Öklid Uzayıda Diferasiyel Geometri Salim Yüce
Prof. Dr. DİFERNSİYEL GEOMETRİ ISBN 978-605-318-812-4 DOI 10.14527/9786053188124 Kitap içeriğii tüm sorumluluğu yazarlarıa aittir. 2017, PEGEM KDEMİ Bu kitabı basım, yayım ve satış hakları Pegem kademi Yay. Eğt. Da. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ye aittir. ıla kuruluşu izi alımada kitabı tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekaik, elektroik, fotokopi, mayetik, kayıt ya da başka yötemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakalığı badrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızı badrolü olmaya kitaplar hakkıda yayıevimize bilgi vermesii ve badrolsüz yayıları satı almamasıı diliyoruz. Pegem kademi Yayıcılık, 1998 yılıda bugüe uluslararası düzeyde düzeli faaliyet yürüte uluslararası akademik bir yayıevidir. Yayımladığı kitaplar; Yükseköğretim Kuruluca taıa yükseköğretim kurumlarıı kataloglarıda yer almaktadır. Düyadaki e büyük çevrimiçi kamu erişim kataloğu ola WorldCat ve ayrıca Türkiye'de kurula Turcademy.com ve Pegemideks.et tarafıda yayıları taramaktadır, idekslemektedir. yı alada farklı yazarlara ait 1000 i üzeride yayıı bulumaktadır. Pegem kademi Yayıları ile ilgili detaylı bilgilere http://pegem.et adreside ulaşılabilmektedir. 1. Baskı: Şubat 2017, kara Yayı-Proje: Özlem Sağlam Dizgi-Grafik Tasarım: Tuğba Kuşcuoğlu Kapak Tasarımı: Pegem kademi Baskı: Vadi Grup Ciltevi.Ş. İvedik Orgaize Saayi 28. Cadde 2284 Sokak No:105 Yeimahalle/NKR (0312 394 55 91) Yayıcı Sertifika No: 14749 Matbaa Sertifika No: 26687 İletişim Karafil 2 Sokak No: 45 Kızılay / NKR Yayıevi: 0312 430 67 50-430 67 51 Yayıevi Belgeç: 0312 435 44 60 Dağıtım: 0312 434 54 24-434 54 08 Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38 Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60 İteret: www.pegem.et E-ileti: pegem@pegem.et
İçidekiler iii ÖN SÖZ Kitabımı, bu ülke içi calarıı feda ede tüm 15 Temmuz şehitlerimiz ezdide mesai arkadaşım Prof. Dr. İlha VRNK kardeşime ithaf ediyorum. Bu kitap, üiversiteleri Matematik, Matematik Mühedisliği, Matematik Bilgisayar, İstatistik, Matematik Öğretmeliği ve Jeoloji Mühedisliği bölümleride lisas ve lisasüstü düzeyde okutula Diferasiyel Geometri derslerii kayak kitabı olacağı düşücesiyle kaleme alımıştır. Bu kitap sadece Öklid uzayı üzerie işa edilmiştir. plalaa bir soraki kitapta ise sadece Maifoldları icelemesi düşüülmektedir. Bu bağlamda, kitabı birici bölümüde temel kavram olarak fi ve Öklid uzayları taıtılmış; ikici bölümde, diferasiyelleebilir foksiyolar, tajat vektör-vektör alaı, yöe göre türev, kovaryat türev, Lie operatörü, kotajat vektör, 1 form, diferasiyel formlar, gradiet-diverges-rotasyoel foksiyolar ve türev döüşümü verilmiş; üçücü bölümde, 2 veya 3 veya - boyutlu Öklid uzaylarıda ve Mikowski 3-uzayıda eğriler teorisi icelemiş, ayrıca özel eğriler ve özel eğri çiftleri verilmiş; dördücü bölümde, -boyutlu Öklid uzayıda hiperyüzeyler ile 3-boyutlu Öklid uzayıda yüzeyler teorisi icelemiş ve ayrıca yüzey üzerideki eğrileri eğrilikleri ile yüzeyi eğrilikleri arasıda bağıtılar elde edilmiştir. Beşici bölümde ise yüzeyleri döüşümleri, global özellikleri, yüzeyler üzeride formlar ve Gauss Boet teoremi üzeride durulmuş; altıcı bölümde özel yüzeyler icelemiş ve her biri içi matlab çizimleri verilerek örekledirilmiştir. Bulara ek olarak her bölüm içeriside koulara özel sorular çözülmüş ve kou souda da alıştırmalar verilmiştir. E öemlisi de yedici ve so bölüm ola Maple Uygulamaları bölümüde kitap içeriside alatıla bazı geometrik formüller içi kodlar verilmiştir. Kitabı tüm metii titizlikle okuyarak yapıcı uyarı ve öerileride bulua Prof. Dr. Ertuğrul ÖZDMR Hocama, ayrıca kitabı yazımıı gerçekleye Yrd. Doç. Dr. Nurte (BYRK) GÜRSES, rş. Gör. G. Yeliz ŞENTÜRK, rş. Gör. Esra ERKN, ve doktora öğrecim G. Kemal NLBNT ile MPLE kodlarıı yaza Yrd. Doç. Dr. Mutlu KR ezdide tüm geometri grubu asistalarıma teşekkür ederim.
iv Öklid Uzayıda Diferasiyel Geometri So olarak, akademik hayatımı her oktasıda yaımda ola Hocam Sayı Prof. Dr. Nuri KURUOĞLU a emekleri içi teşekkürlerimi suarım. Baa ola sevgi, güve ve yardımları ile her zama yaımda ola sevgili aem, babam, eşim, çocuklarım ve kardeşlerim bu kitabı gerçek yazarlarıdır. Prof. Dr. Yıldız Tekik Üiversitesi sayuce@yildiz.edu.tr
İçidekiler v İÇİNDEKİLER Ö Söz... iii İçidekiler... v 1. Bölüm Temel Kavramlar 1.1. fi Uzay... 2 1.2 Öklid Uzayı... 7 2. Bölüm Diferasiyelleebilir Foksiyolar 2.1. k-yıcı Sııfta Diferasiyelleebilir Foksiyolar... 18 2.2. Tajat Vektörler ve Tajat Uzaylar... 29 2.3. Vektör laları ve Vektör lalarıı Uzayı... 34 2.4. Yöe Göre Türev... 39 2.4.1. Yöe Göre Türevi Geometrik Yorumu... 42 2.4.2. Reel Değerli Foksiyoları Bir Vektör laı Yöüdeki Türevi... 52 2.5. Bir Vektör laıı Bir Diğer Vektör laıa Göre Kovaryat Türevi... 58 2.6. Lie Operatörü... 67 2.7. Kotajat Vektör ve Kotajat Uzay... 87
vi Öklid Uzayıda Diferasiyel Geometri 2.8. Diferasiyel Operatör (d Operatörü)... 90 2.9. Gradiet, Diverges ve Rotasyoel Foksiyolar... 100 2.9.1. Gradiet Foksiyou... 100 2.9.2. Diverges Foksiyou... 105 2.9.3. Rotasyoel Foksiyo... 107 2.10. Diferasiyel Formlar... 111 2.10.1. ltere (Dış, Kutupsal, ti-simetrik) Çarpım... 111 2.10.2. Dış Türev... 118 2.10.3. ltere Çarpımı Determiatla İlgisi... 126 2.11. Bir Döüşümü Diferasiyeli... 128 2.11.1. Türev Döüşümüü Geometrik Yorumu... 138 2.11.2. Türev Döüşümüü Matrisi... 146 3. Bölüm Eğriler Teorisi 3.1. Eğri Taımı... 156 3.2. Hız Vektörü... 161 3.3. Skalar Hız Foksiyou ve Skalar Hız... 164 3.4. Parametre Değişimi... 167 3.5. Düzlemde Eğriler... 179 3.5.1. Düzlemde Eğrileri Eğriliği... 181 3.5.2. çı Foksiyoları... 187 3.5.3. Düzlemsel Eğriler İçi Freet Formülleri... 192 3.5.4. E 2 de Özel Eğriler... 198 3.5.5. Toplam İşaretli Eğrilik... 205 3.5.6. Bir Kapalı Eğrii Döme İdeksi... 208
İçidekiler vii 3.6. E Uzayıda Eğriler... 212 3.6.1. Serret-Freet Vektörleri... 212 3.6.2. Bir Eğrii Oskülatör Hiperdüzlemleri... 217 3.6.3. Freet Formülleri ve Eğrilikler... 219 3.7. E 3 Uzayıda Eğriler... 224 3.7.1. Freet Formülleri ve Eğrilikler... 224 3.7.2. Özel Düzlemler... 235 3.7.3. κ ve τ Eğriliklerii Geometrik Yorumu... 237 3.7.4. Birim Hızlı Olmaya Eğriler İçi Freet Formülleri ve Eğrilikler... 244 3.8.! 1 3 Mikowski Uzayıda Freet Formülleri ve Eğrilikler... 257 3.9. Özel Eğriler... 261 3.9.1. Küresel Eğriler... 261 3.9.2. Oskülatör Küre... 262 3.9.3. Helisler (Eğilim Çizgileri)... 276 3.9.3.1. E 3 Öklid Uzayıda Eğilim Çizgileri... 277 3.9.4. İvolut (Basit) ve Evolut (Mebsut)... 284 3.9.4.1. E 3 de İvolut-Evolüt Eğri Çifti... 285 3.9.5. Bertrad Eğri Çifti... 288 3.9.5.1. E 3 de Bertrad Eğri Çifti... 288 3.10. Bir Eğrii Küresel Göstergeleri... 294 3.11. Bağ Formları... 302
viii Öklid Uzayıda Diferasiyel Geometri 4. Bölüm E de Hiperyüzeyler 4.1. Dik Koordiat Sistemide Kapalı Deklem Yardımıyla Yüzeyi Taımı... 310 4.2. E 3 Öklid Uzayıda Yüzey... 318 4.3. Hiperyüzeylerde Yöledirme... 329 4.4. Hiperyüzeyler Üzeride Geodezik Eğriler... 331 4.5. Hiperyüzeyler Üzeride Şekil Operatörü (Weigarte Döüşümü)... 336 4.5.1. E 3 de Bir M Yüzeyii Şekil Operatörüü Matrisii Hesabı... 342 4.6. Gauss Döüşümü... 347 4.6.1. Gauss Döüşümü ve Şekil Operatörü rasıdaki İlişki... 349 4.7. Temel Formlar... 350 4.8. Yüzeyi Normlar Eğriliği... 352 4.9. Şekil Operatörüü Cebirsel Değişmezleri... 355 4.9.1. sli Eğrilikler, sli Doğrultular... 357 4.9.2. Gauss Eğriliği... 359 4.9.3. Ortalama Eğrilik... 365 4.9.4. Eğrilik Çizgisi (sli Eğri)... 369 4.10. Yüzeyler Üzeride Eğrileri Geodezik ve Normal Eğriliği... 384 4.11. Hiperyüzeyleri Global Özellikleri... 390 4.11.1. Temel Formu Özellikleri... 390 4.11.2. Hiperyüzeyler İçi Euler Teoremi... 391 4.11.3. Dupi Göstergesi... 396 4.12. Hiperyüzeyler Üzeride Gauss lamıda Kovaryat Türev... 398 4.12.1. Gauss Deklemlerii Küresel Göstergelere Uygulaması... 402 4.13. Bazı Hiperyüzeyler ve Eğrilikleri... 404
İçidekiler ix 4.13.1. Hiperdüzlem... 404 4.13.2. Hiperküre... 407 4.13.3. Hipersilidir... 412 5. Bölüm Yüzeyleri Döüşümleri 5.1. Yüzeyleri Döüşümleri... 418 5.2. Yüzeyleri Global Özellikleri... 437 5.3. Yüzeyler Üzeride Formlar... 442 5.4. Gauss Boet Teoremi... 454 6. Bölüm Özel Yüzeyler 6.1. Miimal Yüzeyler... 472 6.2. Paralel Yüzeyler... 476 6.3. Möbiüs Şeridi... 484 6.4. Klei Şişesi... 485 6.5. Döel Yüzeyler... 486 6.6. Regle Yüzeyler... 488 6.7. Tor Yüzeyi... 500
x Öklid Uzayıda Diferasiyel Geometri 7. Bölüm Maple Uygulamaları 7.1. Diferasiyelleebilir Foksiyolar İçi Maple Uygulamaları... 502 7.1.1. Tajat Vektörü Yöüde Türev... 502 7.1.2. Reel Değerli Foksiyoları Bir Vektör laı Yöüdeki Türevi... 505 7.1.3. Bir Vektör laıı Bir Diğer Vektör laıa Göre Kovaryat Türevi... 506 7.1.4. Gradiet Foksiyou... 507 7.1.5. Diverges Foksiyou... 508 7.1.6. Rotasyoel Foksiyo... 509 7.1.7. Bir Döüşümü Diferasiyeli... 510 7.2. Eğriler Teorisi İçi Maple Uygulamalar... 511 7.3. Yüzeyler İçi Mapple Uygulamalar... 533 Kayaklar... 545 Dizi... 549
Temel Kavramlar 1 1. BÖLÜM TEMEL KVRMLR Bu bölümde, fi uzaylar ve Öklid uzayları ele alıacaktır. Her iki uzay da, bir vektör uzayı ile ilişkiledirilmiş okta kümeleridir. Böyle bir ilişkiledirme soucuda, vektör uzaylarıı özellikleri yardımıyla okta uzayları ve o uzaylardaki geometrik biçimler iceledi.
2 Öklid Uzayıda Diferasiyel Geometri fi Uzay Taım 1.1 (fi uzay): bir küme ve V, reel sayılar cismi üzeride -boyutlu bir vektör uzayı olsu. Eğer f : V,, P Q f P Q PQ foksiyou, 1) P, Q, R içi,,, f P Q f Q R f P R ( veya PQ QR PR ) 2) P, V içi PQ olacak şekilde bir tek Q vardır. özelliklerii sağlıyorsa ya vektör uzayı ile birleşe -boyutlu bir fi Uzay deir. yrıca 1) ve 2) özelliklerie ise afi aksiyomlar adı verilir. Örek 1.1: V üzere Gösteriiz. Çözüm f : (vektör uzayı) ve (sıralı kümesi,, V -lileri kümesi) olmak V vektör uzayı ile birleşe bir afi uzaydır. P Q f P Q PQ Q P OQ OP
Temel Kavramlar 3 foksiyouu taımlayalım. 1) PQ QR PR olduğuu göstereceğiz., f Q, R f P Q = PQ QR Q P R Q R P PR f ( P, R) P p1 p 2 p 1 2 V 2),,...,,,,..., içi,,...,,,..., PQ q p q p q p olmak üzere q p ; i 1,2,..., buluur. O halde verile içi ler i i i 1 1 2 2 1 2 ve p i i q i de tektir. Bu durumda sıralı -lileri kümesi, uzayı ile birleşe -boyutlu bir afi uzaydır. fi Uzay ile Vektör Uzayıı Karşılaştırılması stadart vektör V vektör uzayıda 0 0 olacak şekilde bir 0 vektörü varke afi uzayda bezer özelliğe sahip bir okta yoktur. V V vektör uzayıı elemaları vektörler ike ile birleşe afi uzayıı elemaları bir kümei sırada elemalarıdır. Bu edele afi uzayıı elemalarıa oktalar deir. Bilidiği gibi elemaları okta diye adladırıla bir küme uzay adıı alır. fi ksiyomlarda Elde Edile Souçlar boy V boy 1) aksiyomu gereğice; afi uzayda iki okta bir vektör belirtir.
4 Öklid Uzayıda Diferasiyel Geometri 2) aksiyomu gereğice; afi uzayda bir okta seçilirse uzaydaki her okta bir vektör belirtir. Taım 1.2 (fi Çatı): V V -boyutlu bir vektör uzayı ve, vektör uzayı ile birleşe bir afi uzay olsu. P0, P1,..., P oktaları içi P0 P1, P0 P2..., P0 P vektör V sistemi i bir bazı ise P0, P1,..., P kümesie afi uzayıı bir afi çatısı deir. P 0 oktasıa çatıı başlagıç oktası, P1, P2,..., P oktalarıa da afi çatıı uç oktaları deir. Teorem 1.1: V, vektör uzayı ile birleşe -boyutlu bir afi uzay olsu. da belli bir P oktası tespit edildiğide başlagıç oktası ola bir afi 0 çatı vardır. İspat: P 0 boyv V olmak üzere i bir bazı 1, 2..., olsu. afi uzayıda P 0 oktasıı tespit edelim. Böylece 2) afi aksiyomu gereğice P0 P,1 i olacak şekilde bir tek P oktası i i vardır. O halde P1, P2,..., P oktaları elde edilir. sistemi V i bir bazı olduğuda PP 0 i i içi P0 P1, P0 P2..., P0 P de i bir bazıdır. O halde afi çatı taımıda, P0, P1,..., P okta kümesi da bir afi çatıdır. i i V