MONTE CARLO BENZETİMİ U(0,1) rassal değişkenler kullanılarak (zamanın önemli bir rolü olmadığı) stokastik ya da deterministik problemlerin çözümünde kullanılan bir tekniktir. Monte Carlo simülasyonu, genellikle statik simülasyon modellerinde kullanılır. Bazı yazarlar Monte Carlo simülasyonunu, rassal sayı kullanımını içeren bir simülasyon olarak tanımlamaktadırlar. Burada kullanılan tanım ise daha kısıtlıdır. Yani, zamanın önemli bir rolünün olmadığı stokastik ve deterministik problemler için kullanılan bir simülasyon tekniğidir. Monte Carlo metodu ilk defa II. Dünya Savaşı sırasında atom bombasının geliştirilmesi ile ilgili problemlere uygulanmıştır. b = ÖRNEK: I g( x) dx integralini çözmek istiyoruz. a g(x) fonksiyonu, analitik çözümü olmayan bir fonksiyon olsun Bu deterministik problemin, Monte Carlo Benzetimi ile çözümünü inceleyelim. Yeni bir rassal değişken olarak Y tanımlansın. Y = ( b a) g( X ) a X b X, [a,b] aralığında düzgün dağılıma sahip bir rassal değişkendir.
Aranılan integralin değeri, Y nin beklenen değerine eşit çıktı. Buradan yararlanarak in değeri Monte Carlo benzetimi ile bulunabilir. b a dx x g ) ( n X g a b n Y Y Y E n i i n i i = = = = = 1 ) 1 ( ) ( ) ( ), ( ~, 2,..., 1 b a U X X X n rassal değişkenler.
ÖRNEK: π sayısının bulunması
ÖRNEK: Kenarları birim uzunlukta olan bir kare düşününüz. Bu kare içinde rassal seçilen A ve B noktaları olsun. A ve B arası d uzunluğundadır. d nin 0.8 den küçük olma olasılığı nedir? Monte Carlo tekniğiyle rassal olarak 1000 adet A ve B noktaları üreterek d nin 0.8 den küçük olma olasılığını bulunuz. Kullanacağınız yaklaşımı açıklayarak, akış şemasını çiziniz.
ÖRNEK: ~ (0,1) rassal değişkenler için; U i n N = min n : i= 1 U i > 1 N, toplamın 1 i geçtiği rassal sayıların sayısına eşittir. 1000 adet deneme yaparak E(N) i hesaplayan algoritma; K=Deneme sayısı K Top=Genel toplam Ni i= E( N) = 1 K N=toplamları 1 i geçen rassal sayı sayacı
GENEL AMAÇLI DİLLER- BENZETİM DİLLERİ Bir benzetim çalışmasında verilmesi gereken kararlardan birisi, uygun programlama dilinin seçilmesidir. BENZETİM DİLİ AVANTAJLARI: Programlama zamanı azalır. Modelin programlanmasında gerekli özelliklerin birçoğu benzetim dilinde mevcuttur. Değiştirilmesi kolaydır. Programlama hatasını bulmak kolaydır. Bu programlarda hata türleri belirlenmiş ve kodlanmıştır. Çoğu benzetim dili, programın çalışması sırasında dinamik depolama özelliğine sahiptir. Bu durum, özellikle büyük boyutlu problemlerin çalıştırılmasında önemlidir. Diğer taraftan, birçok benzetim modeli GENEL AMAÇLI DİLLER ile yazılır. AVANTAJLARI; Birçok analist, genel amaçlı dilleri bilmektedir. Ancak bu, benzetim dilleri için geçerli değildir. FORTRAN veya BASIC, hemen her bilgisayarda bulunabilir. Ancak, benzetim diline erişim bu kadar kolay değildir. Dilinin kullanılacağı bilgisayara göre (mainframe, micro computer) kodlamada düzeltmeler yapmak gerekebilir. Örneğin, GPSS. Genel amaçlı dillerle çok iyi yazılmış bir programın çalışma zamanı, benzetim dili kullanılarak yazılmış programın çalışma zamanından daha az olabilir. Ancak, günümüzde bilgisayar teknolojisindeki hızlı gelişimden dolayı bu faktörün önemi azalmıştır. Genel amaçlı diller, benzetim dillerine nazaran programlamada büyük esneklik sağlar. Örneğin, karmaşık hesaplamalar için benzetim dilleri uygun değildir.
BENZETİM YAZILIMLARININ SINIFLANDIRILMASI Benzetim yazılımları; diller (languages) ve benzeticiler (simulator) olmak üzere iki ayrı sınıfa ayrılır. DİLLER: Çeşitli uygulamalar için gerekli kodlama özelliklerine sahip olabilen, genel bir bilgisayar paketidir. Örneğin; SIMAN ve SLAM II, konveyörler ve otomatik yönlendirilen araçlar için üretim modüllerine sahiptir. Bir benzetim modelinin programlanmasında, kullanılan dilin modelleme yapısı kullanılır. Benzetim dillerinin en önemli özelliği; değişik tipteki sistemleri modelleme kabiliyetine sahip olmalarıdır. En büyük dezavantajı ise programlamayı yapabilecek bilgiye sahip olunmasını gerektirmesi ve karmaşık sistemlerin modellenmesinde kodlamanın ve programın doğruluğunun belirlenmesinin uzun zaman almasıdır. BENZETİCİLER: Belirli sistemleri benzetime alan bir bilgisayar paketidir. Kullanıldığında, modelin kodlamasına gerek kalmayabilir ya da çok az ihtiyaç duyulur. Üretim, bilgisayara ve haberleşme sistemlerinin belirli tipleri için piyasada çeşitli benzeticiler vardır. Bir sistemin benzetimi menüler ve grafikler yardımı ile gerçekleştirilir. Avantajları: Modelin kodlama zamanı, dile göre çok azdır. Çoğu benzetici kullanıldıkları sistemlerle ilgili özel modelleme yapısına sahiptir. Bu özellik, programlama bilgisine sahip olmayan kişiler için tercih sebebi olmaktadır. Dezavantajı: o Belirli sistemler kısıtlıdır. için geliştirildiklerinden dolayı kullanımları
BAZI BENZETİM DİLLERİ GPSS: General Purpose Simulation System SIMAN: SIMulation ANalysis (Pegden ve arkadaşları,1990) Cinema; SIMAN ın tüm özelliklerine sahip bir dildir. Aynı zamanda animasyon özelliği vardır. SIMSCRIPT II.5 SLAM II: Simulation Language for Alternative Modelling ( Pegden ve Pritsker, 1979) Üretim Uygulamaları için Geliştirilmiş Bazı Benzeticiler: AutoMod II ProModel SIMFACTORY II.5 WITNESS XCELL+ Bilgisayar Sistemleri NETWORK II.5 CACI COMNET II.5
BİR YAZILIMDAN NELER BEKLENİR? Bir benzetim paketinden istenilen özellikler 5 grupta toplanabilir. 1. Genel Özellikler: Esneklik Model gelişiminin kolaylığı Hız İzin verilen model genişliği; micro bilgisayarlar kullanıldığında önem kazanmaktadır. Bazı paketler için maksimum model genişliği 100 KB dan küçüktür. Farklı bilgisayarlarda kullanılabilirlik Kesikli ve sürekli benzetim için kullanılabilirlik 2. Animasyon: Bir simülasyon modelinin popülaritesinin artmasındaki önemli sebeplerden birisi animasyon kullanımının kolay olmasıdır. Animasyon ile, bir sistemin zaman içindeki değişimi grafiksel olarak görülebilir. Avantajları: Bir benzetim programının doğruluğunun kontrol edilebilir, Benzetim modelinin geçerli olmadığını gösterilebilir, Sistem için yeni prosedürlerin önerilebilir, Sistemin dinamik tavrının anlaşılabilir. o o o Dezavantajları: Animasyon, benzetim çıktısının istatistiksel analizinin yerini alamaz. Kısa bir zaman animasyona bakarak, sistemin çok iyi tanımlandığı sonucuna varılamaz. Bir benzetim modelinin modellenme zamanını artırır ve animasyon özelliğine sahip benzetim paketleri pahalıdır.
3. İstatistiksel Kabiliyetler: Gerçek sistemler rassal özelliklere sahip olduğundan, bu sistemlerin benzetime tabi tutulduğu bir benzetim paketi de gerekli istatistiksel özelliklere sahip olmalıdır. Örneğin; standart dağılımlar pakette bulunmalıdır. Modelin otomatik olarak bağımsız tekrarlamaları, farklı başlangıç değerleri kullanarak yapılabilmelidir. 4.Müşterinin Desteklenmesi: Paketin kullanımında ortaya çıkan problemlerde, satıcı firmanın kullanıcıya gerekli yardımı yapmasıdır. 5.Çıktı Raporları: Paket, modelin performans ölçütleri ile ilgili istatistikleri (doluluk oranı, kuyruk genişliği, bekleme ve çıktı gibi) için standart raporları kullanıcıya verebilmelidir.