PURPLE OMET MTH MEET pril 2009 HIGH SHOOL - PROLEMS c opyright Titu ndreescu and Jonathan Kane Çeviri. Sibel Kılıçarslan Problem eş yıl sonunda Tom un yaşı indy nin yaşının iki katı olacaktır. 3 yıl önce Tom un yaşı indy nin yaşının 3 katı olduğuna göre, kaç yıl önce Tom un yaşı indy nin yaşının dört katıydı? Problem 2 Tüm p asal sayıları için, p 2 + n ifadesinin asal olmamasını sağlayan en küçük pozitif n tamsayısı kaçtır? Problem 3 EF G düzgün bir heptagon (7 köşeli çokgen) olarak veriliyor. E ve G doğruları arasında kalan geniş açının ölçüsü m n ve (m, n) = ise m + n = kaçtır? G E F Problem 4 Üç torbada bilyeler vardır. İkinci torbada birinci torbadakinin iki katı ve üçüncü torbada birinci torbadakinin üç katı kadar bilye vardır. irincinin yarısı, ikincinin üçtebiri ve üçüncünün dörttebiri yeşil bilyelerden oluşmaktadır. Eğer bu üç torba tek bir torbaya dökülürse, bu torbedan çekilen bilyenin yeşil gelme olasılığı m n (m, n) = ise m + n kaçtır?
Problem 5 ( 4 n+7 ) 3 = ( 2 n+23 ) 4 eşitliğini sağlayan n değeri kaçtır? Problem 6 Wiles şehrini oluşturan sekiz mahallenin haritası verilmiştir. ört renk boya ile bu harita boyanacaktır ancak iki komşu mahallenin renginin aynı olmaması gerekmektedir. una göre, harita kaç farklı biçimde boyanabilir? Problem 7 geometrik şekli yarımçemberi ve çeyrek çemberiyle oluşturulmuştur. ve noktaları arasındaki uzaklık 8 ise, () kaçtır? Problem 8 20 pozitif tamsayı böleni bulunan en küçük pozitif tamsayı kaçtır? Problem 9 ill 3 defter, 26 kalem ve 9 silgi için 25 dolar öderken, Paula 27 defter, 8 kalem ve 3 silgi için 3 dolar ödemiştir. una göre, 24 defter, 20 kalem ve 52 silgi alan Greg kaç dolar öder? 2
Problem 0 ir doğru üzerine dikilmiş olan özel tür bir bitki tohumları çok hızlı büyümektedirler. Öyleki saniyede boyları m artmaktadır. Ve herhangi komşu fidanın uzunluğu m olduğunda bu iki fidanın orta noktasından bir fidan daha yükselmeye başlamaktadır. una göre, 0. saniyede oluşan tüm fidanların toplam uzunlukları kaç metredir? Problem Koordinat düzlemi üzerinde verilen (, 2), (3, 4), (5, 6) ve ( 2, 8) noktaları veriliyor. P noktası düzlemde herhangi bir nokta ise P + P + P + P toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır? Problem 2 a b = 0! eşitliğini sağlayan a, b pozitif tamsayılarının toplamı en az kaçtır? Problem 3 Elişi dersi ödevini hazırlayan Greta nın dört kırmızı, dört mavi,dört beyaz karton ve dört kırmızı, dört beyaz, dört mavi yıldız figürü vardır. Greta rasgele bir şekilde her bir kartonun üzerine bir yıldız yerleştirdiğinde, aynı renk yıldızların aynı renk kartonlara gelmeme olasılığı m n kaçtır? ve (m, n) = ise n 00m Problem 4 ir yamuğunda kenarı kenarına paraleldir. ve kenarlarının uzunluklarıda sırasıyla ve 4 dir. X ve Y noktaları ve üzerinde öyle noktalardır ki, XY doğrusu ve doğrularına paraleldir. XY = 3, Problem 5 (Y X) (XY ) = m n 7 89 sayısının 000 ile bölümünden kalan kaçtır? ve (m, n) = ise m + 2n kaçtır? Problem 6 z = cos 000 + i sin 000 karmaşık sayısı veriliyor. una göre, zn ifadesinin sanal kısmının 2 den büyük olmasını en küçük n pozitif tamsayı değeri kaçtır? 3
Problem 7 a + b + c = 25 eşitliğini sağlayan kaç (a, b, c) pozitif tek tamsayı üçlüsü vardır? Problem 8 ir üçgeninde, kenarı üzerindeki bir noktası için yükseklik olmaktadır. üzerinden alınan E noktası içinde E doğrusu, açısının açıortayıdır. E ve ışınlarının kesişim noktası G ve G ışınının kenarı ile kesişimi ise F noktasıdır. = 28, = 4, = 0 ve F = k m p n k m + n + p kaçtır? (k, m, n, p pozitif tamsayılar, (k, n) = ve p sayısı herhangibir doğal sayının karesi ile bölünememektedir.) ise Problem 9 If a ve b karaşık sayıları için a 2 + b 2 = 5 ve a 3 + b 3 = 7 ise a + b bir reel sayı olarak veriliyor. a + b toplamının alabileceği en büyük değer m+ n 2 ve m, n Z + ise n kaçtır? Problem 20 5 erkek ve 7 bayan bir doğru üzerinde rastgele diziliyorlar. Her bir erkeğin en az bir bayandan sonra gelme olasılığı m n ve (m, n) = ise m + n kaçtır? Problem 2 Yarıçapları 2 ve 36 olan iki silindir şekildeki gibi birbirine bantlanıyor. antın boyu m k + nπ olduğuna göre m + n + k kaçtır? (a, b, c pozitif tamsayılar ve (a, c) = ) 4
Problem 22 şağıdaki şekilde parabolün simetri eksenine dik bir doğru ve üç tane tabanları doğru üzerinde, köşeleri parabol üzerinde olan benzer üçgenler verilmiştir. Küçük üçgenler eş üçgenlerdir. üyük üçgenin yüksekliğinin küçük üçgenlerin yüksekliklerine oranı, a, b, c pozitif tamsayılar olmak üzere ve (a, c) = için a+ b c ise a + b + c toplamı kaçtır? Problem 23 karesinin bir kenarı 4 olarak veriliyor. E ve F sırasıyla ve kenarlarının orta noktasıdır. u karenin içine sağdaki şekilde olduğu gibi kareler üstüste gelmeyecek biçimde, boyutları 2 olan 8 dikdörtgen yerleştiriliyor. Eğer yapılan tüm yerleştirmeler arsından seçilen bir yerleştirmenin sağdaki şekilde olduğu gibi EF doğrusunu kesmeme olasılığı m n ve (m, n) = ise m + n kaçtır? E E F F 5
Problem 24 Şekilde verilen dik koninin tepe açısı 60 dir. Yarıçapı olan S küresi koniye, yan yüzlere teğet olacak şekilde konuluyor. aha sonra 3 tane daha küre koniye koyuluyor. Öyleki, bu üç küre birbirine, S küresine ve koniye teğet oluyorlar. u üç kürenin yarıçapları a+ b c tamsayılar ve (a, c) = ) olduğuna göre, a + b + c kaçtır? (a, b, c pozitif Problem 25 P (x) = a 0 + a x + a 2 x 2 + + a 8 x 8 + 2009x 9 polinomunda k =, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 için P ( olmaktadır. P ( ) 0 = m n ise n 0m kaçtır? ((n, m) = ) k ) = k 6