Kümeler Kuramı Üzerine Düşünmek CAN BAŞKENT 1. Sezgisel Kümeler Kuramı ve Çelişkileri Hepimizin bildiği sezgisel kümeler kuramı (naive set theory) Cantor'a atfedilir. Bu kümeler kuramı, bizim Math111 dersinden tanıdığımız kuram. 19. yüzyılın ikinci yarısında, bizzat Cantor'un kendisi de dahil olmak üzere, matematikçiler ve mantıkçılar kümeler kuramında çelişkiler ve tutarsızlıklar bulmaya başladı. Örneğin: [ Cantor (Burali - Forti) Açmazı ] Tüm kümelerin kümesine T diyelim. T'nin tüm alt kümelerinden oluşan kümeye (power set) de A diyelim. Biliyoruz ki: A > T, çünkü 2 m > m Fakat T tanım gereği tüm kümeleri kapsıyor, dolayısıyla A > T koşulu nedeniyle, A kümesi tüm kümlerin kümesinden de büyük bir küme olmalıdır. Çelişki! Bu açmazda ilginç olan nokta, Cantor'un farklı sonsuzluk türleriyle ilgili ilk çalışmalarının ipucunu taşımasıdır. Diğer bir deyişle, ontolojik olarak farklı iki tür sonsuzluğun mümkünatı Cantor'un ilgi alanlarındandı. Farklı 3'ler var olamıyorsa, nasıl farklı sonsuzluk türleri var olabiliyordu? Dahası bu sonsuzluk türleri birbirlerinden türetilemiyordu. Gerçel sayıların sayılamayan sonsuzluğunun, sayılabilir sonsuzluğa sahip doğal sayılardan türetilememesi gibi. Bu açmazı aklımızda tutalım, çünkü makalenin ilerleyen satırlarında Cantor'un continuum hipotezinden söz edeceğiz. Cantor açmazı üzerine çalışan Bertrand Russell, 1901 yılında daha 28 yaşındayken kendi adıyla anılan açmazı keşfeder. (Bazı kaynaklara göre ise, aynı açmaz Zermelo tarafından Russell'dan bağımsız olarak da bulunmuştur. Zermelo, Hilbert'e yazdığı bir mektupta bu açmaz söz ediyormuş.) Açmazı sembolik olarak anlatmaya geçmeden, Russell'ın ifadeleriyle açmazı öğrenelim: Bir köyün berberi, yalnızca kendini tıraş etmeyen köylüleri tıraş edermiş. Peki bu berber kendini tıraş eder mi? Kendini tıraş ederse kendini tıraş etmeyecek, kendini tıraş etmezse kendini tıraş edecek.. Sembolik olarak yazmak gerekirse:
Aşağıdaki R kümesini ele alalım. R:={x : x x} Acaba R kendisinin bir elemanı mı?.. Eğer R R ise, yani berber kendini tıraş ederse, tanım gereği: R R, yani berber kendini tıraş edemez. Eğer R R ise, yani berber kendini tıraş edemiyorsa, tanım gereği:r R, yani berber kendini tıraş ediyor. Sonuç: R R R R, çelişki... Russell açmazının çözüm süreci aslında oldukça ilginç. Russell'ın kendisi dahil olmak üzere, bu açmazın çözümü için bir çok fikir öne sürülmüş. Şimdi ise biliyoruz ki, böyle bir R kümesi var olamaz. Tıpkı, Cantor açmazındaki T kümesini var olamayacağı gibi. Görüyoruz ki, bir zamanların sezgisel kümeler kuramının açmazları, teorem olarak aksiyomatik kümeler kuramında yer alıyor. Russell açmazının önemli noktalarından biri de, her özelliğin küme tanımlamadığının gösterilmesiydi. Diğer bir ifadeyle A={x Ψ(x) } ifadesi her Ψ(x) ifadesi için küme tanımlamıyor. Örneğin, T kümesi için Ψ(x) := {x = x }, R kümesi içinse Ψ(x) := {x x} olarak verilmişti ve T ile R küme olamıyordu. Russell bir matematikçi, mantıkçı, filosof ve sıkı bir savaş karşıtıydı. Alfred North Whitehead ile yazdığı Principia Matematica önemli bir projeydi. Bu eserde Russell ve Whitehead, matematiği mantığa ve kümeler kuramına indirgemeye çalışmışlardı. Fakat, biraz önce gördüğümüz açmazlar nedeniyle, bu proje başarısızlıkla sonuçlandı. İlk aklımıza gelen soru şu: 'Acaba modern kümeler kuramında da böyle bir proje başarısız olur mu?'.. Bu çalışmanın kapsamını aşan bu önemli soru matematiksel mantığın felsefesi ve yöntembilgisi alanında ufuk açıcı bir araştırma konusu olarak belirmekte. Principia Matematica, alanında ne ilk ne sondu. Frege'nin Aritmetiğin Temelleri'ni, Hilbert'in Geometrinin Temelleri'ni es geçmemeliyiz. Hilbert'ten söz etmişken, ünlü matematikçinin 1900 Uluslararası Paris Matematikçiler Konferansında sunduğu soruları, daha doğrusu bu sorulardan bizi ilgiliendirdiklerini düşündüklerimi, atlamamlıyız. Şöyle sormuş Hilbert: 'Acaba fizik aksiyomatikleştirilebilir mi?' Bizi daha da çok ilgilendiren sorusu ise: 'En genel bir matematik probleminin çözümü için (sonlu) bir algoritmik yöntemin bulunup bulunmayacağı'. Hilbert'in amacı, aksiyomlarını ve yöntem kurallarını belirleyecek bir program yardımıyla matematiği tartışılmaz sağlamlıklta temellendirmekti. Kant'ın hemşerisi olan Hilbert'in bu iddiasını önce Platoncu bir mantıkçı olan Gödel, sonrasında da Alan Turing yanıtladı: Böyle bir algoritma var olamaz!
2. Matematiği Aksiyomatikleştirme Çabaları Peki sizce matematik neden aksiyomatikleştirilmek istendi? 19., 20. yüzyıla kadar aksiyomatik yapıdan, Öklid dışında, haberi olmayan, dahası böyle bir gereklilik bile hissetmeyen yüzlerce matematikçi matematiğe muhteşem katkılarda bulundu. Acaba aksiyomatik sistem, bizlerin matematik yapma biçimini nasıl etkiledi? Bir dirimbilimcinin hücrenin ne olduğunu bilmeden bilimsem çalışma yapması bize komik görünür, oysa yüzlerce matematikçi bu kümeyi ve sayıyı bilmeden matematik yaptı. 1880'lerin sonunda İtalyan matematikçi ve mantıkçı Peano doğal sayıları aksiyomatikleştirdi. Bu aksiyomlar, kısaca: M Sıfır bir sayıdır ve hiç bir sayının ardılı değildir. M Bir sayıyı farklı iki sayı takip edemez. M Eğer sıfıra ait bir özellik, bir sayıya da ait olduğunda o sayının ardılına da ait oluyorsa, o özellik tüm sayılara aittir. (Matematiksel Tümevarım ilkesi) Peano, bu aksiyomları gerekçelendirmek için uğraşmadı. Zira, oldukça sezgisel bu aksiyomlar, pek de tepki uyandırmamış anlaşılan. Bir istisna dışında: Frege Frege, Peano aksiyomlarını mantıktan çıkarmaya çalıştı. Aritmetiğin Temelleri'nde şöyle yazar: "Matematikte sayının ne olduğu üzerine bugüne değin bir açıklığa ulaşılamamış olunması bir skandaldır. Sayı bir nesneler kümesi mi, yoksa karatahta üzerinde insan eliyle çizilen bir şekil mi, psikolojiden öğrenmemiz gereken ruhsal bir nesne mi, yoksa sonsuza dek sürecek bir varlık mı? Matematik uğraştığı nesnelerin doğasını anlamantan uzak kalmaktadır. Peki, bu bir skandal değilse nedir? " 1900'lerde kümeler kuramı Zermelo ve Frænkel tarafından aksiyomatikleştirildi. Zermelo, 1904'te seçim aksiyomunu, 1908'de de her kümenin iyi sıralanabileceğini kanıtlamıştı. Fazla formel olması nedeniyle kümeler kuramının aksiyomlarına burada yer vermiyoruz. 3. Gödel Kümeler kuramı demişken Gödel'i es geçemeyiz. Gödel'in iki çalışmasına yer vereceğiz. İlki Cantor'un continuum hipotezi üzerine, ikincisi de kümeler kuramının tutarlılığı üzerine.. Continuum hipotezi nedir? Yazının başlarında iki tür sonsuzluktan söz etmiş ve Cantor'un bu konuda çalıştığını vurgulamıştık. Cantor, bu iki tür sonsuzluk (sayılabilen sonsuzluk ve sayılamayan sonsuzluk) arasında başka bir sonsuzluk türü var olup olamayacağınu araştırıyordu. Bu sonsuzluğa sahip bir küme bulamadı ve böyle bir kümenin var olamayacağını iddia etti. Gödel ise, continuum hipotezinin ya da bu hipotezin değilinin, Zermelo - Frænkel kümeler kuramından türetilemeyeceğini göstermiştir. Dikkatinizi çekerim, Gödel hipotez doğru ya da yanlış demiyor, sadece kümeler kuramından bunun türetilemeyeceğini söylüyor. Dolayısıyla, artık biliyoruz ki, continuum hipotezi kümeler kuramının mantıksa bir sonucu değil. Gödel'in burada anacağımız ikinci çalışması ise seçim aksiyomu üzerine. Nedir seçim aksiyomu: Verilen bir kümeler topluluğundan/ailesinden öyle bir küme oluşturabiliriz ki, bu yeni kümede verilmiş kümeler topluluğunun/ailesinin her kümesinden bir eleman bulunur. Hissetmişsinizdir, bu oldukça tuhaf görünen bir aksiyom. Biraz önce değindiğimiz Peano aksiyomları gibi sezgisel değil. Öncelikle verili her küme topluluğu için geçerli. Dolayısıyla
bu aksiyomu gerekçelendirmek ve aksiyomun hesabını vermek zor olacak. Bu makalenin ilerki satırlarında seçim aksiyomunu örneklendirip detaylandıracağız. Bir çok matematikçi seçim aksiyomunu dışladı. Poincaré, Weyl, Brouwer gibi.. Seçim aksiyomunun, diğer bir ifadesiyle her kümenin bir seçim fonksiyonu olduğunun, bir aksiyom olarak, bu matematikçilere göre belirtilmesine gerek yoktu. Seçim aksiyomunu dışlamış kümeler kuramına 'Sınırladırılmış Kümeler Kuramı' diyelim, seçim aksiyomlu kümeler kuramı da 'Standart Kümeler Kuramı' olsun bizim buradaki terminolojimizde. Gödel 1938'te şunu kanıtladı: Eğer sınırlandırılmış kuram tutarlıysa, standart kuram da tutarlıdır. Gödel bu ispatıyla seçim aksiyomunun diğer aksiyomlardan daha tehlikeli olmadığını göstermiş oldu. Gödel'in teorisini şu şekilde de okuyabiliriz elbette: Eğer standart kuramda bie çelişki/tutarsızlık varsa, bu çelişki/tutarsızlık sınırladırılmış kuramda da var olmalı. 4. Seçim Aksiyomu Seçim aksiyomunu, biraz önce de belirttik, her kümenin bir seçim fonksiyonu vardır, şeklinde de ele alabiliriz. Bu bölümde bazı kümler için seçim fonksiyonları belirleyeceğiz. Öncelikle, seçim aksiyomunun biraz daha net olarak anlaşılması için Russell'dan yardım alalım. Şöyle bir senaryo sunuyor Russell: Sonsuz çift ayakkabımız ve sonsuzçift çorabımız olsun. Bu çiftlerden nasıl seçim yapabiliriz.? Örneğin, ayakkabı çiftlerinden sol tekleri seçebiliriz. Peki, sağını ve solunu ayırdedemeyeceğimiz çorap çiftlerinde böyle bir seçimi nasıl yapabiliriz? Bu seçimi yapabilecek bir araca ihtiyacımız var, bu da seçim aksiyomu. Dikkatinizi çekerim, aksiyomla, bu fonksiyonu bulmuş olmuyoruz, sadece böyle bir seçimin varlığını kabul ediyoruz. Şimdi de belli başlı örnekleri inceleyelim: Kullanaağımız notasyon da şu: (X)* := X kümesini tüm altkümelerinin kümesinden boş kümeyi çıkardığımızda elde edilen küme. (N)* En küçük elemanı seçeriz, çünkü her doğal sayılar kümesinin bir tane en küçük elemanı vardır. (Z)* x Z ise, x'in en büyük elemanını seçeriz, en büyük eleman yoksa, x N kümesinin en küçük elemanını alırız. (Q + )* Bir x kümesi alalım, ve şu kümeyi tanımlayalım: A (x)={ a+b a/b x}. A boş olmayan bir kümedir, ve en küçük elemanı vardır: n.
{a/b x a+b=n} kümesini ele alalım. Bu küme sonlu sayıda rasyonel sayıdan oluşuyor, dolayısıyla en küçük elemanı vardır. İşte x'ten bu elemanı seçelim. (Q)* Yukarıdakilere oldukça benzer bir şekilde seçebiliriz. Alıştırma! Gerçel Aralıklar [a, b], [a, b), (a, b], (a, b): orta nokta (a+b)/2 (-, a), (-, a]: a 1 noktası [a, ), (a, ): a + 1 noktası (-, ): 0 (R)* Alıştırma! Son alıştırmada, seçim fonksiyonunu yazabilmek mümkün değil. Ama aksiyom, bize ne olduğunu bilmesek de, bir seçim fonksiyonun var olduğunu söylüyor. Ayrıca bire-bir fonksiyonların terslerini bulmakta da seçim aksiyomunu kullanıyoruz. Acısıyla tatlısıyla, bir seçim fonksiyonumuz var. Öyle ki, varlığını kabul ediyoruz ama gösteremiyoruz. Peki bu nasıl bir var olmadır?
Kaynakça M The Mathematical Experience, Davis, P. J., Hersh, R., Marchisotto, E. A., Birkhäuser M Matematiksel Düşünme, Yıldırım, C., Remzi Kitabevi M Bilgisayar ve Zeka, Penrose, R., TÜBİTAK yayınları Routledge Encyclopedia of Philosophy M Philosophy of Mathematics An Introduction to the World of Proofs and Pictures, Brown, J.R., Routledge M Matematik Dünyası nisan - mayıs 2004, Ankara