NELER ÖĞRENECEĞİZ? Denklem ve eşitsizlikleri gerçek hayat durumlarını modellemede ve problem çözmede kullanır. Gerçek hayat durumlarını temsil eden sözel ifadelerdeki ilişkilerin cebirsel, grafiksel ve sayısal temsilleri ile ilgili uygulamalar yapar. Problemler Tavsiye Edilen Süreleri. Sayı ve Kesir Problemleri ders saati. Yaş Problemleri ders saati. İşçi ve Havuz Problemleri 6 ders saati. Yüzde Problemleri ders saati. Kâr ve Zarar Problemleri ders saati 6. Faiz Problemleri ders saati 7. Karışım Problemleri ders saati 8. Hareket Problemleri ders saati Tavsiye Edilen Toplam Süre: 0 Ders Saati hafta SAYI VE KESİR PROBLEMLERİ Örnek : Hangi sayının katının eksiği aynı sayının 6 fazlasına eşittir? Bu sayı olsun. O halde, = + 6 = 8 = bulunur. Hangi sayının eksiğinin katı aynı sayının yarısının fazlasına eşittir? Cevap: 6 Problem çözümlerinde önemli olan sorunun iyi anlaşılıp verilenler ve istenilenin belirlenmesidir. Verilenlerden faydalanarak istenilen durum için matematiksel ifade ya da denklem yazılmalıdır. Matematiksel İfade Etme Bir sayı olsun. Bu sayının fazlası: + katının eksiği: eksiğinin katı:.( ) Yarısının fazlası : fazlasının ü: 6 Sayı oranında artırılırsa: Sayı oranında eksiltilirse: şeklinde yazılır. ANAHTAR BİLGİ Bir toplulukta 6 erkek ve 0 bayan vardır. Bu topluluktan kaç evli çift ayrılırsa erkeklerin sayısı kadınların sayısının katı olur? Örnek : Cevap: 7 Toplamları olan iki sayıdan biri diğerinin katından fazladır. Buna göre, büyük sayı kaçtır? I.Sayı : II.Sayı: + + + = + = = = Buna göre, büyük sayı:. + = dir.
Toplamları 7 olan iki sayıdan biri diğerinin katından eksiktir. Buna göre, küçük sayı kaçtır? O halde bu iki ifade eşitlenirse,.( ) 6 bulunur. Yani sınıfta tane sıra vardır. Öğrenci sayısı:. 7 dir. Örnek : Cevap: 9 Emre bir merdivenin basamaklarını üçer üçer çıkıp, ikişer ikişer iniyor. İnerken attığı adım sayısı çıkarken attığı adım sayısından fazla olduğuna göre, bu merdiven kaç basamaklıdır? Bir kümeste bulunan tavuk ve tavşanların sayısı tir. Bu hayvanların ayaklarının sayısı 6 olduğuna göre, kümeste kaç tane tavşan vardır? Kümeste bulunan tavşanların sayısı olsun. O halde tavukların sayısı tir. Şimdi tüm ayakların sayısını veren bağıntıyı yazalım..( ) 6 0 6 7 bulunur. Bir kumbarada 0 kuruş ve kuruşlardan oluşan madeni para bulunmaktadır. Bu paraların toplam tutarı 7, TL olduğuna göre, kuruşların sayısı kaçtır? Örnek : Cevap: 0 Cevap: 0 Örnek : Mustafa bilyelerinin ini Serhat a, ünü de Yusuf a veriyor. Serhat, Yusuf tan bilye daha fazla aldığına göre, Mustafa nın kaç bilyesi kalmıştır? ve kesirlerinin paydalarını de eşitleyelim. Buna göre,. 6. ( de 6 sı).. ( de i ) Başlangıçta Mustafa nın bilye sayış olsun. Serhat a 6, Yusuf a vermiştir. Kendisine kalan ise ( 6 + ) = = tir. 6 = = olur. Mustafa da kalan bilye sayısı: =. = dir. Bir sınıftaki öğrenciler sıralara ikişerli otururlarsa öğrenci ayakta kalıyor. Üçerli otururlarsa sıra boş kalıyor. Buna göre, sınıfta kaç öğrenci vardır? Sınıftaki sıra sayısı olsun. İkişerli oturduklarında öğrenci sayısı: dir. Üçerli oturduklarında öğrenci sayısı:.( ) dir. Örnek 6: Caner gideceği yolun önce ünü sonra kalan yolun ünü gidiyor. Caner in gitmesi gereken 80 metre daha yolu kaldığına göre, bu yolun tamamı kaç metredir?
Kesirlerin paydaları olan ve ün en küçük ortak katı, ekok(, ) = olduğundan yolun tamamına diyelim. Önce tamamına gitmiştir. Kalan = 9 olur. Sonra 9 6 gider. Kalan 9 6 = tir. = 80 = 60 olur. Yolun tamamı: =.60 = 70 metredir. Bir işçi maaşının ini ev kirasına, kalan parasının ünü mutfak masrafına ayırınca geriye 80 TL si kaldığına göre, işçinin maaşı kaç TL dir? Örnek 7: Cevap: 800 yanlış doğruyu götürdüğü 0 soruluk bir sınavda her doğru cevabın değeri puandır. Bu sınavda soruyu boş bırakan bir öğrenci 6 puan aldığına göre, kaç soruyu yanlış yapmıştır? tane soruyu yanlış yapsın. Bu durumda soruya uygun denklem,. 8 6 olur. 8 = 60 = bulunur. yanlışın bir doğruyu götürdüğü 0 soruluk bir sınavda her doğru cevabın değeri puandır. Bu sınavda 6 soruyu boş bırakan bir öğrenci 0 puan aldığına göre, kaç soruyu doğru yapmıştır? Örnek 8: Cevap: 6 Bir miktar para ile defter ve silgi ya da defter ve silgi alınmaktadır. Buna göre, bu para ile kaç tane silgi alınabilir? Bir defter TL ve bir silgi y TL olsun. Buna göre, + y = + y = 9y = y elde edilir. Yani defterin fiyatı, silginin fiyatına eşitttir. O halde bu para ile defter ve silgi alındığından ve defter;. = silgi ettiğinden toplam, + = 7 silgi alınabilir. Kadir parasının ü ile 7 kalem ve silgi, kalan parasının i ile kalem ve silgi daha alıyor. Buna göre, bir kalemin fiyatı ile kaç silgi alınabilir? Örnek 9: Cevap: Payı paydasından fazla olan bir kesrin pay ve paydasına eklenirse kesrin değeri oluyor. Buna göre, ilk kesrin payı ile paydasının toplamı kaçtır? Kesrin paydası olsun. Payı + olur. O halde, ilk kesir dir.
+ 6 = + 0 = bulunur. Paydası ve payı 7 olacağından toplamı: 7 + = bulunur. Örnek : Cevap: 8 Payı paydasından fazla olan bir kesrin payından 7 eksiltilir ve paydasına eklenirse kesrin değeri oluyor. Buna göre, ilk kesrin payı ile paydasının toplamı kaçtır? Örnek 0: Cevap: 9 Bir bilet kuyruğunda Aslı baştan.sırada, Sena ise sondan 8.sıradadır. İkisinin arasında kişi olduğuna göre, bilet kuyruğunda en az kaç kişi vardır? Kişi sayısının en az olması için Sena kuyrukta bilet satılan gişeye daha yakın olmalıdır. Bir miktar ceviz çocuğa eşit olarak paylaştırılıyor. Eğer çocuk ceviz istemezse kalan her çocuğa ilk duruma göre şer ceviz daha fazla düşüyor. Buna göre, toplam kaç ceviz vardır? Başlangıçta her çocuk tane ceviz alsın. Buna göre, = 9.( + ) = 9 + 8 = 8 = 6 olur. Yani ilk durumda çocuğa 6 şar ceviz düştüğünden toplam ceviz sayısı, =.6 = 7 dir. Bir miktar misket parkta oynayan 8 çocuğa eşit olarak paylaştırılıyor. Eğer parka çocuk daha gelirse her çocuğa ilk duruma göre er misket eksik düşüyor. Buna göre, toplam kaç misket vardır? sondan 8. sıra Aslı Sena GİŞE baştan. sıra Cevap: 7 Aslı, Sena ve aralarındaki kişi iki kez sayıldığından bilet kuyruğunda en az; + 8 7 = kişi vardır. Bir bilet kuyruğunda Cemre baştan. sırada, Semra ise sondan. sıradadır. Ayrıca ikisinin arasında 8 kişi vardır. Buna göre bilet kuyruğunda bulunan kişi sayısı en az, en fazla y olduğuna göre, y farkı kaçtır? Örnek : Tamamı su ile dolu bir kabın ağırlığı a gramdır. Kabın içindeki suyun i boşaltılınca kabın ağırlığı b gram olmaktadır. Buna göre, boş kabın ağırlığını a ve b türünden bulunuz?
Buna göre, 0, y olup y 0 tür. NOT: Bir telin bir ucundan cm kesilirse, telin orta noktası cm kayar. Kabın içinde gram su bulunsun ve boş kabın ağırlığı y gram olsun. Buna göre, + y = a dır. olup = su kaldığında + y = b dir. Bizden istenilen y olduğuna göre, i yok etmeliyiz. / + y = a / + y = b y = a + + y = b b a y = b a y bulunur. Tamamı su ile dolu bir kabın ağırlığı a gramdır. Kabın içindeki suyun ü boşaltılınca kabın ağırlığı b gram olmaktadır. Buna göre, boş kabın ağırlığını a ve b türünden bulunuz. gr su Kabın ağırlığı a gram gr su Kabın ağırlığı b gram Bir telin bir ucundan cm kesilirse telin orta noktası cm, y cm kesilirse telin orta noktası cm kayıyor. Buna göre, + y kaçtır? Örnek : Cevap: 6 Önce 6 adım ileri sonra adım geri giderek ilerleyen bir robotun başladığı noktadan adım uzaklaştığı bilinmektedir.buna göre en az attığı adım sayısı, en fazla attığı adım sayısı y olduğuna göre, y toplamı kaçtır? Robot 6 adım ileri adım geri atarak başladığı noktadan adım uzaklaşmış olur. O halde 8 adımda adım ilerliyor. Bu durumda 7 adımda 6 adım ilerler. Yani 6 ileri ve geri tamamlanmış oldu. (7, 8 in katı olduğundan) Bundan sonra 6 ileri gideceği için, 7 adımda 6 yani 77 adımda adım ilerlemiş olur. O halde 77 dir. 80 adımda 0 adım ilerleyeceğinden, 8 inci adımda adım ilerlemiş olur. O halde y 8dir. Buradan y 77 8 8 bulunur. Örnek : Cevap: b a Önce adım ileri sonra adım geri hareket ederek ilerleyen bir robotun başladığı noktadan adım uzaklaştığı bilinmektedir. Buna göre, en az attığı adım sayısı, en fazla attığı adım sayısı y olduğuna göre, y toplamı kaçtır? Bir telin bir ucundan cm kesilirse telin orta noktası cm, y cm kesilirse telin orta noktası 7 cm kayıyor, Buna göre, y toplamı kaçtır? cm kaymanın olması için telin bir ucu 0 cm kesilmeli, 7 cm kaymanın olması için cm kesilmelidir.
Telin boyu 70 cm olsun. O halde orta noktası başlangıçtan cm uzaklıktadır. Örnek : Cevap: 96 Ersin bir kitabı her gün bir önceki günden sayfa daha fazla okuyarak günde bitiriyor. Ersin,. günün sonunda kitabın nin fazlası kadar sayfa okuduğuna göre, kitap kaç sayfadır? İlk gün sayfa okusun.. gün,. gün 6,. gün 9,. gün sayfa okur. Buna göre, ilk iki gün sayfa, günde ise toplam 0 sayfa okur. Verilen bağıntı yazılırsa, 0 elde edilir. Buradan, ( 6) 7 bulunur. 70. 70. 0, kesilen parçalardan 7 sonra telin boyu 6 cm olur. Buna göre telin yeni orta noktası 8 olup, 8 cm kayma olmuştur. 6 ve telin boyu 70 70. 0 cm dir. Bir telin bir ucundan 9 u, diğer ucundan sı kesilirse 6 telin orta noktası ilk durumuna göre cm kayıyor. Buna göre, telin ilk boyu kaç cm dir? kesilen parça 0 ilk orta nokta 8 kesilen parça 6 kayan orta nokta Kitabın tamamı. 0 0 0 0 sayfadır. Tuğçe bir kitabı her gün bir önceki günden sayfa daha fazla okuyarak 7 günde bitiriyor. Tuğçe nin 6. günde okuduğu sayfa sayısı kitabın toplam sayfa sayısının i olduğuna göre, kitap kaç sayfadır? Cevap: Örnek 7: Bir otobüse kadın binerse yolcuların i kadın oluyor. Eğer otobüsten erkek inseydi yolcuların si erkek olacaktı. Buna göre, ilk durumda otobüste kaç kadın vardır? Kadın Erkek Toplam Cevap: 7 İlk durum kadın binerse Örnek 6: Bir telin bir ucundan 7 si, diğer ucundan i kesilirse telin orta noktası ilk durumuna göre 6 cm kayıyor. Buna göre, telin ilk boyu kaç cm dir? erkek inerse 6 9 O halde, ilk durumdaki kadın yolcu sayısı:.9 8 tir. 6
Bir otobüse kadın binerse yolcuların ü kadın oluyor. Eğer otobüsten erkek inseydi otobüsteki kadın sayısı erkek sayısının i olacaktı. Buna göre, ilk durumda otobüste kaç yolcu vardır? Belirli bir yükseklikten bırakılan bir top yere her vuruşunda bir önceki düşüş yüksekliğinin ü kadar yüksel- mektedir. Top yere üçüncü vuruşundan sonra cm yükseldiğine göre, başlangıçta kaç cm yükseklikten bırakılmıştır? Örnek 8: Cevap: Belirli bir yükseklikten bırakılan bir top yere her vuruşunda bir önceki düşüş yüksekliğinin i kadar yüksel- mektedir. Top yere üçüncü vuruşundan sonra 7 cm yükseldiğine göre, başlangıçta kaç cm yükseklikten bırakılmıştır? Cevap: 8 7 cm Başlangıç. vuruş. vuruş. vuruş Top 0 yükseklikten bırakılmış olsun.. vuruştan sonra. vuruştan sonra. vuruştan sonra yükselir. 7 O halde top başlangıçta 0 0 cm yük- seklikten bırakılmıştır. 0. 0 cm, 0. 90 cm, 90. cm 7