DECISION THEORY AND ANALYSIS UTILITY THEORY

DECISION THEORY AND ANALYSIS UTILITY THEORY

DECISION THEORY Utilities and Decisions under Risk Utility is an alternative way of measuring the attractiveness of the result of a decision. It is an alternative way of finding the values to fill in a payoff table. Previously, we used net dollar return (net cash flow) and regret as two measures of the goodness of a particular combination of a decision and state of nature. Utility suggests another type of measure.

THE RATIONALE FOR UTILITY Consider the following game in which an urn contains 99 white balls and 1 black ball. A single ball is drawn from the urn. Each ball is equally likely to be drawn. If a white ball is drawn, you must pay $10,000. If the black ball is drawn, you receive $1,000,000. You must decide whether to play. The payoff table is: DECISION Play Do Not Play STATE OF NATURE White Ball Black Ball -10,000 1,000,000 0 0

The probability of a white and a black ball are 0.99 and 0.01, respectively. The expected returns are: ER(play) = -10,000(0.99) + 1,000,000(0.01) = -9900 + 10,000 = 100 ER(do not play) = 0(0.99) + 0(0.01) = 0 Since ER(play) > ER(do not play), you should play if the criterion of maximizing the expected net cash flow is applied. So, will you play this game? This simple example shows that you need to take care in selecting an appropriate criterion.

Most people are risk-averse, which means they would feel that the loss of a certain amount of money would be more painful than the gain of the same amount of money. Utility function in decision analysis measures the attractiveness of money. Utility can be thought of as a measure of satisfaction. Two characteristics are: 1. It is nondecreasing, since more money is always at least as attractive as less money. 2. It is concave (the marginal utility of money is nonincreasing).

To illustrate, first suppose you have $100 and someone gives you an additional $100. Note that your utility increases by U(200) U(100) = 0.680 0.524 = 0.156 Now suppose you start with $400 and someone gives you an additional $100. Now your utility increases by U(500) U(400) = 0.910 0.850 = 0.060 This illustrates that an additional $100 is less attractive if you have $400 on hand than it is if you start with $100. The gain of a specified number of dollars increases utility less than the loss of the same number of dollars decreases utility.

Typical risk-averse utility function: A gain A loss in utility in utility of 0.06 of 0.075 Utility 1.0 0.910 0.850 0.775 0.680 0.524 100 200 300 400 500 600 Dollars Go from Go $400 from $400 to to $300 $500 results results in in

Risk-seeking (convex) function: Utility 1.0 A gain A loss in utility in utility of 0.330 of 0.185 0.590 0.260 0.075 100 200 300 400 Dollars Go from Go from $200 $200 to to A gain of a specified $100 $300 results amount results in of in dollars increases the utility more than a loss of the same amount of dollars decreases the utility.

Risk-indifferent function: Utility 1.0 0.90 0.60 0.30 100 200 300 400 Dollars A gain or loss of a specified dollar amount produces a change of the same magnitude in utility.

CREATING AND USING A UTILITY FUNCTION To begin, arbitrarily select the endpoints of the utility function. For convenience, set the utility of the smallest net dollar return equal to 0 and the utility of the largest net return equal to 1. In the newsvendor example, the smallest return is 150 and the largest is +105. Therefore U(-150) = 0 U(+105) = 1 Now, assume that the decision maker starts with these values and wants to find the utility of 10 [U(10)].

Select an unbiased probability p for the following two alternatives: Somewhere between 0 and 1, there is a value for p such that the decision maker is indifferent between the two alternatives. 1. Receive a payment of 10 for sure. 2. Participate in a lottery in which a payment of 105 will be received with probability p or a payment of 150 with probability 1-p. If p = 1, then alternative 2 is preferred (a payment of 105 is better than a payment of 10). If p = 0, then alternative 1 is preferred (a payment of 10 is better than a loss of 150).

This value for p will vary from person to person depending on how attractive the various alternatives are to them. This value of p is called the utility for 10. For example, choose p = 0.6, the expected value of the lottery is: 0.6(105) + 0.4(-150) = 3 In this case, the manager is seeking risk since a sure payment of 10 (larger than the expected return of 3) is required to compensate her for the loss of the possibility of making more than the expected return.

Now, choose p = 0.8, the expected value of the lottery is: 0.8(105) + 0.2(-150) = 54.0 In this case, the manager is adverse to risk since an expected value larger than the sure payment of 10 is required to compensate for the riskiness of the lottery. The larger the value of p, the more risk-adverse the manager is, because she requires a larger expected value of the lottery to compensate her for its riskiness.

By solving the equation p(105) + (1-p)(-150) = 10 255p 150 = 10 p = 160/255 = 0.6275 We find the value of p for which the expected value of the lottery is equal to the sure payment of 10. So, p > 0.6275 p = 0.6275 adverse to risk indifferent to risk p < 0.6275 seeking risk To completely assess the entire utility function, repeat this procedure for all other possible dollar returns.

Another (and more popular) way to assess utility functions is to use an exponential utility function. This function has a predetermined shape (i.e., it s concave, risk averse) and requires the assessment of only one parameter. The function has the following form: U(x) = 1 - e -x/r Where x is the dollar amount that will be converted to utility. r is a constant that measures the degree of risk aversion (the larger the value of r, the less risk-averse, the smaller the value of r, the more risk-averse the company or person is).

One way to determine r, is to first determine the dollar amount r such that the manager is indifferent between the following two choices: 1. A 50-50 gamble where the payoffs are a gain of r dollars or a loss of r/2 dollars 2. A payoff of zero Now, suppose the newsvendor is indifferent between a bet where he wins $100 or loses $50 with equal probability and not betting at all. In this case, his r is $100.

The second way to determine r is based on empirical evidence from many corporations net income, equity, and net sales to the degree of risk aversion, r. This evidence shows that r is approximately equal to 124% of net income, 15.7% of equity, and 6.4% of net sales. For example, a large company with net income of $1 billion would have an r of 1.24 billion, whereas a smaller company with net sales of $5 million would have an r of 320,000.

Return to the newsvendor example: Because the newsvendor owns a very small business, he opts for using the predetermined exponential utility function approach. In addition, he uses the 50-50 gamble approach to determine his r value ($100). Using Excel, develop a spreadsheet model of the utility of all the dollar payoffs. In this payoff table, the entries are the utility of the net cash flow associated with each combination of a decision and a state of nature (i.e., the utility of the net cash flow is substituted for the respective cash flow.

State of Nature 0 1 2 3 Decision Alternatives 0 0-50 -100-150 1-40 35-15 -65 2-80 -5 70 20 3-120 -45 30 105 Probabilities 0,1 0,3 0,4 0,2 a) Expected value criteria b) Expected opportunity loss criteria c) Most probable event criteria d) Expected value of perfect information e) use utility function U(x)= 1-e -x/r where r= 100 and solve the problem.

a) Expected value criteria State of Nature Decision Alternatives 0 1 2 3 EVC 0 0-50 -100-150 -85 1-40 35-15 -65-12,5 2-80 -5 70 20 22,5 3-120 -45 30 105 7,5 Probabilities 0,1 0,3 0,4 0,2

b) Expected opportunity loss criteria State of Nature Decision Alternatives 0 1 2 3 EOL 0 0 85 170 255 144,5 1 40 0 85 170 72 2 80 40 0 85 37 3 120 80 40 0 52 Probabilities 0,1 0,3 0,4 0,2

c) Most probable event criteria State of Nature Decision Alternatives 0 1 2 3 MPEC 0 0-50 -100-150 -100 1-40 35-15 -65-15 2-80 -5 70 20 70 3-120 -45 30 105 30 Probabilities 0,1 0,3 0,4 0,2

d) Expected value of perfect information State of Nature Decision Alternatives 0 1 2 3 0 0-50 -100-150 1-40 35-15 -65 2-80 -5 70 20 3-120 -45 30 105 EVPI Probabilities 0,1 0,3 0,4 0,2 EVwPI 59,5 EVC = 22,5 EVPI = 37

e) use utility function U(x)= 1-e -x/r where r= 100 and solve the problem. State of Nature Decision Alternatives 0 1 2 3 EU 0 0,00-0,65-1,72-3,48-1,58 1-0,49 0,30-0,16-0,92-0,21 2-1,23-0,05 0,50 0,18 0,10 3-2,32-0,57 0,26 0,65-0,17 Probabilities 0,1 0,3 0,4 0,2

=1-EXP(- Base Case!B7/$B$14) =1-EXP(-A17/$B$14) =SUMPRODUCT(B7:E7,$B$12:$E$12) Enter 150 in the first cell, then click on Edit Fill Series and enter the following parameters:

Here is a graph of the utility function: 1.00 0.00 Utility(x) Utility -1.00-2.00-150 -130-110 -90-70 -50-30 -10 10 30 50 70 90-3.00-4.00 X

On the basis of the criterion of maximizing the expected utility, the newsvendor would order 2 papers.

Consider the following auto insurance example: Ten years after graduating from Standford s Graduate School of Business, Carol Lane purchased a Lexus. The annual premium from her insurance company for collision insurance would be $1000 with $250 deductible. There is only a 0.5% chance she will cause a collision in the next year. In this case, she can expect about $50,000 worth of damage. Since she owns the Lexus outright, she is not required to purchase collision insurance. Should she buy the insurance or not?

Here is the spreadsheet model: =B2 + B1 =B6 =B1 =SUMPRODUCT(E3:F3,$E$6:$F$6) The Expected Returns indicate that it would be less expensive for her, on average, to not buy the insurance.

However, to be sure, she performs an utility analysis. She decides that she is risk-averse, and estimates her r value to be $10,000. =1-EXP(E3/$F$8) Based on the expected utility analysis, Carol feels it is worth buying the insurance to have peace of mind that she won t have to pay $50,000 if she causes a collision.

PROBLEM 13 A firm has three investment alternatives. The payoff table (in thousands of euros) and associated probabilities are as fo lows: Find the most preferred decision for each decision maker using the expected utility approach. c.why don't decision makers A and B select the same decision a ternative? investment Economic Çondition Up Stable Down D1 100 25 0 D2 75 50 25 D3 50 50 50 Probabilities 0.4 0.3 0.3 a. Using the expected value approach, which decision is preferred? b, For the lottery having a payoff of 100,000 with probability p and 0 with ProbabilitY (1 - P), two decision makers expressed the following indifference probabilities: Indifference Probability (p) Profit Decision Maker A Decision Maker B 75000 0.8 0.6 50000 0.6 0.3 25000 0.3 0.15

Economic Condition investment Up Stable Down D1 100 25 0 D2 75 50 25 D3 50 50 50 Probabilities 0.4 0.3 0.3 a) Expected value criteria b) Expected opportunity loss criteria c) Most probable event criteria d) Expected value of perfect information e) Expected Utility solution for decision Maker A Expected Utility solution for decision Maker B

a) Expected value criteria Economic Condition investment Up Stable Down EVC D1 100 25 0 47,5 D2 75 50 25 52,5 D3 50 50 50 50 Probabilities 0.4 0.3 0.3

b) Expected opportunity loss criteria Economic Condition investment Up Stable Down EOL D1 0 25 50 22,5 D2 25 0 25 17,5 D3 50 0 0 20 Probabilities 0.4 0.3 0.3

c) Most probable event criteria Economic Condition investment Up Stable Down MPEC D1 100 25 0 100 D2 75 50 25 75 D3 50 50 50 50 Probabilities 0.4 0.3 0.3

d) Expected value of perfect information Economic Condition investment Up Stable Down EVPI D1 100 25 0 D2 75 50 25 D3 50 50 50 Probabilities 0.4 0.3 0.3 EVwPI 70 EVC 52,5 EVPI 17,5 EOL

e) Decision maker A Economic Condition investment Up Stable Down EU (dma) D1 1 0,3 0 0,49 D2 0,8 0,6 0,3 0,59 D3 0,6 0,6 0,6 0,6 Probabilities 0.4 0.3 0.3 Tends to Avoid Risk(Risk Avoider)

e) Decision maker B Economic Condition investment Up Stable Down EU(dmB) D1 1 0,15 0 0,445 D2 0,6 0,3 0,15 0,375 D3 0,3 0,3 0,3 0,3 Probabilities 0.4 0.3 0.3 Tends to take Risk (Risk taker)

Fayda Fonksiyonları Şekilde aynı parasal değerdeki ödemelerin 3 farklı karar verici için nasıl farklı fayda seviyesi meydana getireceği gösterilmektedir. Riskten kaçan bir karar verici, en büyük nispi faydayı, artan ödemeler için azalan marjinal faydaya sahip olan herhangi bir ödemeye ayırır. Risk seven karar verici ise, en küçük faydayı artan ödemeler için artan bir marjinal faydası olan herhangi bir ödemeye ayırır. riske kayıtsız karar verici, bu ikisi arasındadır ve artan ödemeler için sabit bir marjinal faydası vardır. Şekildeki fayda eğrileri, meydana gelebileceklerden sadece birkaçıdır.

a b.5.5 $100,000 -$0 $50,000 a b.5.5 $100,000 -$0 $20,000 Risk Neutral: Indifferent to Owning a or b Risk Avoider: Indifferent to Owning a or b.5 $100,000 Risk-Avoider a b.5 -$0 $70,000 Chance of Winning the Contest Risk Neutral Risk-Taker Risk Taker: Indifferent to Owning a or b Monetary Payoff

Şekilde X kişisi kayba kazançtan daha fazla duyarlı olduğu için Risk almaya karşıdır. Z ise riski seven bir kişi olarak tam tersi bir tutum sergiler. Grafik üzerinde bu durum şöyle açıklanabilir. X kişisi için 10 liralık ödemedeki bir artış ab kadar bir fayda sağlarken, ödemedeki 10 liralık azalma bc kadar bir fayda sağlamaktadır. Burada açıkça ab<bc dir. Z şahsı ise tam tersini yapar onun için de > ef dir.

Örnek Geleneksel tüketici teorisinde tüketicinin karar verme sürecini tam bir belirlilik altında gerçekleştirdiğini varsayılır. Ancak gerçek dünyada bireyler belirsizliklerle karşı karşıya kalarak kararlar verirler. Örneğin bir bireyin farklı risklere sahip iki yatırım karşısında karar verme durumunda olduğunu kabul edelim. Tablo 1 de, her bir yatırımın getirisinin gerçekleşme olasılığını vermektedir. Karar verici A ve B yatırımlarının sağlayacağı kazançların belirsizliği altında hangi yatırımı yapacağına karar verecektir. Genellikle beklenen değer karar kuralı kullanılmasına rağmen, bazen karar verici için, en yüksek beklenen değer sahip alternatif en cazip veya en tercih edilen alternatif değildir. Örneğin, varsayalım ki aşağıda tamamen aynı değer için ödeme tablosu verilen 2 şirket arasında karar vereceğiz (Tablo 1). Yani bu iki firmadan birini satın alma konusunda bir yatırım kararı vereceğiz. DURUMLAR ŞİRKET 1 2 Beklenen değer A 150.000-30.000 60.000 B 70.000 40.000 55.000 OLASILIK 0, 5 0, 5 Bu tablodaki ödeme değerleri, bu işten beklenen kazançları ifade etmektedir. Buna göre, herhangi bir yılda A şirketi %50 ihtimalle 150.000 TL kar getirecek ve %50 ihtimalle de 30.000 TL lık bir kayıp sözkonusu olacak. Diğer yandan, bir yılda B şirketi %50 ihtimalle 70.000 TL, ve %50 ihtimalle de 40.000 TL kar getirecektir. Max.

A Yatırımının Beklenen Parasal Değeri = 0.5(150.000) + 0.50(-30.000) = 60.000 B Yatırımının Beklenen Parasal Değeri = 0.5(70.000) + 0.5(40.000) =55.000 Beklenen değer karar kuralına göre, A şirketini satın almalıyız. Çünkü en yüksek beklenen değere sahiptir. Fakat, A şirketi B şirketinden çok daha fazla riskli bir yatırımı göstermektedir. A şirketi, uzun dönemde en yüksek beklenen değere sahip olduğu gibi, kısa dönemde, 30.000 TL lık muhtemel kayıpları karşılayabileceğimiz finansal kaynaklara sahip olamayabiliriz. B şirketinde ise her yıl en az 40.000 TL kar elde edeceğimizden emin olabiliriz. Uzun dönemde B nin beklenen değeri A şirketininki kadar büyük olmadığı halde, çoğu karar verici için, B nin nispeten daha kararlı bir kar seviyesine sahip olmasının verdiği rahatlık daha önemlidir. Diğer karar vericiler, daha yüksek muhtemel ödemeler umuduyla, A şirketinin içerdiği fazla riske razı olabilir. Bu örnekten de görüldüğü gibi, farklı karar alternatiflerinin beklenen değerleri titiz bir karar verici için alternatiflerin nispi cazipliğini birebir yansıtmamaktadır. Fayda teorisi, karar analizinde karar vericinin risk ve diğer faktörlere karşı tutum ve tercihlerini kapsayan bir yaklaşım sunmaktadır.

6. Fayda Fonksiyonu Oluşturmak Fayda teorisinin temelinde, beklenen bayda kriterine göre seçim yapılabilmesi için önce tüm çıktıların bir fayda fonksiyonuna dönüştürülmesi gerekir. Buradan da seçeneklerin beklenen faydaları hesaplanır. Verilen bir karar fonksiyonunun neye benzediğine nasıl karar vereceğiz? Fayda eğrisi değişik şekillerde çizilir. Bir yaklaşım, en kötü sonuca 0, en iyi sonuca 1 fayda değerini vermektedir. Diğer tüm ödemeler 0 ile 1 arasındaki değerlere atanmaktadır. Aşağıda bu yaklaşım açıklanmaktadır. her şeyden önce fayda eğrisi çıkarılacak değerlendirme tablosundan en iyi ve en kötü değer belirlenmelidir. Belirlenen en iyi çıktı değerinin faydasını 1, en kötü çıktının faydası da 0 olarak belirlenir. U(x), x TL ödemenin faydasını ifade etsin. Daha önceden belirtilen örnekte A veya B yi seçme kararı için, U(-30.000)=0 ve U(150.000)=1 olur. 70.000 TL lık ödemenin faydasını bulmak istersek, karar vericinin aşağıdaki alternatifler arsında kayıtsız olma olasılığını (p) bulmalıyız: Alternatif 1: Kesinlikle 70.000 TL almak Alternatif 2: p olasılıkla 150.000 TL almak, (1-p) olasılıkla 30.000 TL kaybetmek.

Eğer p=0 ise, çoğu karar verici alternatif 1 i seçer. Çünkü 30.000 TL kaybetmektense 70.000 TL kazanmayı tercih ederler. Diğer yandan, eğer p=1 ise, alternatif 2 yi seçerler çünkü 70.000 TL yerine 150.000 TL kazanmayı isterler. Böylece, p 0 dan 1 e doğru yükseldikçe, karar vericinin iki alternatif arasında kayıtsız kaldığı bir p* noktasına ulaşılır. p<p* ise, alternatif 1 i; p>p* ise alternatif 2 yi tercih edecektir. Kayıtsızlık noktası, p*, bir karar vericiden diğerine, riske karşı tutumuna ve 30.000 TL lık kayba katlanabilme yeteneğine bağlı olarak değişir. Örneğimizde, karar verici 1 ve 2 alternatifleri arasında p=0,8 de kayıtsız kalsın. p*=0,8, U(70.000)=U(150.000)x(p*) + U(-30.000)x(1-p*)=p* + 0(1-p*)=0,8. P=0,8 iken, alternatif 2 nin beklenen değeri: 150.000 TL*0,8 30.000 TL*0,2=114.000 TL. Karar verici 114.000 TL beklenen değeri olan riskli karar (alternatif 2) ile 70.000 TL lık kesin kazancı olan risksiz karar (alternatif 1) arasında kalırsa, bu karar verici risk karşıtı dır. Karar verici, 114.000 TL lık beklenen değeri olan kararın riskinden kaçınmak için sadece 70.000 TL almaya razıdır.

Belirlilik eşdeğeri terimi, karar vericinin belirsizlik içeren bir duruma karşı aklındaki para miktarını ifade eder. Örneğin, 70.000 TL karar vericinin p=0,8 iken alternatif 2 nin gösterdiği belirsizlik durumuna karşı belirlilik eşdeğeridir. Risk Primi terimi karar vericinin riskli bir karardan sakınmak üzere vermeye(ödemeye) razı olacağı beklenen değeri gösterir. Örneğimizde, Risk primi=114.000 TL-70.000 TL=44.000 TL dır. Risk primim=(belirsiz bir durumun beklenen değeri)-(aynı durumun belirlilik eşdeğeri) Örneğimizde 40.000 TL lık bir ödemenin faydasını bulmak için karar vericinin aşağıdaki alternatifler arasında kayıtsız kaldığı noktadaki p olasılığını bulmalıyız: Alternatif 1: kesinlikle 40.000 TL almak Alternatif 2: p olasılıkla 150.000 TL almak, (1-p) olasılıkla 30.000 TL kaybetmek. Bu örnekte p=0,65 tir(p*=0,65). 40.000 TL ödemenin faydası: U(40.000)=U(150.000)*(p*) + U(-30.000)*(1-p*)=p* + 0(1-p*)=p*=0,65 Alternatif 1 de verilen miktarın faydası, karar vericinin kayıtsızlık noktası p* ye eşittir. Bu bir tesadüf değildir.

: Faydalar 0-1 arası ölçekte ifade edildiğinde, karar vericinin alternatif 1 ve alternatif 2 arasında kayıtsız kaldığı noktada p* olasılığı her zaman, alternatif 1 de listelenen miktar için karar vericinin faydasına karşılık gelir.. p=0,65 iken, alternatif 2 nin beklenen değeri: 150.000 TL*0,65-30.000 TL*0,35=87.000 TL... Bu, yine risk karşıtı bir davranıştır. Çünkü, karar verici 87.000 TL lık beklenen değer e sahip kararın riskinden sakınmak için 40.000 TL almaya razı olacaktır. Örneğimiz için, -30.000 TL, 40.000 TL, 70.000 TL ve 150.000 TL a ait faydalar 0, 0.65, 0.80 ve 1 dir. Bunları bir grafiğe yerleştirirsek ve noktaları düz bir çizgiyle birleştirirsek, karar vericinin bu karar problemi için karar fonksiyonunun şeklini tahmin edebiliriz. Bu fayda fonksiyonunun şekli, daha önce verilen risk karşıtı bir karar verici içinki fayda fonksiyonunun genel şekliyle tutarlıdır.

Karar Vermede Fayda Fonksiyonlarını Kullanma Parasal her bir ödeme için fayda değerini belirledikten sonra, beklenen en yüksek faydayı sağlayan alternatifi belirlemede karar analizinin standart araçlarını uygulayabiliriz. Bunu yaparak ödeme tablolarındaki veya karar ağaçlarındaki parasal değerlerin yerine fayda değerlerini kullanırız. Örneğimizde, uygun faydaları ödeme tablosunda yerine koyarız ve her karar alternatifi için beklenen faydayı şöyle hesaplarız: DURUMLAR ŞİRKET 1 2 Beklenen değer A 1, 00 0, 00 0, 500 B 0, 80 0, 65 0, 725 OLASILIK 0, 5 0, 5 Max. B şirketini satın almak, karar vericiye max. beklenen fayda seviyesini sağlar. Ancak önceki analize göre 55.000 TL lık beklenen değeri, A şirketinin 60.000 TL lık beklenen değerinden düşüktü. Faydaları kullanarak en cazip gelen alternatifi belirleyebiliriz. Burada tercih edilen yatırım B seçeneği olmalıdır.

Utility Theory Example: Buy a TV now with $200 or $70 same one 5 years later? Have a dinner $100 in first-class restaurant or $10 in fast-food? Expected (Monetary) Value (EMV) may not be representative in many cases for people's willingness in decision-making, because: People's willingness can not be expressed by EMV, or People's value is not linear to monetary value. Utility: An attempt to measure people's Preference on outcomes in a cardinal scale (subjective/arbitrary). An alternative way to measure the "attractiveness" of a decision to different decision-makers. Assumed to be "additive" for different objectives.

Utility Theory Utility Function (Curve): describing the relationship between a individual's Preference (amount of utility) and Monetary value. Corporate Utility vs. Individual Utility Attitude Toward Risk: Three categories: Risk Taker (U>EMV) /Risk Neutral (U=EMV)/Risk Averter (U<EMV) It may be very hard to construct a utility function in real world. Utility in Decision-Making under Risk: Expected Utility (EU) is computed the same way as the EMV. Put Utility (U) in the payoff table, other steps are same.

A. Expected Monetary Value Criterion EMV d i = N j =1 P s j V d i, s j EMV d 1 = $10,000 EMV d 2 = 0.96 0 + 0.03 100,000 + 0.01 200,000 = $5,000 EMV decision: d 2 --do not purchase insurance

Use Lottery to Evaluate Utilities Best Payoff: $0 Probability: p Utility: 10.0 Worst Payoff: $200,000 Probability: 1-p Utility: 0.0 12 10 8 6 4 2 0 Utilit 10 6 0 0 50000 100000 150000 200000 250000 Cost