Kuram ve Uygulamada Eğitim Bilimleri Educational Sciences: Theory & Practice - 13(2) Bahar/Spring 1213-1232 2013 Eğitim Danışmanlığı ve Araştırmaları İletişim Hizmetleri Tic. Ltd. Şti. www.edam.com.tr/kuyeb İlköğretim Matematik Öğretmen Adaylarının Dörtgenlere İlişkin Algıları ve İmgelerinin İncelenmesi Elif TÜRNÜKLÜ a Funda GÜNDOĞDU ALAYLI b Dokuz Eylül Üniversitesi Trakya Üniversitesi Elif Nur AKKAŞ c Dokuz Eylül Üniversitesi Öz Araştırma, ilköğretim matematik öğretmen adaylarının dörtgenleri nasıl tanımladıklarını, sınıfladıklarını ve dörtgenlere ait imgelerinin ne olduğunu ortaya koymayı amaçlamaktadır. Nitel bir çalışma olan bu araştırma, bir eğitim fakültesinde öğrenim gören, 3 ve 4. sınıf, 36 ilköğretim matematik öğretmen adayı ile yürütülmüştür. Veriler yarı- yapılandırılmış görüşme ile toplanmıştır. Elde edilen veriler, tümevarımcı içerik analizi ile analiz edilmiştir. Araştırmada, öğretmen adaylarının dörtgenlere ilişkin kişisel tanımlarında bazı yanlış algılar oluşturdukları tespit edilmiştir. Çalışmaya katılan bazı adaylarda oluşan eşkenar dörtgene dair imge, eşkenar dörtgen ile karenin farklarını ortaya koyma açısından problem yaratmıştır. Öğretmen adaylarının özellikle eşkenar dörtgen ve yamuk şekilleri için hatalı çizimler yaptıkları belirlenmiştir. Ayrıca, öğretmen adaylarının, dörtgenleri aile ilişkilerini göz önünde bulundurarak sınıflandırma yapamadıkları, genelde parçalı sınıflamaya yöneldikleri görülmüştür. Anahtar Kelimeler Dörtgen Algıları, Dörtgen İmgeleri, Dörtgenleri Sınıflama, İlköğretim Matematik Öğretmen Adayları. Geometri, yaşadığımız dünyayı yer, yön ve şekilsel olarak anlamamızı kolaylaştıran birçok şekil ve cisim bilgisini ve aynı zamanda ilişkilerini içeren, okullarda bu kapsamda matematik dersinin bir parçası olarak öğretilen bir alan olarak yer alır. Geometri öğretimi, birçok araştırmacının da (Baykul, 1999; Duatepe, 2000; Fujita ve Jones, 2007) vurguladığı gibi, sadece nokta doğru düzlem, düzlemsel şekiller, uzay, uzaysal şekillere ilişkin bilgi ve ilişkileri kavratmak değil, aynı zamanda uzamsal düşünme ve görsel becerilerin gelişimi açısından da önemli olmuştur. Ayrıca, geometri öğretimi, tümevarımsal çıkarım ve ispat becerilerini de geliştirmeyi hedefler. Matematikte birçok konunun öğrenilmesi aşamasında bireyler, kavramlara dair zihinlerinde bir imge oluştururlar. Bu kavram imgesi, zaman içinde çeşitli deneyim ve bilgiler ile değişir ve şekillenir. Tall ve Vinner (1981) kavram imgesini, kavrama ait zihinsel resim, özellik ve süreçleri içeren bilişsel bir yapı olarak tarif etmiştir. Bu yapı, bir zihinsel süreç içinde bilinçli veya bilinçsiz olarak şekillenerek bireylerin bilişlerinde yer bulur. Geometri özelinde değerlendirilecek olunursa, geometrik kavramlarda 3 farklı durum ortaya çıkar. Bunlar geometrik kavramın barındırdığı şekle ait imge, tanım ve sahip olduğu özelliklerdir. Her geo- a b c Sorumlu Yazar: Dr. Elif TÜRNÜKLÜ İlköğretim matematik öğretmenliği anabilim dalında doçent olarak çalışmaktadır. Matematikte, özellikle geometride öğrenme ve öğretmen eğitimi üzerine çalışmaları bulunmaktadır. İletişim: Dokuz Eylül Üniversitesi, Buca Eğitim Fakültesi, İlköğretim Matematik Öğretmenliği ABD, Buca, İzmir. Elektronik posta: elif.turnuklu@deu.edu.tr Tel: +90 232 301 2301. Dr. Funda GÜNDOĞDU ALAYLI, İlköğretim matematik öğretmenliği anabilim dalında araştırma görevlisi olarak çalışmaktadır. İletişim: Trakya Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, İlköğretim Bölümü, Matematik Eğitimi Anabilim Dalı, Edirne, Türkiye. Elektronik posta: funda.alayli@deu.edu.tr. Uzm. Elif Nur AKKAŞ, İlköğretim matematik öğretmenliği anabilim dalında araştırma görevlisi olarak çalışmaktadır. İletişim: Dokuz Eylül Üniversitesi, Buca Eğitim Fakültesi, İlköğretim Matematik Öğretmenliği ABD, Buca, İzmir, Türkiye. Elektronik posta: elif.akkas@deu.edu.tr.
KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ metrik kavramın barındırdığı bir görsel imge vardır. Ayrıca her geometrik kavramın içerdiği bir dizi özelliği vardır. Tanımlar, kavramın sahip olduğu özelliklerinin bir kısmından minimum bilgiyi içerecek şekilde yapılandırılır. Genelde, tanımlarda ana ilke ekonomik olacak şekilde kısa ve anlaşılır olması olarak benimsenmiştir (De Villiers, 1998; Fujita, 2012). Matematikte kavramların tanımlanması, öğretimde önemli rol oynar. Her ne kadar birçok araştırmacı (De Villers, 1998; Tall ve Vinner, 1981) tarafından kavramlara dair tanımların doğrudan söylenmesi onaylanmasa da, kavramlara dair tanımların, kavram imgesinin oluşturulması ve problem çözme durumlarında önemli rolleri olduğu kabul edilmektedir. Tall ve Vinner a göre, kavramlara dair tanımlar, gerek direkt aktarılarak öğretilsin, gerekse öğrencilerin bu tanımları oluşturmaları sağlansın, kişiler zihinlerinde bu tanımları bir süzgeçten geçirmektedir. Kişisel olarak yapılanan bu tanımlar, formal tanımlardan farklılık gösterebilmektedir. Oluşturulan bu kişisel kavram tanımları, bireylerin kendi kavram imgelerini yaratmalarına sebep olabilmektedir. Hatta Heinze ve Ossietzky e (2002) göre, problemlerde kavrama dair akademik tanım unutulmakta ve kişisel olarak oluşan kavram imgesi ön plana çıkmaktadır. Bunun yanı sıra, her geometrik kavramın barındırdığı görsel imge kavramdan daha çok ön plana çıkabilmektedir. Bu bağlamda, tipik (prototip) örnekler anahtar faktördür. Her kavramın birden fazla prototip örneği olabilir. Bu prototip örnekler, kavrama ait uzun özellik listesinde yer alan özelliklerden bazılarını içeren örneklerdir. Bu prototip şekillerin, kavram imgesinde her zaman bir etkisi vardır (Fischbein, 1993; Hershkowitz, 1990). Fujita (2012) birçok araştırmalar neticesinde, geometrik şekle ait tanım ve bu şeklin içinde bulunduğu aile ilişkisine ait özelliklerin genelde çelişkiye yol açabildiğini ortaya koymuştur. Bu çelişki, prototip şekilden gelen kavramsal algı ile de yanlış algılara ve genellemelere yol açmaktadır (Fujita; Fujita ve Jones, 2006; Hershkowitz). Örneğin paralelkenar tanımı ve prototip olarak çizilen şekli, onunla aynı aileden olan dikdörtgende çelişkiye yol açar. Yanlış genellemelere yol açar. Bahsedilen örnekteki durumda paralelkenarların açılarının dik olamayacağı algısı gelişir. Öğrencilerin tanım ve özelliklerdeki aile ilişkisinde uymayan durumları ayırt edebilme olgunluğunda (bilişsel anlamda) olmaları, geometrik şekilleri algılama ve genellemeler yapabilme ve bu bağlamda problem çözebilmeleri açısından önemlidir. Geometrik şekillerin nasıl algılandığı, şekillerin sahip olduğu figürsel gösterim ve kavramsal ilişkinin nasıl ve ne şekilde zihinlerde yer ettiğine dair, hemen hemen her yaş gurubunda, çeşitli araştırmalara rastlanmaktadır. Bu araştırmalar çoğunlukla dörtgenler ile ilk kez tanıştırılan okul öncesi ve ilköğretimin ilk yılarındaki öğrencilerle ve bu öğrencilere eğitim verecek olan sınıf öğretmeni adayları ile yapılmıştır. Özellikle öğretmen adaylarının geometrik şekil algılarının ne olduğu, nasıl yapılandığı geleceğin öğretmenleri olarak önemli olmaktadır. İlköğretim matematik öğretmen adayları ilköğretim öğrencilerine geometrik şekiller ve özeliklerini öğretirken, sahip oldukları algı, tanım ve sınıflama yaklaşımları ile derslerini planlayacaklar ve içeriklerine yön vereceklerdir. Matematik öğretmen adayları ilköğretim öğrencilerine matematik öğretmeye başladıklarında, geometri konularında geometrik şekil algıları, sınıflama biçimlerinin nasıl olduğunu açığa çıkarmak onların eğitimlerine yön vermek ve öğretim biçimlerine müdahale etmek adına önemli olabilir. Ancak daha büyük yaş gruplarında bir başka ifade ile ilköğretimin ikinci kademesindeki öğrencilere eğitim verecek matematik öğretmen adayları ile yapılmış araştırmalara rastlanmamıştır. Bu bağlamda, bu araştırma ilköğretim matematik öğretmen adaylarının, dörtgenleri nasıl tanımladıklarını, sınıfladıklarını ve dörtgenlere ait imgelerinin ne olduğunu ortaya koymayı amaçlamaktadır. Alanyazın incelendiğinde çeşitli yaş gruplarında geometrik şekillere dair imgelerin araştırıldığı çalışmalarda, genelde bireylere geometrik şekilleri tanımlama, çizme veya sınıflama yapılan sorular yöneltildiği görülmektedir. Ayrıca Bu şekil nedir? Neden? tarzında sorular yöneltilerek de veriler toplandığı ve değerlendirildiği çalışmalar da mevcuttur. Bu çalışmalarda genel anlamda dörtgenlere ağırlık verildiği, bireylerde oluşan algıların çeşitli sebeplerden dolayı şekillendiği ve kavramlara dair kişisel imgelerin zihinlerde yer ettiği yönünde elde edilen sonuçlar ortak noktadır. Alanyazın incelendiğinde, dörtgenler özelinde, çizili verilen dörtgenleri isimlendirmeleri veya belirli ismi verilen dörtgenleri işaretlemeleri istenen çalışmalar mevcuttur. Bu çalışmalarda kare, dikdörtgen, paralelkenar, eşkenar dörtgen ve yamuğa ait şekillerin değişik tipleri, değişik durumlarda çizimleri, araştırmaya katılan farklı yaş grubundaki öğrencilere sorulmuştur. Bu çalışmalarda elde edilen sonuçlarda, genelde tipik, sıklıkla rastlanan türde çizimleri sunulan dörtgenler büyük bir oranla, doğru olarak işaretlenmiş veya isimlendirilmiştir (Clements, Swaminathan, Hanibal ve Sarama, 1999; Fujita, 2012; Fujita ve Jones, 2007; Monaghan, 2000; Okazaki ve Fujita, 2007). Ancak Okazaki ve Fujita nin çalışmasında olduğu gibi tipik çizimler 1214
TÜRNÜKLÜ, GÜNDOĞDU ALAYLI, AKKAŞ / İlköğretim Matematik Öğretmen Adaylarının Dörtgenlere İlişkin Algıları ve İmgelerinin İncelenmesi dışında farklı duruşlara sahip türde verilen şekilleri tanımada sorunlar yaşandığı belirtilmiştir. Okazaki ve Fujita nın yürüttüğü çalışma, 15 ve 18 yaş grubu öğrenciler ve aynı zamanda sınıf öğretmeni adaylarıyla yapılmıştır. Bu çalışmada çizili olarak verilen şekiller arasında dikdörtgeni bir paralelkenar olarak görme, tipik olarak çizilen bir kareyi eşkenar dörtgen kabul etme ve kenarlarından biri yere paralel olarak çizili verilmeyen dörtgenleri doğru olarak isimlendirme oranlarının düşük olduğu görülmüştür. Daha küçük yaş grubunda bu araştırma benzeri yapılan çalışmalarda da, dörtgenlere dair benzer imgelere rastlanmıştır. Örneğin okul öncesi çocuklarıyla yapılan çalışmada, araştırmaya katılan hemen hemen bütün çocuklar, elmas şeklinde tabir edilecek biçimde verilen bir karenin, kare olmadığını savunmuşlar ve verilen bu şeklin yan yatmış bir kare olduğundan, bir kare olarak adlandırılamayacağını ifade etmişlerdir (Dickson, Brown ve Gibson, 1984). Bahsi geçen bu çalışmada ve benzer bulgu ile karşılaşan diğer araştırmalarda, ortaya çıkan geometrik şekillerin tipik çizimlerinin kullanılması ve değişik duruşlara sahip çizimlerde dörtgenlerin tanınmaması durumu, algıda bir soruna işaret etmektedir. Çizilen geometrik şekiller, o geometrik şekle ait özelliklerin ve tanımın önüne geçmekte ve bireylerin zihninde yer etmektedir. Geometrik kavramların, objelerin şekilsel gösterimlerinin kullanılması, kavramsallaştırırken önemli bir rol oynamaktadırlar. Bu rol aslında olumlu yönde etkilediği gibi olumsuz yönde de etkilemektedir. Çünkü geometrik kavramların şekilsel gösterimleri tek ve biricik değildir. Bu gösterimler çok çeşitli olduğu gibi, değişik problem durumlarında veya günlük hayatta karşılaşılan biçimleri farklılık göstermektedir. Ancak tipik şekilsel gösterimler (çizimler) kavramsallaştırma noktasında tipik genelleme yapılmasına sebep olabilmektedir. Bu durumu, iki tip genellemede toplamak mümkündür (Hershkowitz, 1990): 1. Tip: Tipik durumlara dayanarak yapılan görsel çıkarımların diğer durumlara (uymayan durumlara) genelleştirilmesi. Öğrencilerin üçgenin yüksekliğini üçgenin içinde düşünüp, uymayan durumda da içine çizip yükseklik kabul etmesi bu tipe örnek verilebilir. 2. Tip: Prototip şekillerin tipik özelliklerini çıkarımda bulunmada, karar vermede kullanıp prototipin özelliklerini kavramın diğer tipleri için de uygulamaları. Örneğin, üçgeni daima ikizkenar olarak gören bir öğrencinin, üçgenler için iki kenarın eş olduğu yargısını tüm üçgenler için kullanması. Okazaki ve Fujita (2007), öğrencilerin dörtgenler arası ilişkileri nasıl yapılandırdıklarını araştırdıkları çalışmalarında, (15 ve 18 yaşındaki öğrenciler ve sınıf öğretmeni adayları ile) eşkenar dörtgenin paralelkenar, dikdörtgenin paralelkenar olup olmadığına dair sorulan sorulara öğrenciler tarafından verilen doğru yanıtların %50 ler civarında değiştiğini tespit etmiştir. Ayrıca, bu araştırmada katılımcılar, karenin bir dikdörtgen ve eşkenar dörtgen olduğu görüşünü, %35 gibi oldukça düşük yüzde ile doğru yanıtlamışlardır. Dörtgenlerdeki bu ilişkilerin düşük oranlarda doğru olarak tanımlandığını ortaya koyan farklı araştırmalar da mevcuttur (De Villiers, 1998; Elia, Gagatsis, Deliyianni, Monoyiou ve Michael, 2009; Fujita ve Jones, 2007; Heinze ve Ossietzky, 2002; Okazaki ve Fujita). Bu çalışmalarda kare-eşkenar dörtgen ve paralelkenar-dikdörtgen ilişkisinin doğru şekilde kurulamamasının, açılarının ölçüsünün 90 0 olmamasına dayandığı ortaya çıkmıştır. Benzer şekilde, kare-dikdörtgen ve paralelkenar-eşkenar dörtgen ilişkisi de kenar uzunlukları benzerliği tutmadığı için doğru şekilde ilişkilendirilememiş ve farklı aile içinde değerlendirilmiştir. Dörtgen algıları üzerinde yapılan çalışmalarda, öğrencilerin dörtgenleri nasıl tanımladıklarıyla ilgili araştırmalar da mevcuttur. Algılarda daha önce bahsedildiği gibi, tanımlar da önemli rol oynamaktadır. Hatta dörtgenlere ait zihinsel imgeler ve dörtgenlerin bazı özellikleri tanımlarda önemli rol oynamaktadır. Araştırmalarda akademik tanımdan uzak yapılan kişisel tanımlar algıları ortaya çıkarmada önemsenmiştir. Fujita ve Jones (2007), yaptığı bir çalışmada, sınıf öğretmeni adaylarına paralelkenar, kare, dikdörtgen ve yamuğun tanımlarını sormuştur. Bu araştırmada verilen doğru yanıt yüzdeleri sırasıyla %58,9, %38, %21,5 ve %12 olarak bulunmuştur. Elde edilen bu oranlar öğretmen adayları için oldukça düşüktür. Aynı araştırmada adı geçen bu dörtgenleri, şekilsel olarak tanımaları istenmiş ve dörtgenlerin şekillerinin, yüksek bir oranla doğru olarak belirtildiği ortaya çıkmıştır. Tabii ki bu durum veriler arası bir çelişki gibi gözükse de, birçok araştırmacının da vurguladığı gibi Tall ve Vinner ın (1981) ortaya attığı kişisel kavram tanımlarının akademik tanımlardan farklılaşabileceği gerçeğini göstermektedir. Okazaki ve Fujita ya (2007) göre dörtgenlere ilişkin algılara, tipik (prototip) şekil imgesi, şekle ait özellikler ve prototip imgenin doğurduğu açık olmayan özellikler yön vermekte, dolayısıyla akademik tanımlardan farklı kişisel tanımlara rastlanabilmektedir. Çokgenlerin sınıflandırılması, çokgenler arası ilişkilerin oluşturulabilmesi ve dolayısıyla geometride problemlerin çözümünde ve ispat çalışmalarında önemli görülmektedir. Çünkü bir çokgenin bir başka çokgen 1215
KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ ile aynı aileden olması veya kapsaması bu çokgen için ortaya konulan çözümler, ispatlar, özellikler, vb., diğeri için de geçerli olacaktır. Bu bağlamda De Villiers ın (1994) çokgenlerin sınıflanmasında bireylerin iki çeşit sınıflama yapabileceklerine işaret etmektedir. Bunlardan birincisi çokgenlerin barındırdıkları özellikler çerçevesinde alt kümeler şeklinde ilişkilendirilerek yapılan hiyerarşik sınıflamadır. Diğeri ise, çokgenleri birbirinden bağımsız olarak sahip oldukları farklı özellikler açısından ayrık kümeler halinde sınıflama anlamına gelen parçalı sınıflamadır. De Villiers e (1994) göre, hiyerarşik sınıflama, çokgenlerde aile ilişkilerini daha anlaşılır kılan bir sınıflama biçimi olarak ifade edilmiştir. Ayrıca alternatif tanımların oluşturulması, problem çözme sırasında kavramsal şemanın çizilmesinde daha etkili olduğunu da ifade etmiştir. Çeşitli araştırmacıların da vurguladığı gibi, bireylerin hiyerarşik sınıflama yapmaları, bu bağlamda eğitimlerin şekillenmesi desteklenmektedir (De Villiers, 1994, 1998; Fujita, 2012). Ancak çeşitli yaş gruplarında dörtgenler ile ilgili yapılan araştırmalarda bireylerin büyük bir çoğunlukla parçalı sınıflama yaptıkları tespit edilmiştir (Berkün, 2011; Erez ve Yerushalmy, 2006; Fujita ve Jones, 2006; Monaghan, 2000). Bu durumun altında yatan sebep, bireylerin kavramlara dair imgeleri ve bu imgelerin yönlendirmesi ile dörtgenler arası ilişkilendirmenin sağlanamaması gösterilmektedir. Adı geçen tüm bu çalışmalar değerlendirildiğinde geometrik kavramların oluşturulmasında ve bu kavramlar arası ilişkilerin kurulmasında ve hatta geometrik şekillerin sınıflamasında, tipik şekil imgesi, şekle ait özellikler ve imgenin doğurduğu özellikler yön vermektedir. Yöntem Araştırmanın Deseni Araştırmanın deseni olarak, nitel araştırma desenlerinden olgubilim deseni kullanılmıştır. Araştırma için bu desenin seçilmesinin nedeni, olgubilim deseninin tanımdan da çıkarılacağı üzere, bize yabancı olmayan aynı zamanda da tam anlamıyla kavrayamadığımız olguları araştırmak için kullanılmasıdır. Ayrıca olgubilim bir kavramın katılımcılar tarafından nasıl algılandığını o fenomen gözü ile açıklamayı da amaçlar (Creswell, 1998). Bu araştırmada öğretmen adaylarının dörtgenleri tanımlamaları, çizimleri, tanımlamalar ve çizimler arasında farklılıkları ve farklılıklar varsa nedenlerini araştırmak amaçlandığı için olgubilim deseni seçilmiştir. Çalışma Grubu Araştırma, bir eğitim fakültesinde öğrenim gören, 18 i 3. sınıf, 18 i 4. sınıf olan 36 ilköğretim matematik öğretmen adayı üzerinde yapılmıştır. Özellikle 3. ve 4. sınıftan çalışma grubunun seçilmesinin nedeni, öğretecekleri programa daha hâkim olmaları ve bilgi donanımlarının nerdeyse tamamlanmış olmasıdır. Bu öğretmen adayları maksimum çeşitlilik örnekleme yöntemi ile belirlenmiştir. Maksimum çeşitlilik örneklemesinde, bireylerin çeşitliliği önemli olduğu için, bu araştırmada öğretmen adaylarının akademik başarıları ve sınıf farklılıklarına dikkat edilerek seçim yapılmıştır. Bu seçimde öğretmen adayları akademik başarılarına göre not ortalaması, 2,5 ve altı, 2,5 ve 3 arası, 3 ve üstü olmak üzere ayrılmış ve seçilen adayların bunlara göre dağılımları tablo 1 de verilmiştir. Tablo 1. Çalışma Grubu ve Özellikleri Sınıf Seviyeleri Akademik Başarı Durumları Toplam 2.5 ve altı 2.5 ve 3 arası 3 ve üstü 3. sınıf 9 6 3 18 4. sınıf 10 4 4 18 Toplam 19 10 7 36 Öğretmen adaylarının seçiminde araştırmaya gönüllü olmaları göz önüne alınmıştır. Akademik başarıdaki çeşitliliğin araştırma verilerinde de çeşitlilik yaratacağı düşünülmüştür. Bu tarz örneklem kullanılmasındaki amaç, öğretmen vasfı almaya ve eğitimlerini tamamlamaya yakın öğrencilerin farklı başarı düzeyleri ile farklılaşacağı düşünülen algı durumlarını elde etmektir. Veri Toplama Aracı Araştırmada veriler yarı- yapılandırılmış bir görüşme formu ile toplanmıştır. Görüşme formu hazırlanırken konu ile ilgili alan yazın incelenmiş ve elde edilen veriler ışığında görüşme formu hazırlanmıştır. Alanda yapılan çeşitli çalışmalar bireylerde geometrik kavramlara dair algıların bu kavramın barındırdığı özellikler, tanımı ve temsil için kullanılan şekilsel çizimleri ile etkilendiği ve şekillendiği ortaya çıkmıştır. Dörtgenler için aile ilişkisinin ortaya konulması da, bu algıları ortaya çıkarmada ve ayrıca şekillendirmede önemli olmuştur (Berkün, 2011; Fujita, 2012; Fujita ve Jones, 2006; Hershkowitz, 1990). Bu bağlamda bu araştırmalar ışığı altında bu araştırmada görüşme için hazırlanan sorular iki bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde, öğretmen adaylarına dörtgenlerin tanımsal ve çizimsel özelliklerini nasıl betimlediklerine yönelik, ikinci bölümde ise 1216
TÜRNÜKLÜ, GÜNDOĞDU ALAYLI, AKKAŞ / İlköğretim Matematik Öğretmen Adaylarının Dörtgenlere İlişkin Algıları ve İmgelerinin İncelenmesi dörtgenler arasındaki ilişkileri ortaya çıkarmaya yönelik sorular yer almaktadır. Bu şekilde hazırlanan görüşme formu, biri 3. sınıf, bir diğeri 4. sınıfta öğrenim görmekte olan iki öğretmen adayına sunularak, görüşme sorularının pilot çalışması yapılmıştır. Yapılan pilot görüşmelerin ardından, araştırmayı gerçekleştiren üç matematik eğitimcisi, görüşme sorularının son haline karar vermiştir. Araştırmacılar, görüşme yapmadan önce, görüşme yapacağı her öğretmen adayına, görüşmelerin ses kayıt cihazına kaydedileceğini belirtmiştir. Görüşmeler ortalama 30 dakika sürmüştür. Veri toplama süreci 3 hafta sürmüştür. Görüşme yapmadan önce araştırmacılar, öğretmen adayını görüşmeye hazırlamak amacıyla, yapacağı görüşmenin sınav niteliği taşımadığını, sadece konu hakkında ne düşündüğünü ortaya çıkarmak için görüşme yaptığını belirtmiştir. Görüşmelerde, soruların sunum sırası her öğretmen adayı için aynı olmuştur. Görüşmelerde elde edilen verilerin yanı sıra öğretmen adaylarının görüşme esnasındaki çizimleri de analizde kullanılmıştır. Veri Analizi Araştırmada elde edilen verilerin analizinde içerik analizi tekniği kullanılmıştır. İçerik analizinde temelde yapılan işlem, birbirine benzeyen verileri belirli kavramlar ve temalar çerçevesinde bir araya getirmek ve bunları okuyucunun anlayabileceği bir biçimde düzenleyerek yorumlamaktır. Bu işlemler, içerik analizi türlerinden tümevarımcı analiz yoluyla yapılmıştır. Verilerin analizi üç aşamada gerçekleştirilmiştir. Birinci aşamada ses kaydı olarak elde edilen verilerin çözümlemesi yapılmıştır ve iki araştırmacı tarafından veri çözümlemeleri kontrol edilmiştir. İkinci aşamada, çözümlenen veriler iki araştırmacı tarafından ayrı ayrı kodlanmış ve iki araştırmacının bağımsız olarak yaptığı kodlamalar biraraya getirilerek, üçüncü araştırmacıya sunulmuştur. Yapılan kodlamalar üçüncü araştırmacı tarafından kontrol edilerek, son haline getirilmiştir. Bu karşılaştırmalar sonucu, araştırmacıların bağımsız kodlamaları arasında % 85 uyum tespit edilmiştir. Araştırmacıların kodlamalarda çelişkiye düştükleri durumda, araştırmacılar neden o kodu belirlediklerini açıklamıştır. Bu açıklamalardan sonra, üzerinde tartışılan kod tekrar okunmuş ve kodlama tekrar yapılmıştır. Uyuşum yüzdesinin %70 veya daha üstü olması yeterli görüldüğünden veri analizi açısından güvenirlik sağlanmıştır (Türnüklü, 2000). Çalışmanın Geçerlik ve Güvenirliği Araştırmanın geçerliği ve güvenirliğini artırmak amacıyla bazı önlemlere başvurulmuştur. Araştırmanın iç geçerliğini artırmak amacıyla görüşme formu hazırlanırken alan yazın dikkate alınmıştır. Ses kaydıyla elde edilen veriler yazılı hale dönüştürülmüş ve araştırmacılar tarafından veriler kontrol edilmiştir. Verilerden elde edilen temalar ve temaları oluşturan alt temaların kendi aralarındaki ilişkisi ile her bir temanın diğerleriyle ilişkisi kontrol edilerek bütünlük sağlanmıştır. Öğretmen adaylarının görüşlerini herhangi bir endişeye kapılmadan rahatça ifade edebilmeleri için, araştırmacılar tarafından, öğretmen adaylarıyla görüşme öncesi, araştırmanın içeriği ve sınav niteliği taşımadığı hakkında bilgiler verilmiştir. Böylece görüşme sürecinde toplanan verilerin gerçek durumu yansıtması sağlanmıştır. Araştırmanın dış geçerliğini artırmak için araştırma modeli, çalışma grubu, veri toplama aracı, veri toplama süreci, verilerin toplanması- analizi ve yorumlanması ayrıntılı bir şekilde belirtilmiştir. Araştırmanın iç güvenirliğini artırmak için bulgular doğrudan yorum katılmadan verilmiştir. Verilerden elde edilen kodlamalar araştırmacılar tarafından ayrı ayrı yapılmış, daha sonra bir araya getirilerek uyum yüzdesi hesaplanmıştır. Ayrıca elde edilen kodlar üçüncü araştırmacı tarafından bağımsız olarak tekrar kontrol edilmiştir. Araştırmanın dış güvenirliğini artırmak için, araştırma sürecinde yapılanlar ayrıntılı olarak belirtilmiştir. Aynı zamanda araştırmayı oluşturan veriler, daha sonra incelenebileceği düşüncesiyle, araştırmacılar tarafından saklanmaktadır. Bulgular Öğretmen adaylarının, dörtgenlerle ilgili algısını araştıran bu çalışmada, veriler, dörtgen tanımları, dörtgen çizimleri ve dörtgen sınıflandırmaları olmak üzere 3 ana başlık altında incelenerek analiz edilmiştir. Yapılan analizler sonucunda, öğretmen adaylarının dörtgen tanımları, çizimleri ve dörtgen sınıflandırmaları belirlenen temalar çerçevesinde örneklendirilerek ve frekans tabloları verilerek sonuçlar belirli teorik çerçevede yorumlanmıştır. Dörtgen Tanımları Araştırmada, öğretmen adaylarından kare, dikdörtgen, paralelkenar, eşkenar dörtgen ve yamuğu tanımlamaları istenmiştir. Verilen yanıtlarda 1217
KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ tanımların akademik anlamda doğru bir şekilde ifadesi önemli olmakla birlikte kavramsal algıların yön verdiği kişisel tanımlar da dikkate değerdir. Bu bağlamda, akademik tanımın yapılması, kişisel tanımların doğru, eksik veya yanlış olacak şekilde yapılması öğretmen adaylarının bu kavramlara dair imgelerini belirlemede önemli olmuştur. Matematik öğretmen adaylarının tanımlamalarına ilişkin frekans ve yüzdeleri tablo 2 de verilmiştir. Dörtgenlere ilişkin gerek ve yeter koşulu sağlayan özelliklerinin yanılgı içermeyen tanımları akademik tanım olarak kabul edilmiştir. Tabloda yer alan eksik tanım grubu, sorulan çokgene ilişkin gerekli tanımı tam ifade edemeyen ancak hata da içermeyen gruptur. Fazla özellik sayarak yapılan tanımlar da akademik tanım grubundan ayrı değerlendirilmiştir. Çünkü çokgenlere dair bilinen her türlü özelliğin sayılarak tanımın yapılması o çokgenin tam kavramsallaştırılamadığına işaret eder ve ayrı değerlendirilmelidir. Tablo 2 de görüldüğü gibi, öğretmen adayları, dörtgenler arasında en çok kare ve ikinci sırada dikdörtgen tanımında başarılı olmuşlardır. Akademik tanım yapmada en düşük oranın yamuk tanımında olduğu ve en çok yanlış ifadelerin yine yamuk tanımında kullanıldığı görülmektedir. Dörtgenlerin tanımlarına ilişkin yapılan kategorilendirmenin daha iyi anlaşılması için tablo 3 te her bir dörtgene yönelik yapılan tanımlamalara birer örnek verilmiştir. Tanımlarda öğretmen adayları, dörtgen ifadesinin yanı sıra çokgen, geometrik şekil, şekil, geometrik cisim gibi ifadeler kullanmışlardır. Çokgen, geometrik şekil ve şekil akademik olarak doğru yorumlanırken, geometrik cisim ifadesi, dörtgen tanımları için kabul görülebilir bir ifade olmadığından yanlış tanımlama olarak değerlendirilmiştir. İlköğretim matematik öğretmen adaylarının tanımlardaki ifadeleri daha ayrıntılı değerlendirildiğinde bazı önemli algıların tanımlara yansıdığı görülmektedir. Bu bağlamda ilk önce akademik tanımların çoğunlukla yapıldığı kareye ilişkin kişisel tanımlar değerlendirildiğinde, dört kenarı ve bu kenarların eş olması ön plana çıkmaktadır. Görüşme yapılan adaylardan bazılarının, kareye ait kenar ve açı özelliklerinden yalnızca bir tanesini ifade etmeleri ve tanım için yeterli görmeleri dikkate değerdir. Bu durum, onların kare ile ilgili gerekli özellikleri algılarına dahil etmediklerine işaret eder. Ayrıca öğretmen adaylarından alınan dört kenarı eşit olan bir şekildir şeklindeki tanımlamaları onların tipik olarak çizilen kare imgesi ile tanım yaptıkları ve açı özelliğinin bu imge içinde yer almadığını gösterir. Görüşmeye katılan ilköğretim matematik öğretmen adaylarının dikdörtgene dair tanımları incelendiğinde kare tanımlarında olduğu gibi kenar ve açı özelliklerini ifade ederek tanımlama yaptıkları görülmektedir. Bu tanımda doğal olarak kareden farklı bir şekilde karşılıklı kenarların eşitliği tanımlara yansımıştır. Bir adayın tanımda bir kısa bir uzun kenarı varıdır ifadesi dikkate değer olmuştur. Çünkü bu bakış açısından ele alındığında bu aday için kare, dikdörtgen ailesi içinde yer almayacaktır. Ayrıca bu adayın dikdörtgenin tipik çizimini görsel olarak dikkate aldığını ve yanlış genellemeye ulaştığını gösterir. Bu durum Hershkowitz in (1990) birinci tip yanlış hüküm verme çeşidine karşılık gelmektedir. Eşkenar dörtgen tanımları değerlendirildiğinde, ilköğretim matematik öğretmen adaylarının %40 nın akademik tanımı yapabildikleri görülmüştür. Diğer kişisel tanımlarda ise genelde eşkenar dörtgeni 4 kenarı eşit uzunlukta bir şekil ifadeleri ile tanımlamışlardır. Açı özelliği çoğunlukla ifadelere yansımamıştır. Bu durum, öğretmen adaylarının eşkenar dörtgen imgesi ve kare imgesini birbirinden ayıran bir yapı olmadığını gösterir. Ayrıca direkt kareyi işaret eden tanımlara da rastlanmıştır. Örneğin görüşmeye katılan dördüncü sınıf öğretmen adayı (A.O:2.49) eşkenar dörtgeni Kenar uzunlukları birbirine eş ve aynı zamanda 4 kenara sahip çokgenlerdir. Kenarlar birbirine paraleldir. Dik açılıdır. Eşkenar dörtgende de köşegenler birbirini ortalar şeklinde tanımlamıştır. Daha sonra araştırmacı ile aday arasında aşağıdaki diyalog gerçekleşmiştir: Tablo 2. Dörtgen Tanımlarına Yönelik Frekans ve Yüzdelik Değerleri Akademik Tanımlama (n) Eksik Tanımlama (n) Fazla Özellik Sayarak Tanımlama (n) Yanlış Tanımlama (n) Tanımlaya-mama (n) Toplam Kare 19 (%53) 9 (%25) 3 (%8) 5 (%14) 0 (%0) 36 (%100) Dikdörtgen 12 (%33) 11 (%31) 9 (%25) 4 (%11) 0 (%0) 36 (%100) Eşkenar Dörtgen 11 (%31) 12 (%33) 7 (%19) 5 (%14) 1 (%3) 36 (%100) Paralelkenar 12 (%33) 11 (%31) 9 (%25) 3 (%8) 1 (%3) 36 (%100) Yamuk 7 (%20) 3 (%8) 4 (%11) 18 (%50) 4 (%11) 36 (%100) 1218
TÜRNÜKLÜ, GÜNDOĞDU ALAYLI, AKKAŞ / İlköğretim Matematik Öğretmen Adaylarının Dörtgenlere İlişkin Algıları ve İmgelerinin İncelenmesi A: Açıları 90 derece olduğunda eşkenar dörtgen mi oluyor yani? Ö: Benim bu eşkenar dörtgende bahsettiğim özelliklerin hepsi kareyle aynı zamanda uyan özellikler oldu. Onu düşünüyorum hani 4 kenarı var iç açılarını bulmaya kalkarsam 90 derece elde ediyorum. İç açıları toplamı 360 derece 4 kenarlı. Eşkenar çokgenlerin iç açılarını bulmaktan yola çıkarsam evet 90 derece. A: 90 derece olmazsa eşkenar dörtgen olmaz mı? Ö: Olmaz A: Eşkenar dörtgenle kare arasında ne fark var o zaman? Ö: Bilemiyorum. Öğretmen adayı ile araştırmacı arasındaki diyalog incelendiğinde, öğretmen adayının, bir çelişki içine düştüğü görülmektedir. Her ne kadar yaptığı tanım ve eşkenar dörtgene dair saydığı özellikler kare özellikleri ile örtüşse de aslında eşkenar dörtgene ait prototip şeklin algıyı etkilediği söylenebilir. Çünkü genelde eşkenar dörtgen karenin bir ölçüde döndürülmüş hali en sık rastlanan ve çizilen tipidir. Bu tarz çizilen eşkenar dörtgenlerin açı ölçüleri de daima 90 0 olduğundan açı ölçüleri 90 0 değil ise eşkenar dörtgen olmaz yanılgısı ile karşılaşılmaktadır. Bu durum Hershkowitz in (1990) ikinci tip yanlış hüküm verme çeşidine karşılık gelmektedir. Ayrıca bu aday, pek çok adayın vurgulamadığı paralelliği özellikler arasında saymıştır. Eşkenar dörtgen ile ilgili tanımlarda ayrıca iki tane eş ikizkenar üçgen veya iki tane eşkenar üçgenin birleştirilmesi ile oluşan şekil veya dörtgen tanımlarına da rastlanmıştır. Bu tanımlar akademik tanım olmamakla birlikte teoride eşkenar dörtgenden farklı bir yapıya götürmez. Ancak eşkenar dörtgenin bazı özelliklerini ortaya koymada sınırlılık yaratabilir. İki eşkenar üçgen ile oluşturulan eşkenar dörtgende birey açı özellikleri açısından yanılgıya düşebilir. Çünkü bu yapıda sadece tek türlü açı ölçüsü ortaya çıkar ki bunlar 60 0 ve 120 0 lik açılardır. Ayrıca eşkenar dörtgenin 2 tane ikizkenar üçgenin birleşmesiyle oluşacağını ifade ederek aslında deltoid tanımına ulaşan öğrenciler de olmuştur ve bu tanımlar yanlış tanım olarak değerlendirilmiştir. Tablo 3. Dörtgen Tanımlarına İlişkin Örnekler Akademik Tanımlama Kare Dikdörtgen Eşkenar Dörtgen Paralelkenar Yamuk Kare, kenarları birbirine eşit ve kenarlar arasındaki açıları 90 derece olan bir dörtgendir. (A.O:3,16, 3.Sınıf) Karşılıklı kenarları birbirine eşit olan ve yine kenarları birbirine dik dörtgenlerdir. (A.O:2,40, 3.Sınıf) Karşılıklı kenarları birbirine paralel olan ve dört kenarı birbirine eşit olan geometrik şekil. (A.O:1,88, 3.Sınıf) Paralelkenar, karşılıklı kenarları paralel ve karşılıklı kenarları birbirine eşit olan bir dörtgendir. (A.O:3,45, 3.Sınıf) Karşılıklı kenarları paralel olan ve diğer 2 kenarın paralel olmasına gerek yok böyle geometrik şekle yamuk denir. (A.O:2,25, 4.Sınıf) Eksik Tanımlama Kare, 4 kenarı olan, kenarlar arasındaki açı 90 derece olan bir dörtgendir. (A.O:2,40, 3.Sınıf) Karşılıklı 2 kenarlarının uzunlukları eşit olan yine bir dörtgendir. (A.O:3,08, 4.Sınıf) Bütün kenarları birbirine eşit geometrik şekil. (A.O:2,25, 4.Sınıf) Karşılıklı 2 kenarlarının uzunlukları eşit olan ve açıları 90 dereceden farklı, iç açıları farklı olan dörtgendir. (A.O:3,08, 4.Sınıf) İç açıları 360 derece olan kenar uzunlukları birbirine eş olmayan dörtgenlerdir. (A.O:2,49, 4.Sınıf) Fazla Özellik Sayarak Tanımlama Kare 4 doğru parçası dik kesişmesi lazım hepsinin uzunlukları eşit kenarlarının uzunlukları eşit ve aralarında 90 derece olan doğru parçalarından oluşuyor. Mesela köşegenler herhalde 2 eşit parçaya bölüyor. 45 45 olarak 2 eşit parçaya ayrılıyor. (A.O:2,64, 3.Sınıf) Dikdörtgen, yine iç açıları 90 derece olan karşılıklı kenarları birbirine eşit ve paralel olan dörtgendir. (A.O:1,88, 3.Sınıf) Eşkenar dörtgenin kenarları birbirine eşittir. Ancak açıları hepsi 90 derece değildir. Karşılıklı açıları birbirine eşit. Ve köşegenleri karşılıklı köşegenleri açıortay oluşturur. Açılarını ortadan ikiye böler diyim. İç açıları toplamı 360 derece. Yani dört kenarı birbirine eşit olan bir dörtgendir. (A.O:3,06, 4.Sınıf) Karşılıklı açılarının toplamı 180 derece olan ve karşılıklı kenarları eşit ve paralel olan bir dörtgen. (A.O:2,45, 3.Sınıf) Yamuk ikiye ayrılıyor ikizkenar yamuk dik yamuk. Yamukta sadece alt ve üst kenarları birbirine paralel, diğer yan kenarları birbirine eşit de olabilir, biri dik olabilir ya da birbirine eşit olmayabilir. Üçe ayrılıyor yamuk çeşitleri. (A.O:2,12, 4.Sınıf) Yanlış Tanımlama Kare, bütün kenarları birbirine eşit, her köşesi 90 derece olan bir geometrik cisim. (A.O:2,12, 4.Sınıf) Dikdörtgenler karşılıklı 2 kenarı birbirine eşit ve birbirine dik olan kapalı bir geometrik cisimdir. (A.O:2,71, 3. Sınıf) İki tane ikizkenar üçgenin birleşmesiyle oluşan dört kenarlı kapalı geometrik cisimdir. (A.O:2,71, 3. Sınıf) Paralelkenar, karşılıklı kenarları birbirine eşit ve paralel olan geometrik bir cisimdir. (A.O:1,88, 3.Sınıf) Yamuk 5 kenarı olan bir geometrik şekildir. (A.O:2,07, 4.Sınıf) 1219
KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ Paralelkenar için ilköğretim matematik öğretmen adaylarının tanımları değerlendirildiğinde genel anlamda karşılıklı kenarları paralel olan dörtgen tanımı yaygın bir tanım olmuştur. Bazı tanımlarda karşılıklı kenarların ve/veya açıların eş olması da ifade edilmiştir. Aslında karşılıklı açıların ve kenarların eş olması paralelkenarın paralelliğini garantileyen özelliklerdir. Bu bağlamda adaylardan alınan yanıtlar paralelkenar algısı bağlamında başarılıdır. Çalışmaya katılan bazı öğretmen adaylarında kare ve dikdörtgenin de paralelkenar olması durumunun net olmadığı tanımlara yansımıştır. Örneğin bir adayın paralelkenarın kare ve dikdörtgenin özel hali şeklindeki ifadesi aile sınıfları arasındaki ilişkinin doğru yapılandırılmadığına işaret eder. Farklı bir aday ise tanımında fakat bu sefer 4 kenar değil karşılıklı kenarlar eşit olacak ifadesine yer vermesi ilk bakışta algılarda sorun yok gibi görülse de kareyi paralelkenar sınıfının dışına itmesine sebep olacaktır. Bir başka tanımda paralelkenarın açılarına dair 90 0 olmasına gerek yok ifadesi paralelkenar ailesinin sınırlarının doğru çizildiğine işaret etmektedir. Yamuk, çalışmaya katılan ilköğretim matematik öğretmen adaylarının tanımlarken büyük oranda sorun yaşadıkları bir dörtgen olmuştur. Tablo 2 de de verildiği gibi, en çok yanlış tanımın yapıldığı ve hiçbir şekilde tanımlanamayan dörtgen yamuk olmuştur. Yamuk ile ilgili akademik tanımlar dışında kişisel tanımlar değerlendirildiğinde çalışmaya katılan adayların aslında belli özelliğe sahip bir yamuk algısının oluşmadığını göstermektedir. Bazı tanım örnekleri şöyledir. 4 kenarı ve kenarları birbirinden bağımsız, hiç kural oluşturmayacak şekilde dış bükey dörtgen. (A.O: 2.22, 4. Sınıf) Belli bir kuralı, özelliği yok. Her şeklini çizebiliriz yamuğun. (A:O: 2.90, 3. Sınıf) Dört kenarı olacak ve istediğimiz şekilde çizebileceğimiz şekil. (A.O: 2.00, 3. Sınıf) 2 tane kenar birbirine paralel sadece, diğerleri yamuk adı üstünde yamuk (A.O: 2.71, 3. Sınıf) Bu tanımlardan anlaşılacağı üzere yamuğun tamamen gelişigüzel çizilen bir dörtgen olduğu algısı hakimdir. Bu araştırmada ilköğretim matematik öğretmen adaylarından alınan dörtgen tanımları çalışmaya katılan adayların hem akademik tanımlardaki başarılarını hem de bu dörtgenlere dair algılarını ve zihinlerinde oluşturdukları imgeleri de yansıtmıştır. Bu dörtgenleri çizmeleri onların zihinlerinde oluşan imgeler ve algılara dair daha ayrıntılı değerlendirme imkanı sağlayacaktır. Dörtgen Çizimleri Çalışmaya katılan ilköğretim matematik öğretmen adaylarından kare, dikdörtgen, paralelkenar, eşkenar dörtgen ve yamuğu çizmeleri istenmiştir. Belirtilen bu her dörtgen için çizdiklerinden farklı olacak şekilde 2 tane daha şekil çizmeleri istenmiş ve neden farklı olduğunu düşündükleri sorulmuştur. Adayların çizdiği bu dörtgenler görünüşte doğru ve yanlış çizim olarak kategorilendirilmiştir. Doğru olarak sınıflandırılan çizimler notasyona dikkat edilme veya edilmeme durumuna göre iki grupta ele alınmıştır. Notasyona dikkat ederek doğru çizim yapan öğretmen adaylarından, şekli biçimsel olarak doğru çizmesinin yanı sıra, kenar uzunluklarının eşliği, açıların eşliği, dik açılar ve kenarların paralelliğinden gerekli olan işaretlemeleri çizimlerinde göstermeleri beklenmiştir. Notasyona dikkat etmeden doğru çizim yapan öğretmen adaylarının ise, şekli biçimsel olarak doğru çizmeleri yeterli kabul edilmiştir. Böyle bir kategorilendirmeye gidilmesinin sebebi, görünüş olarak her ne kadar adaylar doğru çizseler de notasyona dikkat edilmesinin gelecekte öğretmen olacak adaylar için önemli bir ayırt edici davranış olmasıdır. Bu bağlamda bu kategoriler çerçevesinde ilk çizilen şekillere ilişkin frekans ve yüzde değerleri tablo 4 te verilmiştir. Tablo 4 incelendiğinde, öğretmen adaylarının %98 inin dörtgenleri doğru çizdiği görülmektedir. Ancak adayların büyük bir çoğunluğunun notasyona dikkat etmeden bir başka deyişle açı ve kenar eşliği, paralellik gibi özellikleri uygun matematiksel gösterimleri, sembolleri kullanarak çizmedikleri tespit edilmiştir. Tablo 5 te her bir dörtgen için ayrı ayrı her kategoriye ait çizim örnekleri verilmiştir (Seçilen örnekleri çizen adayların akademik ortalaması ve hangi sınıfta olduğu şekilde belirtilmiştir). Yapılan tüm çizimler incelendiğinde yukarıda verilen örneklerde olduğu gibi dörtgenlerin tipik örneklerinin çizildiği görülmektedir. Bu çizimler anlık çizmeleri istendiğinde zihinlerinde var olan imgelerinin yansımalarıdır. Bu yansımalar tabii ki kavrama dair algıları yansıttığı gibi, bu zamana kadar karşılaşılan örnekleri de gösterir. Kare, dikdörtgen ve paralelkenarı tıpkı tanımlarına yansıttıkları şekilde çizdikleri görülmektedir. Yamuk ile ilgili çizimlerin genelde doğru çizilmiş olması beklenti dışıdır. Çünkü dörtgenler içersinde en çok yamuk tanımında yanlışlıklarla karşılaşılmıştır. Öğretmen adaylarının birçoğu tanımlarında yamuğun belli bir kuralı olmadan gelişigüzel çizilen dörtgen olmasına vurgu yapmalarına rağmen, çizimlerinde 2 kenarın birbirine paralelliğine dikkat etmeleri oldukça dikkat çekicidir. Bu durum çalışmaya katılan adayların görsel imge olarak yamuğu bütün olarak algıladıkları 1220
TÜRNÜKLÜ, GÜNDOĞDU ALAYLI, AKKAŞ / İlköğretim Matematik Öğretmen Adaylarının Dörtgenlere İlişkin Algıları ve İmgelerinin İncelenmesi Tablo 4. Öğretmen Adaylarının Dörtgen Çizim Frekans ve Yüzde Değerleri Notasyona Dikkat Ederek Doğru Çizim Notasyona Dikkat Etmeden Doğru Çizim Yanlış Çizim Toplam Kare 13 (%36) 23 (%64) 0 (%0) 36 (%100) Dikdörtgen 9 (%25) 27 (%75) 0 (%0) 36 (%100) Eşkenar Dörtgen 9 (%25) 24 (%67) 3 (%8) 36 (%100) Paralelkenar 8 (%22) 28 (%78) 0 (%0) 36 (%100) Yamuk 8 (%22) 28 (%78) 0 (%78) 36 (%100) Genel yüzde (Toplam N=180) 47 (%26) 130 (%72) 3 (%2) 180 (%100) ve zihinlerine yerleştirdiklerini göstermektedir. Tanımı yapamamaları veya yanlış yapmaları bu şekle dair özelliklerinin ayrımına varamadıklarını gösterir. Bu durum da Fujita ya (2012) göre Hiele nin geometrik düşünme düzeylerinden ilk düzey olan görsel düzeye karşılık gelir. Yamuk çizimleri ile ilgili dikkat çeken bir diğer nokta, notasyonla ikizkenar yamuk olarak gösterilmese de yamuğun, çoğunlukla ikizkenar yamuk biçiminde çizilmesidir. Bu da, öğretmen adaylarının zihnindeki yamuğa ait imgelerinin ikizkenar yamuk biçiminde olduğunu göstermektedir. Bu durumun sebebi, okullarda öğretmenlerin yamuğu tek tip olarak ikizkenar yamuk biçiminde çizmesi olabilir. Tablo 5. Dörtgenlere İlişkin Çizim Örnekleri Notasyona Dikkat Ederek Doğru Çizim Kare Dikdörtgen Notasyona Dikkat Etmeden Doğru Çizim (A.O:2.90,3. Sınıf) (A.O: 3.45, 3. Sınıf) 2a a a 2a (A.O:3.16, 3. Sınıf) (A.O:2.28, 4. Sınıf) Eşkenar dörtgen çizimlerinde öğretmen adaylarının % 70 inin (23 kişi) şekil 1 de görülen baklava dilimi biçimindeki tipik çizimi yaptıkları belirlenmiştir. Bu tür çizimlerde, şekil 2 de verildiği gibi, karenin döndürülmüş formatında çizimler de yapılmıştır. Bu çizimler, daha önce bahsedildiği gibi, eşkenar dörtgen tanımının kare tanımı ile neden karıştırıldığının kanıtı olabilir. Karenin döndürülmüş şeklinde çizilen bir eşkenar dörtgen, imge olarak tüm eşkenar dörtgenlerin kare özelliklerine sahip olabileceği biçiminde yanlış genelleme yapmaya sevk edecektir. Bu durum daha önce de belirtildiği gibi Hershkowitz in (1990) ikinci tip yanlış hüküm verme çeşidine karşılık gelmektedir. Şekil 1 Şekil 2. Tipik Eşkenar Dörtgen Çizimi Eşkenar Dörtgen Çizimi Eşkenar dörtgen çizimlerinde yanlış çizimlere de rastlanmıştır. Bu durum sınırlı sayıda olsa da tipik yanlış algılar bağlamında önemlidir. Çalışmaya katılan 3 aday eşkenar dörtgeni şekil 3 teki gibi çizmiştir. Bu şekil aslında bir deltoidtir. Bu adaylardan biri çizimlerinden sonra eşkenar dörtgenle deltoidi karıştırdığını ifade etmiştir. Diğer iki aday eşkenar dörtgeni, 2 ikizkenar üçgenin birleşiminden oluşan dörtgen biçiminde tanımlamıştır. Çizimlerinde de iki ikizkenar üçgeni kullanmaları zihinlerindeki eşkenar dörtgen şeması ile tanım yaptıklarını düşündürmektedir. Eşkenar Dörtgen (A.O:2.12, 4. Sınıf) (A.O:2.72, 3.Sınıf) Paralelkenar Yamuk (A.O: 2.65, 4.Sınıf) (A.O:1.92, 3.sınıf) D C A B (A.O: 3.46, 3. Sınıf) (A.O:2.10, 4. Sınıf) Şekil 3. Yanlış Eşkenar Dörtgen Çizimi (A.O: 2.71, 3.Sınıf) Öğretmen adaylarının, kare ve paralelkenar çizimlerinde tek tip şekil çizdikleri belirlenmiştir. Dikdörtgen şeklini genel olarak uzun kenarı, kısa kenarın 2 katı olacak biçimde çizdikleri görülmüştür. Hatta bazı adaylar, notasyonla da, şekil 4 ve şekil 5 te görüldüğü gibi belirtmişlerdir. Bu da 1221
KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ bize genelde öğretmen adaylarının, zihinlerindeki imgelerinin, uzun kenarı kısa kenarın 2 katı olacak biçimde bir dikdörtgen olduğunu göstermektedir. Bu durumun sebebi, yine okullarda öğretmenlerin dikdörtgeni tek tip olarak bu biçimiyle çizmesi ve farklı çizimlere yer vermemesi olabilir. 2a 6 cm a a 3 cm 2a Şekil 4. (A:O: 3.16, 3.Sınıf) Şekil 5. (A.O: 2.71, 3.Sınıf) çizerek farklı çizimler oluşturulmuştur. Şekil 7 ve şekil 8 de bu tarz çizimlerden paralelkenar ve eşkenar dörtgene ilişkin örnekler sunulmuştur. Benzer tarzda kare ve dikdörtgen çizimlerine de rastlanmıştır. Şekil 7. Konum Farklılığı (A.O:2.40, 3. Sınıf) Araştırmada adaylardan dörtgenleri birbirinden farklı olduklarını düşündükleri 3 değişik şekilde çizmeleri de istenmiştir. Çizdikleri ikinci ve üçüncü dörtgenler bir önceki ile karşılaştırılarak hangi özelliğine göre farklılık yarattıkları belirlenmiştir. Bu bağlamda yapılan çizimlerin kenar uzunluğu, açı ölçüsü gibi ölçüme dayanan farklılaştırma, konum açısından farklılık (örneğin dörtgenin bir nevi döndürülmüş halleri) ve aile ilişkileri bağlamında aynı aileden olan dörtgenlerin çizilmesiyle değişik çizimler elde edilmiştir. Bu kategoriler çerçevesinde çizimlerdeki farklılık nedenlerinin frekansları, tablo 6 da sunulmuştur. Tablo 6. Dörtgen Çizimlerindeki Farklılık Nedenleri Frekans Tablosu Ölçüm Konum Aile İlişkisi Kenar Uzunluğu Açı Ölçüsü Kare 32 0 19 0 Dikdörtgen 28 0 27 0 Eşkenar Dörtgen 30 7 23 3 Paralelkenar 28 4 22 4 Yamuk 15 4 14 0 Tablodaki değerler dikkate alınırsa, matematik öğretmen adaylarının aile ilişkisi çizimlerine pek yansıtmadıkları görülmektedir. Şekil 6 da, aynı aileden olmaları sebebiyle paralelkenarı çizerken farklı çizim olarak dikdörtgen ve karenin de çizildiği bir örnek verilmiştir. Şekil 6. Paralelkenar Çizimi: Aile İlişkilerine Göre Farklılık (A.O:2.71, 3. Sınıf) Çizimlerde konum açısından farklı çizerek değişik türde dörtgen çizimleri de yapılmıştır. Bu tür çizimlerde genelde ilk çizilenin döndürülmüş hallerini Şekil 8. Açı, Kenar ve Konum Farklılığı (A.O:2.12, 4. Sınıf) Bu tarz çizimlerin yapılması adayların dörtgenlerin değişik duruşlarının da farkında olduklarını işaret eder. Bu da dörtgenlerin tipik prototip çizimlerinin dışına çıkabildiklerini gösterir. Açı ölçüsü veya kenar uzunluğuna dikkat edilerek çizim yapan öğretmen adaylarının prototip imgelerin dışına çıkamadıklarının göstergesi olabilir. Aynı aileden olmaları itibari ile bu tarz çizim yapan adayların dörtgenlere ilişkin algılarının üst düzeyde olabileceği düşünülebilir. Dörtgenlerde Sınıflama Araştırmada öğretmen adaylarına kağıt kalem verilerek dörtgenleri sınıflandırmaları istenmiştir. Adaylar, sınıflandırma yaparken şekiller çizmeleri veya dörtgenlerin isimlerini yazarak sınıflandırma yapmaları konusunda serbest bırakılmıştır. Öğretmen adayları birden fazla özelliğe göre sınıflandırma yapmıştır. Tablo 7 de öğretmen adaylarının yaptığı sınıflandırmaların frekansları verilmiştir. Adayların açı, kenar, köşegen özelliği ve aile ilişkilerine göre sınıflama yapmışlardır. Özellikler açısından sınıflama yapan adaylar, örneğin açıları dik olan olmayan veya kenar uzunlukları eşit olan olmayan tarzında listeleme şeklinde sınıflama yapmışlardır. Bu sınıflama türünde, dörtgenler hep tek özellik bağlamında ele alınmış, aynı anda örneğin, hem dik açılı hem eşit uzunlukta kenarlarının olması gibi örüntülü bir şekilde sınıflama yapılmamıştır. Bu tarz sınıflamalar De Villiers ın (1994) sınıflaması baz alınırsa parçalı sınıflama grubunda düşünülebilir. Bu tarz parçalı sınıflama yapan adaylarda bazı yanılgılara da rastlanmıştır. Bunlardan bir tanesi aşağıda Şekil.9 da verilen örnekte olduğu gibi 1222
TÜRNÜKLÜ, GÜNDOĞDU ALAYLI, AKKAŞ / İlköğretim Matematik Öğretmen Adaylarının Dörtgenlere İlişkin Algıları ve İmgelerinin İncelenmesi Tablo 7. Dörtgenleri Farklı Özelliklere Göre Sınıflama Belli Bir Özelliğe Göre Sınıflandırma Açılar Kenar Uzunluğu Paralellik Diklik Eşitlik Dik Kesme Köşegen Özelliği Orta noktada kesişme Uzunluk Aile İlişkilerine Göre Sınıflandırma Sınıflan dıramama 22 14 19 10 32 9 15 4 5 paralelkenarın kare ve dikdörtgenin özelliklerine sahip olamayacağı düşüncesinden kaynaklanan yanılgıdır. Buradaki örnekte öğretmen adayı paralelkenarın kenar uzunluklarını eşit olmayan kategorisine koyarak kareden farklı bir sınıfa ayırmıştır. Aynı algı dikdörtgen için de geçerlidir. Bu durum tanım ve çizimlerde de karşılaşılmıştır. Genelde tipik paralelkenar çizimi be bütünsel olarak algılanan bu şeklin zihindeki kare ve dikdörtgen algısı ile uyuşmamasından kaynaklanmaktadır. Aile ilişkileri dikkate alarak yapılan sınıflamaların çalışmaya katılan adaylar arasında pek tercih edilmediği görülmektedir. Bu tarz sınıflamalar, De Villiers ın (1994) hiyerarşik sınıflama türüne girmektedir. Bu duruma örnek olarak şekil 10 da verilen sınıflama gösterilebilir. Bu tür sınıflamalarda da bazı yanılgılar ortaya çıkmıştır. Bunlardan bir tanesi tanımlamada da sorun yaşanan yamuğun bu sınıflamadaki yeri olmuştur. Yukarıdaki şekilde yamuk, kare ve paralelkenar ile yanılgılı bir şekilde ilişkilendirilmiştir. Araştırmada elde edilen veriler değerlendirildiğinde yamuk ile ilgili sorunlar olduğu açıktır. Çizim anlamında doğru olmasına karşın, özelliklerinde ve tanımında yanılgıların olduğu tespit edilmiştir. Bu duruma doğal olarak sınıflamada da karşılaşılmaktadır. Hatta bir öğretmen adayın sınıflamasında yamuk iki farklı sınıfa ayrılmış, bunlardan birinde eşkenar dörtgen, kare; diğerinde paralelkenar, dikdörtgen yer almıştır. Şekil 9. Bazı Özelliklerine Göre Sınıflandırma Örneği (A.O:2.00, 3. Sınıf) Tartışma Bu çalışma, bir eğitim fakültesinde bulunan 3. ve 4. Sınıfta öğrenim gören 36 ilköğretim matematik öğretmen adayı ile gerçekleştirilmiştir. Nitel çalışma bağlamında bu araştırma, farklı akademik or- Şekil 10. Aile İlişkilerine Yönelik Sınıflandırma (A.O:2.57, 4. Sınıf) 1223
KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ talamalar dikkate alınarak seçilen adaylardan elde edilen veriler paralelinde, dörtgenlere ilişkin algı yönünden bazı profiller çizmeye izin vermektedir. Elde edilen bulgular çerçevesinde çalışmaya katılan adayların dörtgenlere dair birçok yanlış algılarının olduğu ya da bilgilerinin tamamen eksik olduğu gibi bir sonuç çıkarılamaz. Ancak ilk bakışta yanlış olmadığı düşünülen algılar başka algıların farklı şekilde oluşmasına sebep vermekte ve belki de bu durum yanılgılara yol açabilmektedir. Dörtgenlere dair tanımlarda, ilköğretim matematik öğretmen adaylarının genelde kendilerince oluşturdukları tanımların, algıları çerçevesinde şekil aldığı görülmektedir. Alanyazın dikkate alındığında birçok araştırmada (De Villiers, 1998; Tall ve Vinner, 1981; Vighi, 2003) olduğu gibi bu araştırmada da akademik tanımlardan çok kişisel tanımlar ortaya çıkmıştır. Bu araştırmada, bireylerin oluşturduğu dörtgenlere dair kişisel tanımlar, bireylerde oluşan algıların neler olduğuna dair ipuçları sağlamıştır. Hershkowitz in (1990) belirttiği gibi, bu çalışmada da her zaman karşılaşılan dörtgen tiplerine dayanarak yapılan görsel çıkarımların, diğer durumlara (uymayan durumlara) genelleştirilmesi ve prototip şekillerin tipik özelliklerini çıkarımda bulunmada kullanıp, prototipin özelliklerini, kavramın diğer tipleri için de uygulamaya kalkmaları gibi yanılgılara rastlanmıştır. Kare ve dikdörtgen için kenar özeliklerinin ön plana çıkması ve bu yüzden dikdörtgenin kareden farklı bir ailede düşünülmesine sebep bazı bulgulara rastlanması; eşkenar dörtgenin tipik çiziminden kaynaklı kareden farklı yanlarının ortaya konulamaması; tipik paralelkenar çizimi yüzünden dikdörtgen ve karenin paralellik özeliğinin ön plana çıkmaması durumları ile karşılaşılmıştır. Tüm bu tespitler Fujita (2012), Fujita ve Jones (2007), Okazaki ve Fujita (2007), Heinze ve Ossietzky in (2002) çalışmalarında elde ettikleri ile benzerlik göstermektedir. Bu araştırma, yamuk ile ilgili birçok yanılgının olduğunu göstermiştir. Yamuk ile ilgili bu sorun sınırlı sayıda araştırmada vardır (Berkün, 2011). Yamuğun gelişigüzel çizilmesi ve hiçbir özelliği içermemesi algısının varlığı tespit edilmiştir. Bu durumun yamuk kelimesinin semiyotik yapısından kaynaklanıp kaynaklanmadığı araştırılabilir. Çalışmaya katılan öğretmen adaylarının dörtgenleri sınıflamada yaygın olarak parçalı sınıflamayı kullandığı görülmektedir. Parçalı sınıflamalarda kenar, açı özelikleri ön plana çıkmaktadır. Her ne kadar Hasegawa nın (1997) ifadesine göre bu durum çok doğal olsa da, De Villiers a göre hiyerarşik sınıflama tercih edilen sınıflamadır. Çünkü hiyerarşik sınıflamanın, geometrik akıl yürütme ve problem çözme durumlarında önemli olduğu belirtilmektedir (De Villiers, 1994, 1998). Bu araştırmada çalışma grubunun üniversite düzeyinde ve de matematik öğretmen adayları olması sebebiyle bireylerden hiyerarşik sınıflamanın daha yaygın kullanılması ve aile ilişkilerinin doğru şekilde kurulması beklenendir. Ancak bulgular beklenen yönde olmayıp, daha küçük yaş grupları ile yapılan diğer çalışmalarda (Berkün, 2011; De Villiers, 1994; Monaghan, 2000) elde edilen bulgular ile benzerlik göstermektedir. Araştırmaya katılan öğretmen adaylarından akademik başarısı yüksek olanlarının, dörtgenlere ilişkin doğru tanımlamalar yapmaları ve notasyona dikkat ederek çizim yapmaları beklenen durum iken, akademik başarı ile tanım ve çizimle ilgili bir ilişki belirlenememiştir. Bulgulara göre, akademik başarısı yüksek olan adayların dörtgen tanımlamalarında ve dörtgen çizimlerinde daha iyi veya akademik başarısı düşük olan öğrencilerin dörtgen tanımlamalarında ve dörtgen çizimlerinde daha hatalı olduğu gibi bir sonuç elde edilememiştir. Dörtgen sınıflamalarında da akademik başarısı yüksek olan öğretmen adaylarının hiyerarşik sınıflama yapmaları beklenirken, bu durumu destekleyen bir bulguya rastlanmamıştır. Her ne kadar bu araştırma, sınırlı sayıda ilköğretim matematik öğretmen adayları ile gerçekleştirilse de, ortaya çıkan dörtgenlere ilişkin algıların varlığı, başka bireylerde de var olduğuna işaret eder. Ayrıca burada belirlenen bazı yanılgılar, hem öğretmen adayların, hem de ilköğretim öğrencilerinin eğitimlerine yön verme açısından da önemlidir. Bu araştırma matematik öğretmen adaylarından dörtgenleri tanımlama, çizme ve sınıflamaya dair toplanan veriler ile adayların dörtgenlere dair algılarının nasıl şekillendiği ve hangi yanılgılar ile dörtgenleri ele aldıklarına dair bir fikir sağlamıştır. Elde edilen bulgular diğer yapılmış çalışmalar ile benzerlik göstermesi bireylerin geometrik düşünme düzeylerinin belirlenmesin de olduğu gibi, dörtgenlere ilişkin algılarda rastlanan tipik durumlar ve belirli bazı yanılgılar açısından genelde rastlanan bilişsel bir sürece işaret eder. Bu bilişsel sürecin saptanabilmesi için daha büyük ve değişik çalışma grupları ile gerçekleştirilecek bir araştırma önerilebilir. 1224