ÇOKLU REGRESYON ANALİZİNDE VARSAYIMLARDAN SAPMALARIN İNCELENMESİ

ÇOKLU REGRESYON ANALİZİNDE VARSAYIMLARDAN SAPMALARIN İNCELENMESİ 1. ÇOKLU REGRESYON ANALİZİ VE VARSAYIMALARDAN SAPMALAR 1.1. Çoklu Regresyon modeli Varsayımları 1.2. Tahmincilerin anlamlılığının sınanması (R^2) 1.3. Regresyon Katsayılarının Anlamlığı için t Testi 1.4. Varyans analizi 2. VARSAYIMLARDAN SAPMALARIN İNCELENMESİ VE ÇÖZÜMYOLLARI 2.1. OTOKORELASYONUN SAPTANMASI (ARDIŞIK BAĞIMLILIK) 2.1.1. Otokorelasyonun Saptanması 2.1.1.1. Grafik Yöntemi 2.1.1.2. Durbin- Watson d İstatistiği 2.2. DEĞİŞEN VARYANS 2.2.1. Değişen varyansın nedenleri 2.2.2. Değişen Varyans Sınamaları 2.2.2.1. Park Testi 2.2.2.2. Glejser Testi 2.2.2.3. Guldfeld- Quandt Testi 2.2.2.4. Breusch-Pagan-Godfrey (BPG) Testi 2.3. ÇOKLU DOĞRUSAL BAĞLANTI 2.3.1. Çoklu Doğrusallığın Nedenleri 2.3.2. Çoklu Doğrusallığın Sonuçları 2.3.3. Çoklu Doğrusallığın Ortaya Çıkarılması 2.3.4. Çoklu Doğrusallığı Düzeltici Önlemler 2.4. NORMALLİKTEN SAPMALAR

1. ÇOKLU REGRESYON ANALİZİ VE VARSAYIMALARDAN SAPMALAR Ekonomi ve işletmecilik alanlarında herhangi bir bağımlı değişkeni tek bir bağımsız değişken ile açıklamak mümkün değildir. Ekonomik modeller, genellikle birden fazla sebebin sonucudurlar. Çok fazla sayıda değişken bir araya gelerek bir diğer değişkeni etkileyebilmektedirler. Bir değişkeni etkileyen iki ve daha fazla bağımsız değişken arasındaki neden- sonuç ilişkilerini doğrusal bir modelle açıklamak ve bu bağımsız değişkenlerin etki düzeylerini belirlemek için yararlanılan yönteme çoklu doğrusal regresyon analizi denir. 1 Çoklu doğrusal regresyonda, bağımlı değişkeni etkileyen birden çok bağımsız değişken 1. Bağımlı değişkeni etkilediği düşünülen bağımsız değişkenlerden hangisi ya da hangilerinin bağımlı değişkeni daha çok etkilediğini bulmak. 2. Bağımlı değişkeni etkilediği belirlenen değişkenler yardımıyla bağımlı değişken değerini kestirebilmek. 2 Olarak ifade edebiliriz. ler bağımsız değişkenleri ve Y de bağımlı değişkeni göstermek üzere en genel çoklu regresyon denklemi; Şeklinde yazılır. 1 Özdamar, K. (2003). SPSS ile Biyoistatistik 2 Alpar, R. (1997). Uygulamalı Çok Değişkenli İstatistiksel Yöntemlere Giriş. 1

1.1. Çoklu Regresyon modeli Varsayımları 2. Model doğrusal kurulmuştur 3. X değerleri yinelenen örneklemelerde değişmez X açıklayıcı değişkeninin yinelenen örneklemlerde aynı kaldığı düşünülür. 4. Bozucu teriminin ortalaması sıfırdır varsayıma göre lerin verilmiş Xi değerlerine koşullu olan ortalaması sıfırdır. 5. nin varyansı (bütün Xi ler için) aynıdır. = burada var varyans demektir. 6. Bozucu (hata) terimleri arasında ardışık bağımlılık yoktur. ( ) burada i ile j farklı gözlemi, orv ise ortak varyansı göstermektedir. Xi ye karşılık gelen ler ile Xj ye karşılık gelen ler birbirinden bağımsızdır. 7. ile Xi nin ortak varyansı sıfırdır. Her hata terimi açıklayıcı değişkenden bağımsızdır. 8. Regresyon modeli doğru kurulmuş olmalıdır. Başka bir değişle modelde kuruluş sapması ya da hatası bulunmamalıdır. 2

9. Açıklayıcı değişkenler arasında tam doğrusal ilişki bulunmamaktadır. 3 Çoklu regresyon analizinde ancak bu varsayımların geçerli olması durumunda modeli En-Küçük Kareler yöntemiyle tahmin edebiliriz. Unutmamamız gereken diğer bir varsayım da parametrelerin NORMAL dağıldığıdır. 1.2. Tahmincilerin anlamlılığının sınanması ; gösterir. bağımlı değişkendeki değişimin % kaçının açıklayıcı değişkenlerle yapıldığını Şeklinde yazılır ve Arasında değer alır. 1 e yaklaştıkça bağımsız değişkenler bağımlı değişkeni tam açıklar. 0 a yaklaştıkça bağımsız değişkenler bağımlı değişkeni hiç açıklamaz. 3 Gujarati D. N. (1995); Temel Ekonometri. İSTANBUL Literatür Yayınları 3

1.3. Regresyon Katsayılarının Anlamlığı için t Testi Merkezi limit teoremine göre gözlem sayısı (n) arttıkça bu rassal değişkenlerin toplam dağılımları normal dağılıma yakınsar. Eğer normal dağılıma sahip bir yığın varsa bunların doğrusal fonksiyonları da normal dağılır. t testi modeldeki bağımlı değişken ile bu değişkeni açıklayan bağımsız değişkenler arasındaki ilişkiyi gösteren parametrelerinin tek tek test edilmesinde kullanılır. 4 H0: =0 HA: 0 Hipotezi altında t değerleri Şeklindedir. Diğer parametreler için de aynı şekilde yazılır. Şayet, seçilen anlamlılık düzeyinde hesaplanan t değeri kritik t* değerini aşıyorsa, sıfır hipotezi reddedilir, değilse kabul edilir. 1.4. Varyans analizi; t istatistiği bir regresyon denkleminde parametreleri tek tek test ederken, F istatistiği değişkenleri içeren parametrelerin tümünü test eder; yani, bağımlı değişken ile bağımsız değişken içeren parametreler arasında sıfırdan farklı bir ilişkinin olup olmadığına bakmaktadır. H0: = HA: Parametreler aynı anda sıfır değildir. 4 Gujarati D. N. (1995); Temel Ekonometri. İSTANBUL Literatür Yayınları 4

Hipotezi altında F testi. Şeklindedir. F testi yaptığımızda modeli tümüyle test edilir. 5 2. VARSAYIMLARDAN SAPMALARIN İNCELENMESİ VE ÇÖZÜM YOLLARI Çoklu regresyon analizi bölümünde açıklanan varsayımlardan sapmalar olduğu durumlarda yukarıda açıklanan yöntemlerle elde edilen sonuçların kullanılması ve ya yorumlanmasında çok dikkatli davranmak gerekir. Bu başlık altında sapmaların nasıl saptanacağı ve sapma belirlendiğinde nasıl davranılacağını inceleyeceğiz. Varsayımlardan sapmalar sonucu oluşan durumları şu şekilde sıralayabiliriz; 1. Tahmin hataları arasında ( bağımlılık olması. (Otokorelasyon) 2. Tahmin hatalarının varyanslarının eşit olmaması. 3. Bağımsız değişkenler arasında bağımlılık olması.(çoklu doğrusal bağlantı) 4. Hataların( normal dağılıma uymaması. 6 Bu durmaları tek tek ele alalım; 5 KUTLAR A. (2006); Ekonometri Kılavuz kitap. ANKARA Arın Yayınları 6 ORHUNBİLGE N. (1996); Uygulamalı Regresyon ve Korelasyon Analizi. Avcıol Basım 5

2.1. OTOKORELASYONUN SAPTANMASI (ARDIŞIK BAĞIMLILIK) Otokorelasyon, zaman içinde ya da mekan içinde sıralanan gözlem dizilerinin birimleri arasındaki ilişkidir. 7 Böyle bir ilişkinin olmadığı ekonometrik olarak ( ) şeklinde ifade edilir. Ama hata terimleri arasında bir ilişki varsa yani otokorelasyon durumu söz konusu ise ( ) şeklinde ifade edilir. Otokorelasyon durumunda parametrelerin en küçük kareler tahmincileri sapmasız ve tutarlı olup, etkin değildir. Hata teriminin varyansının tahmincisi sapmalıdır ve bu yüzden parametrelerin varyansları da sapmalı olur. Pozitif otokorelasyon varsa sapma negatif olur. Yani varyanslar olduğundan küçük bulunur. Bunun sonucunda t test istatistiği değeri büyük çıkar. Böylece anlamsız bir katsayının anlamlı olma olasılığı artar. R2 de yükselir. Dolayısıyla F değeri olduğundan büyük bulunur. Sonuç olarak t ve F testleri güvenilirliğini yitirip yanıltıcı sonuç verirler. Hata terimleri arasındaki otokorelasyonun varlığı genel olarak aşağıdaki ana nedenlere dayanmaktadır 8 Modele bazı açıklayıcı değişkenlerin alınmaması Modelin matematiksel kalıbının yanlış seçilmesi Bağımlı değişkenin ölçme hatalı olması Verilerin sistematik incelenmesi u nun yanlış spesifikasyonudur. 2.1.1. Otokorelasyonun Saptanması Otokorelasyon durumunu ortaya çıkarmada iki yöntem kullanılır. Birincisi grafik metodu, ikincisi otokorelasyon testleridir. Durbin-Watson d istatistiği ve Breusch ve Godfrey testleri kullanılabilir. 7 Kendall M. G. A Dictionary of statistical Terms 8 Koutsoyiannis A. (1989). Ekonometri Kuramı 6

2.1.1.1. Grafik Yöntemi Otokorelasyonun söz konusu olup olmadığı örnek hata terimi değerlerinden faydalanarak grafik yoluyla tespit edilebilir. Bunun için ya zaman ile değerleri, ya da ile değerleri alınarak elde edilen grafiklerin durumu tetkik edilir. Aşağıda pozitif ve negatif otokorelasyon ve otokorelasyonun olmaması durumlarını gösteren bu grafikler yer almaktadır. 9 9 AKKAYA, Ş. ve PAZARLIOĞLU, V. (2000), Ekonometri-I 7

Çizilen şekillere bakıldığında Şekil-1 ve Şekil-2 de noktalar sistematik (düzenli) bir biçim göstermektedir. Şekil-3 te ise noktalar sistematik olmayan düzensiz bir görünüm arz etmektedir. Şekil-1(a) da noktalar önce sürekli artış gösteriyor, sonra belli bir noktadan itibaren azalıp tekrar artıyor. Şekil-2(a) da ise noktalar birden azalıp, yükseliyor. Bu sebepten Şekil-1(a) da pozitif, Şekil- 2(a) da ise negatif otokorelasyon söz konusudur. Şekil- 3(a) da noktalar zaman ekseni etrafında paralel dağılmakta ve artan veya azalan bir seyirleri olmadığı için otokorelasyon söz konusu değildir. 2.1.1.2. Durbin- Watson d İstatistiği Otokorelasyonu ortaya çıkarmada kullanılan en ünlü iki istatistikçilere aittir. Testin aşamaları; 1) Hipotez yazılır H0: =0 HA: 0 2) Anlamlılık seviyesi seçilir. 3) Durbin Watson d istatistiği hesaplanır. 8

normal denklemleri alınarak hesaplanır ve elde edilen ρ yerine konulduğunda d=2(1- ρ) denklemi ortaya çıkacaktır. 4) Karar durumu. Durbin-Watson d tablosuna bakılarak istatistiği aşağıdaki gibi ifade edilir; değerleri bulunur. Böylece d 9

Örnek-1; 10 %1 anlamlılık seviyesinde basit regresyon analizinde otokorelasyon durumunu inceleyelim. D S D C S C Z D Y X 1 2 1,25-0,25 0,0625 2 3 2,188-0,1875 0,035156 0,003906 3 5 4,063-1,0625 1,128906 0,765625 5 6 5 0 0 1,128906 6 7 5,938 0,062 0,003844 0,003844 7 10 8,75-1,75 3,0625 3,283344 8 7 5,938 2,062 4,251844 14,53134 8 8 6,875 1,125 1,265625 0,877969 TOPLAM 9,810376 20,59494 %1 anlamlılık düzeyinde n=8 için d istatistiği tablomuza baktığımızda regresyon modelinde otokorelasyon yoktur sonucuna varırız. 2.2. DEĞİŞEN VARYANS Değişen varyans hata teriminin varyansının tüm gözlemler için aynı olmaması durumudur. E( u i 2 ) = σ 2 ise Sabit varyans E( u i 2 ) = σ i 2 ise Değişen varyans 10 ORHUNBİLGE N. (1996); Uygulamalı Regresyon ve Korelasyon Analizi. Avcıol Basım 10

değerlerine bağlı olarak nin koşullu varyansı, X değişkeni hangi değerleri alırsa alsın değişmemeli, yani sabit varyanslı olmalıdır. Ortalama değişse bile ortalama etrafındaki dağılım değişmemelidir. Aksi halde değişen varyans durumundan söz edilir. 2.2.1. Değişen varyansın nedenleri 1 - Hatasını öğrenen modeller: İnsan davranışları. Araba kullanma tecrübesi arttıkça hem trafik hataları hem de bunların varyansı azalır. Ayrıca dersi alttan alan bir öğrencinin artık hatasını bildiği için ikinci sefer ortalamasını yükseltebilir. Böylece ilk kez alanlarla arasında fark oluşur. 2 - Veri derleme teknikleri: Veri derleme teknikleri geliştikçe varyans küçülür. Yani artık ortalamadan çok fazla sapma oluşmaz. 3 - Dışa düşenlerin varlığı : Serinin çok uçtaki aşırı değerleri ortalamadan sapmalara neden olur. 4 - Model kurma hataları: Özellikle gerekli açıklayıcı değişkenlerden biri ihmal edildiğinde de değişen varyansa rastlanmaktadır. Değişen varyans durumunda EKK tahmincileri doğrusal ve sapmasızdır ama etkin değildir. Yani EDST (BLUE) değildir. Parametre tahmincilerinin varyansları da olduğundan büyük çıkar. Bunun sonucunda t testi sonucu olduğundan küçük bulunur. Yani anlamlı bir katsayının anlamsız olarak yorumlanması muhtemeldir. Değişen varyans araştırması için grafik yöntemi ve bazı testler kullanılmaktadır. Bunlar; Park testi, Goldfeld-Quandt testi, Glejser testi, Spearman sıra korelâsyon testi, Breusch-Pagan-Godfrey testi ve White nr-kare testi. 11 Grafik üzerindeki değişkenin durumuna göre hata teriminin artan veya azalan olmaması, sabit olup belli bir ortalama etrafında dağılması gerekir. 12 11 Gujarati D. N. (1995); Temel Ekonometri. İSTANBUL Literatür Yayınları 12 KUTLAR A. (2006); Ekonometri Kılavuz kitap. ANKARA Arın Yayınları 11

2.2.2. Değişen Varyans Sınamaları 2.2.2.1. Park Testi: Park testi bir anlamda grafiği formülize etmektir. Şayet anlamlıysa verilerde değişen varyansın olduğu kabul edilir. Örnek-2: Aşağıdaki verileri kullanarak değişen varyansın olup olmadığını göstermek için Park sınaması yapalım. Yi Xi Ui 3396 9355-775,658 601645,333 13,307 9,144 3787 8584-205,048 42044,682 10,646 9,058 4013 7962 165,851 27506,554 10,222 8,982 4104 8275 183,936 33832,452 10,429 9,021 4146 8389 199,378 39751,587 10,590 9,035 4241 9418 54,666 2988,372 8,002 9,150 4387 9795 112,841 12733,091 9,452 9,190 4538 10281 150,624 22687,589 10,030 9,238 4843 11750 113,410 12861,828 9,462 9,372 ABD Endüstrisinde ortalama tazminat(yi) ve ortalama verimlilik(xi) Regresyon modelinin EKK ile tahmin ettiğimizde Yi=1992+0,233Xi ikinci aşamada bulunur. denklemi tahmin edilir. t testi sonucu 2,80 parametresi anlamlı çıkmıştır. burada 2,80 parametresinin t testi ile anlamlılığına bakılır. 12

Yani Hata terimleri arasında değişen varyansın olmadığı sonucuna varılır. 13 2.2.2.2. Glejser Testi: Glejser testi de Park testine benzer, ilk başta regresyon denklemi bulunur ve daha sonra elde edilen ui nin mutlak değeri Xi ler ile regrese edilir. Matematiksel gösterimi; EKK ile tahmin edildiğinde Şeklinde gösterilir. parametresi anlamlıysa Değişen varyans durumuyla karşılaşırız. 2.2.2.3. Guldfeld- Quandt Testi: uygulanır. Bu metot açıklayıcı değişkenlerden biri ile pozitif bir ilişki içerisinde olduğu durumda denkleminde,xi ile pozitif ilişkili olsun, Yukarıdaki denkleme göre Xi nin değeri büyüdükçe modelde değişen varyansın olacağı beklenir. de büyüyecektir. Böyle bir durumda Guldfeld- Quandt testini uygulamak için; 1) Bağımsız değişken küçükten büyüğe doru sıralanır. 13 Gujarati D. N. (1995); Temel Ekonometri. İSTANBUL Literatür Yayınları 13

2) Bir C sayısı belirlenir ve serinin ortasındaki C kadar gözlem seriden atılır. Seri (n-c)/2 şeklinde ikiye ayrılır. 3) İlk dilime ve son dilime EKK uygulanır ve Hata kareleri Toplamı (HKT) iki seri için ayrı ayrı hesaplanır. 4) Daha sonra F istatistiğine uyumlu değeri hesaplanır. Şayet değeri tablodaki kritik F* değerini aşıyorsa değişen varyanstan söz edilebilir. 2.2.2.4. Breusch-Pagan-Godfrey (BPG) Testi: k değişkenli regresyon denklemini ele alalım; 1) Model tahmin edilir ve Hata terimleri ile maksimum olabilirlik tahmin edicisi elde edilir. 2) Pi gibi bir değişken belirlenir. 3) Pi, M ile regrese edilir. 14

4) Hipotezimiz kurulur. H0: HA: ( ) 5) H0 hipotezi kabul edilirse parametreler anlamsızdır. Değişen varyans yoktur. Örnek -3: BPG yöntemiyle değişen varyans olup olmadığını inceleyelim. 15

H0 Reddedilir. En az biri sıfırdan farklı. Değişen varyans vardır. 14 Değişen varyan durumunu ortadan kaldırılması için önerilen çözümler; Unutulmuş önemli bir açıklayıcı değişken varsa bu değişkenin modele ilave edilmesi. Değişkenlerde dönüşümler yapılması. Ağırlıklı en küçük kareler yönteminin uygulanması. 2.3. ÇOKLU DOĞRUSAL BAĞLANTI Bir regresyon modelinde açıklayıcı değişkenlerin tümü veya bir kısmı aralarında tam veya tama yakın bir doğrusal ilişkinin var olması anlamına gelir. Regresyon denklemlerinde kullanılan açıklayıcı değişkenler arasında bazen doğruya yakın bir ilişki vardır. Yani bu değişkenler arasında korelasyon katsayısı birdir. Böyle bir durumda parametreleri hesaplamak imkânsızlaşır. Açıklayıcı değişkenler arası mükemmele yakın bir ilişki EKK metodunu kullanılmaz hale getirir. 2.3.1. Çoklu Doğrusallığın Nedenleri; Kullanılan veri toplama metodu,ana kütle içinde sadece sınırlı sayıda verilerin ele alınması. Değişkenlerin aynı etmenlerden etkilenmeleri. Gibi çoğaltılabilir. 14 KUTLAR A. (2006); Ekonometri Kılavuz kitap. ANKARA Arın Yayınları 16

2.3.2. Çoklu Doğrusallığın Sonuçları; Çoklu doğrusallığın olduğu durumlarda parametreleri tahmin etmek imkânsızlaşır. Standart hata sonsuzlaşır. EKK edicileri büyük varyans ve kovaryansa sahip olduklarından, kesin tahminlerde bulunmak güçleşir. Yukarıdaki sonuçtan dolayı güven aralığı genişler. Bir ve birden fazla katsayının t oranı istatistiki olarak anlamsız hale gelir., uyum iyiliği mükemmele yakın olabilir. 2.3.3. Çoklu Doğrusallığın Ortaya Çıkarılması; 1) Yüksek ve düşük t değeri Çoklu doğrusallığın en önemli belirtilerinden birisidir.regresyon denkleminin yüksek belirlilik katsayı (örn. ) ve parametrelerin düşük t değeri taşımalarıdır. Yani özetle model tümüyle yüksek anlam gücüne sahipken parametrelerin anlamsız olması. 2) Açıklayıcı değişkenler arasında yüksek korelasyon ilişkisi İki açıklayıcı değişken arasındaki korelasyon 0,80 in üstünde ise, ciddi bir doğrusallıktan bahsedilebilir. 3) Yardımcı regresyon Hangi X değişkeninin öteki X değişkenleriyle ilişkili olduğunu bulmanın bir yolu, her bir Xi nin öteki X değişkenlerine göre regresyonunu bulup buna karşılık gelen, diyeceğimiz değerini hesaplamaktır. değişkeni, k-2 ve n-k+1 sd ile F dağılımına uyar. 17

, Xi değişkeninin kalan X değişkenlerine göre regresyonunun belirlilik katsayısını gösterir. Hesaplanan F, seçilmiş anlamlılık düzeyinde kritik F değerini aşıyorsa, bunun anlamı Xi nin öteki X lerle doğrusal olduğudur. 4) Hoşgörü ve Varyans şişirme faktörü (VŞF) edilir. Varyans ve kovaryansı büyüten faktör, varyans şişirme faktörü olarak ifade, X3 arasında çoklu doğrusallık olduğu durumda bir e yaklaşır, VŞF ise sonsuz olur. Şayet değişkenler arasında çoklu doğrusallık ilişkisi yoksa sıfır olur ve VŞF bir e eşit olur. 5) Kısmi korelasyonların incelenmesi kısmi korelasyon katsayılarından en az biri şüphelenebiliriz. den büyükse çoklu bağlantıdan Çoklu doğrusal bağlantıyı ortaya çıkarmadaki yukarıdaki maddelerin sadece bir tanesinin sağlanması çoklu doğrusal bağlantının kesin var olduğunun kanıtı değildir. Birden 15 16 çok durumun aynı anda gözükmesi gerekir. 15 KUTLAR A. (2006); Ekonometri Kılavuz kitap. ANKARA Arın Yayınları 18

Örnek-4 EKK yöntemi ile tahmin edilen para talebi (Mt) modelini inceleyip, çoklu doğrusal bağlantı olup olmadığına karar verelim. r: Faiz P: Fiyat Çoklu doğrusal bağlantı durumuna bakalım; kısmi korelasyon katsayılarından bir tanesi modelin belirlilik katsayısından büyük. Bu durumda çoklu doğrusal bağlantı var diyebiliriz. Kritik tablo değerimiz. Parametrelerin tek tek t testlerine baktığımızda H0: HA: Hipotezi altında F testine bakalım H0: HA: 16 Gujarati D. N. (1995); Temel Ekonometri. İSTANBUL Literatür Yayınları 19

Ho reddedilir Model tümüyle anlamlıdır. Model tümüyle anlamlı çıkmasına rağmen t testi sonucunda parametrelerin iki tanesi anlamsız çıkmıştır. Bu durumda çoklu doğrusal bağlantı olduğuna dair şüphelerim devam etmektedir. VŞF ye bakalım ( ) Açıklayıcı değişkenler arasında çok ciddi çoklu doğrusal bağlantı vardır diyebiliriz. 2.3.4. Çoklu Doğrusallığı Düzeltici Önlemler: Önsel Bilgi: Modeli oluşturmadan önce değişkenler arasındaki ilişki biliniyorsa model farklı oluşturulabilir. Kesit veriyle zaman serisi verilerini bir araya toplama(panel Veriler): Zaman serilerinde çoklu dorusallığa sık rastlanır. Bunun için zaman serileri ve yatay kesit verileri bir arada kullanılarak çoklu doğrusal bağlantı önemli ölçüde önlenebilir. 20

Değişkenleri Modelden Atmak: Birbiriyle ilişkili olan iki açıklayıcı değişkenden biri modelden çıkarılabilir. Örneğin; tüketim, gelir ve zenginlik ilişkisinde; zenginlik ile gelir arasında doğrusal bir ilişki olduğundan biri kullanılabilir. İlave Veri Kullanılması: Eldeki veriler kullanıldığında açıklayıcı değişkenler arasında çoklu doğrusallık varsa, aynı sorunun verilerin artışıyla devam edeceği kesin değildir. Verilerin artışıyla çoklu doğrusallık azaltılabilir. 17 2.4. NORMALLİKTEN SAPMALAR Aralık tahmini ve regresyon katsayılarının testlerinin yapılabilmesi için hataların dağılımı hakkında bir varsayım yapılmış olması gerekir. Bu varsayım hata terimlerinin dağılımının normal dağılıma uyduğu varsayımıydı 1. Bozucu teriminin ortalaması sıfırdır varsayıma göre lerin verilmiş Xi değerlerine koşullu olan ortalaması sıfırdır. 2. nin varyansı (bütün Xi ler için) aynıdır. = burada var varyans demektir. Varsayımları altında hata terimi (ui) ortalaması sıfır, varyansı sabit olacak şekilde normal dağılmaktadır. Normallikten sapma olup olmadığının araştırılmasında; 17 Kennedy P. (2000), Ekonometri El Kitabı. ANKARA Gazi Kitabevi 21

Çarpıklık ve basıklık ölçüleri. Genel olarak çarpıklık katsayısı sıfır, basıklık katsayısı üçtür. Bu katsayılara yaklaştıkça elimizdeki seri normal dağılım gösterir. Kolmogov Smirnov testi Ki-kare uygunluk testi uygulanabilir. 18 Hataların normal dağılım varsayımı, anlamlılık testlerinde ve tahmin aralıklarının saptanmasında önem kazanır. Normal dağılımdan sapmalar görüldüğünde; En küçük kareler yöntemine alternatif teknikler (Güçlü Regresyon) Normalliğe yaklaştırmak için değişkenlerin ikisine birden veya sadece birine logaritmik veya kareköklü dönüşümler uygulanabilir. Modele dâhil edilmesi gerekirken unutulmuş olan önemli bir açıklayıcı değişken modele dâhil edilerek de hataların normal dağılım göstermesi sağlanabilir. 19 Modelin farkını alarak normal dağılıma yakınsanabilir. Başka bir yaklaşıma göre hataların normal dağılmadığı durumlarda çözüm hataların karelerini minimize etmek yerine, hataların mutlak değerlerinin minimize edilmesidir. Elimizdeki veri seti normal dağılıma uymuyorsa ve seriye yaptığımız dönüşümler ve farklı uygulamalar da veri setini normal dağılım haline getirmiyorsa kuracağımız regresyon modelini En Küçük Kareler yöntemi ile tahmin edemeyiz. Normal dağılmayan veri setleri için En Yüksek Olabilirlik yöntemi kullanılır. En yüksek olabilirlik yöntemi EKK gibi kolay hesaplanamaz. Bunun için paket programlar tercih edilir. 18 Bu testler için ilgili kitaba bakılabilir. Gürtan Kenan; İstatistik ve Araştırma Metodları 19 ORHUNBİLGE N. (1996); Uygulamalı Regresyon ve Korelasyon Analizi. Avcıol Basım 22