Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

Transkript

1 MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa, bu iki ifadeye özdeştir denir. Örneğin y ifadesi ile ( y)( + y) ifadesini ele alalım. İkinci ifadedeki çarpma işlemini yaptığımızda birinci ifadeyi elde ederiz. Bu nedenle, y için ; y = ( y)( + y) yazabiliriz bu eşitlik, ve y nin her değeri için doğru olduğundan, bir özdeşliktir. Bazı Önemli Özdeşlikler : - ( + y) = + y + y - ( + y) = + y + y +y - ( y) = y +y 4- ( y) = y + y y 5- y = ( y)( + y) 6- y = ( y)( + y + y ) 7- + y = ( + y)( y + y ) 8- ( + y + z) = + y + z + (y +z +yz) Örnek : + y = 8 ve y = 0 ise + y kaçtır? Çözüm : ( + y) = + y + y 8 = + y y = 44 bulunur Örnek : Çözüm : = ise ( + ) ( ) = + = 9 + kaçtır? = 9

2 ( + ) = + + = + = bulunur. Örnek : + y = y = 4 ise + y değeri kaçtır? Çözüm : ( + y) = + y +y +y ( + y) = + y + y( +y) 4 = + y y = = 6 bulunur.. DENKLEMLER 9 = ( )( + ) ve + = + 7 eşitliklerini ele alalım. Bu eşitliklerden birincisi için sağlandığından bir özdeşliktir. İkinci eşitlik ise, sadece = için doğrudur. Bu eşitlikte yerine den farklı hangi sayıyı yazarsak yazalım eşitlik doğru olmaz. Böyle eşitliklere, yani içerisinde bilinmeyen içeren ve bilinmeyenlerin özel değerleri için gerçeklenen eşitliklere denklem denir. Bilinmeyenlerin denklemi sağlayan değerlerine denklemin kökleri, köklerin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi denir. Bir tek bilinmeyen içeren denklemlere bir bilinmeyenli denklemler, iki bilinmeyen içeren denklemlere iki bilinmeyenli denklemler, benzer şekilde n tane bilinmeyen içeren denklemlere de, n bilinmeyenli denklemler denir. Örneğin + 4 = 9 denklemi bir bilinmeyenli, + y + y = 8 denklemi iki bilinmeyenli, 4y + 5z = 4 denklemi ise üç bilinmeyenli denklemlerdir. Tanım : a, b ve a 0 olmak üzere a + b = 0 şeklindeki eşitliklere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu denklemde e bilinmeyen, a ve b ye de denklemin katsayıları denir. 40

3 a + b = 0 denklemini çözmek için şu yol izlenir. a + b = 0 a = -b. a 0 b b olduğundan = elde edilir. O halde a + b = 0 denkleminin çözümü ve a a b çözüm kümesi Ç = { } dır. a Örnek : 7 = 0 denklemini çözünüz? Çözüm : -7 = 0 = = Ç. K. = { } bulunur. Örnek : 5 = 0 denklemini çözünüz? 0 Çözüm : 5 = 0 = = 0 Ç.K. = { 0 } bulunur. 5 Örnek : - + = +7 denklemini çözünüz? Çözüm : - = 7 - = 6 = - Ç.K.= {-} bulunur. Örnek : ( ) + = + 4 denklemini çözünüz? Çözüm : + = + 4 = = olup bu mümkün değildir. O halde Ç.K.= bulunur. Örnek : + = + 5 denklemini çözünüz? 4

4 Çözüm : + = + ( ) ( + ) 5 () ( ) + ( + ) = = 5 = 6 = Ç.K.= {} bulunur. Örnek : + + = + + m denkleminin köklerinden biri ise m kaçtır? Çözüm : Denklemin köklerinden biri ise = değeri denklemi sağlar = + m + m = 4 +m = -4 m = -7 bulunur. Tanım : abc,, ve a,b 0 olmak üzere a +by +c =0 şeklindeki eşitliklere birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir. Tanım : a +by +c = 0 Şeklindeki birden fazla iki bilinmeyenli Denklemden oluşan sisteme d +ey +f = 0 iki Bilinmeyenli denklem sistemi denir. Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözüm kümesinin bulunmasına dair birçok yöntem vardır. Şimdi bunlardan bazılarını verelim. YOK ETME METODU Verilen denklemlerin katsayıları, değişkenlerden birinin yok edilmesini sağlayacak şekilde düzenlendikten sonra taraf tarafa toplama yada çıkarma işlemleri yapılarak sonuca gidilir. 4

5 Örnek : y = + y= 7 denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz? Çözüm : Bu iki denklemi taraf tarafa toplayalım. y = + +y = 7 4 = 0 =5 bulunur. = 5 değerini birinci denklemde yerine yazarsak 5 y = y = bulunur. O halde Ç.K.={(5,)} bulunur. YERİNE KOYMA METODU Verilen denklemlerin birinden, değişkenlerden biri çekilip diğer denklemde yerine yazılarak sonuca gidilir. Örnek : +5y = 5 8 y = 8 denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz? Çözüm : İkinci denklemde y değişkenini çeker, birinci denklemde yerine yazarsak, y = (8 8) = = 5 = 5 bulunur. = 5 değerini y de yerine yazarsak y = = olup Ç.K.={(5,)} bulunur. KARŞILAŞTIRMA METODU Verilen denklemlerin her ikisinden de aynı değişken çekilir. Denklemlerin diğer tarafları eşitlenerek sonuca gidilir. 4

6 Örnek : +y =7 4y= denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz? Çözüm : Her iki denklemden değişkeni çekilirse ; = 7 y = +4y 7 y = +4y 5y = 5 y = =6 Ç.K.={(6,)} Tanım : a,b,c ve a 0 olmak üzere a +b +c =0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir. Denklemi sağlayan reel sayılarına denklemin kökleri, tüm köklerin oluşturduğu kümeye de denklemin çözüm kümesi denir. a +b +c = 0 denkleminde =b 4ac ifadesine denklemin diskriminantı denir. için aşağıda üç durum söz konusudur. ) >0 ise denklemin birbirinden farklı iki reel kökü vardır. Bu kökler ; b + b =, = olup denklemin çözüm kümesi Ç.K.={, } dir. a a ) =0 ise denklemin eşit iki reel kökü vardır. Bu kökler ; b = = dir. Denklemin bu köküne çift katlı kök denir. Ç.K.={ } a ) <0 ise denklemin reel kökü yoktur. Ç.K.= Örnek : 4 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? 44

7 Çözüm : 4 = 0 = b 4ac = (-4) - 4 (-) = = 00 > 0 b + = = a ( 4) + 00 =7, b = a ( 4) 00 = = Ç.K.={7,-} bulunur. Örnek : + +5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? Çözüm : = b 4ac = -4 5 = -9 < 0 olduğundan denklemin reel sayılar kümesinde çözümü yoktur. Ç.K.= Örnek : + = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? Çözüm : =b 4ac = 4 4 = 0 olup b = = = = ÇK.. = {} bulunur. a a +b +c =0 Denkleminin Çarpanlara Ayrılması ) a = ise +b +c =0 olur. Burada b = +, c = ise + b +c = +( + ) + = 0 olur. 45

8 Örnek : Aşağıdaki ikinci derece denklemlerini çarpanlara ayıralım. ) ) ) = (+)(+5) = (-)(-) = (+4)(-) ) a ise a +b +c =0 denkleminde a= m n, b=mp +nq, c= pq ise a +b +c= mn +(mp +nq) +pq = (m +q)(n +p) olur. m n q p Örnek : Aşağıdaki ikinci derece denklemlerini çarpanlara ayıralım. ) ) = (5 +)( +) = ( +)( ).. YÜKSEK DERECEDEN BAZI DENKLEMLER a,b,c,d,e olmak üzere, a +b +c +d =0 şeklindeki denklemlere. dereceden, a 4 +b +c +d +e =0 şeklindeki denklemlere de 4. dereceden e göre düzenlenmiş denklemler denir. Bu tip denklemlerin çoğu.derece denklemlere indirgenerek çözülebilir. Örnek : 4 4 =0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? 46

9 Çözüm : = t diyelim ( t 0) O halde yukarıdaki denklem t t 4 =0 ikinci derece denklemine dönüşür. Bu denklem t ye göre düzenlenmiştir. (t-4)(t-) = 0 olup t =4 ve t =- dir. t =4 ise =4 = ± bulunur. t = - ise =- olup gerçek kök yoktur. O halde denklemin Ç.K.={-,} Örnek : + = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? Çözüm : + = 0 + =0 0 + = 0 olur. =b 4ac =00 4= 96 >0 -b + -b - = = a a = 5 6 = 5 6 ÇK.. = {5+ 6,5 6} bulunur. + Örnek : + = 7 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? Çözüm : + = 7 denkleminin her iki tarafının karesini alalım + =(-7) + = = denklemi çözülürse = ve =4 bulunur. Bu köklerden = denklemi sağlar. Fakat =4 denklemi sağlamaz. O halde Ç.K. ={} bulunur. Örnek : 5 +6 =0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? Çözüm : ( 5 +6) =0 buradan ; =0 ve 5 +6 = 0 denklemleri yazılır = = (-)(-) =0 =, = O halde Ç.K.= {0,,} bulunur. 47

10 . EŞİTSİZLİKLER.. BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER Tanım : a,b ve a 0 olmak üzere a +b>0, a +b 0, a +b<0, a +b 0 şekindeki ifadelere birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik denir. Eşitsizliği çözmek için a +b ifadesinin işaret tablosundan faydalanarak eşitsizliği sağlayan aralık bulunur. b a + b = 0 = a b - a + a +b a'nin isaretinin tersi a'nin isaretinin aynisi b Bu tablonun anlamı a +b ifadesinde yerine a dan küçük bir sayı yazılırsa bu ifade b a ile ters işaretli, dan büyük bir sayı yazılırsa a ile aynı işaretli olur, a ab yazılırsa bu ifadenin değeri 0 olur demektir. Örnek : 4 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz? Çözüm : I.yol : Ç.K.=(-,] II.yol : 4 =0 4 = = Ç.K.=(-,+] 48

11 + Örnek : 0 + eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz? Çözüm : Bu eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için pay ve paydanın ayrı ayrı işaretlerini inceledikten sonra bölümün işaretini inceleyeceğiz. + =0 ise = - ve - + =0 ise = olduğundan bu ifadenin işareti aşağıdaki tablodaki gibidir. + Burada = için tanımlı olmadığından = çözüm kümesine dahil değildir. + Ç.K.= (-,-] (,+ ) dır... İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER Tanım : a,b,c, a 0 olmak üzere a +b + >0, a +b +c 0, a +b +c <0, a +b +c 0 şeklindeki ifadelere ikinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler denir. Eşitsizliği çözmek için a +b +c ifadenin işaret tablosundan faydalanarak eşitsizliği sağlayan aralık bulunur. a +b +c ifadesinin işaret tablosunun oluşturulmasında üç durum vardır. I.Durum : > 0 ise a +b +c ifadesinin farklı iki kökü vardır. Bunlar ve olsun ( < ) 49

12 II.Durum : =0 ise a +b +c ifadesinin eşit iki kökü vardır. III.Durum : <0 ise a +b +c ifadesinin reel kökü yoktur. Örnek : + <5 eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm : + <5 + 5 <0 eşitsizliği elde edilir. + 5 = = (+7)(-5) = -7, = < çözüm Ç.K.= (-7,5) 50

13 Örnek : - + <0 eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz Çözüm : - + <0 - + >0 eşitsizliği elde edilir. - + =0 = >0 + + çözüm Ç.K.= {} Örnek : 0 eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz Çözüm : 0 = ( )( + +) şeklinde yazıp her çarpanın işaretini ayrı ayrı inceledikten sonra çarpımın işaretini inceleyeceğiz. =0 ise =, + + =0 denkleminin reel kökleri yoktur çözüm Ç.K.= (-,] 5

14 6 Örnek : 0 eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz 6 Çözüm : 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım. Burada da pay ve paydanın ayrı ayrı işareti incelendikten sonra kesirin işaretini inceleyeceğiz. 6 =0 ise = ve = -, =0 ( ) =0 ise =0, =+, = Burada = -, = ve = 0 paydayı sıfır yaptığı için çözüm kümesine dahil edilmemiştir. Ç.K.=[-,-) (0,) [,+ ) dır Örnek : + 0eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz + 5 Çözüm : eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım

15 Burada pay ve paydanın ayrı ayrı işareti incelendikten sonra kesirin işaretini inceleyeceğiz. + = 0 ise = ve + 5= 0 ise = 5 Burada =-5 paydayı sıfır yaptığı için çözüm kümesine dahil edilmemiştir. Ç.K =, 5) Tanım : Birden fazla eşitsizliğin bir araya gelmesiyle oluşturulan sisteme eşitsizlik sistemi denir. Eşitsizlik sistemini çözmek için ayrı ayrı işaret tablosu düzenlenerek ortak çözüm bulunur. Örnek : >0 Eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz? Çözüm : 6 =0 =-4, =4 7 =0 = Burada = değeri 7 >0 ifadesinin kökü olup çözüme dahil değildir Ç.K.=(,4 ] 5

16 Örnek : -5< >0 Eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz? Çözüm : 5 =0 = =0 =-, = =0 =-, = = - değeri 4 6 >0 eşitsizliğinin kökü olup çözüme dahil edilmemiştir..4. MUTLAK DEĞER İÇEREN EŞİTSİZLİKLER Ç.K.= [ -,-) abc,,, a 0, c> 0 olmak üzere a + b c şeklindeki eşitsizliğin çözümü a + b c c a+ b c olup, eşitsizlik siteminin çözümü olarak bulunur. a + b c a + b c şeklindeki eşitsizliğin çözümü ise a + b c ve a + b c eşitsizliklerinin çözüm kümelerinin birleşimi olarak alınır. 54

17 Örnek: > 5 eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: < 5 ve > 5 < < ve > 8 > 4 Bu durumda ÇK.. = (, ) ( 4, + ) bulunur. Örnek: 4 7 eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: Bu durumda ÇK.. =, bulunur. Örnek : Çözüm : 6 < eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir? < < ( ) 5 < 5< < 6 < 0 4< < 6 < < 8 ÇK.. = (, + 8) 8 + Örnek : + 5 eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir? Çözüm : + 5 veya + 5 veya ( ).. =,, + ÇK + 55

18 ALIŞTIRMALAR ) Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz? a) (0,5) (0,5) + (0,5) + = (0,065) + b) ( + ) 5 = (0,000) 5 c) ( ) = d) 000 ( 6 ) = ( + ) : + e) = 5 : f) = g) = 6 4 h) 0,0 + 0, 0,6 = 0 ı) 8 = 0 i) 4 5 = 0 j) = ) Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm aralığını bulunuz? a) + 5 b) < + 5 c) ( )( + 6) < 0 4 d) >

19 e) < + 8 ) Aşağıdaki eşitsizlik sistemlerinin çözüm kümelerini bulunuz? a) 0 4 > 0 b) + > 0 4 > 0 c) 6 +5 > < 0 d) + < 0 + > 0 4)Aşağıdaki denklemleri çözünüz a) b) c) d) e) f) g) h) ı) ( 6 ) 5( 6 ) = ( 5) ( 5) = ( 5) ( 5) = 4 ( ) ( ) + + = ( + ) ( + + ) = ( 6) ( ) 88 + = ( + 7 8) ( + 7 ) 6 = = + + = + 57

20 i) j) k) 9 + 8= = = 0 4 l) = 0 TEST. Aşağıdaki (, y) ikililerinden hangisi +y = - y eşitliğini sağlar? A) (, 0) B) (0, ) C) (, ) D) (, ) E) (, ). + = ( - 4) + 5 denklemini sağlayan değeri nedir? A) B) 5 C) 7 D) 8 E). ( + )( 5) = (-)(+) denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {-} B){} C) φ 5 D) - E) = denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {} B) {-} C) {0} D) {} E) {-} 5. + = + A) D) 4 4 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? B) C) 4 4 E) 58

21 = + 9 denkleminin çözümü nedir? A) = - B) = - C) = 0 D) = E) = = + + denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) - D) - E) 8. + = + denkleminin çözüm kümesi nedir? A) {} B) φ C){-} D){0} E) R 9. sayısı aşağıdakilerden hangisinin kökü değildir? A) = 0 C) = 4 E) ( + ) = 0 B) - D) = 0 = 0 0. = 0 denkleminin kaç tane gerçel kökü vardır? A) 4 B) C) D) E) = 0 denkleminin gerçek köklerinin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A){-, + } B) φ D){, 4} E){-4, + 4} C){0, 4}. Aşağıdakilerden hangisi, kökleri ve -4 olan ikinci dereceden bir denklemdir? A) C) E) + 8 = = = 0 B) D) 8 = = 0 59

22 . Kökleri - ve 4olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) C) E) 8 = = = 0 B) D) 8 + = = 0 4. Aşağıdakilerden hangisi, çözüm kümesi {-, 0, } olan denklemlerden biri olabilir? A) C) E) + = 0 4 = = 0 B) D) = = eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir? A) [7, ) D)[, - 5] B)[, 7] E)[-, 5] C)[, ] eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir? A)[-, 6] D)[, 4] B)[-, ] E)[6, ) C)[0, ] eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdaki aralıklardan hangisidir? A) [-, ] B) [-, ] C) [-, ] D) [-, 9] E) [4, 5] 8. = + denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {,, } B) φ D){} E){0} C){0, } = denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {} B) {4} C) {4, } D) {0,} E) {, 5, 6} 60

23 = denkleminin kökleri hakkında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur? A) C) = 0 = 0, = E) Kökleri yoktur. B) D) = 0, =, = 5 =. 5 = denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) φ D) R B){, 4} E) (0, ) C)[-4, 4]. 5 < eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir? A) (-, 8) D) (-8,8) B)[8, ) E) R C)[8, ) eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir A) (-, ] D)[, ) B)[-, ] E) (-, ) C)[-, 4) eşitsizliğinin çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir? A) [-, ] B) (-, ] C) [, ) D)[0,] E)φ eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir? A)[4, ) D) (-, ) B) (-, 4] E) (-, 4) C) (-, ) eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? A)[-,] D) (-, - ) B)[-, ] E) (-, - ] [, ) C) (-,) 6

24 = 4 denkleminin çözüm kümesi nedir? A)φ D){} B){, - } E){0} C){-} 8. ( + ) ( ) = 4 denkleminin çözüm kümesi nedir? A) {- } B) { 4} 4 C) 5 8 D) 5 E) 4 9. ( 4) + ( 6) = ( 8) denklemini sağlayan değeri nedir? 6 A) - B) - C) 0 D) 4 E) 6