İdeal Akışkanların 2 ve 3 Boyutlu Akımları

Transkript

1 AKM 204 / Kısa Ders Notu H11-S1 İdeal Akışkanların 2 ve 3 Boyutlu Akımları Kütlenin Korunumu Prensibi : Süreklilik Denklemi Gözönüne alınan ortam ve akışkan özellikleri; Permanan olmayan akım ortamında çalışılacaktır ; Kontrol hacmi, prizmatik hacmidir. Akışkan hareket esnasında sıkışabilen ( ) akışkandır. Prensip: (dx.dy.dz) kontrol hacmine belirli bir dt süresinde giren ve çıkan akışkan kütlelerinin farkı bu süre zarfında kontrol hacmi içindeki akışkan kütlesinin değişimine eşit olmalıdır. ı ğ. z dz y x Kontrol Hacmi dx dy 3 Boyutlu ve permanan olmayan akım ortamında sıkışabilen akışkan için süreklilik denklemi 3 Boyutlu ve permanan olmayan akım ortamında sıkışmayan akışkan için süreklilik denklemi Not : Bir hız alanının fiziksel olarak varolabilmesi için süreklilik denklemini sağlaması gerekir.

2 AKM 204 / Kısa Ders Notu H11-S2 Euler Hareket Denklemleri Gözönüne alınan ortam ve akışkan özellikleri; Kontrol hacmi, prizmatik hacmidir. Akışkan sürtünmesizdir (ideal) ve. Akışkan hareket esnasında sıkışmamaktadır ( ) Buna göre ; Dış Kuvvetler ; ; m =. d =. (dx.dy.dz) Hacimsel (kütlesel) kuvvet vektörü ; : Birim kütleye etki eden kütlesel kuvvet bileşenleridir. Deplasman vektörü : z dz y x Kontrol Hacmi dx dy x-doğrultusunda kontrol hacmi içerisindeki akışkan kütlesi için Newton un dinamik denklemi yazılırsa; Kartezyen koordinat sisteminde Euler hareket denklemleri ; ; Navier-Stokes Denklemleri Gözönüne alınan ortam ve akışkan özellikleri; Kontrol hacmi, prizmatik hacmidir. Gerçek akışkan için ( ). Akışkan hareket esnasında sıkışmamaktadır ( ) Buna göre ;

3 Dış Kuvvetler AKM 204 / Kısa Ders Notu H11-S3 ; x-doğrultusunda kontrol hacmi içerisindeki akışkan kütlesi için Newton un dinamik denklemi yazılırsa; Birim kütleli akışkan elemanına etki eden kuvvet bileşenleri; ü ı ç Kartezyen koordinat sisteminde Navier-Stokes Denklemleri Denklemlerde ; Vektörel türev operatörüdür. İrdeleme : En genel durum Sıkışmayan akışkan Sürtünmesiz akışkan Dengedeki sıvı Cauchy denklemleri Navier-Stokes Denklemleri Euler Hareket Denklemleri Euler Denge Denklemleri

4 AKM 204 / Kısa Ders Notu H11-S4 Euler hareket denkleminin 2 boyutlu ortamda akım çizgisi üzerinde integrasyonu Gözönüne alınan ortam ve akışkan özellikleri; Yerçekimi alanında inceleme yapılacaktır (kütlesel kuvvetler sadece g den kaynaklanmaktadır). Permanan akım ortamında çalışılacaktır ; Akışkan sürtünmesizdir (ideal) ve Akışkan hareket esnasında sıkışmamaktadır ( 2 Boyutlu inceleme ve (x-z) düzleminde ve akım çizgisi üzerinde integrasyon. :.. ) z Akım çizgisinin denklemi Akım çizgisi dz dx w u (x-z) düzleminde; u.dz = w.dx x (x-z) düzleminde Euler hareket denklemleri; x- doğrultusunda E.H.Denklemi : z- doğrultusunda E.H.Denklemi : Sol taraftaki terim bileşke hız cinsinden yazılıp düzenlenirse; Sonuç ifadenin integrasyonu yapıldığında ; Akım çizgisi üzerinde enerjinin sabit olduğunu gösteren Bernoulli denklemi elde edilir.

5 AKM 204 / Kısa Ders Notu H11-S5 Akım çizgisi üzerindeki iki nokta için enerji dengesi aşağıdaki gibi yazılabilir. Sonuç : Bernoulli denklemi 2 boyutlu akım ortamında aynı akım çizgisi üzerindeki noktalarda geçerlidir. Euler hareket denklemlerinin akım çizgisi boyunca integrali Bernoulli denklemini vermektedir. Kaynaklar ÜNSAL, İstemi, Ders notları Engineering Fluid Mechanics 9e ISV, Clayton T. Crowe, John Wiley High Education, Isbn: , 616 pages,2009. "Fluid Mechanics: Fundamentals and Applications", Yunus Çengel & John Cimbala, 864 pages, McGraw Hill Higher Education (December 1, 2006) Introduction to Fluid Mechanics, Edward J. Shaughnessy,Ira M. Katz, James P. Schaffer, 1056 pages, Oxford University Press, USA (December 9, 2004), ISBN-10: Robert W.Fox, Philip J.Pritchard, Alan T.Mcdonald Introduction To Fluid Mechanics, 7Th Ed, Si Version Munson, Young, Okiishi, Fundamentals of FLUID MECHANICS, Wiley.

6 AKM 204 / Kısa Ders Notu H11-S6 Konu Soruları 1) Sıkışabilen ve sürtünmesiz akışkan halinde elde edilen Cauchy denkleminin aşama aşama Euler denge denklemine dönüşümünü açıklayınız. 2) X-doğrultusunda Navier-Stokes denklemini yazınız. Herbir terimin fiziksel anlamını belirtiniz. 3) Yerçekimi alanında, sıkışmayan ve sürtünmesiz akışkanın iki boyutlu (x-z düzlemi) ve permanan hareketinde belirli bir akım çizgisi boyunca Euler hareket denklemlerinin integrasyonunu yaparak Bernoulli denklemini elde ediniz. Konuyla İlgili Problemler 1. Soru ) Bir masa üstü bilgisayar hacimsel debisi 0,34 m 3 /dk olan bir fan ile soğutulacaktır m yükseklikte havanın özgül kütlesinin 0,7 kg/m 3 olduğunu dikkate alarak fandan geçen kütlesel debiyi hesaplayınız. Havanın ortalama hızının 110 m/dk geçmesi istendiğine göre fan çapını bulunuz. Süreklilik denklemi; 2. Soru) Bir sigara içme salonu 15 tiryakiye hizmet verecek şekilde planlanmaktadır. Kişi başına taze hava ihtiyacı standart olarak 30 lt/s olduğu ve hava hızının 8 m/s değerini geçmemesi şartlarına göre, havalandırma fanının çapını bulunuz. Süreklilik denklemi;

7 3. AKM 204 / Kısa Ders Notu H11-S7 Soru ) Düşey düzlemde bulunan bir püskürtücü dirsek 30 kg/s kütlesel debiye sahip suyu yatay bir borudan yukarı doğru 45o hızlandırarak saptırmak için kullanılmaktadır. Dirsek suyu atmosfere atmaktadır. Dirseğin girişteki enkesit alanı 150 cm2, çıkıştaki ise 25 cm2 dir. Giriş ve çıkış kesitlerinin eksenleri arasındaki seviye farkı 40 cm dir. İçerisindeki su ile birlikte dirseğin kütlesi 50 kg dır. Dirseği yerinde tutabilmek için gerekli kuvveti belirleyiniz. Kontrol hacmine giren ve çıkan akışkan için momentum akış düzeltme katsayısı 1,03 dür. 2 z V2 A2=25 cm x 2 V1 A1=150 cm 2 G=m.g 1 Çözüm =0,03 m3/s ve Çıkış kesitlerinde atmosfer basıncı olduğu gözönüne alınarak rölatif değeriyle ve karşılaştırma seviyesini yatay boru eksen üzerininde alınırsa; ve olacaktır. ve x- do rultusunda impuls momentum denklemi yaz l rsa; x-doğrultusunda kontrol hacminden çıkan ve giren akışkanın momentum farkı akışkana dışardan etkiyen kuvvetler eşit olmalı; Ç Yerçekimi alanında Ç, rölatif atmosfer basıncı hareketi esnasında ortaya çıkacak sürtünme kuvveti ihmal edilirse Ç ve akışkanın (1) ve (2) kesitleri arasında olacaktır. ; Yönü ( )

8 z- do rultusunda impuls momentum denklemi yaz l rsa; Yerçekimi alanında, rölatif atmosfer basıncı AKM 204 / Kısa Ders Notu H11-S8 ve akışkanın (1) ve (2) kesitleri arasında hareketi esnasında ortaya çıkacak sürtünme kuvveti ihmal edilirse olacaktır. ; Yönü ( ) = 1180 N RKx RK RKz Akışkanın uyguladığı aksiyon kuvvetine tepki kuvveti ve akım doğrultusuna ters ; Yönü ( ) ; Yönü ( ) = 1180 N AKx AK AKz

9 AKM 204 / Kısa Ders Notu H11-S9 4. Soru ) Bir rüzgar türbini 10 m/s rüzgarla çalışmaktadır. Havanın yoğunluğu (özgül kütlesi) 1.2 kg/m 3 dir. Türbinin kanat çapı 4 m dir. Sabit atmosferik basınç altında kesintisiz hava akımına ait akım çizgilerinin kapalı dairesel eğri üzerinde oluşturduğu akım borusunun (kontrol hacmi) giriş çapı 3 m çıkış kesitindeki çapı ise 4 m dir. Giriş ve çıkış kesitlerindeki hız dağılımın üniform olduğunu ve akışkanı sıkışmaz kabul ederek, türbininin gücünü ve türbin direğine etkiyen yatay rüzgar kuvvetini hesaplayınız. 1 2 p = p atm 3 m 10 m/s 4 m 4.5 m Akım borusu