KİNETİK MODEL PARAMETRELERİNİN BELİRLENMESİNDE KULLANILAN OPTİMİZASYON TEKNİKLERİNİN KIYASLANMASI Hatice YANIKOĞLU a, Ezgi ÖZKARA a, Mehmet YÜCEER a* İnönü Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Kimya Mühendisliği Bölümü, 44280, Malatya myuceer@inonu.edu.tr ÖZET Kimyasal tepkime sistemi modellerinde kinetik parametrelerin belirlenmesi modelin doğru sonuçlar vermesi bakımından önemlidir. Bu parametrelerin belirlenmesi için, doğrusal olmayan ve çoğunlukla da konveks olmayan optimizasyon problemlerinin çözümü gerekir. Bu çalışmada, integral tabanlı algoritma ile Sequential Quadratic Programming (SQP), Genetik Algoritma (GA) ve Tavlama Benzetimi (TB) optimizasyon teknikleri kullanılarak literatürden alınan örnekler çözülmüştür. Sonrasında, amaç fonksiyonu değerleri ve işlemci zamanı açısından her üç yöntem için bir kıyaslama yapılmıştır. İntegral tabanlı algoritmanın optimizasyon adımında SQP yöntemi kullanıldığında hem işlemci zamanı hem de amaç fonksiyonu bakımından diğer iki yönteme nazaran çok daha iyi sonuçlar elde edilmiştir. Anahtar Kelimeler: belirleme, Optimizasyon, Kinetik model GİRİŞ belirleme, gerçek zamanlı optimizasyon ve tepkime kinetiği modelleme uygulamalarını içeren genel bir problemdir. Dinamik veriler kullanılarak kinetik ifadelerdeki parametrelerin belirlenmesi kimyasal sistemlerin tasarımı, optimizasyonu ve kontrolü için önemlidir. Kimyasal proseslerin dinamik davranışını sağlıklı olarak öngörebilmek için gerekli temel koşullardan ilki iyi bir model ve ikincisi ise güvenilir bir çözüm algoritmasıdır. Genellikle bu modeller diferansiyel-cebirsel eşitlikler şeklinde tanımlanırlar. Bu durumda, doğrusal olmayan ve çoğunlukla da konveks olmayan optimizasyon problemlerinin çözümü gerekir [1, 2]. belirleme problemlerinde çözüme ulaşmak için farklı yaklaşımlardan yararlanılabilinir. Ancak bütün yaklaşımlarda ki amaç, deneysel ve modelden alınan veriler arasındaki farkı en aza indirgemektir. Model parametrelerinin hesaplanmasında uygun deneysel verilerin elde edilmesi önemlidir. Güvenilir bir model ve etkin bir çözüm algoritması ile kimyasal proseslerin dinamik davranışı sağlıklı bir şekilde öngörülebilir. Modelin prosesi temsil yeteneği büyük ölçüde, modelin içerdiği parametrelerin doğru belirlenmiş olması ile orantılıdır. Bu çalışmada, literatürden [3, 4, 5, 6] alınan örnekler için integral tabanlı algoritma ile Matlab yazılımı optimizasyon araçları içerisinde yer alan SQP, Genetik Algoritma ve Tavlama Benzetimi yöntemleri kullanılarak parametre belirleme çalışmaları gerçekleştirilmiştir. Bu üç yöntemin performans kıyaslanması yapılmıştır. YÖNTEM Kinetik modellerde parametre belirleme problemi dinamik bir optimizasyon problemi olup, Eşitlik 1 de verildiği gibi ifade edilebilir. Dinamik optimizasyon probleminin çözümü için kontrol vektör parametrelemesine dayalı pratik bir yaklaşım kullanılmıştır. Karar değişkenleri belirli aralıklara bölünmüştür. Optimizasyon değişkenlerinin başlangıç değerlerinden başlayarak her aralıkta model integrasyonu yapılmış ve bir aralığın sonunda elde edilen hal değişkeni değerleri, takip eden
aralık için başlangıç değerleri olarak kullanılmıştır. Bu şekilde incelenen zaman ufkunun sonunda amaç fonksiyonunun değerine ulaşılmıştır. Yöntemle ilgili detaylı bilgi literatürde mevcuttur [1, 2]. Model parametrelerinin belirlenmesinde, sınırlı optimizasyonda etkin bir yöntem olan SQP ve sezgisel optimizasyon yöntemlerinden GA [7, 8, 9] ve TB [10] algoritmaları kullanılmıştır. Amaç fonksiyonu olarak, tüm hal değişkenleri için tahmin değerleri ve literatür verileri arasındaki hata farkının kareleri toplamı seçilmiştir (Eşitlik 2). Diferansiyel denklem integrasyonu için 4. dereceden Runge-Kutta yöntemi kullanılmıştır. : amaç fonksiyonu, : hesaplanan hal değişkenleri, : literatür verisi, : hal değişkeni sayısı, : gözlem sayısıdır. Literatürden alınan dört farklı örnek problem değişik 3 yöntem ile çözülmüştür. Tüm hesaplamalar MATLAB ortamında gerçekleştirilmiştir. Örnek 1. Birinci mertebeden tersinir seri tepkime [3, 4, 5]. Model 3 hal değişkeni ve 4 kinetik parametreden oluşmaktadır. Tepkime ve diferansiyel denklemler aşağıda verilmiştir (Eşitlik 3). hal değişkeni vektörü olup olarak tanımlanır., kinetik parametreleri göstermektedir. Örnek 2. Birinci mertebeden tersinmez seri tepkime [3, 4, 5]. 2 hal değişkeni ve 2 parametreden oluşan model Eşitlik 4 te verilmiştir. hal değişkeni vektörü olup olarak tanımlanmaktadır., kinetik parametreleri temsil etmektedir. Örnek 3. Cinnamaldehyde in katalitik hidrojenasyonu [6].Tepkime şeması aşağıdaki gibidir. Model eşitlikleri aşağıda verilmiştir (Eşitlik 5).
: tepkime hızı, : hız sabiti, : adsorpsiyon terimi, : parametreler olarak tanımlanmıştır. Örnek 4. Katalitik Kraking [3, 4]. Bu model madesinin maddesine ve diğer yan ürünlere (S) katalitik krakingini temsil etmektedir. Tepkime doğrusal olmayan iki diferansiyel denklemden (Eşitlik 6) oluşmuştur. burada hal değişkeni vektörünü ve kinetik parametreleri ifade etmektedir. SONUÇLAR VE TARTIŞMA Çalışmada, SQP, GA ve TB teknikleri kullanılarak integral tabanlı optimizasyon yöntemi ile literatürden alınan 4 örnek problem çözülmüş ve elde edilen sonuçlar kıyaslanmıştır. İşlemci zamanı () ve amaç fonksiyonunun değeri açısından yapılan kıyaslamaya göre SQP yönteminin diğer iki yönteme nazaran çok daha iyi sonuçlar verdiği bulunmuştur (Çizelge 1 4). Çizelge 1. Örnek 1 için optimizayon sonuçları Fonksiyonu SQP 41 1.8897x10-7 24.1563 4.0000 2.0000 40.0127 20.0065 GA 100 6.2229 x10-5 202.5781 4.0335 2.0426 36.9937 18.4484 TB 2616 8.3 x10-3 295.0313 3.6193 1.4804 49.4017 23.9192 Alt limit 0 0 10 10 Üst limit 10 10 50 50 Optimum 4 2 40 20
Örnek 1 için parametreleri integral tabanlı algoritma + SQP yöntemi ile belirlenmiş modelden elde edilen sonuçlar ve literatür verilerinin kıyaslanması Şekil 1 de verilmiştir. Fonk. Şekil 1. Örnek 1 için literatür verisi model uyumu Çizelge 2. Örnek 2 için optimizayon sonuçları Fonksiyonu SQP 15 1.1774 x10-8 5.0469 5.0002 1.0000 GA 79 1.1935 x10-8 82.2656 5.0002 1.0000 TB 1453 1.4991 x10-4 79.6563 4.9369 1.0049 Alt limit 0 0 Üst limit 10 10 Optimum 5 1 Çizelge 3. Örnek 3 için optimizayon sonuçları SQP 26 0.0069 18.8 0.0739 0.0095 0.0171 0.4731 1.3178 0.0722 0.2509 GA 100 0.0074 125 0.0711 0.0085 0.0209 0.0222 1.0185 0.1401 0.2933 TB 5555 0.0099 511 0.0787 0.0081 0.0197 0.1758 1.3681 0.1039 0.4669 Alt 0.061708 0.006265 0.013372 0.17826 0.93773 0.000405 4.834 x10-17 Üst 0.090377 0.013552 0.02254 10.011 2.0145 10.006 0.51180 Optimum 0.07372 0.00919 0.01744 0.4813 1.294 0.06566 0.26007
Çizelge 4. Örnek 4 için optimizayon sonuçları Fonksiyonu SQP 26 2.9876 x10-8 13.8594 11.9994 7.9995 2.0006 GA 100 4.4555 x10-5 204.7969 11.8435 7.8422 2.2047 TB 2801 6.8993 x10-4 326.8438 11.3988 7.7243 2.6042 Alt limit 0 0 0 Üst limit 20 20 20 Optimum 12 8 2 Örnek 4 ün SQP yöntemi ile optimizasyonu sonucu bulunan parametreler kullanılarak model benzetimi gerçekleştirilmiş ve literatür verisi model uyumu Şekil 2 de verilmiştir. Şekilden de anlaşılacağı üzere iyi bir literatür verisi model uyumu sağlanmıştır. Şekil 2. Örnek 4 için literatür verisi model uyumu Burada verilen 4 örnek için de SQP yöntemi diğer iki yönteme kıyasla çok daha başarılı bulunmuştur. Buna ek olarak GA yönteminin TB yöntemine nazaran daha iyi sonuçlar verdiği görülmüştür. Sonuç olarak, kinetik model parametrelerinin belirlenmesinde SQP yöntemini kullanan integral tabanlı algoritmanın oldukça etkin olduğu tespit edilmiştir. Bu bildirinin sonuçlarına göre kinetik modellerde parametre belirleme çalışmaları yapanlar için kısa sürede optimum değere en yakın sonuçlar sağlayan integral tabanlı algoritmayla birlikte kullanılan SQP yönteminin seçilmesi önerilmektedir.
Kaynaklar [1] Yuceer, M., Atasoy, I., Berber, R., An integration based optimization approach for parameter estimation in dynamic models, Computer Aided Chemical Engineering, 20 (1), 631-636, 2005. [2] Yuceer, M., Atasoy, I. and Berber, R., A software for parameter estimation in dynamic models, Brazilian J. of Chem. Engineering, 25, 04, 813-821, 2008. [3] Tjoa, I B, and Biegler, L T, Simultaneous Solution and Optimization Strategies for Parameter Estimation of Differential-Algebraic Equations Systems, Ind. Eng. Chem. Res. 30, 376-385, 1991. [4] Esposito, W. R. and Floudas, C. A., Global optimization for the parameter estimation of differential algebraic systems, Ind. Eng. Chem. Res., 39, 1291-1310, 2000. [5] Michalik, C., Chachuat, B. and Marquardt, W. Incremental Global Parameter Estimation in Dynamical Systems, Ind. Eng. Chem. Res., 48 (11), 5489 5497, 2009. [6] Zamostny, P. and Belohlav, Z., A Software for Regression Analysis of Kinetic Data, Computers and Chemistry, 23, 479-485, 1999. [7] Goldberg, D. E., Genetic Algorithms in Search, Optimization & Machine Learning, Addison-Wesley, 1989. [8] Conn, A. R., Gould, N. I. M. and Toint, Ph. L., "A Globally Convergent Augmented Lagrangian Algorithm for Optimization with General Constraints and Simple Bounds", SIAM Journal on Numerical Analysis, 28 (2), 545 572, 1991. [9] Conn, A. R., Gould, N. I. M. and Toint, Ph. L., "A Globally Convergent Augmented Lagrangian Barrier Algorithm for Optimization with General Inequality Constraints and Simple Bounds", Mathematics of Computation, 66(217), 261 288, 1997. [10] Kirkpatrick, S., Gelatt Jr., C. D., and Vecchi, M. P., Optimization by simulated annealing, Science, 220, 671-680, 1983.