Çözümleyici Çizelgeler (Çürütme Ağaçları) İki veya üçten fazla cümle harfi içeren ikb ler söz konusu olduğunda doğruluk tablosu, denetleme yapmak için hantal ve yetersiz bir yöntem haline gelmektedir. Bu gibi hallerde doğruluk tablosu yerine çözümleyici çizelge veya çürütme ağacı yöntemi kullanılır. Bir çözümleyici çizelge, ikb lerden oluşmuş bir listede tüketici bir sorgu yöntemi ile bu listedeki ikb lerin hepsinin doğru (birlikte doğru) olduğu durumları ortaya çıkarmaktır. Bir kanıtlamanın geçerliliğini çözümleyici çizelge yöntemi ile denetlemek için öncüller aynen alınır fakat sonucun değili alınır ve alt alta yazılarak bir liste oluşturulur. Daha sonra bu listedeki ikb ler, sonunda tek başına cümle harfleri veya bunların değillemeleri kalıncaya kadar, sırayla daha küçük altikb lere ayrıştırılarak sorguya devam edilir. Eğer listedeki tüm ikb lerin birlikte doğru oldukları bir durum ortaya çıkarsa, bu durumda öncüller ile sonucun değili birlikte tutarlı demektir, yani öncüller doğru iken sonucun değili doğru ve dolayısıyla sonucun kendisi yanlış demektir. Böyle bir halde söz konusu kanıtlama biçimi çürütülmüş olur, dolayısıyla geçersizdir. Eğer böyle bir durum ortaya çıkmazsa, öncüller ile sonucun değili birlikte tutarlı değiller demektir ve kanıtlama biçimi geçerlidir. LÜ ÖRNEKLER 3.24 kanıtlama biçimi için bir çözümleyici çizelge oluşturarak geçerli olduğunu gösteriniz. Önce, öncülü ve sonucun değilini alt alta yazarak listeyi oluştururuz: Burada nun doğru olması için ile nun doğru olmaları gerekir. Dolayısıyla listeden yu kaldırıp yerine bu cümle harflerini yazabiliriz. Bunun için ve yu listenin altına yazarız. Buna alt alta yazma kuralı denir. Ayrıca listede bu şekilde altikb lere ayrıştırılan her ikb yi elediğimizi göstermek için işaretleriz: nin doğru olması için nin doğru olması gerekir, dolayısıyla listeden yi eleyip yerine yi yazabiliriz:
Artık daha küçük altikb lere ayrıştırılacak bir ikb yoktur. Başlangıçtaki listede yer alan bütün biçimler cümle harflerine veya bunların değillemelerine ayrıştırılmıştır. Sonuç olarak, başlangıçtaki listede yer alan ikb lerin birlikte doğru olabilmeleri için, ve nin birlikte doğru olmaları gerekir. Listenin bu son haline baktığımızda bunların aynı anda doğru olamadıklarını, yani birbirleriyle tutarlı olmadıklarını görüyoruz: ve aynı anda doğru olamaz. Bu durumu listenin en sonuna bir X işareti koyarak belirtiriz. Buna çözümleyici çizelgede yolun kapalı olması denir: X Çürütme ağacımız artık sonlanmıştır. Başta verilen kanıtlama biçimi için bir çürütme durumu arayışımız sonuç vermemiştir, dolayısıyla kanıtlama geçerlidir. Çünkü öncüller ile sonucun değili birlikte tutarsızdırlar, dolayısıyla öncüller ile sonucun kendisi birlikte tutarlıdırlar. 3.25, kanıtlama biçimi için bir çözümleyici çizelge oluşturarak geçerli olduğunu gösteriniz. Yukarıdaki gibi, öncülleri ve sonucun değilini alt alta yazarak listeyi oluştururuz: Burada ve cümle harflerinin değillemeleri oldukları için daha alt birimlere ayrıştırılamaz. Ama nun doğru olması için ve dan birisinin doğru olması gerekir. Listede bunu göstermek için yu eleyip iki ayrı yol oluşturulur, ile sırayla bu yolların altına yazılır, yani liste ikiye ayrılır. Buna ayrık yazma kuralı denir:
Ağaç şimdi iki yol içermektedir ve her yol bir liste demektir. Başlangıçtaki listede yer alan ikb lerin birlikte doğru olabilmeleri için bu her iki yoldaki,, ve nun birlikte doğru olmaları gerekir. Birinci listede yani birinci yolda yukarıdan aşağıya doğru, ve vardır, ikinci listede yani ikinci yolda ise yukarıdan aşağıya doğru, ve vardır. Dolayısıyla yolların ikisi de kapalıdır çünkü birinde ile diğerinde ile vardır. Bu durumu listede her iki yolun sonuna birer X işareti koyarak belirtiriz: X X Çürütme ağacımız artık sonlanmıştır. Başta verilen kanıtlama biçimi için bir çürütme durumu arayışımız her iki yol için de sonuç vermemiştir, dolayısıyla kanıtlama geçerlidir. Çünkü öncüller ile sonucun değili birlikte tutarsızdırlar, dolayısıyla öncüller ile sonucun kendisi birlikte tutarlıdırlar. 3.26, kanıtlama biçimi için bir çözümleyici çizelge oluşturarak geçerli olup olmadığını gösteriniz. Daha önceki gibi, öncülleri ve sonucun değilini alt alta yazarak listeyi oluştururuz: Burada yu eleyip bunun eşdeğeri olan yu listenin sonuna yazarız. Sonra, bir önceki örnekte olduğu gibi, yu eleyip bunun doğruluk ihtimallerini iki ayrı yol ile gösteririz:
Artık daha küçük altikb lere ayrıştırılacak bir ikb yoktur. Başlangıçtaki listede yer alan bütün biçimler cümle harflerine veya bunların değillemelerine ayrıştırılmıştır. Sonuç olarak, başlangıçtaki listede yer alan ikb lerin birlikte doğru olabilmeleri için ve nun birlikte doğru olmaları gerekir. Listenin bu son haline baktığımızda her iki yol için de bunların aynı anda doğru olabildiklerini görüyoruz: ve aynı anda doğru olabilir. Bu durumu listede her iki yolun sonuna bir işareti koyarak belirtiriz. Buna çözümleyici çizelgede yolun açık olması denir: Çürütme ağacımız artık sonlanmıştır. Aynı cümle harfinin kendisini ve değilini içermeyen bir yol açıktır. Başta verilen kanıtlama biçimi için bir çürütme durumu arayışımız her iki yol için de sonuç vermiştir, dolayısıyla kanıtlama geçersizdir. Çünkü öncüller ile sonucun değili birlikte tutarlıdırlar, dolayısıyla öncüller ile sonucun kendisi birlikte tutarsızdırlar. Mantıksal operatörler içeren tüm ikb ler aşağıdaki on sınıftan birisidir: Değilleme Birlikte evetleme Seçenekli evetleme Koşullu Karşılıklı koşul Değillemenin değillemesi Birlikte evetlemenin değillemesi Seçenekli evetlemenin değillemesi Koşullunun değillemesi Karşılıklı koşullunun değillemesi Bunların her biri için, nasıl altikb lere ayrıştırılacağını gösteren bir çözümleyici çizelge (ağaç) kuralı vardır. Yukarıdaki üç örnekte bu kurallardan dört tanesini vermiş olduk: 1. Değilleme kuralı ( ): Eğer bir açık yol bir biçimin hem kendisini hem de değilini içeriyorsa yolun sonuna bir X (çarpı) koyun. Bu, kapalı bir yoldur. Kapalı bri yoldaki bir biçim ile bu biçimin değillemesi aynı anda doğru olamazlar. Yani çürütme arayışı bu yol için başarısız olmuş demektir.
2. Değillemenin değillemesi kuralı ( ): Eğer bir açık yol, Φ biçiminde işaretlenmemiş bir ikb içeriyorsa, onu işaretleyin ve altında kalan tüm açık yolların altına Φ yi yazın. 3. Birlikte evetleme kuralı ( ): Eğer bir açık yol, Φ Ψ biçiminde işaretlenmemiş bir ikb içeriyorsa, onu işaretleyin ve altında kalan tüm açık yolların altına Φ ve Ψ yi alt alta yazın (alt alta yazma kuralı). 4. Seçenekli evetleme kuralı ( ): Eğer bir açık yol, Φ Ψ biçiminde işaretlenmemiş bir ikb içeriyorsa, onu işaretleyin ve altında kalan tüm açık yolların altına iki dal (yol) çizin, birinci dalın (yolun) altına Φ yi, ikinci dalın altına Ψ yi yazın (ayrık yazma kuralı). Bir yol, eğer kapalı ise, yani sonuna bir çarpı (X) konmuşsa, veya geriye işaretlenmemiş kalan ikb ler sadece cümle harfleri ile bunların değillemeleri ise, artık sonlanmıştır (bitmiştir). Aynı şekilde bir ağaç, eğer tüm yolları sonlanmış/bitmiş ise kendisi de sonlanmış/bitmiş sayılır. Sonlanmış bir ağaçta tüm yollar kapalı ise, başlangıçtaki listede yer alan ikb ler birlikte doğru olamazlar demektir. Yani eğer liste, sonucu değillenmiş bir kanıtlamadan oluşturulmuşsa, bu kanıtlama biçimi geçerli demektir. Diğer taraftan, eğer sonlanmış bir ağaçta bir veya daha fazla açık yol varsa, o halde başlangıçtaki listede yer alan ikb ler en az bir durumda birlikte doğru olabiliyorlar demektir. Eğer bu liste, sonucu değillenmiş bir kanıtlamadan oluşturulmuşsa, bu kanıtlama biçimi geçersiz demektir. Sonlanmış bir ağaçtaki her açık yol, bir karşıörnektir, yani kanıtlamanın geçersiz olduğu (öncüllerin doğru sonucun yanlış olduğu) bir durumdur. Mesela örnek 3.26 daki sonlanmış ağaç iki açık yol içeriyor ve bu yolların her ikisinde de ve bulunuyor. Demek ki ve nun birlikte doğru oldukları her durum,, kanıtlama biçimi için bir karşıörnektir. Bir ağaçtaki satırları numaralandırmak ve bu numaraları ağaç kurallarının uygulanması sırasında ilgili yerde, sembollerin hemen sağında belirtmek kullanışlı bir yoldur. Bu durumda, örnek 3.25 in numaralandırılmış hali şöyledir: 1 2 3 4 1 1 5 X 2, 4 X 3, 4 Şimdi geriye kalan altı kuralı da verelim: 5. Koşullu kuralı ( ): Eğer bir açık yol, Φ Ψ biçiminde işaretlenmemiş bir ikb içeriyorsa, onu işaretleyin ve altında kalan tüm açık yolların altına iki dal (yol) çizin, birinci dalın (yolun) altına Φ yi, ikinci dalın altına Ψ yi yazın.
LÜ ÖRNEK 3.27 Aşağıdaki kanıtlama biçiminin geçerli olup olmadığını çözümleyici çizelge, R, R 1 2 R 3 4 R 5 1 1 6 X 3, 5 7 2 R 2 8 X 5, 6 X 4, 6 Öncülleri aynen ve sonucun değilini yazmakla başladık (1. 4. satırlar). Koşullu kuralı 1. satıra uygulanarak 5. satır elde edildi. Soldaki dal 6. satırda değilleme kuralı ile kapanıyor, fakat sağdaki dal açık kalıyor, dolayısıyla koşullu kuralı 2. satıra uygulanarak 7. satır elde edildi. Değilleme kuralı, kalan iki yolu da kapatıyor. Sonlanmış ağaçta tüm yollar kapalı olduğu için, çürütme arayışı sonuç vermedi ve bu yüzden kanıtlama biçimi geçerlidir. 6. Karşılıklı koşullu kuralı ( ): Eğer bir açık yol, Φ Ψ biçiminde işaretlenmemiş bir ikb içeriyorsa, onu işaretleyin ve altında kalan tüm açık yolların altına iki dal (yol) çizin, birinci dalın (yolun) altına Φ ve Ψ yi alt alta, ikinci dalın altına Φ ve Ψ yi alt alta yazın. LÜ ÖRNEK 3.28 Aşağıdaki kanıtlama biçiminin geçerli olup olmadığını çözümleyici çizelge, 1 2 3 4 1 1 5 1 1 6 X 2, 4 X 3, 5
Dikkat ederseniz, burada değillemenin değillemesi kuralını 3. satırda uygulamaya gerek olmamıştır. Ağaçtaki tüm yollar, bu kuralı uygulamaya gerek kalmadan kapanmaktadır, zira 3. ve 5. satırlar birbirinin değilidir. Kanıtlama biçimi geçerlidir. 7. Birlikte evetlemenin değillemesi kuralı ( ): Eğer bir açık yol, (Φ Ψ) biçiminde işaretlenmemiş bir ikb içeriyorsa, onu işaretleyin ve altında kalan tüm açık yolların altına iki dal (yol) çizin, birinci dalın (yolun) altına Φ yi, ikinci dalın altına Ψ yi yazın. LÜ ÖRNEK 3.29 Aşağıdaki kanıtlama biçiminin geçerli olup olmadığını çözümleyici çizelge ( ) 1 ( ) 2 ( ) 3 1 1 4 2 2 2 2 5 X 3, 4 4 4 X 3, 4 Birlikte evetlemenin değillemesi kuralı burada iki defa uygulanmıştır (3. ve 4. satırlarda). Ağaç bu haliyle sonlanmıştır ve dört yoldan ikisi kapalı, fakat ikisi açıktır. Kanıtlama biçimi geçersizdir. Açık yollar, nin yanlış ve nun doğru veya nun yanlış ve nin doğru olduğu durumların karşıörnekler olduklarını belirtmektedir. 8. Seçenekli evetlemenin değillemesi kuralı ( ): Eğer bir açık yol, (Φ Ψ) biçiminde işaretlenmemiş bir ikb içeriyorsa, onu işaretleyin ve altında kalan tüm açık yolların altına Φ yi ve Ψ yi alt alta yazın. LÜ ÖRNEK 3.30 Aşağıdaki kanıtlama biçiminin geçerli olup olmadığını çözümleyici çizelge
1 2 ( ) 3 2 4 2 5 1 1 6 X 4, 5 Seçenekli evetlemenin değillemesi kuralı satır 2 ye uygulanmış, 3. ve 4. satırlar elde edilmiştir. Ağaç bu haliyle sonlanmıştır ve bir yol açıktır. Kanıtlama biçimi geçersizdir. Açık yol, ve nun her ikisinin yanlış olduğu durumun bir karşıörnek olduğunu belirtmektedir. 9. Koşullunun değillemesi kuralı ( ): Eğer bir açık yol, (Φ Ψ) biçiminde işaretlenmemiş bir ikb içeriyorsa, onu işaretleyin ve altında kalan tüm açık yolların altına Φ yi ve Ψ yi alt alta yazın. LÜ ÖRNEK 3.31 Aşağıdaki kanıtlama biçiminin geçerli olup olmadığını çözümleyici çizelge 1 2 ( ) 3 2 4 2 5 1 1 6 5 Ağaç bu haliyle sonlanmıştır ve iki yol açıktır. Kanıtlama biçimi geçersizdir. Açık yola göre, doğru yanlış iken öncül doğru ve sonuç yanlış olmaktadır. 10. Karşılıklı Koşulun değillemesi kuralı ( ): Eğer bir açık yol, (Φ Ψ) biçiminde işaretlenmemiş bir ikb içeriyorsa, onu işaretleyin ve altında kalan tüm açık yolların altına iki dal (yol) çizin, birinci dalın (yolun) altına Φ ve Ψ yi alt alta, ikinci dalın altına Φ ve Ψ yi alt alta yazın. LÜ ÖRNEK 3.31 Aşağıdaki kanıtlama biçiminin geçerli olup olmadığını çözümleyici çizelge,
1 2 3 ( ) 4 2 2 5 X 1, 4 6 3 3 7 3 3 8 X 4, 7 X 1, 6 Ağacın sonlanmış halinde tüm yollar kapalı olduğu için kanıtlama biçimi geçerlidir. Çözümleyici çizelge kurallarının hepsini ezberlemek gerekli değildir. İlk dört kural ezbere bilinirse, bazı eşdeğerliklerden faydalanarak diğer altı kuralı hatırlamak mümkün olabilmektedir. Örneğin beşinci kural olan, koşullunun kuralı, () ( ) eşdeğerliğinden (daha önce eşdeğerlikler bahsinde verilen 7 numaralı eşdeğerlik) hareketle bilinebilir. Bu eşdeğerlik bize, koşullunun ağaç kuralının, önbileşenin değili alınmak şartıyla, seçenekli evetlemeninki ile aynı olduğunu söylemektedir. Benzer şekilde, çözümleyici çizelge kurallarından son beşini de yine birlikte evetleme ile seçenekli evetleme içeren eşdeğerlerine dönüştürmek mümkündür. Özetle, altı tane biçimi (birlikte evetlemenin değilini, seçenekli evetlemenin değilini, koşulluyu, koşullunun değilini, karşılıklı koşulluyu ve karşılıklı koşullunun değilini) birlikte evetleme ile seçenekli evetleme cinsinden yazmak mümkün olduğu için, sadece alt alta yazma kuralını ve ayrık yazma kuralını ezbere bilmek yeterlidir: Çözümleyici çizelge kuralı karşılık gelen eşdeğerlik Koşullu kuralı ( ) Karşılıklı koşullu kuralı ( ) Birlikte evetlemenin değillemesi kuralı ( ) Seçenekli evetlemenin değillemesi kuralı ( ) Koşullunun değillemesi kuralı ( ) Karşılıklı Koşulun değillemesi kuralı ( ) () ( ) () ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) () ( ) () ( ) ( ) Çözümleyici çizelge yöntemi ile, birlikte tutarlılık da denetlenebilir. Eğer sonlanmış ağaçta en az bir açık yol varsa baştaki listede verilen ikb ler birlikte tutarlıdırlar demektir. Açık olan yol, birlikte tutarlılık için bir örnek durumu temsil eder. Veya, bir liste tek bir ikb içerebilir. Bu durumda, sonlamış ağaçta hiç açık yol yoksa bu ikb tutarsızdır. Eğer bir veya birden fazla açık yol varsa ya bir totolojidir veya olumsaldır. Bir ikb nin totoloji olup olmadığı çözümleyici çizelge yöntemi ile denetlenebilir. Eğer bu ikb nin değillemesi tutarsız ise, yani sonlanmış ağacında tüm yollar kapalı ise totolojidir.
Önemli hususlar: 1. Ağaç kuralları sadece yalın/kendi başına bulunan ikb lere uygulanır, yalın olmayan altikb lere uygulanmaz. Örneğin, değillemenin değillemesi kuralının aşağıdaki uygulanışı yanlıştır: 1 2 1 (yanlış) 3 2 4 2 2. Kuralların hangi sıra ile uygulanacağı sonuçta bir fark yaratmaz, fakat alt alta yazmayı içeren kuralları önce, ayrık yazmayı içeren kuralları sonra uygulamak daha uygundur. 3. Sonlanmış bir ağaçtaki açık yol, o kanıtlama biçimi için olası bütün karşıörnekleri gösterir. Örneğin şeklindeki geçersiz kanıtlama biçimini ele alalım: 1 2 3 1 1 Burada sağdaki dalda yanlış, doğru olması bir karşıörnektir. Ama sol dalda tek başına olması da bir karşıörnek sayılır, çünkü bu dalda belirmiyor ve dolayısıyla doğru veya yanlış olması önemli değildir.