LOGİSTİC DAĞILIM VE RANDOM SAYI ÜRETİMİ

C.Ü. İktisadi ve İdari Bilimler Dergisi, Cilt 3, Sayı, 9 LOGİSTİC DAĞILIM VE RANDOM SAYI ÜRETİMİ Yalçın KARAGÖZ Cumhuriyet Üniversitesi, İ.İ.B.F. İşletme Bölümü Özet Bu çalışmada logistic dağılım hakkında genel bilgiler verilmiş ve bilgisayar ortamında simülasyon tekniği ile random sayı üretimi yapılmıştır. Bu amaçla, logistic dağılımın algoritması için delphi programlama dili kullanılarak program yapılmıştır. Bu programla adet random sayı üretilmiş ve %5 anlam düzeyinde ki-kare uygunluk testi yapılmıştır. Anahtar Kelimeler: Logistic Dağılım, Simülasyon, Random Sayı Üretimi Abstract Logistic Distribution and Production of Random Number In this study, the general information about logistic distribution have been given and, random numbers has been generated by the simulation method in computer. For this purpose, the programme of this algorithm have been done by using delphi programming language for the algorithms of logistic distribution. For logistic distribution random numbers have been generated and the chi-square goodness-of-fit at 5% significince level has been done. Keywords: Logistic Distribution, Simulation, Production of Random Number GİRİŞ Bir tesadüfi olayla ilgili karar vermede, bu olayla ilgili sonuçların ortaya çıkma olasılıklarının bulunması veya belirsizliğin riske dönüştürülmesi önemli bir adımdır. Olasılıkla ilgili bir sistemin yapısını anlamak, yorumlamak ve gerekli olasılıkları bulmak için, sistemin matematiksel modelinin geliştirilmesi ve geliştirilen matematiksel modeli meydana getiren bileşenlere ait değişkenlerin tespit edilmesi ve bu değişkenler arasındaki fonksiyonel ilişkilerin bulunması gerekir. Fakat günümüzde bilim, teknoloji, sosyal olaylar ve ekonominin çoğu problemleri, deneysel olarak incelenemeyecek ve matematiksel olarak kesin bir çözüm bulunamayacak derece karmaşık bir yapıya girmiştir. Deneylerin yapılması ve olayların mevcut şartlar içinde gözlenmesindeki güçlüklerin olması(gezegenler arası uçuşta uzay arabalarının incelenmesi veya askeri operasyonlar gibi), bu türdeki problemlerin matematik formüllerle ifade edilememesi, araştırmayı yapan kişinin yeterli matematiksel bilgisi olmaması, kullanılan metot maliyet açısından çok pahalı ve zaman açısından çok uzun olması gibi nedenlerle veri toplamanın mümkün olmadığı veya zor olduğu durumlarda, araştırmacı için gerekli olan veriler, simülasyonla random sayı üretme yöntemleri kullanılarak elde edilebilirler

3 Yalçın KARAGÖZ LOGİSTİC DAĞILIMI. Logistic Dağılımın Kullanım Alanları Logistic dağılım, kümülatif formda bir büyüme eğrisi olarak kullanılır. Bir zaman değişkeninin fonksiyonu olarak ifade edilen nüfus büyüklüğünün ölçümü buna örnek gösterilebilir.. Ayrıca, bu dağılım, ekonomik ve demografik problemlerin analizlerinde yaygın olarak kullanılmaktadır (Rothschild-Logothetis 986: 59 Norman- Kotz, 994: 3).. Logistic Dağılımın Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu X, random bir değişken olmak üzere, f (x) xα xα = e + e, < x <, < α <, > fonksiyonuna, logistic dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu denilir. Burada α başlangıç, ise oran parametresidir. Şekil de α = olmak üzere =.5,, değerleri için, logistic dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiği verilmiştir. f(x) α =, = α =, =.5 α =, = x Şekil : Logistic Dağılımın Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu.3 Logistic Dağılımın Birikimli Fonksiyonu X random değişkeni, logistic dağılıma sahip olmak üzere, bu dağılımın birikimli fonksiyonu aşağıdaki gibidir;

C.Ü. İktisadi ve İdari Bilimler Dergisi, Cilt 3, Sayı, 3 F(x) = + e xα, - < x < Şekil de α = olmak üzere =.5,.5, değerleri için, logistic dağılımın birikimli fonksiyonunun grafiği verilmiştir. F(x) α =, =.5 α =, = α =, = x Şekil : Logistic Dağılımın Birikimli Fonksiyonu.4 Logistic Dağılımın Beklenen Değer ve Varyansı Beklenen Değer: µ = E(x) = α, Varyans: π V(x) = 3.5 Logistic Dağılımın Moment Üreten Fonksiyonu E(e tx t ) = e α tπcosec ( tπ), t.6 Logistic Dağılımın Çarpıklık ve Basıklık Katsayısı Çarpıklık Katsayısı: α 3 =, Basıklık Katsayısı: α 4 4 7 π = 5 4 RANDOM SAYI ÜRETİMİ aralığında düzgün (üniform) olarak dağılmış, her birinin seçilme olasılığı diğerine eşit ve meydana geliş sıraları bağımsız olan sayılardır (Sarıaslan, 998: 74). Random sayılar; [,] Bu çalışmada, random sayı üretimi için simülasyon tekniği kullanılacaktır.

3 Yalçın KARAGÖZ Simülasyon; gerçek bir sistemin modelini tasarlama süreci ve sistemin işlemesi için sistemin davranışlarını anlamak veya değişik stratejileri değerlendirmek amacı ile model üzerinde denemeler yapma tekniğidir (Halaç, 998: ). Herhangi bir X sürekli random değişkenini üretmek için, F(x) = P(X x) birikimli fonksiyonu bulunarak F (x) = P(X x) = U eşitliği kurulur ve x hesaplanır. Burada x = x(u) istenen random değerdir (Erkut, 99: 8). Bu çalışmada, random değişken üretiminde ters dönüşüm metodu (inverse transform method) kullanılacaktır. Ters Dönüşüm Metodu; Üretilmek istenen X random değişkeni, [,] aralığında sürekli artan F dağılım fonksiyonuna ve F in ters fonksiyonuna sahip olmak üzere, random değişkenin algoritması için U = U(,) random sayısı üretilir ve X = F (U) hesaplanarak sonuç döndürülür (Ters dönüşüm metodu için bakınız: Law-Kelton 99:465-473; Hoover-Peery 99:68; Kheir 988:8-3; Taha 988:45; Ripley 987:59-63; Bratley-Fox-Schrage 987:47; Alan-Pritsker 986:77)... Logistic Dağılımın Formülünün Belirlenmesi Logistic dağılımın birikimli fonksiyonuna, ters dönüşüm metodu uygulanarak, xα xα u = F(x) = + e = e = x α u + e xα - u x α - u e = = ln u u elde edilir (Rothschild-Logothetis, 986: 6). u - - u x = α ln u. Logistic Dağılımın Algoritması ve Programı Logistic dağılımın algoritması aşağıdaki biçiminde yazılır (Hasting-Peacock, 975:)..Adım: U = U(,) üretilir. - u.adım: x = α ln olarak hesaplanır ve sonuç döndürülür. u Dağılımın programı ise, delphi programlama dili ile yazılmış ve Ek de verilmiştir.

C.Ü. İktisadi ve İdari Bilimler Dergisi, Cilt 3, Sayı, 33.3 Logistic Dağılım İçin Uygunluk Testi Sürekli olasılık dağılımları için üretilen random sayıların ilgili olasılık dağılımlarına uygunluğunu test etmek için kullanılan pek çok uygunluk testi olmakla beraber, bu testlerin üstün ve sakıncalı tarafları göz önüne alındığında örnek hacminin n olduğu durumlar için güçlü bir test olan (Halaç, 998: 5) ki-kare uygunluk testi yapılacaktır. Burada, logistic dağılım için α =, = parametrelerine göre üretilmiş ve EK de verilmiş olan gözlenen ( o i ) random sayı değerleri ile, bu dağılımın birikimli olasılık yoğunluk fonksiyonunun α =, = parametrelerine göre elde edilen beklenen ( e i ) değerleri arasındaki uygunluğun tespiti için % 5 önem seviyesinde ki-kare uygunluk testi yapılacaktır. Logistic dağılım için Ek de α =, = parametrelerine göre üretilmiş olan random sayının dağılımı aşağıda verilmiştir. Tablo : Logistic Dağılımın Random Sayı Aralıkları Random sayı Aralıklara düşen Aralıkları random sayı miktarı -8-7 -7-6 -6-5 9-5 -4 7-4 -3 3-3 - 6 - - 54-5 3 4 3 68 3 4 8 4 5 5 6 3 6 7 7 8 Toplam a) Hipotezler: H H : Random sayıların dağılımı, logistic dağılım gösteriyor. : Random sayıların dağılımı, logistic dağılıma uygun dağılmamıştır.

34 Yalçın KARAGÖZ b) Test İstatistiği: Logistic dağılımın birikimli fonksiyonu, F(x) xα = + e, α >, x k > olduğundan ve random sayılar α =, = için üretildiğinden, k ve α değerleri de bilindiğine göre x random değişkeninin meydana gelme olasılıklarını bulmak için gerekli fonksiyon, α =, = F(x) = + e x = x ( + e ) olarak bulunur. Bu formüle göre de beklenen değerler Tablo de yer almaktadır. Gözlenen değerler ile beklenen değerlerin uygun olup olmadığını tespit etmek için ki-kare testi uygulandığında χ = 8. 3 sonucu bulunur. Tablo : Logistic Dağılımın Random Sayıları İçin Uygunluk Testi Random sayı x F(x) ( e ) = e i o i ( o i e i ) Aralıkları e i -8-7 -7-6 -6-5 -5-4 -4-3 -3 - - - - 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7-...8.6.6.4.3.94.78.497.3.3.497.78.94.3.4.6.6 4 9 7 5 3 3 5 7 9 4 9 7 3 6 54 5 3 4 68 8 3.3. 5.4.63.8.6..55..5..7.4.35..3 Toplam 9999 χ =. 55 c) Karar modeli: Logistic dağılımında tahmin edilen parametre sayısı iki olduğundan m = alınır ve kritik değer χ tablosundan

C.Ü. İktisadi ve İdari Bilimler Dergisi, Cilt 3, Sayı, 35 s.d = r -- m = 6 -- = 3 χ α =.5.5;3 =.36 olarak belirlenir (Kartal, 988: 4). Bu durumda karar modeli şöyle olur; H Kabul (Uygun) H Red (Uygun Değil).5.55.36 d) Karar: χ =.55 < χ.5;3 =. 36 olduğundan sıfır hipotezi kabul edilerek random sayıların dağılımının logistic dağılımına uygun olduğuna %5 önem seviyesinde karar verilir. SONUÇ Bu çalışmada, logistic dağılım için simülasyonla ters dönüşüm metodu kullanılarak, random sayı üretimi yapılmıştır. Logistic dağılım için α =, = parametrelerine göre üretilmiş olan gözlenen değerler ile, bu dağılımın birikimli fonksiyonunun α =, = parametrelerine göre elde edilen beklenen değerleri arasındaki uygunluğun tespiti için %5 önem seviyesinde ki-kare uygunluk testi yapılmış ve uygun bulunmuştur. Logistic dağılım için üretilen random sayılar, bu konu ile ilgili çalışmak isteyen veya logistic dağılım ile uygulama yapması gereken araştırmacılar için hazır bir veri olması açısından yararlı olabilir. Kaynakça Alan, A and B. Prıtsker, Simulation and SLAM II, Jonh Wiley and Sons, New York, 986. Atıl, Hülya ve Mehmet Ö. Ergen, Sayı Türetme Yöntemleri ve Bu Yöntemlerden Bazıları İçin Gerekli Olan Başlangıç Sayısının Özellikleri Üzerine Bir Araştırma, Ege Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Dergisi, Cilt:, Sayı:, 33-44.

36 Yalçın KARAGÖZ Bratley, Paul and Bennett L. Fox and Linus E. Schrage, A Guide To Simulation, Springer, 987. Erkut, Haluk, Yönetimde Simülasyon Yaklaşımı, İrfan Yayımcılık, İstanbul, 99. Halaç, Osman, İşletmelerde Simülasyon Teknikleri, 3. Baskı, Alfa Basım Yayım Dağıtım, İstanbul, 998. Hasting N.A.J. and J.B. Peacock, Statistical Distributions, Butterworth Group, london, 975. Hoover, Stewart V. and Ronald F. Peery, Simulation, Addison-Wesley Publishing Company, London, 99. Law, M.A., W. D.Kelton, Simulation Modelling and Analysis, McGraw-Hill Co., New York, 99. Kartal, Mahmut, Hipotez Testleri, Şafak Yayınevi, Erzurum, 998. Kheir, Naim A., Systems Modeling and Computer Simulation, Marcel Dekker Inc., New York, 988. Norman, L. Johnson and Samuel Kotz, Continuous Univariate Distributions, Jonh Willey and Sons, New York, 994. Ripley, Brian D., Stochastic Simulation, Jonh Willey and Sons, New York, 987. Rothchıld, V. and N. Logothetis, Probability Distribution, John Wiley and Sons, Inc Canada,986. Sarıaslan, Halil, Simülasyon Tekniği, Turhan Kitabevi, Ankara, 998. Taha, Hamdy A., Simulation Modelling and Simnet, Prentice Hall, 988. EKLER EK : Logistic Dağılım İçin Random Sayı Üreten Delphi Programı procedure Tform.logistic_dagilim; var i,adet:longint; alfa,beta,u,x:real; f:textfile; dosya:string; begin alfa:=strtofloat(edit.text);

C.Ü. İktisadi ve İdari Bilimler Dergisi, Cilt 3, Sayı, 37 beta:=strtofloat(edit.text); adet:=strtoint(edit5.text); dosya:=edit4.text; assignfile(f,dosya); rewrite(f); writeln(f,'logistic Dağılımı',' Alfa=',alfa::,' Beta=',beta::,' random sayı adeti=',adet); randomize; for i:= to adet do begin u:=random; x:=alfa-beta*ln((-u)/u); writeln(f,x::); end; closefile(f); end;

Yalçın KARAGÖZ 38 EK Logistic Dağılım Alfa=. Beta=. random sayı adeti= -.76.89.4 -.5 -.6.3 -.33.4-3.4 -.63.46 -.3 -.69.9 4. -.5.3 -.9 -.65.83 -.5.4 -. -.8.88.99.7.3 -.9.78 -.4.87 -.94.6.89 -.85.89.36.5.7. -...83 -.74.44 -.4 -. -5.4 -.45 3.85. -.63.8 -.35 -.39.5 -.33-5.9-3.9 3-3.98 -.8 3.6.56.3.5 -. -.3.56.57.54 -.3 -.9. -7.4 -..53.5 -.49. -.7 -.5 -.3 4.47 -.5.7.53.35.3 -.49 3.44.68 -.8-3.78.9.5.39.39.6 -.6.56 7.35 -.94 -.4 -.95.7 3.56 -.99 5.8 -.84 -.7 -.5.5 -.8..9. -.68.97.8 -.7.4 -.3 -.4.8.6 -. -.8.5 -.78.3.3 3.94 -.64 -. -. -.5 -.35.5 -.89 -.65 -.5 -..36 -.68.6 -.9 -.85 -.5 -.68 -.97 -. -.85.4 -.8 -.4.65 -.7 -.58.77.8 -.4 -.6.55 -.66 -.8 -.96 -.36 -.76 4.33 -. -3.63 -.63.5 -.4 -.4.37..8.9 3..5.5.9.37.48 -.88.7.5 3.55 -.64.7 -.67.39-5..39 -.89 -.48 -.48 -.3.4 -.63 -.39.64 -.55 -.36 -.35 -.4 -.38 -.33 -.6 -.49-4.69-4.69. -.8.9 -.34.45 -.34.89 3.4 -.9 -.43 -.56.36.68 -..6 -.9 -. -.6 -.7.79.9.63-4.5.4.86.69.5.65.79.34 -..47.47.48 -.3. -..89 -.75 -.4 -.94.9 -.68 -.74 -.96.36.39 -.57.4 -.69 -.3.6 -.4.3 4.4.4.8.59 5.9 -.5.57 -.57 -.85 -.4 -.36 -.56.45.4 -.3.4.84.66.73.44 3.33.8 -.76.54 -.63. -.34 -.43 -.55.3.8.9 -.6.96.8 -.5..3 -.3.5 -.85..5.53 4.5 -.97.45-5.6. -.79.75 3.4.9 -.3 -.56.4.8-3.3.4 -.4 -.33.78. -3.3.7 -.59.34-3. -.7-3.8 -.64.44.99.95 -.47..36 -. -.9.8.66.8 -.74.65 -.8 -.48.8 -. -.4 3.7 -.4.44.5.35.3. -.5.6.33 -..69. -.84.3-3.9.93.8 3.56.7.6 -.97.54 -. -.74.73.9 -.8 3..45.9 -.3.59 -.45.38 -.4 -.75

C.Ü. İktisadi ve İdari Bilimler Dergisi, Cilt 3, Sayı, 39.8.8.9.9.93 -.5.98.3 -.53 -.4 -.45 -.96.5-4.75 -.8 -.4 -.8.65.4.7 -.98 3.6.7 -.7 -.57 -.4 -.3.34.9 -.73.3 -.48.66 -.7 -.6 -.9-4.5.3 -.4 3.78 -.3.77 -.35.7 -.34.78.33.68.7.88 -..9 -.4.57.6 -.47 -.4 -.56.95 -.5 -.7 -.9 -.66.94.7.73.3 -.4 3.5.4 -.. -. -.33 -.3.79 3.6-3.6 -.45.8 -.89.79.6-5.94 -.8-3.7.55 -.86 -. -.6. -.8.7 -.5 -.89 -.7 -.99.5 -.5 3.4.7 -.96.33 -.4 -. -.5 -.54 -. -.5 -.5.97.74 -.8-3.4 -.47.3 -.5.9 -. -.37.47 -.6 -.3 3.5..67 -.88-3.8 -.6-3.98.7.79.79 -.9 -.3.8.3.4-3.65 -.57 -..85.56.9 -.7 3.56 -.93.54.6 -.56-3.98.7.7 -..9.49-6.33 -.74.98 -.63-3.3 -.45.45.9 -.38 -.3.77.49.4 -.58 -. -6.4 4.4.63.43.7 -.86 -.4 -.93.46 -.37-3.87 -. -. -.44.73.4 -.37.8 -.56.5.93 4.34.44. -.55 -.5 -.9 -.65 -.68.49.36 -.6 -..6 -.84 -.53.8.4 -. -. -.86 -.63.59.59.4 -.5 -.39 -.33.34 -.7 -.8 -.9.3.54.5.34 -.3.6.39..65 4.7.8 -. - -.7 3.43.6 5.7 -.33.7 -.95. -.3.6 3.5.9 -.49 -.8.3 -.47 -.7 -.99-3.56 -.9 -.6 -.63 -.94.48 -.8.4 -.6 -.8 -.67 -.5 -. -.89 -.3-5.5..75 -.63 -.3.89.47.34 -.59 -. -.47 -.4 4..4 -.86 -.6 -.5.7 -.77.8. -5.94-3.4 3.48 -.4 -.9 -. -.9 -.9.47.53 -.85.6 -.88.93 -.46.8-3.6.3.45 -.3-3.4 -.5. -.83. -3. -4.9.86 -. -.8 -.3 -.66.4 -.6.79.83 -..3.34 -.8 -.3.35 3.3.96 -.8.3 -.4.5 -.6 -.3.6 -.79 3. -.33.7 6.8.46.3.43 -.4. -.6.3 -.5 -.38. -.3.38 -.9.35 -.48.67 -.5 -..86 -.59-5.6 -..98.88 -.36-3. -.44 -.9.89 3.6.56.5.4.9 -.44.3.59 -.43 -.63 4.5 -.8-4.69.8. -.4 -.6.9.5 -.87 -.66 -.6.7.36 -.9.9.4.76 -..44 -.5 -.6.9 -.8 -.6 -.97 4.9 -.99.8 -..37 -.6 -.47.8 -.5-3.96.4.4.5. -.4.7

Yalçın KARAGÖZ 4.34 -.8.77 -.8.63 -.5.4..86 -.4. -.6 -.76.5 -..8.87 -.54 -.3 -.9 -. -.99.5 -.8.8 4.7 -.84 -.8.75 -.6.75.8 3.6.55 -.7 -.35 -.74.7 -.69 -.5 -.77 -.96 -.9 -.44.56.7.54 -.84 -.66.77-3.8. -.45 -.35 -.3.86 -.9 -.5 -.5 3.67 -.6.7 -.75.8 -. -.46-3.59.43.48 -.5 -.5.6 -.6.83.89 -.9.84.36 -.85 -. -3.3-5.8.64 -.3. -.5.6.5.37 -.65 -..46 -.3.58.57.7 -.8 -.33 -.3 -.78-3.8.39 -.53.54.63.77 -.59 -.5. -.3 -. -.9 -.73.54.6.3 -.3.38 -.7.6 -.93.74.3 -.47.58.8 -.58.78.57.35.9 -.7.88 -.58.8.3 -.4 -.99.9 -. -. -.8 -.94.87.4.7 -.59 -.3.9 -.4.77.8.35.46 -.6.3 -.63 -.4 -.5.4 -.3-3.75.77.37 -.6.9 -.7.6 -.9