I. ULUSAL HAVACILIK VE UZAY KONFERANSI UHUK-2006-04 2-23 Eylül 2006, ODTÜ, Ankara GAZ-KİNETİK BGK YÖNTEMİ İLE 3-BOYUTLU AKIŞLARIN DÜZENSİZ ÇÖZÜM AĞLARI ÜZERİNDE PARALEL OLARAK HESAPLANMASI Murat ILGAZ İsmail H. TUNCER TÜBİTAK-SAGE, Ankara ODTÜ, Ankara ÖZET Bu makalede, 3-boyutlu akışlar için düzensiz çözüm ağları üzerinde gaz-kinetik BGK yöntemi sunulmuştur. Birinci derece doğrulukta sonlu hacimler algoritmaları verilmiş ve gaz-kinetik yöntemlerin önemli dezavantajlarından biri olan uzun hesaplama süresi, paralel çözümleme yapılarak aşılmıştır. Geliştirilen yöntem, 3-boyutlu bir kanat üzerindeki transonik akışa uygulanmıştır. Deneysel verilerle uyumlu çözümler elde edilmiş ve paralel hesaplamaların yüksek verim sağladığı gösterilmiştir. GİRİŞ Son yıllarda gaz-kinetik yöntemlerin sıkıştırılabilir akışların çözümlemelerinde kullanımı yaygınlaşmıştır. Günümüzde en yaygın kullanılan gaz-kinetik yöntemler Denge Akı Yöntemi [7], Kinetik Akı Vektörü Ayırma Yöntemi [2, 5] ve dır [6]. Gazkinetik BGK yönteminde moleküller arasındaki çarpışmalar göz önüne alındığı için akış, fiziksel olarak daha doğru ve gerçekçi modellemektedir ve bu yöntemin çeşitli uygulamalarıyla ilgili birçok çalışma yapılmıştır[5,6,7,9,0,,3,4]. Öncelikle 2-boyutlu akışlar için düzenli çözüm ağlarında uygulanmış olan bu yöntem, daha sonra 2-boyutlu karmaşık geometriler etrafındaki akışların modellenmesinde kullanılmak üzere düzensiz çözüm ağlarına uyarlanmıştır [3, 4, 8]. Ilgaz ve Tuncer, kinetik akı vektörü ayırmayöntemi ile gaz-kinetik BGK yöntemini düzensiz çözüm ağları üzerinde 2-boyutlu akışlar için başarıyla uygulamıştır [2]. Bu çalışmada, gaz-kinetik yöntemlerin temel sorunu olan uzun çözümleme süresi, çözümlemelerin paralel bilgisayar ortamında yapılmasıyla aşılmıştır. Çeşitli test problemlerinin viskozitesiz akış çözümlemeleri yapılmış ve gaz-kinetik yöntemlerin paralel verimliliğinin Uzman Araştırmacı, Aerodinamik Birimi, E-posta: murat.ilgaz@sage.tubitak.gov.tr Prof. Dr., Havacılık ve Uzay Mühendisliği Bölümü, E-posta: tuncer@ae.metu.edu.tr
UHUK-2006-04 oldukça yüksek olduğu tespit edilmiştir. Ayrıca, klasik yöntemlerde görülen hesaplamadan kaynaklı kararsızlıkların gaz-kinetik yöntemlerde görülmediği gösterilmiştir [2]. Üçgenlerden oluşan düzensiz çözüm ağlarında viskozitesiz akış çözümleri başarılı bir şekilde elde edilebilirken, viskoziteli akış çözümleri ve özellikle sınır katmanının yeterince çözümlenebilmesi mümkün değildir. Sınır tabakayı oluşturmak için kullanılan çok sayıda orantısız üçgen hücrelerin varlığı klasik yöntemlerde olduğu gibi gaz-kinetik yöntemlerde de yakınsama problemlerine yol açmaktadır. Ilgaz ve Tuncer, viskoziteli akışların çözülebilmesi için üçgen ve dörtgenlerden oluşan düzensiz hibrid çözüm ağları kullanmış ve gaz-kinetik BGK yönteminin sonlu hacimler için yüksek doğruluk derecesinde formülasyonunu vermiştir []. Bu çalışmada, 2-boyutlu düzensiz hibrid çözüm ağlarında viskoziteli akış çözümleri paralel olarak elde edilmiş ve sunulan yaklaşımın doğruluğu ve etkinliği gösterilmiştir []. Bununla birlikte, gaz-kinetik BGK yönteminin uygulamaları genel olarak 2-boyutlu akış çözümlemeleri ile sınırlı kalmış ve3-boyutlugerçek problemlere uygulamaları yapılmamıştır. Bu çalışmada, gaz-kinetik BGK yönteminin 3-boyutlu ağdasız akışlar için düzensiz çözüm ağları üzerinde algoritmaları sunulmuştur. Çözümlemeler paralel bilgisayarlarda yapılmış ve mevcut yöntem, standart bir test problemine uygulanmıştır. GAZ-KİNETİK BGK YÖNTEMİ Gaz-kinetik teoride, gazların küçük parçaçıklardan oluştuğu ve her parçacığın kütlesi ve hızı olduğu varsayılır. Standart koşullarda, küçük bir hacim içerisindeki çok fazla parçacığın hareketi, bu parçacıkların belirli bir hız aralığında olma olasılığını tanımlayan parçacık dağılım fonksiyonu ile tanımlanır: f(x i,t,u i ) () Burada, x i =(x, y, z) pozisyonu, t zamanı, u i =(u, v, w) ise parçacık hızını göstermektedir. Gazın makroskopik özellikleri parçacık dağılım fonksiyonunun momentleri şeklinde ifade edilebilir. Örneğin, gaz yoğunluğu ρ = m n i (2) i şeklinde yazılabilir. Burada, m parçacık kütlesi, n i ise parçacık sayı yoğunluğudur. Tanım olarak, parçacık dağılım fonksiyonu hız uzayında parçacık yoğunluğunu temsil ettiğinden m n i = f(x i,t,u i ), (3) ρ = fdudvdw (4) sonucuna varılır. Parçacık dağılım fonksiyonunun zamanda değişimi Boltzmann denklemi tarafından yönetilmektedir: f t + u i f xi + a i f ui = Q(f,f) (5) Burada, a i parçacığa i yönünde etki eden dış kuvveti, Q(f,f) ise çarpışma operatörünü göstermektedir. Çarpışma operatörü sıfıra eşit olduğu zaman çarpışmasız Boltzmann denklemi elde edilir ve bu denklemin çözümü de Maxwell (denge) dağılım fonksiyonunu verir: g = ρ ( λ π ) N+3 2 exp { λ [(u i U i ) 2 + ξ i 2 ]} (6) 2
UHUK-2006-04 Bu fonksiyonda, ξ i =(ξ,ξ 2,..., ξ N ) parçacığın iç hızlarını, N iç serbestlik derecesini, U i = (U, V, W ) gazın makroskopik hızını göstermektedir. λ ise sıcaklığa bağlı bir değişkendir: λ = 2 R T (7) Gaz-kinetik BGK yöntemi Boltzmann BGK denklemine dayanmaktadır. Dış kuvvetler ihmal edildiğinde üç boyutlu Boltzmann BGK denklemi ise f t + u f x + v f y + w f z = g f τ şeklinde yazılabilir. Burada, f parçacık dağılım fonksiyonunu, g denge dağılım fonksiyonunu, u, v ve w sırasıyla x, y ve z yönlerindeki parçacık hızlarını, τ ise parçacıkların çarpışması arasında geçen süreyi göstermektedir. Denge durumu ise genellikle Maxwell dağılım fonksiyonuyla ifade edilir: g = ρ ( λ π ) K+3 2 exp { λ [(u U) 2 +(v V ) 2 +(w W ) 2 + ξ 2 ]} (9) Bu denklemde, ρ gazın yoğunluğu, U, V ve W sırasıyla gazın x, y ve z yönlerindeki makroskopik hızları, K ise parçacık iç hızlarının boyutudur. Parçacık dağılım fonksiyonunun, t zamanında ci hücre arayüzündeki çözümü (8) f(s ci,t,u,v,w,ξ)= τ t 0 g(s,t,u,v,w,ξ) exp [ (t t )/τ] dt +exp ( t/τ) f 0 (s ci ut vt wt) (0) şeklidedir. Burada, s = s ci u (t t ) v (t t ) w (t t ) herhangi bir parçacığın izlediği yol, f 0 ise herbir zaman aralığının başında parçacıkların başlangıç dağılım fonksiyonudur. Gazın kütle, momentum ve toplam enerji yoğunluğu ile parçacık dağılım fonksiyonu arasındaki ilişki Denklem (4) kullanılarak bulunabilir: ρ ρu ρv ρw ρe = f ψ dξ () Burada ψ dağılım fonksiyonunun moment vektörü, u ψ = v w 2 (u2 + v 2 + w 2 + ξ 2 ) dξ ise faz uzayında hacim elemanıdır. (2) Düzensiz çözüm ağları üzerinde birinci derece doğrulukta gaz-kinetik BGK yöntemi şu şekilde özetlenebilir: Şekil de verilen kontrol hacimleri ve yerel koordinat sistemini göz önüne alalım. Burada siyah noktalar hücre merkezlerini, kırmızı nokta hücre arayüz merkezini, L ve R hücre 3
UHUK-2006-04 Şekil : Kontrol Hacimler ve Koordinat Sistemi. arayüzünün sol ve sağını, x hücre arayüzüne dik, y ve z hücre arayüzüne teğet yerel koordinat sistemini, X, Y ve Z ise genel koordinat sistemini göstermektedir. Düzensiz çözüm ağları üzerinde birinci derece doğrulukta, hücre merkezli gaz-kinetik BGK yönteminde yerel koordinat sistemindeki hızlar (U x, U y ve U z ), genel koordinat sistemindeki hızlar (U, V ve W ) kullanılarak bulunmaktadır. Bu çalışmada, başlangıç dağılım fonksiyonu, f 0, { g f 0 = L, x x ci g R (3), x x ci denge durumu, g, ise g = g 0 (4) şeklinde alınmıştır. Burada g L, g R ve g 0 sırasıyla hücre arayüzünün solundaki, sağındaki ve merkezindeki denge dağılım fonksiyonlarını, g = ρ ( λ π ) K+3 2 exp { λ [(u x Ux )2 +(u y Uy )2 +(u z Uz )2 + ξ 2 ]}, (5) u x hücre arayüzüne dik, u y ve u z ise hücre arayüzününe paralel parçacık hızlarını göstermektedir. Denklem (3) ve (4) kullanıldığında, Denklem (0) da verilen hücre arayüzündeki parçaçık dağılım fonksiyonunun çözümü şeklini almaktadır. f(x ci,t,u,v,w,ξ)=[ exp ( t/τ)] g 0 xci + exp ( t/τ) f 0 xci (6) Hücre arayüzünün sol ve sağındaki başlangıç kütle, momentum ve toplam enerji yoğunlukları kullanılarak Denklem (3) de verilen denge dağılım fonksiyonları hesaplanmaktadır: ρ L ci ρ R ρu L ci g L x ci ρu R ψ ci dξ = ρu L y ci, g R x ci ψ ρuz L ci dξ = ρu R y ci (7) ci ρu R ρeci L z ci ρeci R 4
UHUK-2006-04 Burada, ψ ci hücre arayüzündeki moment vektörünü göstermektedir: u x ψ ci = u y u z 2 (u2 x + u 2 y + u 2 z + ξ 2 ) (8) Denklem (7) kullanılarak başlangıç dağılım fonksiyonu, f 0, bulunduktan sonra uyum denklemi kullanılarak denge durumu, g = g 0, elde edilmektedir: g 0 ψ ci dξ = g L ψ ci dξ+ g R ψ ci dξ (9) u>0 Hücre arayüzünde, yerel koordinat sistemindeki kütle, momentum ve enerji akıları ise F ρ F ρux Δt F ρuy = u x f xci ψ ci dξ dt (20) F ρuz 0 F ρe denklemi kullanılarak bulunmaktadır. Dört yüzlü hücrelerin her bir yüzeyinde hesaplanan akılar daha sonra genel koordinat sistemine dönüştürülmektedir. u<0 PARALEL ÇÖZÜMLEME Paralel çözümlemeler, çözüm ağının bölünmesine dayanmaktadır. Düzensiz çözüm ağı METIS paket programı kullanılarak bölünmüştür. Bölünen çözüm ağı üzerinde yapılan paralel hesaplamalarda işlemciler arasındaki iletişim PVM kütüphanesi kullanılarak sağlanmıştır. Paralel hesaplamalarda, yönetici-işçi (master-worker) algoritması kullanılmıştır. Yönetici, bütün girdi-çıktı işlemlerini gerçekleştirmekte, PVM rutinlerini başlatmakta, işçileri oluşturmakta ve ilk verileri işçi işlemcilere göndermektedir. İşçiler ise yöneticiden gelen verileri kullanarak arayüz ve akış sınır koşullarını uygulamakta ve akış çözümlerini gerçekleştirmektedir. Herbir zaman diliminde akış değişkenleri diğer komşu işlemcilerle değiştirilmekte ve bilgi alışverişi sağlanmaktadır. SONUÇLAR VE YORUMLAR Bu çalışmada geliştirilen yöntemin doğruluğunu ve gürbüzlüğünü göstermek için deneysel verilere sahip, ses-geçiş akış rejimindeki bir kanadın (ONERA M6) [8] gaz-kinetik BGK ve yaklaşık Riemann yöntemi ile çözümlemesi yapılmıştır. Çözümlemelerde kullanılan serbest akışkoşulları Tablo de, çözüm ağı ise Şekil 2 de gösterilmiştir. Oluşturulan düzensiz çözüm ağı yaklaşık 500, 000 düzensiz elemandan ve 90, 000 düğüm noktasından oluşmaktadır. 5
UHUK-2006-04 Tablo : Serbest AkışKoşulları. Mach Sayısı Hücum Açısı Yana Kayma Açısı Basınç Sıcaklık derece derece Pa K 0.8395 3.06 0.0 0325 288 Z Y X Şekil 2: Çözüm Ağı. Şekil 3 de düzensiz çözüm ağları üzerinde gaz-kinetik BGK yöntemi kullanılarak elde edilen Mach sayısı eş eğrileri kanat yüzeyinde ve kanat kök veterinde verilmiştir. Farklı kesitler için gaz-kinetik BGK ve yaklaşık Riemann çözücüsü ile elde edilen yüzey üzerindeki basınç katsayısının deneysel verilerle karşılaştırması ise Şekil 4 de gösterilmiştir. Gaz-kinetik BGK ve klasik yöntemi sonuçları deneysel verilerle genel olarak uyumludur. Özellikle kanat altındaki basınçlar gaz-kinetik BGK yöntemi ile daha doğru hesaplanmıştır. Kanat üzerinde farklı kesitlerde oluşan şok dalgaları oldukça iyi ve keskin bir şekilde çözümlenmiştir, ancak, çözümlemeler viskozitesiz akış varsayılarak yapıldığı için şok yerinde beklenilen sapma gözlemlenmiştir. Z Y X Mach.05.02 0.99 0.96 0.93 0.9 0.87 0.84 0.8 0.78 0.75 Şekil 3: Kanat Mach Sayısı Eş Eğrileri. 6
UHUK-2006-04 -.5 -.5 - - -0.5-0.5 Cp Cp 0 0 0.5 Deney (y/b=0.2) 0 0.25 0.5 0.75 x/c 0.5 Deney (y/b=0.44) 0 0.25 0.5 0.75 x/c -.5 -.5 - - -0.5-0.5 Cp Cp 0 0 0.5 Deney (y/b=0.65) 0 0.25 0.5 0.75 x/c 0.5 Deney (y/b=0.8) 0 0.25 0.5 0.75 x/c -.5 - -0.5 Cp 0 0.5 Deney (y/b=0.95) 0 0.25 0.5 0.75 x/c Şekil 4: Farklı Kanat Kesitleri için Yöntemi ile Elde Edilen Basınç Katsayıları. 7
UHUK-2006-04 Paralel hesaplamalar, Linux işletim sisteminde çalışan Intel Xeon 64-bit işlemcilere sahip bilgisayarlarda gerçekleştirilmiştir. Bu bilgisayarlar 3.6GHz çift işlemcilere ve toplam 4GB hafızaya sahiptir. Paralel hesaplamaların verimliliğitablo2 deveşekil 5 de verilmiştir. Şekilden açıkça görülmektedir ki gaz-kinetik BGK yönteminin yüksek paralel verimliliği işlemci sayısının artmasıyla korunmuştur. Bunun sebebi ise gaz-kinetik BGK yönteminin yüksek hesaplama-iletişim oranına sahip olmasıdır. Diğer taraftan, gaz-kinetik BGK yöntemi viskozitesiz akışlar için yöntemine göre seri hesaplamalarda %33 daha yavaştır. Ancak, paralel hesaplamalarda bu oran %8 e kadar düşmektedir. Özetle, gaz-kinetik BGK yöntemi genel olarak klasik yöntemlere göre hesaplama açısından daha pahalı bir yöntem olsa da paralel hesaplamalar ile bu dezavantaj ortadan kalkmaktadır. Tablo 2: Paralel Hesaplamaların Verimliliği. İşlemci Sayısı Paralel Verimlilik Gaz-Kinetic BGK saniye/iter % saniye/iter % 7.770 00.0 5.824 00.0 2 3.938 98.64 2.959 98.39 4 2.06 96.36.577 9.69 8.07 95.47 0.837 85.03 4 0.645 86.0 0.545 68.99 6 4 2 Hizlanma 0 8 6 4 2 Ideal 2 4 6 8 0 2 4 6 Islemci Sayisi Şekil 5: Paralel Hesaplamalardaki Hızlanma. DEĞERLENDİRMELER Bu makalede, düzensiz çözüm ağları üzerinde 3-boyutlu gaz-kinetik BGK yöntemi sunulmuştur. Birinci derece doğrulukta algoritmalar verilmiş ve deneysel verilere sahip bir test modelinin çözümlemeleri yapılmıştır. Elde edilen sonuçların deneysel verilerle oldukça 8
UHUK-2006-04 uyumlu olması, sunulan yaklaşımın doğruluğu ve etkinliği göstermiştir. Yapılan paralel çözümlemeler, gaz-kinetik BGK yönteminin paralel verimliliğinin oldukça yüksek olduğunu ortaya koymuştur. Bu çalışmada ortaya çıkan sonuçlar doğrultusunda, sunulan yöntemin yüksek doğruluk derecesinde algoritmaları oluşturulacak ve viskoziteli akışlar için düzensiz hibrid çözüm ağları üzerinde gaz-kinetik BGK yöntemi geliştirilecektir. KAYNAKLAR [] Ilgaz, M., and Tuncer, I., H., Parallel Implementation of Gas-Kinetic BGK Scheme on Unstructured Hybrid Grids, 36th AIAA Fluid Dynamics Conference and Exhibit, AIAA-2006-399, San Francisco, 2006. [2] Ilgaz, M., and Tuncer, I., H., Parallel Implementation of Gas-Kinetic Schemes for 2-D Flows on Unstructured Grids, 3rd Ankara International Aerospace Conference, AIAC-2005-08, Ankara, Turkey, 2005. [3] May, G., and Jameson, A., Improved Gaskinetic Multigrid Method for Three- Dimensional Computation of Viscous Flows, AIAA Paper 2005-506, 2005. [4] May, G., Srinivasan, B., and Jameson, A., Three Dimensional Flow Calculations on Arbitrary Meshes Using a Gas-Kinetic BGK Finite-Volume Method, AIAAPaper 2005-397, 2005. [5] Xu, K., A Gas-Kinetic BGK Scheme for the Navier-Stokes Equations and Its Connection with Artificial Dissipation and Godunov Method, J. Comp. Phys., Cilt. 7, s.289-335, 200. [6] Lian, Y. S., Xu, K., A Gas-Kinetic Scheme for Multimaterial Flows and Its Application in Chemical Reactions, J. Comp. Phys., Cilt. 63, s.349-375, 2000. [7] Chae D., Kim C., and Rho O., Development of an Improved Gas-Kinetic BGK Scheme for Inviscid and Viscous Flows, J. Comp. Phys., Cilt. 58, s.-27, 2000. [8] Kim, C., and Jameson, A., A Robust and Accurate LED-BGK Solver on Unstructured Adaptive Meshes, J. Comp. Phys., Cilt. 43, s.598-627, 998. [9] Xu, K., and Hu, J., Projection Dynamics in Godunov-Type Schemes, J. Comp. Phys., Cilt. 42, s.42-427, 998. [0] Xu, K., A Gas-Kinetic Scheme for the Euler Equations with Heat Transfer, SIAM J. Sci. Comp., Cilt. 20-4, s.37-335, 997. [] Xu, K., BGK-Based Scheme for Multicomponent Flow Calculations, J.Comp.Phys., Cilt. 34, s.22-33, 997. [2] Chou, S. Y., and Baganoff, D., Kinetic Flux Vector Splitting for the Navier-Stokes Equations, J. Comp. Phys., Cilt. 30, s.27-230, 997. [3] Xu, K., Martinelli, L., and Jameson, A., Gas-Kinetic Finite Volume Methods, Flux Vector Splitting and Artificial Diffusion, J. Comp. Phys., Cilt. 20, s.48-65, 995. 9
UHUK-2006-04 [4] Xu, K., and Jameson, A., Gas-Kinetic Relaxation (BGK-Type) Schemes for the Compressible Euler Equations, AIAA Paper 995-736, 995. [5] Mandal, J. C., and Deshpande, S. M., Kinetic Flux Vector Splitting for Euler Equations, Comp. Fluids, Cilt. 23-2, s.447, 994. [6] Prendergast, K. H., and Xu, K., Numerical Hydrodynamics from Gas-Kinetic Theory, J. Comp. Phys., Cilt. 09, s.53-66, 993. [7] Pullin, D. I., Direct Simulation Methods for Compressible Inviscid Ideal Gas Flow, J. Comp. Phys., Cilt. 34, s.23-244, 980. [8] Schmitt, V., and Charpin, F., Pressure Distributions on the ONERA-M6-Wing at Transonic Mach Numbers, AGARD AR 38, 979. 0