ARDIŞIK SAYILARIN TOPLANMASI TOPLAMADA KISAYOLLAR 1 Kural: Gruptaki en küçük sayı ile en büyük sayıyı topla, sonucu gruptaki sayıların miktarıyla çarp ve sonucu 2 ye böl. Örneğin 33 den 41 e kadar olan sayıların toplamını bulmak istiyoruz. Önce, en küçük sayıyla en büyük sayıyı toplayın. 33 + 41 = 74 33 den 41 e kadar 9 sayı olduğu için bir sonraki adım, 74 x 9 = 666 olur. (bkz. 15. Kısayol) Son olarak, sonucu 2 ye bölün. 666 2 = 333 Sonuç 33 den 42 e kadar olan tüm sayıların toplamı 333 dür. 1 DEN BAŞLAYAN ARDIŞIK SAYILARIN TOPLANMASI 2 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 gibi bir grup ardışık sayının toplanması problemini düşünün. Toplamı bulmak için ne yapardınız? Bu grubu genel yolla toplamak kolaydır. Ama gerçekten kurnazsanız, ilk sayı 1 ile son sayı 9 un toplamının 10, ikinci sayı 2 ile sondan bir önceki sayı 8 in toplamının da 10 olduğunu fark etmişsinizdir. Aslında her iki uçtan başlandığında ve eşler toplandığında her sonuç 10 olur. Toplamları 10 olan 4 adet eş olduğunu buluruz. 5 için bir eş yoktur. Böylece 4 x 10 = 40; 40 + 5 = 45 olur. Bir ileri adıma geçerek, istersek bir dizideki bir çok sayıyı toplamak için bir metod geliştirebiliriz. Kural: Gruptaki sayı miktarının 1 fazlasıyla gruptaki sayı miktarını çarp ve 2 ye böl. Örnek olarak, 1 den 99 a kadar olan sayıların toplamını bulmamız gerekiyor. Bu dizide 99 tam sayı vardır, bunun 1 fazlası 100 dür. Böylece, 99 x 100 = 9900 9900 2 = 4450 Sonuç 1 den 99 a kadar olan tüm sayıların toplamı böylece 4450 dir.
1 DEN BAŞLAYAN TÜM TEK SAYILARIN TOPLAMININ BULUNMASI Kural: Dizideki sayı miktarının karesini al. 3 Bunu göstermek için, 1 den 100 e kadar olan tüm sayıların toplamı hesaplanır. Bu grupta 50 tane tek sayı vardır. 50 x 50 = 2500 Sonuç Bu, 1 den 100 e kadar olan tüm tek sayıların toplamıdır. Kontrol etmek için, 2. ve 4. kısayollarda bulunan sonuçlarla bu sonucu karşılaştırabiliriz. 2 DEN BAŞLAYAN TÜM TEK SAYILARIN TOPLAMININ BULUNMASI Kural: Gruptaki sayı miktarıyla, bu sayı miktarının bir fazlasını çarp. 4 Bu kuralı 1 den 100 e kadar olan tüm çift sayıların toplamının bulunmasında kullanabiliriz. Sayıların yarısı çift, yarısı tek olacaktır. Yani 1 den 100 e kadar 50 tane çift sayı vardır. Kuralı uygulayalım: 50 x 51 = 2550 Sonuç Böylece 1 den 100 e kadar olan bütün çift sayıların toplamı 2550 dir. 2. kısayolda 1 den 99 a kadar olan tüm sayıların toplamı 4950 bulundu. Bunun sonucu olarak 1 den 100 e kadar olan sayıların toplamı 5050 olur. 3.kısayolda 1 den 100 e kadar olan bütün tek sayıların toplamı 2500 bulundu. Buradan, 1 den 100 e kadar bütün çift sayıların toplamı; Tüm sayıların toplamı Tüm tek sayıların toplamı Tüm çift sayıların toplamı 5050-2500 = 2550 ORTAK FARKLI BİR SAYI SERİSİNİN TOPLANMASI 5 Bazen ortak farkı olan bir grup sayıyı toplamamız gerekir. Ortak fark ve toplanacak sayı miktarı ne olursa olsun, cevabı bulmak için sadece bir toplama, bir çarpma ve bir bölme yapmak gerekir. Kural: En küçük sayıyı en büyük sayıya ekle, toplamı gruptaki sayı miktarıyla çarp ve 2 ye böl. Örnek olarak, aşağıdaki sayıların toplamını bulalım: 87, 91, 94, 99 ve 103. Bitişik sayılar arasındaki farkın hep 4 olduğuna dikkat edin. Böylece, bu kısayol burada kullanılabilir. En küçük sayı 87 yi en büyük sayı 103 e ekleyin. Toplam 190 ı sayı miktarı 5 ile çarpın. 190 x 5 = 950 (11.kısayol)
Cevabı elde etmek için 2 ye bölün. 950 2 = 475 Sonuç Böylece 87 + 91 + 95 + 99 + 103 = 475 olur. (Doğal olarak bu, 1.kısayoldaki kuralla aynıdır, çünkü orada ortak farkı 1 olan bir sayı serisini topluyorduk. Bu yüzden, kolay hatırlamak için, 1.kısayolla 5.kısayolu birleştirebilirsiniz.) ORTAK ORANLI BİR SAYI SERİSİNİN TOPLANMASI 6 Kural: Oranı kendisiyle, serideki sayı miktarı kadar çarp. Çarpımdan 1 çıkar ve sonucu serideki ilk sayıyla çarp. Çıkan sonucu, ortak oranın 1 eksiğine böl. Bu kuralın en iyi uygulandığı durum, ortak oranın küçük bir sayı olduğu yada seride az miktarda sayı olduğu durumdur. Seride bir çok sayı varsa ve ortak oran büyükse, ortak oranı kendisiyle sayı miktarı kadar çarpma gerekliliği, bu kısayolun sağladığı kolaylığı azaltır. Ama aşağıdaki serinin bize verildiğini farzedersek : 53, 106, 212, 424 Burada her sayı, bir önceki sayının iki katıdır, ve seride dört sayı vardır. Böylece, ortak oran 2, dört defa kendisiyle çarpılır. 2 x 2 x 2 x 2 = 16 Çarpımdan 1 çıkarın ve ilk sayıyla çarpın. (16 1) x 53 = 795 (27. kısayol) Bir sonraki adım sonucu ortak oranın 1 eksiğine bölmektir, ancak burada ortak oran 2 olduğundan, sadece 1 e bölmemiz gerekir. Böylece serimizin toplamı aşağıda verilmiştir : 53 + 106 + 212 + 424 = 795 Sonuç
1. - 6. Kısayollar İçin Alıştırmalar Aşağıdaki her bir durum için toplamı bulunuz. 1-1 den 23 e kadar tüm tek sayılar =? 2-3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 =? 3-84 den 105 e kadar(ikisi de dahil) tüm sayılar =? 4-56 + 59 + 62 + 65 =? 5-24 + 72 + 216 =? 6-14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21 =? 7-1 den 1000 e kadar tüm sayılar =? 8-1 den 50 ye kadar tüm çift sayılar =? 9-132 + 137 + 142 + 147 =? 10-197 + 198 + 199 + 200 + 201 + 202 + 203 =?
ÇARPMADA KISAYOLLAR Çarpmanın kendisi bir kısayoldur. Örneğin tekrar eden bir toplama işlemi; 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 21 hemen aşağıdaki işleme çevrilebilir: 7 x 3 = 21 Bu kısa işlem, 6 toplama işlemini iptal ederek bizi doğrudan cevaba götürür. Birçoğumuz için, matematik deneyimlerimizin başında aklımıza zorla kazıtılan çarpım tablosu, cevabı elde etmek için referans kaynağıdır. Ama bereket versin, çarpımdaki ustalık tabloları ezberlemeye dayanmaz. Bu bölümde bahsedilen kısayol yöntemleri toplama, çıkarma, bölme ve tabii ki temel çarpmayı kullanır. Eğer iki sayıyı çabucak toplayabiliyor, bir sayının kolayca yarısını bulabiliyor ve iki katını alabiliyorsanız bu kısayollarda bir sıkıntı yaşamazsınız. BASAMAKLAR Temel hesaplama birimi basamaktır. İki sayı birbirleriyle çarpıldığında, her birinin basamaklarının tüm kombinasyonları çarpılır ve sonuçlar toplanarak(doğru konumlara yerleştirilerek) çarpım elde edilir. Aşağıdaki örneğe bakalım : 432 x 678 İki sayının basamaklarının 9 kombinasyonu : 4 x 6 ; 3 x 6 ; 2 x 6 4 x 7 ; 3 x 7 ; 2 x 7 4 x 8 ; 3 x 8 ; 2 x 8 Çarpımları, sayı konumlarına göre ayarlayarak, istenen çarpımı buluruz : 24 18 12 2712 28 21 14 2034 + 32 + 24 + 16 + 1356 2712 2034 1356 292896 432 x 678 = 292896 Böylece, sayılar kaç basamaklı olursa olsun, 1 den 9 a kadarki sayıların çarpım tablosunu ezberleyerek tüm sayıları çarpabiliriz. Ama, çarpım tablosundaki 81 basamağın ezberlenmesi, basamaklarla çarpım için esas değildir. Bu bölümde açıklanan basamaklarla çarpım yöntemleri sadece toplama, çıkarma, yarısını bulma ve iki katını alma işlemlerini içerir. Kurallar, detaylı olarak verilmiştir. Bazı basamaklar için, yöntem çok uzun görülebilir. Bu sadece, sunumun tüm ihtiyaçları karşılaması gerekliliğindendir. Basit bir basamağın çarpımının karmaşık görünen yolundan dolayı cesaretiniz kırılmasın. Kuralın ikinci yada üçüncü okunmasından sonra model ortaya çıkacak ve işlem bir rutin halini alacaktır. Çarpım her zaman çarpılan sayıya eşit olduğu için sayıların 1 ile çarpılması üzerinde durulmayacaktır.
7 SIFIRLA BİTEN SAYILARLA ÇARPMA Sıfırla biten sayılar, sıfır içermeyen sayıların 10 un katlarıyla çarpılmasıyla oluşan çarpımlar olarak düşünülebilir. Örneğin 37000 = 37 x 1000 gibi. Sıfırla çarpım sıfıra eşit olduğundan, sıfırla biten sayılarla çarpımda sıfırlar ihmal edilerek kısaltma yapılır ve sıfırsız kısım çarpılınca ihmal edilen sıfırlar çarpımın sağına eklenir. Kural: İki sayıyı sıfır içermiyormuş gibi çarp. Daha sonra ihmal edilen toplam sıfır miktarları kadar sıfırı çarpımın sağına ekle. Aşağıdaki problemin çarpanını bulalım: 37000 x 6000000 Sıfırları ihmal edersek: 37 x 6 olur. 37 x 6 = 222 (12. kısayol) Toplamda 9 adet sıfır ihmal edilmişti. Bu yüzden bu sıfırlar çarpımın sağına eklenir. 222000000000 Sonuç 2 İLE ÇARPMA 8 Bir sayıyı 2 ile çarpma, sayıyı ikiye katlamanın yada aynısıyla toplamanın farklı şekilde söylenmesidir. Bir sayıyı ikiye katlamak, aşağıdaki basit kuralı uygulamadan daha hızlı bir şekilde yapılabilir. Kural: Verilen sayının ilk basamağından başlayarak, eğer basamak 4 yada 4 den küçük ise bu basamağı 2 ile çarpın ve sonucu verilen sayının karşılık gelen basamağının altına yazın. 5 den 9 a kadar olan basamaklarda, 5 çıkarın ve sonucu iki ile çarpın, sonucu verilen sayının karşılık gelen basamağının altına yazın. Şimdi deneme cevabını inceleyin. Verilen sayının 5 yada 5 den büyük olan basamaklarına karşılık gelen deneme cevabı sayılarının solundaki sayılara 1 eklenir. Sonuç, son cevap olur. İlk başta bu kural, basamak basamağa toplamadan daha karmaşık görünebilir. Bu yöntemin güzelliği, çözümün anında soldan sağa elde edilmesi ve basamakların taşınmaya gerek kalmamasıdır. Örnek olarak 5377 yi 2 ile çarpalım: 5377 sayısının soldaki ilk basamağından başlayarak 5 den küçük basamaklarını ikiye katlayalım. 5 den büyük basamaklardan da 5 çıkarıp çıkan sonucu kendisiyle toplayalım. 5 5 = 0 ; 0 + 0 = 0 3 + 3 = 6 7 5 = 2 ; 2 + 2 = 4 5 yada 5 den büyük olan sayılara bu işlem uygulanarak elde edilen sonuçların soluna bir çizgi koyulur. 5 den küçük olan sayıların karşılığına gelen sayıların soluna bu çizgi konulmaz. 5 3 7 7 _ 0 6 4 4 Altı çizgili sayılara 1 eklenir. 10754 Sonuç
Buraya kadar verilen bilgiler Gordon Rockmaker ın 101 Shortcuts In Math Any One Can Do isimli kitabından alınmıştır. Buradan sonra verilecekler Arthur Benjamin Clarke ın The Secrets of Mental Math eserinden alınmıştır. - Matematik işlemlerini pratik olarak kafadan daha hızlı yapabilmek için sonucu soldan sağa yazın. Çünkü sayıları okurken soldan sağa okuyoruz. - Bir basamaklı sayıların 9 ile çarpımında şu yönteme dikkat edin. Çarpımın 1. basamağı, 9 un çarpanından 1 eksik olacak ve çarpımın basamaklarının toplamı 9 olacaktır. Ör: 9 x 3=?; 9 un çarpanı=3; Çarpanın 1 eksiği=3-1=2; Çarpımın basamakları toplamı 9 olmalı=2+a=9, a = 7 Sonuç?=27 - Kafadan hesapta soldan sağa gidilmeli. 432 x 3 =? Kafadan hesap için zor görünebilir, ancak; 400 x 3 = 1200; 30 x 3 = 90; 2 x 3 = 6; Sonuç? Hepsinin toplamı = 1296 şeklinde yapılınca daha kolay olduğu görülür. DİĞER KISAYOLLAR 11 ile herhangi bir 2 basamaklı sayının çarpımında çarpım, 11 in çarpanının basamaklarındaki sayılarının toplamını, yine 11 in çarpanının basamakları arasına yazılmış halidir. Ör : 11 x 45 =? 11 in çarpanı = 45; 45 in basamaklarındaki sayıların toplamı = 4+5=9; Bulunan sayının(9 un) 4 ile 5 arasına yazılması = 495 Sonuç? = 495 11 ile herhangi bir 3 basamaklı sayının çarpımında çarpımın ilk ve son basamağı arasına, 3 basamaklı sayının ilk 2 basamağının toplamı çarpımın 2. basamağı, son iki basamağının toplamı çarpımın 3. basamağı olacak şekilde iki basamak eklenir. Ör : 11 x 246 =? 11 in çarpanı = 246 ; 245 nın ilk iki basamağındaki sayıların toplamı = 2+4=6; 245 nın son iki basamağındaki sayıların toplamı = 4+5=9; Çarpımda, 245 in ortasındaki 4 ün yerine 6 ve 9 un sırasıyla yanyana yazılması = 2695 Sonuç? = 2695 Sonu 5 ile biten 2 basamaklı sayıların kareleri bulunurken, sayının ilk basamağı, ilk basamağın bir fazlasıyla çarpılır ve elde edilen sayı çarpımın başına yazılır. Son iki sayı her zaman 25 olur. Ör : 65 2 = 65 x 65 =? 65 in ilk basamağı = 6 İlk basamağın, 1 fazlasıyla çarpılması = 6 x 7 = 42 Son iki sayı her zaman 25 = 4225 Sonuç? = 4225 Kaynak : 101 Short Cuts In Math Anyone Can Do Gordon Rockmaker