Uzay Kavramı Üzerinden Geometri Ve Fiziksel Evren İlişkisi Üzerine Veriler ve Fikirler Cem Güney TORUN Mayıs 2013 ÖNSÖZ Önsöze aslında bu konunun çok daha geniş ve derin değerlendirilmesi gerektiğini belirterek başlıyorum. Şu anda üzerine çalıştığım makale Bir Dil Olarak Matematiğin Bilimdeki Yeri umarım bu konuda faydalı olacaktır. Tabi onu ne zaman bitireceğim konusunda bir şey söylemem mümkün değil, şu an araştırma aşamasındayım ve bu konuda yeterince fikir sahibi olduğum konusunda tatmin olduğumda o yazı bitecektir. Birazdan okuyacağınız makaleyi o yazıya bir giriş olarak değerlendirebilirsiniz. Aslında bir dönem ödevi olarak hazırladığım bu metin genel olarak bazı durumlara dokundurup, insanların merakını çekmeyi amaçlamaktadır. GİRİŞ Fizik bilimi ile geometri biliminin ilişkisi değerlendirildiğinde ilk düşünülmesi gereken üzerlerinde çalıştıkları ortak kavramlardır. Fizik ile geometrinin kesiştikleri belki de en önemli kavram uzay kavramıdır. Fizik bilimi uzay kavramına geometriye kıyasla daha deneyime dayalı bir şekilde bakar. Fizik, uzay kavramını hareketi açıklamaya çalışırken mantıksal bir şekilde türetir. Eğer hareket denen şeyin kabaca tanımı uzayda yer değiştirmek ise, fizik bilimi hareketi açıklarken hem uzayı hem de yer kavramlarını açıklaması gerekmektedir. Geometri ise uzay kavramını daha ussal ve metafiziksel bir şekilde kendi aksiyomları üzerine oturttuğu temelde değerlendirir. Yarattığı uzayda tabiri caizse tamamen kendi istediği şekilde hiçbir şekilde gerçek evreni umursamadan oyunlar oynar. ÖKLİD VE DECARTES UZAYI Üst paragrafta açıklandığı üzere fizik ve geometri tartışılırken ortak kavramlar üzerinden bu iki bilimin görüşleri ve birbirlerini etkilemeleri yazı boyunca değerlendirilecektir. İlk olarak en önemli kavramı, hemen her şeyin mantıksal olarak çıkarsandığı uzayı değerlendireceğiz. Geometri bilimi uzayın tanımını ilk önce M.Ö. 3. yüzyılda Öklid le düzgün bir sürekli diye tanımlamıştı. Bu sürekli uzayın sonsuz tane düz çizgiden oluştuğu şeklidir. Bunun düzleme uygulanması uzay tanımını değiştirmez. İki boyut da üç boyut kadar matematiğin gözünde anlamlıdır. Öklid bu uzayı sadece cisimlerin ve şekillerin yapısını temellendirmek için tasarlamıştı.
Şekil 1. Kartezyen koordinat sistemi, Öklid in tasarladığı düzgün sürekli uzaya dayanır. Bu uzayın gerçekten temellendirilmesi 17. yüzyılda Rene Descartes ın çaışmalarına dayanır. Descartes analitik geometriyi başlatarak düzlem ve uzay üzerinde çeşitli kavramları tanımlayabilmişti. Kartezyen koordinat sisteminde nokta, doğru, düzlem ve uzay kavramlarını tanımlanmış ve onlar üzerinden farklı boyutların birbirleriyle birleşmesiyle oluşan düzgün sürekli bir uzay tasarlanmıştı. Bu kavramlar üzerinden konum kavramı da ortaya çıkmıştı. Uzayda iki nokta arası mesafeler hesaplanabilmeye geometri üzerinden hesaplanmaya başlamış, trigonometrinin de gelişmesiyle pek çok uzunluk hesabı kolaylaşmıştır. Bu uzay tanımı üzerine klasik fizik de kendi uzay tanımını oturtmuştur. Newton ve devamında gelenler uzayı düzgün, her yöne sürekli giden, sonsuz boyutta bir boşluk olarak düşünmüşlerdi. Burada önemli bir nokta fiziğin 1600lerin ortalarından 1916 ya kadar kullanacakları bu uzay aslında metafiziksel kökenidir. Elbet materyalist bir insan bu görüşlerin özlerinin aslında bu filozof ve matematikçilerin gerçek dünyada gördüklerinden yola çıktıklarıyla ulaştıklarını iddia edebilir ve bu konuda haksız olmayabilir de; ama bu matematikçiler uzayı tamamen kendileri için tanımlamışlardı; fizik bilimi için değil. Bunun üzerine tamamen başka bir bilim inşa edilebildi. Bu konudaki en ilginç tarihi özellik tamamen yeni uzay tanımlarının hiç de öyle bir amaçla yaratılmamış olmalarına rağmen fizik biliminde sonradan kullanılmalarıdır. GAUSS VE RIEMANN GEOMETRİSİ 19. yüzyılda Gauss, Riemann ve Hilbert gibi matematikçiler, farklı prensiplere dayanan, tamamen metafiziksel ve kurgusal yeni geometriler ve matematik sistemleri üretmek üzerinde çalışıyorlardı. Carl Friedrich Gauss yeni bir koordinat sistemi fikri ortaya çıkardı. Bu sistemde üç boyutlu uzay düz doğrulardan değil, eğrilerden oluşuyordu. Şekil 2. Gauss Koordinat Sistemi, düzgün olmayan sürekli bir uzaya dayanır.
Daha sonra, Bernhard Riemann kendi adıyla anılacak olan çok boyutlu Riemann geometrisi teoremini Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen (Geometrinin Altında Yatan Hipotezler) adlı yazısında yayınladı. Albert Einstein 1916 genel görelilik kuramında, kütlelerin uzay geometrisinin şeklini bozup doğruları eğrilttiğini, kütleçekimin sebebinin bu olduğunu iddia etti. Bu denklemleri formüle ederken de Riemann geometrisini kullandı. Şekil 3. Cisimler uzayın yapısındaki bozulmalar yüzünden birbirlerini çekerler. Böylece 1916 itibariyle klasik fizik Descartes ve Öklid uzayını kenara bırakıp Riemann uzayını kullanmaya başlamış bulanmaktaydı. Bu uzay bazı fiziksel fenomenleri açıklamak için tasarlanmamıştı, tamamen kurgusaldı; ama evreni açıklamakta fevkalade faydalı oldu. KONUM KAVRAMI Uzay tanımlarının fizik için ne anlama geldiğini açıkladıktan sonra konum kavramının ne olduğunu incelemeliyiz. Konum kavramı fizik için tam anlamıyla belirsiz bir konudur. 1927 yılında Heisenberg in belirsizlik ilkesi gerçek evrende hiçbir zaman bir cismin konumunun tam olarak bilinemeyeceğini göstermişti; ancak hem Riemann hem de Kartezyen geometride konumlar gayet belirli ve üzerinde işlem yapılabilir durumdadır. 1905 özel görelilik teorisine göre de konumlar kendisini orijin alan kişiye göre her zaman anlamlıdır; ama evrende nesnel bir orijin almak mümkün değildir. Dolayısıyla bütün konum ve zaman kavramları görelidir; ancak geometride (0,0,0) noktası aslında bir noktaya atanmaz. Mantıksal olarak orada zaten vardır ve işlemler onun üzerinden yapılır. Varlığı bir çeşit aksiyomdur. Dolayısıyla bu tarz sistemlerde görelilik Einstein ın anlattığı anlamda yoktur. SÜREKLİLİK Bir diğer tartışılması gereken konu da süreklilik meselesidir. Bu konuda her zaman ortaya atılan ve yüzleşilmesi gereken örnekler Zenon Paradokslarıdır. Elealı Zenon un(yaklaşık olarak milattan önce 490 ve 430 yılları arasında yaşamıştır) en önemli üç paradoksu şunlardır: 1- Bir kimse hiçbir zaman ulaşmak istediği noktaya ulaşamaz; çünkü oraya gitmek için önce yolun yarısını, sonra kalan yolun yarısını, sonra o yolun da yarısını gitmek zorundadır. Bu döngü böyle gideceği için kişi asla varmak istediği noktaya varamaz.
2- Akhilleus ve kaplumbağa bir koşu yarışı yapacaktırlar. Akhilleus daha hızlı olduğu için kaplumbağanın önden başlamasına izin verir; ancak hiçbir zaman kaplumbağayı geçemez. Bunun sebebi Akhilleus kaplumbağanın yarışa başladığı yere geldiği zaman, kaplumbağa biraz ilerlemiş olacaktır. Akhilleus kaplumbağanın ikinci andaki yerine vardığında, kaplumbağa yine biraz ilerlemiş olacaktır. Üçüncü andaki yerine vardığında, kaplumbağa yine hareket etmiş olacak ve bu döngü böyle gidecektir. Dolayısıyla Akhilleus asla kaplumbağayı geçemeyecektir. 3- Havada hareket etmekte olan bir ok, hareketinin her anında sabit bir konumdadır. Eğer zamanı oluşturan an lar tekil, sabit ve belirli noktalar iseler, ok her birim anda durmaktadır. Eğer her birim anda durağan ise hareketin tamamında da durağan olması gerekir. O zaman ok hareketsizdir ve hareket etmek mümkün değildir. Bu paradoksların çözümlerinden biri aslında, dünyadaki uzaklıkların kesintili olduğu ve kişinin yolun yarısını gitmesinin mümkün olmadığı olabilirdi. O en küçük uzunluk birimi parçalanamaz olursa ve sen hep o birimleri takip edersen, her zaman yolun yarısını gidemezsin; çünkü yolun yarısı bir birimin içinde kalabilir. Sen sadece o parçaları teker teker harcayarak yolu bitirebilirsin. Bu çözüm aslında zamana da uygulanabilirdi. Zamanın küçük an parçalarından oluştuğu ve daha küçük bir zaman diliminde farklı bir olayın meydana gelmesinin mümkün olmadığı kabul edilebilirdi. Yani zaman akışının bizim fark edemeyeceğimiz ama sabit büyüklükte küçük anların(ya da kare lerin) sırayla akması olabilirdi. Hatta 4 boyutlu evrenin, sınırsız sayıda, ölçülebilir boyuttaki, sınırlı noktalardan oluştuğu aksiyomu kabul edilip, bambaşka, süreksiz bir evren çizilebilirdi; ancak fizik bilimi böyle bir tanım yapmaya tam olarak gerek duymadı. Bu paradoksların yanı sıra bir de akış meselesi vardır. Fizik bugün enerji akışının kesintili olduğunu ve sürekli olmadığını Planck formülü ile kanıtlamıştır. Bu süreklilik meselesi aslında geometriden çok matematikte sonsuz küçükler hesabıyla ilişkilidir. Newton ürettiği diferansiyel denklemlerle her şeyi sürekli kabul edip bunlar üzerine fiziğini kurdu. Burada yine önemli bir nokta bu diferansiyel denklemleri kurarken aslında Newton un amacı fiziksel problemlerle uğraşmak olmakla beraber, bu hesaplamaların fizikten bağımsız olmalarıdır. Bunlar matematiğin kendi içerisinde fizik tarafından kullanılsa da tek başına var olan bir parçasıdır. GEOMETRİNİN PRATİK KULLANIM ALANLARI Bunların yanı sıra geometri ve yanında matematiğin elde ettiği bilgilerin evreni açıklamanın dışında çok daha faydacı kullanım alanları da vardır. Mühendislik çalışmalarında trigonometri başta olmak üzere geometri, hesaplamalar yapılırken kullanılmaktadır. Ayrıca geometrinin aslında doğru parçalarını yönlü olarak ifade etmek için kullandığı vektör kavramı, fiziksel kuvvetlerin yönünü ve şiddetin belirlemekte fayda sağlamaktadır. Bu da geometrinin fizik bilimi ile olan bir diğer ilişkisidir. Ayrıca geometrinin tarihi faydacı misyonu alan hesaplamaktır. Geometri ürettiği birimler ve matematiksel araçlarla uzunluk, alan ve hacim hesaplamayı sağlamaktadır. Bu hesaplar sadece aksiyomlara dayanan cisimleri değil, bizim fiziksel evrenimizin cisimlerini de açıklayabilmektedirler. Bu tarz hesapların yapılması zaten Mısır ve Babil de matematiğin var olma sebebiydi. Konu dışına çıkmak gerekirse, bunların kurgusal, tasarımsal ve aksiyomatik hale getirilmemesi, matematiğin o coğrafyalarda gelişememesini ve bu işin bunları yapabilen Yunanlara kalmasına sebebiyet vermiştir.
SONUÇ Yazının başından beri birkaç farklı örnekle gösterdiğim ve bu tartışmanın matematiğe genişletilmesiyle daha da uzatabileceğim üzere geometri fiziksel evrenden bağımsız kavramlar üretir ve onlar üzerinden işlemler yapar. Fizik bilimi ise geometri bilimin ürettiği bu kavramları fiziksel evrene uygulayarak bu evreni açıklamaya çalışır. Burada ilginç olan insan zihninden çıkan bu tasarıların evreni açıklayabilmesidir. Bunu felsefi açıdan değerlendirmek gerekirse, Platoncular bunu zaten var olan ideaların matematiksel olarak algılanıp, gerçekler dünyasına uygulanması olarak yorumlayabilirler. Bu konuda ciddi bir metafizik, fizik çatışması vardır. Bu bir bakıma o tarihi her şey tinsel midir yoksa madde kaynaklı mıdır sorusunun bir kez daha ortaya çıkışıdır. KAYNAKÇA Kaynakça konusunda tek söyleyeceğim şey, direk alıntıladığım bölümlerin sadece yine kendi yazdığım bir metin olan Bilim Tarihi Işığında Görelilik Teorileri, Kuantum Mekaniği ve Her Şeyin Teorisi makalesinden olmasıdır. Zaten kendi yazdığım bir metinden bir şey kopyalamanın etik olarak bir sıkıntı yaratmaması gerektiğini düşünüyorum. Kalan kaynakları daha çok bilgi birikimi oluştururken kullandım ve atıf olarak yazmam gerektiğini düşündüm. YAZILI KAYNAKLAR Conan, A. R. (2005). Bilim Tarihi: Dünya Kültürlerinde Bilimin Tarihi ve Gelişimi (4. Baskı). (E. İhsanoğlu ve F. Günergün, Çev.). Ankara: TÜBİTAK Yayınları (Orjinal çalışma basım tarihi 1985) Einstein, A. (2012). İzafiyet Teorisi (10. Baskı). (G. Aktaş, Çev.). İstanbul: Say Yayınları. (Orijinal çalışma basım tarihi 1916) Hawking, S. ve Melodinow, L. (2008). Zamanın Daha Kısa Bir Tarihi (2. Basım). (S. Öğünç, Çev.). İstanbul: Doğan Kitap Yayınları (Orjinal çalışma basım tarihi 2005) King, J.P. (2010). Matematik Sanatı (19. Baskı). (N. Arık, Çev.). Ankara: TÜBİTAK Yayınları (Orijinal çalışma basım tarihi 1992) Yıldırım, C. (2009). Bilim Tarihi (12. Basım). İstanbul: Remzi Kitabevi İNTERNET KAYNAKLARI Carl Friedrich Gauss, http://en.wikipedia.org/wiki/carl_friedrich_gauss, erişim: 27 Ekim 2012 Rene Descartes, http://en.wikipedia.org/wiki/ren%c3%a9_descartes, erişim: 18 Ekim 2012 Riemannian Geometry, http://en.wikipedia.org/wiki/riemannian_geometry, erişim: 27 Ekim 2012
Zenon un Paradoksları, http://tr.wikipedia.org/wiki/zenon%27un_paradokslar%c4%b1, erişim: 17 Ekim 2012 Torun, C. G. Bilim Tarihi Işığında Görelilik Teorileri, Kuantum Mekaniği ve Her Şeyin Teorisi, http://www.mukal.org/bilim-tarihi-isiginda-gorelilik-teorileri-kuantum-mekanigi-ve-her-seyinteorisi/, erişim: 16 Mayıs 2013 GÖRSELLERİN KAYNAKLAR Şekil 1: C++ Tutorials Lesson 24: Arrays and Pointers of Class, http://www.functionx.com/cpp/lesson24.htm, erişim: 03 Kasım 2012 Şekil 2: Dialogos of Eide: Summing over Histories, http://www.eskesthai.com/search/label/summing%20over%20histories, erişim: 3 Kasım 2012 Şekil 3: Gravity in General Relativity, http://my.opera.com/easteinstein/blog/show.dml/11172801, erişim: 3 Kasım 2012