KISMEN DOLU SİLİNDİRİK TANKLARIN DİNAMİK ANALİZİ

Yapım Matbaacılık Ltd., İstanbul, 999 Editörler :A. İ. ALDOĞAN Y. ÜNSAN E BAYRAKTARKATAL GEMİ İNŞAATI VE DENİZ TEKNOLOJİSİ TEKNİK KONGRESİ 99 BİLDİRİ KİTABI KISMEN DOLU SİLİNDİRİK TANKLARIN DİNAMİK ANALİZİ Ahmet ERGİN ÖZET Bu çalışmada yatay/düşey eksenli ve akışkan ile kısmen temasta olan sildirik kabukların serbest titreşim analizi iç bir çözüm metodu önerilmektedir. Sildirik kabuk iç Love kabuk teorisi kullanılmıştır. Akışkan ideal (viskoz olmayan, sıkıştırılamaz) ve hareket irrotational olduğu kabul edilmiştir. Bu kabuller altında akışkanın yalnızca atalet etkisi hesaba katılmıştır. Yaklaşık bir çözüm iç Rayleigh- Ritz metodu kullanılmıştır.akışkan ile kısmen temasta olan düşey (veya yatay) eksenli sildirik kabuğun doğal frekansları ve şekil değiştirme modları, akışkanın yapı üzerdeki etkisi göstermek amacıyla hesaplanmıştır. Hesaplamalar literatürdeki mevcut deneysel sonuçlar ile karşılaştırılmıştır. Hesaplamalar ile deneysel ölçümler arasında iyi bir uyum olduğu görülmüştür.. GİRİŞ Bir çok mühendislik problemde, yapı ve akışkan arasındaki damik etkileşim özel bir öneme haizdir. Bir gem dalgalar arasındaki dövünümü, sualtı patlamalarıyla uyarılan denizaltı veya suüstü savaş gemiler titreşimi, atomik güç üniteleri ve kimyasal tesislerde akışkan dolu sildirik tanklar ve boruların titreşimi bu konudaki problemlerden bazılarıdır. Bütün bu titreşim problemleri yapı ve akışkan arasındaki etkileşim nedeniyle karmaşık bir hal alır. Bu çalışmada mühendislik problemleri içerisde önemli bir yer tutan kısmen dolu sildirik tankların serbest titreşim analizi iç bir çözüm metodu sunulmaktadır. Düşey eksenli sildirik tanklar bir çok araştırmacı tarafından çalışılmıştır. Örneğ, Baron ve Skalak [], Stillman [], Ja [3], Gonçalves ve Batista [4], Amabili [5], Amabili, Paidoussis ve Lakis [6] ve Erg [7] Rayleigh-Ritz metodunu kullanarak kısmen dolu, düşey eksenli sildirik tankların damik davranışlarını (rezonans frekansları ve şekil değiştirme modları) analitik olarak celemiştir. Alternatif olarak, Doç. Dr. İ.T.Ü. Gemi İnşaatı ve Deniz Bilimleri Fakültesi, Gemi İnşaatı Bölümü, Maslak 8066, İstanbul, Türkiye 38

Yamaki, Tani ve Yamaji [8] ve Gupta ve Hutchson [9] bu problem çözümünde sırasıyla Galerk ve Varyosyenel metodları kullanmıştır. Ye düşey eksenli sildirik kabuklar iç Chiba [0], Gonçalves ve Ramos [], ve Jeong ve Lee []ve Jeong ve Kim [3] sırasıyla Galerk ve Fourier serisi metodlarını kullanmıştır. Gedikli ve Ergüven [4] ise sınır eleman metodu kullararak problemi çözmüştür. Düşey eksenli sildirik kabukların akse kısmen dolu, yatay eksenli sildirik kabuklar ile ilgili literatürde çok az çalışmaya rastlanmıştır. Bunlar Amabili [5], Amabili ve Dalpiaz [6] ve Erg [7] tarafından yapılan çalışmalardır. Amabili [5] tarafından yapılan çalışmada sadece yarı dolu sildirik kabuklar iç analitik çözüm verilmiş olup, diğer akışkan derlikleri iç ise yaklaşık çözüm metodları önerilmiştir. Bu çalışmalara alternatif olarak Erg [7] yaklaşık bir çözüm metodu ile yatay eksenli daldırılmış ve kısmen dolu sildirik kabukların damik karakteristikleri celemiştir. Bu çalışmada yatay/düşey eksenli ve akışkan ile kısmen temasta olan sildirik kabukların serbest titreşim analizi iç bir çözüm metodu önerilmektedir. Sildirik kabuk iç Love kabuk teorisi kullanılmıştır. Akışkan ideal (viskoz olmayan, sıkıştırılamaz) ve hareket irrotational olduğu kabul edilmiştir. Bu kabuller altında akışkanın yalnızca atalet etkisi hesaba katılmıştır. Yaklaşık bir çözüm iç Rayleigh- Ritz metodu kullanılmıştır.akışkan ile kısmen temasta olan düşey (veya yatay) eksenli sildirik kabuğun doğal frekansları ve şekil değiştirme modları, akışkanın yapı üzerdeki etkisi göstermek amacıyla hesaplanmıştır. Hesaplamalar literatürdeki mevcut deneysel sonuçlar ile karşılaştırılmıştır. Hesaplamalar ile deneysel ölçümler arasında iyi bir uyum olduğu görülmüştür.. PROBLEMİN TANIMI Kısmen dolu ve daldırılmış, düşey ve yatay eksenli sildirik kabuklar Şekil de gösterilmektedir. Kabuk ce olup, boyu L, yarıçapı R ve kalınlığı h Şekil. Düşey ve yatay eksenli sildirik tanklar. 39

ile tarif edilmiştir. Sildir iki ucu basit mesnetli olarak kabul edilmiştir. Şekil de görülmekte olan düşey eksenli sildirik kabuk d yüksekliğde akışkan ile dolu ve d ex derliğe daldırılmış durumdadır. Kabuğun homojen ve izotropik, akışkanın ise ideal olduğu kabul edilmektedir. Kabuktaki yer değiştirmeler küçük olduğu düşünlüp, bunlar sildirik koordatlarda u, v ve w gibi üç ortogonal bileşenle tarif edilmektedir. Çözümü aranan problem kısmen dolu ve daldırılmış, düşey veya yatay eksenli sildirik tankların doğal frekansları ve şekil değiştirme modlarının hesabıdır. 3. MATEMATİK MODEL 3. SİLİNDİRİK KABUĞUN HAREKETİ Sonları basit mesnetli sildirik kabuk iç yer değiştirme bileşenleri u, v and w aşağıdaki formda kabul edilmiştir. u mπx iωt = U cos Ψun e L m n mπx iωt V s Ψvn e L m n v = () w = m n W mπx s Ψ L wn e iωt Burada U, V ve W titreşim bileşenler genlikleri göstermektedir. m ve n sırası ile sildir boyunca yarım dalga sayısı ve sildir çevresi etrafındaki dalga sayısını tarif etmektedir. Kısmen dolu ve daldırılmış yatay eksenli sildirik kabukların titreşimi simetrik ve anti-simetrik şekil değiştirme modlarını içermektedir. Bu modlar yatay eksenli sildir merkezden geçen ve akışkan yüzeye dik olan düzleme göre simetrik ve anti-simetriktir. Bu şartları sağlayan ve sildir çevresi etrafındaki şekil değiştirmeyi tarif eden Ψ fonksiyonu aşağıdaki formda yazılabilir. Simetrik modlar iç, Ψ = cos(nθ), Ψ = s (nθ), = cos(nθ) un Anti-simetrik modlar iç, vn Ψ () Ψ = s (nθ), Ψ = cos(nθ), = s (nθ) un vn wn Ψ (3) wn 40

Sildirik kabuk iç şekil değiştirme ve ketik enerjileri () nolu denklem kullanılarak kolayca yazılabilir (Bak [8]). 3.AKIŞKANIN HAREKETİ Akışkanın ideal (viskoz olmayan, sıkıştırılamaz) ve hareket irrotational olduğu kabul edilmiştir. Bu kabuller altında akışkan hız potansiyel fonksiyonu, Φ, Laplace denklemi, Φ = 0, sağlar. Akışkan-yapı ara yüzeyde normal akışkan ve yapısal hızlar birbirlere eşit alınmıştır. φ / r r R = = w! (4) Burada w! akışkan-yapı ara yüzeyde radyal doğrultuda yapısal hızı temsil etmektedir. Laplace denklem çözümü aşağıdaki şekilde kabul edilmiştir. φ mπx (r) s Ψ iωt Φ = φ wn (5) m n L (r) fonksiyonu sildirik kabuğun içde ve dışında yer alan akışkan iç sırasıyla aşağıdaki gibi yazılabilir. ex φ r) = A I (mπr / L), r) = B K (mπr / L) ( n e ( n φ (6) Burada I n ve K n n ci mertebeden dönüştürülmüş Bessel fonksiyonlarını temsil etmektedir. A ve B keyfi sabitler olup, kematik sınır şartı (4) kullanılarak hesaplanabilirler. Sildirik kabuğun içde ve dışında yer alan akışkan iç ketik enerji ifadesi aşağıdaki tegral işlemi ile hesaplanır. T f ρ f = ex Φ ex Φ { Φ R d dx R dθdx} r θ Φ r S (7) S r= R ex r= R Burada ve S ve Sex kabuğun sırasıyla iç ve dış ıslak yüzeyleri tarif etmektedir. Φ ex Φ ise kabuğun içde ve dışında yer alan akışkanın hız potansiyel fonksiyonlarıdır. 4

3.3 FREKANS VE TİTREŞİM MODLARININ HESABI Rayleigh-Ritz metodunu Lagrange denkleme uygulayarak aşağıdaki özdeğer problemi elde edilir. ( ω M + K) D = 0 (8) Burada K ve M sırasıyla rijitlik ve kütle matrisleri temsil etmektedir. D ise titreşim genlikleri vektörünü göstermekte olup, aşağıdaki formda yazılabilir. D = [ U, V, W ] T (9) (8) numaralı denklemde görülen özdeğer problemi çözülerek, kısmen dolu ve daldırılmış sildirik kabuklar iç şekil değiştirme modları ve bu modlara ait doğal frekans değerleri hesaplanır. 4. SAYISAL SONUÇLAR 4. DÜŞEY EKSENLİ SİLİNDİRİK KABUK Metodun geçerliliği kısmen dolu tanklar iç göstermek amacıyla, boyu L = 3.4 cm, yarıçapı R = 3.77 cm, kalınlığı h = 0.9 mm olan bir sildirik kabuk seçilmiştir. Bu çalışmada celenen sildirik kabuk daha önce deneysel olarak Ldholm ve diğerleri [9] tarafından çalışılmıştır. Hesaplamalar akışkan derlikleri d /L = 0, / 4,/,3/ 4 ve iç tekrarlanmıştır. Yakınsak sonuçları elde etmek iç hesaplamalarda 4 adet şekil değiştirme modu kullanılmıştır. Bu sonuçlar şekil -3 de sunulmuştur. Şekil de görülmekte olan frekans değerleri iç sildirik kabuk boyunca dalga sayısı, m, olup, sonuçlar sildirik kabuk etrafındaki değişik dalga sayıları, n iç sunulmuştur. Şekil de aynı zamanda Ldholm ve diğerleri [9] tarafından ölçülen deneysel sonuçlarda verilmektedir. Hesaplamalar ve deneysel ölçümler arasında iyi bir uyum olduğu görülmektedir. Hesaplanan şekil değiştirme modları m = ve n = 5 iç Şekil 3 de görülmektedir. Şekilde görülmekte olan modlar e normalize edilmiştir. Ldholm ve diğerleri [9] tarafından ölçülen değerler ye Şekil 3 de gösterilmiştir. Hesaplar ve deneyler arasında ye iyi bir uyum olduğu görülmektedir. 4

Şekil. Düşey eksenli sildirik tank iç rezonans frekansları. m=, ; bu çalışma. Deneysel [9]; +, n=;, n=3; O, n=4;, n=5. 43

Şekil 3. Değişik doluluk dereceleri d/l iç titreşim modları (w-bileşeni) (a) 0 ve, (b) / 4, (c) /, ve (d) ¾ (m=, n=5)., Bu çalışma, ο (+ tamaiyle dolu sildir), deneysel ölçümler [9]. 4. YATAY EKSENLİ SİLİNDİRİK KABUK Bu çalışmada celenen sildirik kabuk daha önce deneysel ve teorik olarak Amabili ve Dalpiaz [6] ve Amabili [5] tarafından celenmiştir. Kabuğun boyu L = 664 mm, yarıçapı R = 75 mm ve kalınlığı h =.0 mm olup, kabuğun malzemesi ise paslanmaz çeliktir. Şekil 4 de yarı dolu sildirik kabuk iç frekans değerleri ve titreşim modları görülmektedir. Şekilde aynı zamanda Amabili ve Dalpiaz [6] tarafından ölçülen değerlerde görülmektedir. Sonuçlar arasında iyi bir uyum vardır. Çalışma değişik akışkan derlikleri iç tekrarlanmış olup, Tablo ve de sırasıyla 4/5 ve /5 I dolu sildirik kabuk iç hesaplanan frekans değerleri verilmiştir. Tablolarda aynı zamanda 44

Amabili [5] den alınan deneysel ölçümlerde gösterilmiştir. Sildirik kabuğun 4/5 i dolu iken deneyler ile hesaplamalar arasında iyi bir uyum Bu çalışma Deneysel [6] Şekil 4. Yarı dolu yatay eksenli sildirik tank iç frekans değerleri ve şekil değiştirme modları. 45

Şekil 5. Kısmen dolu ve daldırılmış, yatay eksenli sildir iç frekans değerleri (, simetrik mod;, antisimetrik mod)., boş-tamamı ile daldırılmış;, boş-yarı daldırılmış;, yarı dolu-yarı daldırılmış;., yarı dolu-tamamı ile daldırılmış;...., tamamı ile dolu ve daldırılmış; - - - - - - -, boş sildir. vardır. Karşılaşılan en büyük fark %3 den azdır (Tablo e bakınız). /5 i dolu sildirik kabuk iç hesaplanan frekans değerleri ile deneyler arasındaki fark ise, 4/5 i dolu sildire göre daha büyüktür (Tablo ye bakınız). Bu derlik iç hata değerleri ilk sekiz mod iç %0. ile %4 arasında değişmektedir. Doğru sonuçları bulmak iç yakınsaklık testi yapıldı. Yakınsak sonuçlar iç en çok 5 adet titreşim modu yer almıştır. Çalışmanın daha ileri aşamasında sildirik kabuk hem kısmen dolu, hemde kısmen daldırılmış olarak düşünüldü. Dış akışkan ortamın kabuğun damik davranışları (doğal frekansları) üzerdeki etkisi celenmiştir. Şekil 5 de boş-tamamı ile daldırılmış, boş-yarı daldırılmış, yarı dolu-yarı daldırılmış, yarı dolu tamamı ile daldırılmış, tamamı ile dolu ve daldırılmış ve boş durumlar iç frekans değerleri gösterilmiştir. Frekans değerleri beklenilen şekilde bir değişim göstermektedir. Frekans değeri akışkanın yapı ile olan temas yüzeyi arttıkça azalmaktadır. En büyük akışkan yapı temas yüzeyi tamamı ile dolu ve daldırılmış kabuk iç mevcut olup, en düşük frekans değerleri bu durum iç hesaplanmıştır. 46

Tablo. 4/5 dolu sildir iç frekans değerleri (Hz). m Mod Bu çalışma Deney[5] Hata (%) 3 4 5 6 7 3 4 5 94. 95.4.3 5.0 39.3 47.4 84. 4.6 5.5 35.8 40.0 7.6 95.7 97. 3.9 6.3 38.7 4. 80.9 7. 9.6 38.5 4.3 70.9 -.6 -.7 -.3 -. 0.4 0.4.7 -. -.9 -. -0.5 0.3 Tablo. /5 dolu sildir iç frekans değerleri (Hz). m Mod Bu çalışma Deney [5] Hata (%) 3 4 5 6 7 8 0.8 06. 5.7 57.0 3. 39. 39.3 58.0 7.4 07.9 3. 74.4 8.4 37. 39.7 53. 58.9 3.7-4.7-6. -3.0-3.9 -.5-0. -5.4-0.3 -.3 5. SONUÇLAR Bu çalışmada kısmen dolu ve daldırılmış sildirik kabukların serbest titreşimi iç yaklaşık bir analitik metod sunulmuştur. Metodun geçerliliği literatürde mevcut deneysel sonuçlar ile yapılan karşılaştırmalar ile gösterilmiştir. Burada sunulan metod kısmen dolu ve daldırılmış sildirik kabuklar iç çok uygun sonuçlar vermektedir. 6. TEŞEKKÜR Bu çalışma İ.T.Ü. Rektörlüğü tarafından Genç Araştırmacıları Destekleme Programı kapsamında desteklenmiştir (Proje No:84). 47

7. KAYNAKLAR. Baron, M.L. ve Skalak, R., Free Vibrations of Fluid-Filled Cyldrical Shells, Proceedgs of the ASCE, Journal of the Engeerg Mechanics Division, 88, s. 7-43, 96.. Stillman, W.E., Free Vibration of Cylders Contag Liquid, Journal of Sound and Vibration, 30, s. 509-54, 973. 3. Ja, R.K., Vibration of Fluid-Filled, Orthotropic Cyldrical Shells, Journal of Sound and Vibration, 37, s. 379-388, 974. 4. Gonçalves, P.B. ve Batista, R.C., Frequency Response of Cyldrical Shells Partially Submerged or Filled with Liquid, Journal of Sound and Vibration, 3, s. 59-70, 987. 5. Amabili, M., Vibrations of Circular Tubes and Shells Filled and Partially Immersed Dense Fluids, Journal of Sound and Vibration,, s. 567-585, 999. 6. Amabili, M., Paidoussis, M.P. ve Lakis, A.A., Vibrations of Partially Filled Cyldrical Tanks with Rg Stiffeners and Flexible Bottom, Journal of Sound and Vibration, 3, s. 59-99, 998. 7. Erg, A., Dynamic Characteristics of Partially Filled and Submerged Cyldrical Tanks, Proceedgs of the Eight Congress of the International Maritime Association of Mediterranean, s..-., 997. 8. Yamaki, N., Tani, J. ve Yamaji, T., Free Vibration of a Clamped-Clamped Circular Cyldrical Shell Partially Filled with Liquid, Journal of Sound and Vibration, 94, s. 53-550, 984. 9. Gupta, R.K. ve Hutchson, G.L., Free Vibration Analysis of Liquid Storage Tanks, Journal of Sound and Vibration,, s. 49-506, 988. 0. Chiba, M., Free Vibration of a Partially Liquid-Filled and Partially Submerged, Clamped Free Circular Cyldrical Shell, 00, Journal of Acoustical Society of America, s. 70-80, 996.. Gonçalves, P.B. ve Ramos, N.R.S.S., Free Vibration Analysis of Cyldrical Tanks Partially Filled with Liquid, Journal of Sournd and Vibration, 95, s. 49-444, 996.. Jeong, K-H. ve Lee, S-C., Fourier Series Expansion Method for Free Vibration Analysis of either a Partially Liquid Filled or a Partially Liquid Surrounded Circular Cyldrical Shell, Computers and Structures, 58, s. 937-946, 995. 3. Jeong, K-H. ve Kim, K-J., Free Vibration of a Circular Cyldrical Shell Filled with Bounded Compressible Fluid, Journal of Sound and Vibration, 7, s. 97-, 998. 4. Gedikli, A. ve Ergüven, M.E., Seismic Analysis of a Liquid Storage Tank with a Baffle, Journal of Sound and Vibration, 3, s. 4-55, 999. 5. Amabili, M., Free Vibration of Partially Filled, Horizontal Cyldrical Shells, Journal of Sound and Vibration, 9, s. 757-780, 996. 6. Amabili, M. ve Dalpiaz, G., Breathg Vibrations of a Horizontal Circular Cyldrical Tank Shell, Partially Filled with Liquid, ASME, Journal of Vibration and Acoustics, 7, s. 87-9, 995. 7. Erg, A., An Approximate Method for the Free Vibration Analysis of Partially Filled and Submerged, Horizontal Cyldrical Shells, Journal of Sound and Vibration, 07, s. 76-767, 997. 48

8. Warburton, G.B., The Dynamic Behaviour of Structures, Oxford, Pergamon Press, 976. 9. Ldholm, U.S., Kana, D.D. ve Abramson, H.N., Breathg Vibrations of a Circular Cyldrical Shell with an Internal Liquid, Journal of the Aeronautical Science, 9, s. 05-059, 96. 49