Deney No : M5 Deney Adı : BASİT SARKAÇ Deneyin Amacı yer çekimi ivmesinin belirlenmesi Teorik Bilgi : Sabit bir noktadan iple sarkıtılan bir cisim basit sarkaç olarak isimlendirilir. : Basit sarkaçta uzunluk ile periyot arasındaki bağıntının incelenmesi, Şekil 6.1 Basit sarkaç Basit sarkacın hareket denklemi kuvvet, tork veya enerji yaklaşımlarından yola çıkılmak suretiyle farklı yollardan türetilebilir. Biz enerji denkleminden yola çıkalım. Sabitlenmiş noktanın seviyesinin yerçekimsel potansiyel enerjisini 0 kabul edersek sarkacın hareketinin herhangi bir anındaki toplam enerjisi, ilk terim kinetik ikinci terim potansiyel enerjiyi ifade etmek üzere aşağıdaki şekilde yazılabilir. 6.1 Cismin hızı açısal hızı cinsinden 6.1 nolu denklem aşağıdaki hale gelir. olarak yazılıp 6.1 denkleminde yerine konulursa Enerjinin korunumu prensibinden toplam enerjinin hareket boyunca sabit kalacağı, dolayısı ile zamandan bağımsız olacağı bilinmektedir. Bu durumda 6.2 nolu denklemin iki tarafının zamana göre türevi aşağıdaki ifadeyi verir. 6.2 6.3 Sol taraf parantezine alınırsa buradaki üç terim de sıfırdan farklı olduğu ve denklemin sağ tarafı sıfır olduğu için sadeleştirilebilir. Sonuç olarak basit sarkacın hareket denklemi aşağıdaki gibi türetilmiş olur. 1 Hazırlayan: Doğan Erbahar
6.4 nolu denklem doğrusal olmayan bir diferansiyel denklemdir ve çözümü kolay değildir. Ancak salınımların küçük açı değerlerini aşmadığı durumlarda olarak alınabileceği için denklem bu yaklaştırma altında aşağıdaki şekilde yazılabilir. 6.5 nolu denklem basit harmonik hareket denklemi olarak bilinir ve çözümünün aşağıdaki şekilde olduğu kolayca gösterilebilir. Bu çözümden görülebileceği üzere sistem kendini tekrarlayan bir hareket yapmaktadır. Burada ve başlangıç koşullarına bağlı olan iki keyfi sabit olup ise: 6.4 6.5 6.6 6.7 değerine sahiptir. açısal frekans olarak isimlendirilir. Sistemin periyodu ve açısal frekans arasındaki bağıntı açısal frekansın tanımı gereği aşağıdaki şekilde yazılabilir. 6.8 6.7 nolu denklem 6.8 nolu denklemde yerine koyulursa sistemin periyodu için aşağıdaki ifade elde edilir. 6.9 Burada periyot için kullandığımız 0 indisi bunun küçük açı yaklaşımı altındaki periyot olduğunu unutmamak içindir zira 6.4 nolu denklemin ileri seviye matematik metotlar kullanılarak çözümü bulunduğunda periyodun hareketin maksimum açı değerine bağlılık gösterdiği bulunmuştur. Bu durum Şekil 6.2 deki grafikte gösterilmiştir. 2
Şekil 6.2 Basit sarkacın T periyodunun bırakıldığı 0 açı değerine bağlılığı. T 0 küçük açı yaklaşımı altında açıdan bağımsız olarak hesaplanan periyodu göstermektedir (bkz. denklem 6.9)). Grafik üzerinde 30, 60 ve 90 derecelerden bırakılma durumunda T 0 dan farklılıklar % olarak gösterilmiştir. Deneyin Yapılışı : 1. Deney düzeneği aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. 3
2- Deneyde sarkaç olarak biri büyük biri küçük olmak üzere iki çelik top kullanılacaktır. 3- Her iki topa da bir ip bağlanmıştır. Bu ip dikey çubuğa bağlı olan kıskaca sıkıştırılarak sarkaç oluşturulur. Sarkacın boyu ipin kıstırıldığı yeri değiştirerek ayarlanır. Sarkacın boyu değiştirildiğinde topun zamanölçerin sensörüne denk gelebilmesi için kıskacın bağlı olduğu vida yardımı ile yüksekliğinin de değiştirilmesi lazımdır. Zaman ölçerin yüksekliğini değiştirmeyiniz. 4- Zamanölçerin iki tarafının iç yüzlerindeki deliklere dikkat ediniz. Bunlar zaman ölçerin optik sensörleridir ve topun bunların arasından geçecek şekilde ayarlanması gerekir. Zamanölçerin ölçüm modu düğmesi en sağdaki konumda olmalıdır. Böylece sensörlerin arasından bir cisim geçtiğinde zamanlayıcı çalışır, ikinci geçişinde hiçbir şey yapmadan ölçüme devam edilir, üçüncü geçişinde ise zamanlayıcı durdurulup ölçülen değer saniye cinsinden virgülden sonra 3 anlamlı rakama kadar gösterilir. Bu şekilde ölçülen değer sarkacın tam 1 periyoduna karşılık gelir. Ölçümlerde bunu göz önünde bulundurarak sarkacı bıraktığınızda içinizden sayarak sensörden üçüncü geçişinde süre okunduğundan emin olunuz. 5- Ölçümlerinizde sarkacın boyunu kabaca 20, 40, 60 ve 80 cm civarında dört farklı değere ayarlayınız. Tam olarak bu uzunlukları tutturmak kolay olmayabilir dolayısı ile kabaca bu civarda bir değere ayarladıktan sonra boyu hassas bir şekilde ölçüp tablonuza kaydedebilirsiniz. Her uzunlukta periyodu dörder defa ölçünüz. Ölçümlerde sarkacın sensörden üç kere geçmesine yetecek kadar mümkün olan en küçük açıdan bırakmaya özen gösteriniz. Boy olarak ipin kıskaçtan çıktığı noktadan topun ortasına kadar olan dikey mesafeyi almaya dikkat ediniz. 6- Büyük ve küçük top için yaptığınız ölçümleri sırasıyla Tablo 6.1 ve Tablo 6.2 ye kaydediniz. Sarkaç boyu (cm) Tablo 6.1 Küçük top için sarkaç boyuna karşılık periyot tablosu. (1. ölçüm) (2. ölçüm) (3. ölçüm) (4. ölçüm) Sarkaç boyu (cm) Tablo 6.2 Büyük top için sarkaç boyuna karşılık periyot tablosu. (1. ölçüm) (2. ölçüm) (3. ölçüm) (4. ölçüm) 4
Hesaplamalar ve Grafikler Küçük ve büyük toplar için her boyda aldığınız dörder zaman ölçümünün ortalamalarını alarak Tablo 6.3 ve Tablo 6.4 ü doldurunuz. Tablo 6.3 Büyük top için sarkaç boyuna karşılık ortalama periyot tablosu Sarkaç boyu (cm) Ortalama Tablo 6.4 Küçük top için sarkaç boyuna karşılık ortalama periyot tablosu Sarkaç boyu (cm) Ortalama Boy - Periyot grafiği Tablo 6.3 ü kullanarak büyük top için boy-periyot ( ) grafiği çizmeniz istenmektedir. Yatay ekseni dikey ekseni olarak alınız ve Tablo 6.3 deki noktaları grafik üzerinde yerleştiriniz. Küçük açı yaklaşımı altında teorik kısımdaki 6.9 nolu denklem bu noktaların ne tip bir eğri ile temsil edilmesi gerektiğini söylemektedir? Bu eğriyi grafiğiniz üzerindeki noktalara göz kararı en uygun şekilde çiziniz. log (boy) log (periyot) grafiği Boy-periyot grafiğinden görüldüğü üzere aradaki bağıntı lineer değildir. İncelememizi niceliksel hale getirebilmek için bağıntıyı lineer hale getirip incelemeye çalışalım. ile arasında aşağıdaki gibi bir bağıntı olduğunu varsayalım. 6.10 nolu denklemde iki tarafın herhangi bir tabanda (biz 10 tabanını seçelim) logaritması alınırsa denklem aşağıdaki gibi yazılabilir. 6.10 6.11 5
6.11 nolu denklem biçiminde bir doğru denklemine denktir. Dolayısı ile ve değişkenleri yerine ve alınırsa bu verilere yapılacak doğrusal bir fit bize ve değerlerini verebilir. Bu bağlamda Tablo 6.3 ve Tablo 6.4 deki değerlerin logaritmalarını alarak Tablo 6.5 ve Tablo 6.6 yı doldurunuz. Tablo 6.5 Büyük top için tablosu Tablo 6.6 Küçük top için tablosu Tablo 6.5 deki değerleri kullanarak büyük top için grafiği çizmeniz istenmektedir. Grafikte yatay ekseni dikey ekseni log( olarak alınız ve tablodaki noktaları grafik üzerine yerleştiriniz. Bu noktalardan bir doğru geçmesi beklendiğine göre doğrusal fit formülünde Tablo 6.5 deki değerleri kullanarak yı ve yı hesaplayınız. 6
.. Bu değerleri kullanarak 6.11 nolu denkleme sahip olan doğruyu grafiğiniz üzerinde çiziniz. Küçük açı yaklaşımından çıkmadığımızı varsayarak nın bulmayı beklediğiniz değeri nedir? Yine aynı yaklaşım çerçevesinde kaldığımızı varsayarak ivmesini hesaplayınız. değerinden yerçekimi Büyük top için yaptığınız ve hesabının aynısını Tablo 6.6 yı kullanarak küçük top için yapınız ve Tablo 6.6 daki değerleri grafik üzerinde gösteriniz... Büyük top için yaptığınız gibi bu değerleri kullanarak doğruyu grafiğiniz üzerinde çiziniz. dan yerçekimi ivmesini hesaplayınız. 7
Küçük top ve büyük top sonuçlarınızı nın küçük açı yaklaşımından beklenen değeri ile ve yerçekimi ivmesinin (g = 980 cm/s 2 olan) değeri ile karşılaştırınız. Olası farkların sebeplerini tartışınız. Sorular: 1. 6.4 nolu denklemin diğer iki farklı türetim biçimlerini araştırıp gösteriniz. 2. 6.6 nolu denklemi 6.5 nolu denklemde yerine koyarak gerçekten bu çözümün 6.5 nolu denklemi sağladığını gösteriniz. 3. Bir basit sarkacı 30 dereceden bırakan bir gözlemci sarkacın periyodunu 10 s olarak ölçüyor ve önceden bildiği g değerini kullanarak sarkacın boyunu hesaplamak istiyor. Bu gözlemci bu iş için 6.9 nolu formülü kullanırsa sarkacın boyunu yüzde kaçlık bir hata ile bulur? 8