T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ZORN LEMMA

Transkript

1 T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ZORN LEMMA ESRA BOSTANCI NEDİM YAMİ ÖYKÜ ÖZÇAKIR ÇANAKKALE-2012

2 İÇERİK ÖNSÖZ ÖNBİLGİLER Kısmi Sıralı Kümeler Tam Sıralı Kümeler Alt Sınır-Üst Sınır Maksimal- Minimal Elemanlar ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER SEÇME AKSİYOMU ZORN LEMMA YA GİRİŞ İYİ SIRALAMA ZORN LEMMA NIN EŞDEĞERLERİ Seçme Aksiyomu Zorn Lemma İyi Sıralama Teoremi KAYNAKÇA

3 ÖNSÖZ Bu kitap, Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi Matematik Bölümü nde lisans dersi olarak okutulan Cebirden Seçme Konular dersinde Zorn Lemma konusunu öğrencilere anlatabilmek amacıyla dördüncü sınıf öğrencileri tarafından hazırlanmıştır. Zorn Lemma ve Lemma nın kullanımı matematik öğrencilerinin en zorlandıkları konulardan biridir. Zorn Lemma matematikte merkezi bir öneme sahiptir ve Seçim Beliti nin en önemli ve en çok uygulanan sonucudur. Zorn Lemma kabaca çıplak gözle görülemeyen ve hiçbir zaman da görülmeyecek matematiksel nesnelerin bazı koşullarda varlığını söyler. Bu yazıda Zorn Lemma nın anlamını örneklerle açıklayacağız. Kitabımız uzun bir çalışmadan sonra titizlikle hazırlanmıştır. Kitabı hazırlarken gösterdiğimiz özveriye rağmen, yanlışlar ve unutulmuş noktalar bulunabilir. Okurlarımızın yapacağı her türlü eleştiri ve önerileri memnuniyetle karşılayacağımızı bildirir, saygı ve sevgilerimizi sunarız. Öğr. Esra BOSTANCI Öğr. Nedim YAMİ Öğr. Öykü ÖZÇAKIR 3

4 ÖNBİLGİLER KISMİ SIRALI KÜMELER TANIM : A bir küme ve β, A üzerinde bir bağıntı olsun. Eğer β nın yansıma, ters simetri ve geçişme özellikleri varsa, β ya bir kısmi sıralama bağıntısı denir. Üzerinde bir kısmi sıralama bağıntısı bulunan kümeye kısmi sıralı küme denir. En çok karşımıza çıkan kısmi sıralama bağıntısı sayılarda bağıntısı olduğundan, bundan sonraki yapacağımız her işlemde aksi belirtilmedikçe, kısmi sıralama bağıntılarını küçük eşit ile göstereceğiz., A üzerinde kısmi sıralama bağıntısı ise aşağıdaki koşulları sağlar. i) x ε A için x x dir. (yansıma) ii) x, y ε A için x y ve y x ise x = y dir. (ters simetri) iii) x, y, z ε A için x y ve y z ise x z dir. (geçişme) TAM SIRALI KÜMELER TANIM : ( ) A üzerinde kısmi sıralama bağıntısı olsun. (A, ) kısmi sıralı kümesinin herhangi iki elemanı x, y ε A için x y veya y x ise x ve y elemanları karşılaştırılabilir elemanlardır denir. TANIM : (A, ) kısmi sıralı kümesinin tüm elemanları karşılaştırılabilir ise (A, ) ya tam sıralı yapı, e kısmi sıralama bağıntısı, A ya da tam sıralı küme denir. TANIM : (A, ) kısmi sıralı bir yapı olsun. B A ve B tam sıralı bir küme ise B ye A içinde zincir denir. DENK TANIM : (A, ) kısmi sıralı bir yapı olsun.. B A ve x, y ε B için x ve y karşılaştırılabilir eleman ise B ye A içinde zincir denir. ALT SINIR ÜST SINIR TANIM : (A, ) kısmi sıralı yapı, B A ve a, b ε A olsun. Eğer ; i) x ε B için a x ise a elemanına B nin alt sınırı dır ve B ye alttan sınırlı dır. ii) x ε B için x b ise b elemanına B nin üst sınırı dır ve B ye üstten sınırlı dır. MAKSİMAL MİNİMAL ELEMANLAR TANIM : A bir kısmi sıralı küme, B A ve a, b ε B olsun. Eğer ; i) x ε B için a x ise a elemanı B nin en küçük elemanıdır. (minimal) ii) x ε B için x b ise b elemanı B nin en büyük elemanıdır. (maksimal) 4

5 ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER ÇÖZÜM: A = {1, 2, 3} kümesinde; a) Yansıyan, simetrik ve ters simetrik, b) Simetrik olmayan ve ters simetrik, c) Simetrik fakat ters simetrik olmayan bir bağıntı yazınız. a) β = {(1, 1)(2, 2)(3, 3)} bağıntısı; A da yansıyan, simetrik ve ters simetrik bir bağıntıdır. b) β = {(1, 1)(1, 2)(1, 3)} bağıntısı; simetrik değil, fakat ters simetriktir. c) β = {(1, 2)(2, 1)} bağıntısı; simetrik fakat ters simetrik değildir. C = {3, 6, 9, 12, 18, 27} kümesinde, x y x y ile tanımlandığına göre C nin minimal ve maksimal elemanlarını bulunuz. ÇÖZÜM: (C, ) sıralı bir küme olup şeması aşağıdaki gibidir. Bu şemada 3 ün tek minimal eleman dolayısıyla en küçük eleman olduğu görülür. Maksimal elemanlar {12, 18, 27} olup, en büyük elemanı yoktur A = {a, b, c, d, e, f, g} ve B = {c, d, e} ise aşağıdaki sıralamaya göre; i. A nın minimal elemanları {a, b} ii. A nın maksimal elemanları {g, f} iii. B nin tek alt sınırı {a} iv. B nin üst sınırları {g, e, f} v. supb=e ve inf B=a dır. g f e d c a b 5

6 Q rasyonel sayılar üzerinde bilinen bağıntısı ve A ={ x Q x 3 < 3 } alt kümesi veriliyor. A kümesi üstten ve alttan sınırlı mıdır? ÇÖZÜM: Q rasyonel sayılar kümesi ve A ={ x Q x 3 < 3 } olsun., Q üzerinde bilinen kısmi sıralama bağıntısı olmak üzere, 3 3 içindedir. den büyük her rasyonel sayı a nın bir üst sınırıdır. Örneğin 2, 5 2, 3, A kümesi alttan sınırlı değildir. Çünkü negatif bütün rasyonel sayılar A kümesini SEÇME AKSİYOMU X = {1,2}, {3,4}, {5,6}, yani X bir küme elemanları bir n doğal sayısı için {2n + 1, 2n + 2} biçimindedir. X in her elemanı iki doğal sayıdan oluştuğuna göre X in her elemanından bir eleman seçmek için bu doğal sayıların en büyüğü seçilebilir. {1,2} den 2 yi, {3,4} ten 4 ü ve genel olarak {2n + 1, 2n + 2} den 2n + 2 elemanı seçilebilir. TANIM : Elemanları boş olmayan kümelerden oluşan X kümesi üzerinden öylebir f fonksiyonu tanımlanmalıdır ki, x ε X için f(x)ε X olsun. Böyle fonksiyona X in seçim fonksiyonu denir. ÖRNEK : P(A), A nın boş olmayan alt kümelerinden oluşan küme olsun. P(A) = P(A)\{ } P(A) kümesinin bir seçim fonksiyonunu bulmaya çalışalım. ÇÖZÜM : Eğer A nın n elemanı varsa, P(A) kümesinin 2 n 1 tane elemanı vardır. Böyle bir sonlu kümeden seçme fonksiyonu tanımlanabilir. ÖRNEK: P(N) kümesinin seçim fonksiyonunu inceleyelim. Boş olmayan bir doğal sayı kümesinden kolaylıkla bir eleman seçilebilir; örneğin kümenin en küçük elemanı seçilsin. {1,5,8} kümesinden 1 i {0,2,4, } kümesinden 0 ı {2,3,5,7, } kümesinden 2 yi seçeriz. Yani seçim fonksiyonuna f dersek ; f({1,5,8}) = 1 ε {1,5,8} f({0,2,4, }) = 0 ε {0,2,4, } f({2,3,5,7, }) = 2 ε {2,3,5,7, } olur. 6

7 ÖRNEK : P(R) kümesinin seçim fonksiyonunu inceleyelim. Diğer iki örnekte her seferinde bir seçim fonksiyonu bulundu. Bu kümenin bir seçim fonksiyonu vardır ancak, açık bir şekilde fonksiyon tanımlamak mümkün değildir. Bu kümenin bir seçim fonksiyonunun olduğu ancak şu aksiyomla kanıtlanabilir. Seçim Aksiyomu: Elemanları boş olmayan kümelerden oluşan her kümenin bir seçim fonksiyonu vardır. Bu aksiyom kullanılarak P(R) kümesinin bir seçim fonksiyonu olduğu kanıtlanabilir. Ama seçim fonksiyonunun kuralı bulunamaz. Yani açık bir şekilde seçim fonksiyonu yazılamaz. ZORN LEMMA YA GİRİŞ Kesirli sayılar kümesi Q nun çıkarma altında kapalı ve 1 i içermeyen maksimal kümesi araştırılacaktır. Yani öyle bir eleman M Q kümesi bulunmalıdır ki; 1. x, y M için x y M olsun sayısı M de olmasın. 3. M, Q nun yukarıdaki iki koşulu sağlayan maksimal bir altkümesi olacaktır. Şimdi amacımız maksimal koşulundan vazgeçip (1) ve (2) koşulunu sağlayan M ile Q arasında kalan, Q nun bir altkümesini bulmaktır. Örneğin; {0} ve bu tür kümelerdendir. A 0 Q olmak üzere (1) ve (2) özelliklerini sağlayan bir küme olsun. Eğer A 0 (1) ve (2) koşulunu sağlayan maksimal bir küme ise ispat biter. Aksi takdirde (1) ve (2) koşulunu sağlayan A 0 dan daha büyük bir A 1 Q vardır. Bu işlem bu şekilde devam ettirilirse; A 0 A 1 A 2 A 3 A n kümeleri elde edilir. A n ilk iki koşulu sağlayan, maksimal bir küme değilse işleme devam edilir. Bütün bu A n lerin bileşimini alırsak; n N için n N A n kümesi A n den daha büyük bir küme olur. n N için 1 A n n N için 1 n N A n olur. n N A n = A w dersek; i. A w nun 1 i içermediğini biliyoruz. ii. A w nin çıkarma altında kapalı olduğunu gösterelim. Herhangi x, y A w olsun. Bu iki eleman A w de olduğundan x veya y A n lerden birindedir. Her ikiside A n de bulunmayabilir. 7

8 Kabul edelimki x A n ve y A m olsun. Dolayısıyla n m veya m n olur. x ve y simetrik olduğundan n m alabiliriz. Yani A n A m olur. x, y A m olduğundan x y A m dir. O halde A m çıkarma altında kapalıdır. x A n A m x A m A m A w olduğundan x y A m A w x y A w dir. Böylece A w kümesinin çıkarma altında kapalı olduğunu kanıtlamış olduk. Yani A w bir sonraki aşama için alınabilir. A w kümesi A n lerin kümesinden daha büyüktür. (1) ve (2) koşullarını sağlayan A w kümesi maksimal bir küme ise ispat biter. Aksi durumda; A w A w+1 A w+2 A w+n zincirinin elemanlarından hiçbiri 1 i içermeyen ve çıkarma altında kapalı maksimal bir küme degilse ; olsun. İstenilen kümeye ulaşabilecek miyiz? n N A w+n = A w2 Aranılan kümelerden biri M Q yu alalım. M = pa : a, b Z ve p b b yi bölemiyor p herhangi bir asal sayı olsun. 1. M çıkarma altında kapalıdır M dir. Çünkü ; kabul edelimki 1 M olsun. a, b Z için 1 = pa b 1 = pa b pa = b p b olur. Kümenin tanımıyla çelişir. O halde 1 M dir. M, Q nun ilk iki özelliğini sağlayan maksimal bir alt kümesi olduğu kanıtlanmalıdır. N, M den büyük ve çıkarma altında kapalı herhangi bir kesirli sayılar kümesi olsun. 1 ε N ise ispat biter. LEMMA : Eğer N çıkarma altında kapalıysa ve boş küme değilse ; o zaman 0 ε N ve N toplama altında kapalıdır. Ayrıca N de olan bir elemanın eksiliside N dedir. İSPAT : N olduğundan en az bir elemanı vardır. a, b ε N herhangi iki elemanı olsun. N çıkarma altında kapalı olduğundan 0 = a a ε N a = 0 a ε N a + b = a ( b) ε N 8

9 SONUÇ : N ve M, Q nun çıkarma altında kapalı iki alt kümesi olsun. M N olduğundan ve x ε M ise o zaman M + Z x N dir. TEOREM : M, 1 i içermeyen ve çıkarma altında kapalı maksimal kesirli sayı kümesidir. İSPAT : N, M nin çıkarma altında kapalı herhangi bir üst kümesi olsun. N de olan ama M de olmayan bir x kesirli sayısı vardır. a, b ε Z için x = a olsun. b a ve b birbiriyle asal olabilir. x M p a p ve a asaldır. (p, a) = 1 pu + av = 1 u, v ε Z pu + (bx)v = pu + b a b v = pu + av = 1 (pu = pu 1 ε M, v, b, x ε Z x) 1 = pu + (bx)v ε M + Z x N olur. Böylece M nin özalt kümesi olduğu çıkarma altında kapalı her kesirli sayı kümesinin 1 i içermek zorunda olduğunu kanıtlamış olduk. M, 1 i içermeyen ve çıkarma altında kapalı olan Q nun maksimal alt kümesidir. Çıkarma altında kapalı ve 1 i içermeyen gerçel sayılar kümesi araştırılacaktır. R nin alt kümelerini inceleyelim. R nin bir tür alt kümelerini eleman olarak içeren küme Z olsun. Z kümesinin zincir özelliği adı verilen şu özelliği vardır: Eğer T Z ise ve A, B ε T için ya A B yada B A ise, o zaman T nin elemanlarının bileşimi olan x T X kümesi de Z dedir. 9

10 Bunu ispatlayalım; i. Eğer x T X kümesi 1 i içerseydi, T nin herhangi bir A elemanıda 1 i içermek zorunda olacaktı. A ε T Z olduğundan 1 x T X dir. Z de 1 elemanı bulunmadığına burdan ulaşabiliyoruz. ii. x T X çıkarma altında kapalı mıdır? a, b ε x T X biliyoruz. iki eleman olsun. a ε A ve b ε B olarak alalım. A, B ε T olduğunu A B ya da B A ( T zincir olduğundan) Varsayalım ki B A olsun. (a ve b açısından simetrik olduğundan dolayı) b ε B A, a ε A b ε A, a ε A a, b ε A a b ε A O halde A çıkarma altında kapalı kümedir. A x T X olduğundan A çıkarma altında kapalı olduğu için x T X de çıkarma alında kapalıdır. Yani ; a b ε x T X dir. Z nin A, B ε T için ya A B ya da B A özelliğini sağlayan T altkümeler zinciri olur. Yani Z nin her zincirinin birleşimi gene Z dedir. Bu özelliği Z nin sayılabilir sonsuzlukta elemanı olan zincirleri için kullanılmıştı. Birazdan yazılacak olan Zorn Lemma da Z nin sayılabilir ya da sayılamaz sonsuzluktaki tüm zincirlerini ele alınması gerekecektir. x T X i T olarak gösterebiliriz. T, Z nin herhangi bir zinciriyse, Z de T nin her elemanından büyük eşit bir eleman vardır. Yani; T Z bir zincirse T Z dedir. T nin her elemanından büyük eşittir. ZORN LEMMA: (Z, ) kısmi sıralı bir küme olsun. Eğer Z ve Z nin her zincirinin bir üst sınırı varsa o zaman Z nin bir maksimal elemanı vardır. ÖRNEK: Gerçel sayılar kümesi R nin çıkarma altında kapalı ve 1 i içermeyen maksimal bir altkümesi vardır. ÇÖZÜM: Burada Zorn Lemma yı kullanacağız. Z = A R A çıkarma altında kapalı ve 1 A olsun. (Z, ) kısmi sıralamasının Zorn Lemma koşullarını sağladığı gösterilecektir. {0} Z olduğundan Z dir. 10

11 T Z bir zincir olsun. T, T nin her elemanının bir üst kümesi olduğundan T Z T, T nin bir üst sınırıdır. 1) T çıkarma altında kapalı olmalıdır. x, y T olsun. Bu iki eleman T nin elemanlarından birindedir. Ama ikisi birden aynı elemanda olmayabilir. A, B T için x A ve y B olsun. T zincir olduğundan A B ya da B A dır. Durum x ve y açısından simetrik olduğundan A B ilişkisini varsayalım. 2) T 1 i içermemelidir. x A B x, y B x y B B çıkarma altında kapalıdır. B T olduğundan x y T T çıkarma altında kapalıdır. T, T nin elemanlarından oluştuğundan 1 T dir. Dolayısıyla 1 T dir. Yani Z kümesinden alınan T zincirinin üst sınırı yine Z dedir. Dolayısıyla R nin çıkarma altında kapalı ve 1 i içermeyen maksimal bir altkümesi vardır. İYİ SIRALAMA TANIM : X bir küme olsun, ayrıca X in üstünde simgesiyle gösterilen bir kısmi sıralama bağıntısı olsun. Her A X alt kümesi için öyle bir a ε A vardır ki x ε A için a x bu özelliği sağlayan (X, ) sıralamalarına iyi sıralama denir. sıralamasıyla iyi sıralanmıştır. DENK TANIM : Kısmi sıralı bir kümenin boş olmayan her altkümesinin en küçük elemanı varsa bu kümeye iyi sıralı denir. İyi Sıralama Teoremi: Her kısmi sıralı küme iyi sıralanabilir. ÖRNEK : sıralamasıyla N, iyi sıralı bir kümedir. Z ise iyi sıralı değildir. Z nin aşağıda verilen sıralaması tam sıralama ve bu sıralama ile Z iyi sıralıdır. 0, 1, -1, 2, -2,, n, -n, Burada x y olması için gerek ve yeter koşul x in y ye göre solda bulunmasıdır. 11

12 ZORN LEMMA NIN EŞDEĞERLERİ 1. SEÇME AKSİYOMU 2. ZORN LEMMA 3. İYİ SIRALAMA TEOREMİ Seçme Aksiyomu Zorn Lemma X hiçbir elemanı boş olmayan bir küme olsun. B X için f: B xεb x seçme fonksiyonu olsun. xεb x Z = ( X, ) kısmi sıralanmıştır. T X, Z de zincirse T de T zincirinin bir üst sınırdır ve seçme fonksiyonundan Z, Zorn Lemma nın koşullarını sağlar. Zorn Lemma İyi Sıralama Teoremi Zorn Lemma doğruysa her küme iyi sıralanabilir. İSPAT : A ve A içindeki bütün iyi sıralı alt kümelerin ailesine Z diyelim. A üzerinde iyi sıralı bir bağıntı olduğu gösterilmelidir. Z = { ( X, k ) X A, k X üzerinde iyi sıralama } Z den X A için ( X, ) ve ( X, 1 ) gibi iki tane iyi sıralama olabilir. Z ye Zorn Lemma uygulanacaktır, ancak Zorn Lemma kısmi sıralanmış kümelere uygulanabilir. Dolayısıyla önce Z kısmi sıralanmalıdır. Z nin kısmi sıralaması : (X, 1 ) ve(y, 2 ) Z den iki eleman olsun. Eğer (X, 1 ) iyi sıralanan küme ile (Y, 2 ) iyi sıralanan küme ; 1. X Y 2. x 1, x 2 ε X ise x 1 1 x 2 x 1 2 x 2 3. x ε X, y ε Y\X ise x 1 2 y 2 Koşulları sağlanıyorsa, o zaman (X, 1 ) ye (Y, 2 ) den küçük eşit denir ve (X, 1 ) (Y, 2 ) olarak gösterilir. (X, 1 ) (Y, 2 ) olduğunda, ikinci koşuldan dolayı sıralamaların ikisini de aynı simgeyle (örneğin ile) gösterilir. Z üzerinde tanımlanan bağıntısı ; 12

13 i. (X, ) (X, ) ii. (X, ) (Y, ) ve (Y, ) (X, ) ise X=Y iii. (X, ) (Y, ) ve (Y, ) (Z, ) ise (X, ) (Z, ) Sağladığından (Z, ) kısmi sıralı kümedir. Z nin Zorn Lemma nın koşullarını sağladığını gösterelim. 1. Z olduğunu gösterelim. a ε A için X = {a} alınırsa tek nokta kümesi üzerinde en az bir iyi sıralama bağıntısı olacağından (X, k ) Z öyleyse Z dır. 2. Z den bir T zinciri alalım. T nin elemanları (X, x ) biçimindedir. Y = (X, ) X, Y nin iyi sıralı olduğunu gösterilmelidir. u, v ε Y ise u U, v V olan (U, u ) ve (V, v ) ε T vardır. T zincir olduğundan U V ya da V U dur. Y üzerindeki bağıntıyı ; u v u v v, U V ise u u v, V U ise olarak tanımlayalım. Burada hem u yu hem de v yi içeren bir (V, v ) kullanıldı. tanımının bu seçimden bağımsız olduğunun gösterilmesi gerekir. Yoksa tanım kabul edilir bir tanım olmaz. Diyelim ki u aynı zamanda T nin bir (W, w ) elemanında olsun. T zincir olduğundan V W ya da W V olan kıyaslanabilirlik özelliği vardır. V W ise u w v dir W V ise u v v dir. Yani u ve v nin ikisini birden içeren herhangi bir (U, u ) ε T alınırsa yine aynı bağıntı elde edilir. (Y, ) kısmi sıralama olduğunu göstermek için x, y, z Y alınırsa bunların üçünün de bulunduğu bir (U, u ) ε T vardır. O zaman Y kümesi üzerindeki bağıntısını u olarak alabiliriz. (U, u ) bir kısmi sıralama olduğundan (Y, ) bir kısmi sıralama olur. Y nin iyi sıralı bir küme olduğunu göstermeliyiz. B, Y nin boş olmayan herhangi bir alt kümesi olsun. B nin en küçük elemanı bulunmalıdır. 13

14 x B olsun, x Y olur. Belli bir (U, u ) ε T için x U olur. U B kümesi U nun boş olmayan bir alt kümesidir. (x i içerir.) B nin en küçük elemanı aranır. U B dir. (U, u ) ε T Z ise (U, u ) ε Z dır. (U, u ) iy sıralamalı olduğundan U B de u ya göre bir en küçük elemanı vardır. b ε B alalım. b nin B kümesinin en küçük elemanı olduğu kanıtlanmalıdır. a ε B olmak üzere (b a sonucuna varılmalıdır ) Hem a ve hemde b yi elemanlarını içeren herhangi bir (V, v ) ε T alalım. Buna göre b v a olduğu gösterilmelidir. Kabul edelim ki a v b olsun. U, V ε T ve T zincir olduğundan U V ya da V U olacak biçimde karşılaştırılabilirlik özelliği vardır. V U aεu, U V ise (3) özelliğinden a ε U olur. aεu B de ve a v b olduğundan b den daha küçük bir eleman vardır. Dolayısıyla b nin tanımıla çelişir. Kabulumuz yanlıştır. b v a olduğu gösterilmiştir. Yani b a dir. O halde Y iyi sıralı kümedir. (Y, ) Z dir. (Y, ) zincirinin bir üst sınırı olduğu gösterilir. Yani (X, x ) ε T için (X, x ) (Y, ) olduğu gösterilmelidir. Bu özelliklerin sağlandığını kolayca gösterebiliriz. 1. Y = (X, x )εt X olduğunda Y X dir. 2. x, y X x x y x y (Bu da Y üzerindeki bağıntısının özelliğidir. ) 3. x ε X, y ε Y\X ise x y olduğu gösterilmelidir. Hem x hem y yi eleman olarak içeren bir (U, u ) ε T vardır. Y üzerindeki ilişkisinden dolayı y u x ise x y olur. Bu üç koşul sağlandığından (X, x ) (Y, ) olur. O halde (Y, ) zincirin bir üst sınırıdır. T zinciri keyfi idi. (Z, ) kısmi sıralı küme içindeki her zincirin bir üst sınırının olduğu görülür. Zorn Lemma gereğince (Z, ) nin bir maksimal elemanı vardır. Buna (Y, ) diyelim. Y = A olduğunu göstermeliyiz. Y A olsun. 14

15 a Y ve a ε A olsun. Y = {y 1, y 2 } olsun. Y 1 = {y 1, y 2, a} (Y, ) iyi sıralanmış olduğunu biliyoruz. y 1 y 2 a a elemanı en sona konulursa (Y 1, ) iyi sıralı olur. Y Y 1 dir. İki küme üzerinde aynı bağıntı vardır. y 1 ε Y, a ε Y 1 /Y ise y 1 a koşullarını sağladığından (Y, ) (Y 1, ) olur. (Y, ) kümesi (Z, ) nin maksimal elemanı idi.ondan daha büyük bir eleman bulundu ve çelişki elde edilir. O halde kabulumüz yanlıştır. Y = A olur. A kümesi bağıntısı üzerinde iyi sıralanmıştır. A keyfi idi. Her küme iyi sıralanabilirdir. İyi Sıralama Seçme Aksiyomu İyi sıralama teoremi doğruysa, seçim aksiyomu da doğrudur. X, hiçbir elemanı boş olmayan bir küme olsun. A = YεX Y olsun. A, X in elemanlarından oluşur ve X in her elemanı A nın bir altkümesi olur. Varsayıma göre A iyi sıralanabilirdir. Y, A nın boş olmayan bir altkümesi olduğundan, Y nin en küçük elemanı vardır. Y den işte bu en küçük eleman seçilir. f(y), Y nin en küçük elemanı olsun. Böylece f(y) ε Y olur ve ƒ bir seçim fonksiyonudur. ÖRNEK: R birimli ve değişmeli bir halka ve I, R nin ideali olsun.o zaman R nin I yı kapsayan bir maksimal ideali vardır.gösteriniz. ÇÖZÜM: Z={ J, R nin ideali : I J ve J R } olsun. (Z, ) kümesi kısmi sıralı kümedir. I ε Z olduğundan Z. Zorn Lemma yı uygulamak için Z nin her zincirinin bir üst sınırı olduğu gösterilmelidir. (J k ), kϵ N, Z den alınmış herhangi bir zincir olsun. Zincir tanımından ; k, l ε N için J k J l veya J l J k olduğu bilinmektedir. kε N J k ε Z olduğu gösterilmelidir. 15

16 ve idealinin J *Kısmi sıralama tanımına göre k N için J k kε N J k olduğundan I kε N J k * kε N J k nın bir ideal olduğu gösterilmelidir. a, b ε kε N J k ve r ε R olsun. a ε J k, b ε J l k,l ε N ve J l R k olsun. O zaman hem a hem de b J k nın elemanı olur. J k bir ideal olduğundan a b ε J k kε N J k R r.a ε kε N J k olduğundan kε N J k kümesi bir idealdir. *Son olarak kε N J k R R ye eşit olmadığı gösterilmelidir. 1 R R, 1 R J J R olduğunu bilinmektedir. J k ideallerinin hiçbiri R ye eşit olmadığından 1 R elemanını bulundurmazlar dolayısıyla 1 R, J k ların bileşiminde de bulunmaz. Yani, 1 R kε N J k olduğundan kε N J k R Zorn Lemma nın koşullarını gerçekleştirdiğinden Zorn Lemma uygulanabilinir. Z kümesinin maksimal elemanı vardır ve bu maksimal eleman maksimal idealdir. Aynı zamanda I yı içerir. 16

17 KAYNAKÇA Günen, Z., Soyut Matematiğe Giriş, T. C. Dokuz Eylül Üniversitesi Yayınları, İzmir, Çallıalp, F., Soyut Matematik, T. C. İstanbul Teknik Üniversitesi Yayınları, İstanbul, Nesin A., Aksiyomatik Kümeler Kuramı. Online. 2012, Matematik Dünyası Dergisi 2006-II, 2005-Kış Hungerford, T. W., Algebra, Springer. 17