu nedenle 1 = olmalıdır, dolayısıyla fonksiyon bire birdir. Fonksiyon bire bir olduğundan ters fonksiyonu vardır. Ters fonksiyonun tanım kümesi, f nin f ( IR + {0}) görüntü kümesi olduğundan, bu görüntü kümesini bulalım (fonksiyon örten ise görüntü kümesinin değer kümesi olduğunu hatırlayınız). AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
96 FONKSİ YON KAVRAMI Her IR + (0} için 0 olduğundan + 1 1 dır. Buna göre görüntü kümesi [1, ) aralığı olabilir. Bu aralığın görüntü kümesi olduğunu görmek için, bu aralıktan alacağımız herhangi bir b sayısına karşılık f (a) = b olacak şekilde tanım kümesinde bir a elemanının varlığını görmeliyiz. a + 1 = b ise a = b 1 dir. b [1, ) olduğundan b 1 0 dır. Buradan a = - b - 1 veya a = b - 1 bulunur. - b - 1 IR + olmasına karşılık b - 1 IR + 0 dır. Dolayısıyla aradığımız a sayısı b - 1 dir. Böylece [1, ) aralığına ait herhangi bir sayının tanım kümesine ait bir sayının görüntüsü olduğunu, yani [1, ) aralığının fonksiyonun görüntü kümesine eşit olduğunu göstermiş olduk. Buna göre, f -1 : [1, ) IR + {0} dır. Şimdi de ters fonksiyonun kuralını bulalım. f : + 1= y olduğundan f -1 : y = + 1 dir. f -1 fonksiyonu altında y değişkeni, değişkenine dönüştüğünden i y türünden ifade edersek, y ye karşı gelen görüntülerini daha kolay bulabiliriz. y = + 1, = y 1 buradan da = y - 1, = - y - 1 y >1 için - y - 1 R + 0 dır. O halde, bulunur. Burada f -1 : [1, ) IR + {0}, y = y - 1, f -1 : [1, ) IR + {0}, f -1 y = y - 1 dir. Genellikle fonksiyonlarda bağımsız değişkeni ile gösterdiğimizden ve ileride grafik çiziminde de sorun yaratmamak amacıyla bu ters fonksiyonu şu şekilde ifade edeceğiz: f -1 : [1, ) IR + {0}, f -1 ( ) = - 1. y = f () fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulmak için, önce y = f () eşitliğinden değişkeni y türünden hesaplanır daha sonra yerine y, y yerine yazılır. Örnek: f: R R, f () = 3 + 5 fonksiyonunun varsa ters fonksiyonunu bulunuz. Çözüm: f fonksiyonunun bire-bir olduğunu kolayca görebiliriz. Bu nedenle fonksiyonun ters fonksiyonu vardır. Ayrıca f örten olduğundan, f -1 : IR IR dir. Ters ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
FONKSİ YON KAVRAMI 97 fonksiyonun kuralını bulmak için, y = 3 + 5 ifadesinde i y cinsinden çözüp yerine y, y yerine yazalım. y = 3 + 5, 3 = y 5 buradan da = y - 5 bulunur. Şimdi yerine y, y yerine yazarsak, y = - 5 elde ederiz. Buna göre ters fonksiyon 3 3 f -1 : IR IR, y = f -1 () = - 5 3 dir. f : A B bire bir ve örten fonksiyon ise, aşağıdaki Venn şemasından görüldüğü gibi A için (f -1 of) () = dir. Dolayısıyla f -1 of = I A dir. A f B f -1 A f() -1-1 f of f (f()) = Benzer bir şema ile fof -1 = I B olduğunu da siz gösteriniz. Örnek: f : IR IR, f () = fonksiyonu bire bir olmadığından ters fonksiyonu yoktur. Buna karşılık, g : IR + { 0} IR, g () = fonksiyonunun ters fonksiyonu vardır ve g (IR + {0}) = R + {0} olduğundan g -1 : IR + {0} IR + {0}, g -1 () = dir. a ve b gerçel sayılar ve a 0 olmak üzere f: IR IR, f() = a + b fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz. Cevabınız f -1 : IR IR, f -1 () = - b olmalıdır. a h : IR IR, h () = 3 fonksiyonunun ters fonksiyonunun var ve h -1 : IR IR, h -1 () = 3?? olduğunu gösteriniz. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
98 FONKSİ YON KAVRAMI 3. Fonksiyon Grafikleri A ve B boş kümeden farklı iki küme olmak üzere, f : A B fonksiyonu verildiğinde bu fonksiyonu f = {(, y) y = f (), A } şeklinde bir ikililer kümesi olarak düşünebiliriz. Bu düşünce, analitik geometri bilgilerimizle, fonksiyonları geometrik olarak temsil etme, fonksiyonun" resmini" çizme olanağı sağlamıştır. İnsanoğlu resmini çizebildiği soyut kavramları daha iyi anlayabilmekte ve bu tür kavramlar arasında daha kolay ilişki kurabilmektedir. Bu nedenle resmini çizebildiğimiz ( bu resme fonksiyonun grafiği denir) fonksiyonların davranışlarını daha kolay anlayabilmekteyiz. Bir fonksiyonun grafiği konusuna geçmeden önce düzlemdeki kartezyen koordinat sistemini tanıtmaya çalışalım. Düzlemde, sıfıra karşı gelen noktalarında birbirini dik olarak kesen yatay ve düşey doğrultuda iki sayı ekseni alalım. Bu sayı eksenlerinde yatay olanı soldan sağa, düşey olanı da aşağıdan yukarı doğru yönlendirelim. Yani, pozitif yön, yatay doğru üzerinde soldan sağa, düşey doğru üzerinde ise aşağıdan yukarıya doğru olsun. Böylece oluşturulan yatay eksene apsisler ekseni (-ekseni), düşey eksene ordinatlar ekseni (y-ekseni), bu iki eksenin oluşturduğu sisteme kartezyen koordinat sistemi veya dik koordinat sistemi veya kısaca koordinat sistemi, eksenlerin kesiştikleri noktaya da başlangıç noktası veya orijin denir. Düzlemde böyle bir koordinat sistemi belirlendikten sonra, düzlemin noktaları aşağıda açıklayacağımız şekilde adreslenebilmekte ve bu sayede birçok geometri problemleri cebirsel yöntemlerle çözülebilmektedir. Bu tür geometriye de analitik geometri denilmektedir. Bu düşünceyi ilk kez ünlü filozof Descartes ortaya attığından bu koordinat sistemine Descartes'in sistemi anlamında kartezyen koordinat sistemi denilmektedir. y 0 Düzlemde bir kartezyen koordinat sistemi seçelim. Bu koordinat sistemi yardımıyla düzlemin noktaları ile IR IR = {(,y):,y IR } kartezyen çarpım kümesinin elemanları arasında bire bir eşleme kurmaya çalışacağız. Bunun için düzlemde bir P noktası alalım ve bu noktadan yatay ve düşey eksenlere birer dikme çizelim. Bu dikmelerin birer tane olduğunu Euclid (Öklid) geometrisi derslerinden bilmekteyiz. Yatay eksene çizilen dikmenin bu ekseni kestiği noktaya karşı gelen sayıya, düşey eksene çizilen dikmenin bu ekseni kestiği noktaya karşı gelen sayıya ise y diyelim. Yatay ve düşey eksenler sayı doğrusu olduklarından her noktaya karşılık bir ve yalnız bir gerçel sayı vardır. Bu nedenle böyle ve y sayıları vardır ve bunlar tektir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
FONKSİ YON KAVRAMI 99 y P = (, y) Böylece elde ettiğimiz ve y sayıları ile sıraya da dikkat ederek, yani yatay eksenden bulduğumuz sayıyı birinci, düşey eksenden bulduğumuz sayıyı ikinci bileşen alarak, (, y) sıralı ikilisini elde ederiz. Bu yolla düzlemdeki her bir P noktasına karşılık (,y) gibi bir tek gerçel sayı ikilisi bulmuş oluruz. Tersine, (,y) gibi bir gerçel sayı ikilisi verildiğinde, sayısına yatay eksen üzerinde, y sayısına ise düşey eksen üzerinde karşı gelen noktaları belirledikten sonra, bu noktalardan üzerinde bulundukları eksenlere birer dik çizersek bu dikmeler P gibi bir noktada kesişirler. Bu P noktasını (,y) gerçel sayı ikilisine düzlemde karşı gelen nokta olarak aldığımızda, gerçel sayı ikilileri ile düzlemin noktaları arasında bire-bir bir eşleme kurmuş oluruz. Bu eşleme nedeniyle düzlemdeki herhangi bir noktaya bir gerçel sayı ikilisi, tersine herhangi bir gerçel sayı ikilisine de düzlemde bir nokta gözüyle bakabiliriz. Düzlemde alınan herhangi bir P noktasına yukarıdaki eşleme ile karşı gelen gerçel sayı ikilisi (, y) ise e P noktasının apsisi, y ye P noktasının ordinatı, (,y) ikilisine de P noktasının koordinatları denir ve P noktası, P = (,y) veya P(,y) şeklinde gösterilir. Örnek: Düzlemde A (,1); B (-1,3) ; C (0,-3); D (-3,-); E (- 0,5, ); sayı ikililerine karşı gelen noktaları işaretleyiniz. F 5, 3 gerçel Çözüm: Birinci bileşenlere yatay eksen üzerinde, ikinci bileşenlere düşey eksen üzerinde karşı gelen noktaları bulduktan sonra her bir noktadan üzerinde bulunduğu eksene birer dik çizersek, karşılıklı dikmelerin kesiştikleri noktalar aradığımız noktalar olacaktır. B E 3 F 1 A -3-1 0,5 5 D - C -3 Şimdi fonksiyonun grafiği konusuna dönelim. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
100 FONKSİ YON KAVRAMI A IR ve B IR olmak üzere f: A B fonksiyonu verildiğinde, bu fonksiyonu f = {(,y) y = f (), A} şeklinde bir ikililer kümesi olarak düşünebileceğimizi yukarıda ifade etmiştik. Bu ikililer kümesinin elemanı olan her bir ikili düzlemin bir noktası ile geometrik olarak temsil edilebilir. Böylece f kümesinin elemanı olan herhangi bir (,y) ikilisine düzlemin tek bir noktası karşılık getirilebilir. İşte f kümesinin elemanı olan (,f ()) ikililerine düzlemde karşı gelen noktaların kümesine f fonksiyonunun grafiği denir. f : A B fonksiyonu verilsin. f = {(,y) y = f (), A} kümesinin elemanlarına düzlemde karşı gelen noktaların kümesine f fonksiyonunun grafiği denir. Örnek: A = {-, -1, - 0, 5, 0, 0, 5, 1,, } olmak üzere, f: A IR, f () = + 1 fonksiyonunun grafiğini çizelim. Çözüm: f = {(-, - 3),(-1, -1),(-0,5, 0),(0,1),(0,5, ),(1,3), (, + 1 ),(,5)} dir. Bu ikililere düzlemde karşı gelen noktaların kümesi fonksiyonun grafiği olacaktır. f:{-, -1, -0,5, 0, 0,5, 1,, } IR, f( )= + 1 Şekil 3.1: ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
FONKSİ YON KAVRAMI 101 Fonksiyonun grafiği olarak bulduğumuz bu noktaların bir doğru üzerinde olduğunu bir cetvel yardımıyla kontrol edebiliriz. Burada tanım kümesinde az sayıda eleman bulunduğundan grafiği oluşturan noktaları tek tek bulmak mümkündür. Tanım kümesinde eleman sayısı çok sayıda hatta sayılamaz sayıda olabilir, bu durumlarda grafiği, fonksiyonu oluşturan tüm ikilileri yazıp daha sonra bunlara karşı gelen noktaları işaretleyerek bulamayız. Ancak tanım kümesine ait sonlu tane 1,,..., n değerleri seçilir ve fonksiyonun bu noktalardaki değerleri olan y 1 = f ( 1 ), y = f ( ),...,y n = f ( n ) bulunduktan sonra düzlemde ( 1, y 1 ),(, y ),...,( n, y n ) ikililerine karşı gelen noktalar düzgün bir eğri ile birleştirilerek y = f () fonksiyonunun grafiği denilen eğri bulunur. Tanım kümesinden ne kadar çok ve ne kadar yaygın eleman seçilirse fonksiyonun gerçek grafiğine o kadar yakın bir eğri bulunur. Daha sonraki ünitelerde inceleyeceğimiz türev kavramından sonra fonksiyonun grafiği daha hassas ve gerçeğe yakın çizilebilecektir. Bazı durumlarda da grafik bilinen bir eğri olabilir, bu durumda bu eğriyi daha kolay çizebiliriz. Örneğin eğer fonksiyon g : IR IR, g () = + 1 ise, bu fonksiyonun grafiğinin bir doğru olduğu ünite 4 de görülecektir. Bu doğru yukarıda bulduğumuz noktaları taşıyan doğrudur. g:ir IR, g()= + 1 Şekil 3.: AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
10? FONKSİ YON KAVRAMI f: IR IR, f () = fonksiyonunun grafiğinin aşağıdaki doğru olduğunu görünüz. f: IR IR, f()= Şekil 3.3: Örnek: A = {-, - 3, -, -1, - 0,5, 0, 0,5, 1,, 3, } olmak üzere, f: A IR, f () = fonksiyonunun grafiğini çizelim. Çözüm: f = {(-, 4), - 3, 3, -,, (-1,1), (- 0,5, 0,5), (0,0), (0,5, 0,5), (1,1),,, 3, 3, (,4)} dir. Fonksiyonu oluşturan ikililerde birinci bileşen bağımsız değişkenini gösterirken ikinci bileşen in f altındaki görüntüsünü, diğer bir deyişle e karşı gelen y değerini ifade ettiğinden fonksiyonu oluşturan ikililer aşağıdaki tablodaki gibi de verilebilir. - - 3 - -1-0,5 0 0,5 1 3 y 4 3 1 0,5 0 0,5 1 3 4 Bu ikililere düzlemde karşı gelen noktalar ve dolayısıyla fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
FONKSİ YON KAVRAMI 103 f: -, - 3, -, -1, -0,5, 0, 0,5, 1,, 3, IR, f = Şekil 3.4: Eğer fonksiyon g: IR IR, g () = olsaydı onun grafiği yukarıda bulduğumuz noktalardan geçen düzgün bir eğri olurdu. Bu eğriye parabol denir. g: IR IR, g()= Şekil 3.5: AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
104 FONKSİ YON KAVRAMI Eğer fonksiyon h : IR IR, h () = - olsaydı bu fonksiyonun grafiği bir önceki g fonksiyonunun grafiğinin -eksenine göre simetriği olurdu. Çünkü (,y) g iken (, -y) h dir. h:ir IR, h()= - Şekil 3.6: Örnek : f: IR + {0} IR, f () = fonksiyonunun grafiğini çizelim. Çözüm: Tanım kümesine ait bazı noktaların görüntülerini bulalım (tanım kümesi negatif olmayan sayılar kümesidir). y 0 0,5 0,5 1 1,44 3 4 5 0 0,5 0,707 1 1, 1,41 1,73,4 Bu tabloya göre, (0, 0), (0,5, 0,5), (0,5, 0, 707), (1, 1), (1,44, ), (, 1,41), (3, 1,73), (4, ), (5,,4) ikililerine karşı gelen noktalar f nin grafiğine aittir (burada irrasyonel sayıların yaklaşık değerlerini aldığımıza dikkat ediniz). Bu ikililere karşı gelen noktalar işaretlendikten sonra bu noktalar düzgün bir eğri ile birleştirilirse, bu fonksiyonun grafiği olan aşağıdaki eğri elde edilir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
FONKSİ YON KAVRAMI 105 f: IR + {0} IR, f()= Şekil 3.7: Örnek: f: IR IR, f () = 3 sabit fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm:Bu fonksiyonun grafiğini çizmek için tablo hazırlamaya gerek yoktur. Çünkü tüm gerçel sayılarının görüntüsü 3 tür. Yani f = {(,3): IR} dir. Bu nedenle fonksiyonun grafiği, şekilde görüldüğü gibi - eksenine paralel bir doğrudur. y 3 NOT: i) Bazı fonksiyonların grafiğini çizmek mümkün değildir. Örneğin Dirichlet fonksiyonu dediğimiz, rasyonel sayıları 1 ile irrasyonel sayıları 0 ile eşleyen fonksiyonun grafiğini çizmek mümkün değildir. ii) Bir fonksiyonun grafiği verildiğinde herhangi bir 0 değerinin bu fonksiyon altındaki görüntüsünü bulabiliriz. Bunun için, 0 noktasından -eksenine dik bir doğru çizilirse bu doğrunun grafiği kestiği noktanın y 0 ordinatı, 0 ın f altındaki görüntüsü olur. y y 0 0 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
106? FONKSİ YON KAVRAMI Düzlemdeki herhangi bir eğri her zaman bir fonksiyon grafiği midir? Eğer -eksenine çizilen her dik doğru eğriyi en çok bir noktada kesiyorsa, bu eğri, uygun bir küme üzerinde tanımlanmış bir fonksiyon grafiği olarak düşünülebilir. Eğer - eksenine çizilen dik doğrulardan bir tanesi dahi eğriyi iki veya daha çok noktada kesiyorsa bu eğri bir fonksiyon grafiği olamaz. Örneğin aşağıdaki şekildeki eğri bir fonksiyon grafiği değildir. y Bir fonksiyonun grafiğini bilirsek, o fonksiyonun bire bir olup olmadığına kolayca karar verebiliriz. Eğer apsisler eksenine paralel olarak çizilen her doğru grafiği en çok bir noktada keserse fonksiyon bire birdir. Eğer apsisler eksenine paralel olarak çizilen doğrulardan bir tanesi dahi grafiği birden fazla noktada keserse fonksiyon bire bir değildir. y y y 0 a b c Bire - bir fonksiyon Bire - bir olmayan fonksiyon f: A B fonksiyonu bire bir ise bu fonksiyonun, f -1 : f (A) A ters fonksiyonunun varlığını biliyoruz. Bu durumda, A, y f (A) olmak üzere, (,y) f iken (y,) f -1 dir. Yani (,y) ikilisine düzlemde karşı gelen nokta f nin grafiğine ait bir nokta iken, (y,) ikilisine karşı gelen nokta f -1 in grafiğine ait bir noktadır. Bu iki nokta birinci ile üçüncü bölgenin açıortay doğrusuna göre simetrik olduğundan f -1 in grafiği, f nin grafiğinin bu açıortay doğrusuna göre simetriğidir. Bu açıortay doğrusu h : IR IR, h () = fonksiyonunun grafiği olduğundan, bu doğru, y = doğrusu olur. O halde, ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
FONKSİ YON KAVRAMI 107 Aynı koordinat sisteminde f -1 ters fonksiyonunun grafiği, f fonksiyonunun grafiğinin y = doğrusuna göre simetriğidir diyebiliriz. y (, y) (y, ) y Örnek: f: IR IR, f () = fonksiyonunun ters fonksiyonunun f -1 : IR IR, f -1 () = olduğunu biliyoruz. Şimdi bu iki fonksiyonun grafiklerini aynı koordinat sisteminde çizelim. f () = fonksiyonunun grafiğine ait bazı noktaları bulalım. y = -3 - -1,5-1 0 0,5 1 1,5 3-6 -4-3 - 0 1 3 4 6 y = fonksiyonunun grafiği çizildikten sonra bu grafiğin y = doğrusuna göre simetriği de y= ters fonksiyonunun grafiğidir. Şekil 3.8: AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
108 FONKSİ YON KAVRAMI Örnek : f: IR IR, f () = 3 fonksiyonunun ters fonksiyonunun 3 f -1 : IR IR, f -1 () = olduğunu yukarıda ifade etmiştik. Şimdi bu iki fonksiyonun grafiğini aynı koordinat siteminde görelim. Şekil 3.9: A IR olmak üzere, f: A IR fonksiyonu verilsin. f fonksiyonunun grafiği bilindiğinde bu fonksiyon yardımıyla tanımlanan g: A IR, g () = f () + a, (a IR), fonksiyonunun grafiği de bulunabilir. Bunun için f nin grafiğini y-ekseni doğrultusunda, a pozitif ise yukarı doğru, a negatif ise aşağı doğru a birim kaydırmak yeterlidir. Çünkü, ( 0, y 0 ) noktası f nin grafiğine ait bir nokta ise, ( 0, y 0 + a) noktası da g nin grafiğine ait bir noktadır. ( 0, y 0 + a) noktası ( 0, y 0 ) noktasının y-ekseni doğrultusunda, a nın işaretine göre a birim kaydırılmışı olduğundan g nin grafiği f nin grafiğinin y-ekseni doğrultusunda a birim kaydırılmışıdır. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
FONKSİ YON KAVRAMI 109 Şekil 3.10: Örnek: g: IR IR g () = + fonksiyonunun grafiğini çizelim. Çözüm: Bu fonksiyonda f () = ve a = alabiliriz. Buna göre, g nin grafiği f nin grafiğinin y ekseninin pozitif yönünde (yukarı doğru) birim kaydırılmışıdır. Şekil 3.11: AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
110? FONKSİ YON KAVRAMI y = 3-1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Cevabınız şu şekilde olmalıydı. Şekil 3.1: f fonksiyonunun grafiği bilindiğinde bu fonksiyon yardımıyla tanımlanan g () = f ( a), (a IR) fonksiyonunun grafiği bulunabilir. g nin grafiği, f nin grafiğinin ekseni doğrultusunda a birim, a pozitif ise sağa doğru, a negatif ise sola doğru kaydırılmışıdır. Çünkü bir ( 0, y 0 ) noktası f nin grafiğine ait ise y 0 = f ( 0 ) demektir. Yani f nin 0 daki değeri y 0 dır. g fonksiyonu aynı y 0 değerini 0 + a noktasında alır, çünkü g ( 0 + a) = f ( 0 + a a ) = f( 0 ) dır. Buna göre, ( 0 + a, y 0 ) noktası g nin grafiğine aittir. ( 0 + a, y 0 ) noktası ( 0, y 0 ) noktasının - ekseni doğrultusunda a nın işaretine göre a birim kaydırılmışı olduğundan, g nin grafiği f nin grafiğinin ekseni doğrultusunda a birim kaydırılmışıdır. Örnek: a) y = (-1) 3 b) y = ( + ) fonksiyonlarının grafiklerini çiziniz. Çözüm: a) f () = 3 ve a = 1 alınabilir. Buna göre, y = (-1) 3 fonksiyonunun grafiği, y = 3 fonksiyonunun grafiğinin -ekseni doğrultusunda ve pozitif yönde (sağa doğru) 1 birim kaydırılmışıdır. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
FONKSİ YON KAVRAMI 111 Şekil 3.13: b) f () = ve a = - alınabilir. Buna göre y = ( + ) fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir. Şekil 3.14: AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
11 FONKSİ YON KAVRAMI f fonksiyonunun grafiği bilindiğinde bu fonksiyon yardımıyla tanımlanan g () = f ( -a) + b, ( a,b IR) fonksiyonunun grafiğini bulabiliriz. g fonksiyonunun grafiği, yukarıdaki iki kaydırma işlemi yardımıyla kolayca bulunabilir. Bunun için f nin grafiği önce -ekseni doğrultusunda, yöne de dikkat ederek, a birim kaydırılır, daha sonra elde edilen yeni grafik y- ekseni doğrultusunda yine yöne dikkat ederek b birim kaydırılır. Örnek: g() = ( + 1) + 3 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm: Burada f () =, a = -1, b = 3 alabiliriz. Bu nedenle y = fonksiyonunun grafiği önce -ekseni doğrultusunda sola doğru 1 birim kaydırılır, daha sonra yeni grafik y-ekseni doğrultusunda yukarı doğru 3 birim kaydırılırsa g nin grafiği elde edilir. Şekil 3.15:? y = (-) - 1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
FONKSİ YON KAVRAMI 113 Cevabınız aşağıdaki gibi olmalıdır. Şekil 3.16: f 1 : IR IR ve f : IR IR fonksiyonları verilsin. f = f 1, a ise f, > a ise veya f = f 1, < a ise f, a ise gibi tanımlanan f: IR IR fonksiyonuna parçalı tanımlı fonksiyon denir. Tanımdan görüldüğü gibi f(), ın a ya kadar olan değerlerinde f 1 () e, a dan sonraki değerlerinde ise f () e eşittir. Parçalı tanımlı fonksiyonun grafiğini çizmek için in a ya kadar olan değerleri için y= f 1 () in, in a dan sonraki değerleri için ise y= f () in grafiğini çizmek gerekiyor. Benzer yolla iki tane yerine, sonlu tane fonksiyonlarla belirlenen parçalı fonksiyonlar tanımlanabilir. Aşağıda tanımlarını vereceğimiz mutlak değer, tam değer ve işaret fonksiyonları parçalı fonksiyonlardır. f: IR IR, f()= fonksiyonuna mutlak değer fonksiyonu denir. Şimdi mutlak değer fonksiyonunun grafiğini çizelim. f : IR IR, f = =, 0 ise, -, < 0 ise, AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
114 FONKSİ YON KAVRAMI yazılabilir. Bu yazıma göre, grafik, 0 için y= olduğundan y= doğrusunun I. bölgedeki parçası ile, < 0 için y= - olduğundan y= - doğrusunun ikinci bölgedeki parçasından oluşur. f: IR IR, f()= Şekil 3.17:? f: IR IR, f()= -, g: IR IR, g()= - + fonksiyonlarının grafiklerinin aşağıdaki biçimde olduğunu görmeye çalışınız. f: IR IR, f()= - Şekil 3.18: ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
FONKSİ YON KAVRAMI 115 g: IR IR, g()= - + Şekil 3.19: Bir IR sayısı verilsin. den büyük olmayan (yani küçük veya eşit) en büyük tam sayıya in tam değeri denir ve [] biçiminde gösterilir. Örneğin [ 1, 5 ]= 1, [ 0, 9 ]= 0, [ π ]= 3, [ - π ]= - 4, - 1 [ 0 ]= 0, [ - ]= -, [ 100 ]= 100. = - 1, f: IR IR, f()= [ ] fonksiyonuna tam değer fonksiyonu denir. Bu fonksiyonunun grafiği sonsuz basamaklı bir merdivene benzer. Bunun hakkında bir fikir vermek için, g: [- 1, ] IR, g()= [ ] fonksiyonunun grafiğini çizelim. -1 < 0 ise [ ]= -1 olduğundan g()= -1 0 < 1 ise [ ]= 0 olduğundan g()= 0 1 < ise [ ]= 1 olduğundan g()= 1 = ise [ ]= olduğundan g()= dir. Buna göre g nin grafiği aşağıdaki gibidir. y 1-1 1-1 g: [-1, ] IR, g()= [ ] Şekil 3.0: AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
116 FONKSİ YON KAVRAMI f : IR IR, f = 1, > 0 ise 0, = 0 ise -1, < 0 ise fonksiyonuna işaret fonksiyonu denir. Bu fonksiyonun grafiğinin aşağıdaki biçimde olduğu kolayca görülebilir. y 1-1 İşaret fonksiyonu f()= sgn gibi de gösterilir. Değerlendirme Soruları 1. Alanı 10 birim kare, bir taban uzunluğu 4 birim olan bir yamuğun yüksekliğini diğer tabanının uzunluğunun bir fonksiyonu olarak yazımı aşağıdakilerden hangisidir? A. B. C. D. E. 0 4-4 + 0 0 4 + 5 5. Kenar uzunluğu cm ( > 4) olan bir karenin her köşesinden, kenar uzunlukları cm olan küçük kareler kesilip çıkarılmış ve sonra kenarlar kıvrılarak üstü açık bir kutu yapılmıştır. Bu kutunun hacminin (cm 3 ) in fonksiyonu olarak yazımı aşağıdakilerden hangisidir? A. + 16 + 3 B. + 3 C. + 16-3 D. + 16 E. - 16 + 3 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
FONKSİ YON KAVRAMI 117 3. f = - 3 + 4-1 fonksiyonunun tanım kümesi hangisidir? A. IR B. 1 3, 1 C. IR + D. 1 3, 1 E. (-, 1] 4. f = 1 fonksiyonunun tanım kümesi hangisidir? 1 - A. [-1, 1] B. [0, 1] C. - 1, 1 D. (-1, 1) E. (-1, 0) 5. f: IR IR, f() = - + fonksiyonunun görüntü kümesi hangisidir? A. IR B. [1, ) C. IR + {0} D. (-, 1] E. (-, 0] 6. f: IR IR, f() = - fonksiyonu görüntü kümesi hangisidir? A. (-, ] B. (-, ) C. IR D. IR + {0} E. IR - {0} 7. f: IR IR, f() = + için f( - 1) - f(-) aşağıdakilerden hangisidir? A. B. C. D. 0 E. - 1 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
118 FONKSİ YON KAVRAMI 8. f : IR - 0 IR, f = + 1 için f - f 1 hangisidir? A. B. 1 C. - D. 0 E. + 1 9. f: A IR, f() = - fonksiyonu verilsin. A kümesi aşağıdakilerden hangisi olduğunda bu fonksiyon A üzerinde bire-birdir? A. [1/, ) B. IR + {0} C. [-1, ) D. [1, ) E. (-, ] 10. f: [-1, ) B, f()= fonksiyonu verilsin. B kümesi aşağıdakilerden hangisi olduğunda bu fonksiyon örtendir? A. [1, 4] B. [0, 4] C. (1, 4) D. [0, 4) E. (0, ) 11. f: IR IR, f() = + 1, g: IR IR, g() = sgn (işaret fonksiyonu) verilsin. (gof) () hangisidir? A. B. 1 C. 0 D. + 1 E. 1. f() = - 1 fonksiyonu için (fof) (-) =? A. 0 B. 1 C. 3 D. 8 E. 9 13. f = fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A. IR B. [1, ) C. (-, 0) [1, ) D. (1, ) E. (0, ) ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
FONKSİ YON KAVRAMI 119 14. f: (-, a] IR, f() = ( - 1) fonksiyonu verilsin. f fonksiyonunun (-, a] üzerinde bire-bir olmasını sağlayacak en büyük a değeri hangisidir? A. - B. - 1 C. 0 D. 1 E. 15. f : IR - 0 IR, f = - 1 fonksiyonunun görüntü kümesi hangisidir? A. (-, 0) B. IR- {0} C. IR D. [-1, ) E. (-, -1] Değerlendirme Sorularının Yanıtları 1. C. E 3. B 4. D 5. B 6. A 7. D 8. D 9. D 10. D 11. B 1. D 13. C 14. D 15. A AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ