İÇİNDEKİLER YÜZDE PROLEMLERİ Yüzde Kavramı: Kesir Yüzde İlişkisi... Yüzde Orantısı ve Yüzde İfadeleri... Çokluğun Yüzdeleri... Yüzde Hesaplama / Yüzde Parçaları...4 Yüzde ile Artış - Azalış / Yüzdenin Yüzdeleri... Harfli Yüzdeler / En Az - En Çok...6 Yüzdenin Geometrik Yorumu...7 Tablo - Grafikte Yüzdeler...8 Uygulama Zamanı...9 ÇÖZÜMLÜ TEST... ÇÖZÜMLÜ TEST... KÂR - ZARAR Tiracari Terimler...7 Kârlı Satış / Zararlı Satış...8 Kârlı Satışta Maliyet / Zararlı Satışta Maliyet...9 Kâr Yüzdesi / Zarar Yüzdesi...0 Zamda Yüzdeler / İndirimde Yüzdeler... Vergi Yüzdeleri / Enflasyon Yüzdesi... Yüzdenin Yüzdesi / Etiket Fiyatına Göre Alım Satım... Uygulama Zamanı...4 Değişkenli Kâr - Zarar / Yüzde ile Karşılaştırma...6 Tutturabildiğine Satış / Satılan Miktar...7 Zayi Olan Ürünler / Kuruyan Ürünler...8 Alım - Satım Miktarı / Maliyette Masraf...9 Faiz hesaplama...0 Anapara - Zaman / Faizi ile irlikte Para... anka anka Paralar / ileşik Faiz... Uygulama Zamanı... ÇÖZÜMLÜ TEST... ÇÖZÜMLÜ TEST...7 ÇÖZÜMLÜ TEST...9 ÇÖZÜMLÜ TEST 4...4 KARIŞIM PROLEMLERİ Karışımdaki Oranlar / Karışımdaki Yüzdeler...47 Karışımdaki Madde Miktarı - Yüzde İlişkileri...48 Aynı Cins Yüzdeli Karışımları Karıştırma...49 Uygulama Zamanı 4...0 Farklı Cins Yüzdeli Karışımlar / Karışık Çerez Oluşturma... Saf Madde Ekleme / uharlaşma... Karışımın ir Kısmını Kullanma / Karışımın Grafik Yorumu... Uygulama Zamanı...4 ÇÖZÜMLÜ TEST... ÇÖZÜMLÜ TEST...7 ÇÖZÜMLÜ TEST...9 HAREKET PROLEMLERİ Hareket ağıntısı / Hızda irimler...64 Harekette Hız / Harekette Zaman...6 Asfalt Yol - Toprak Yol / Gidiş Dönüş...66 Hız Değiştirme / Değişkenlerle Hareket...67 Ortalama Hız...68 Aynı Yerden Aynı Yöne / Aynı Yerden Zıt Yöne...69 Uygulama Zamanı 6...70 irbirine Doğru (Zıt Yönlü) Karşılaşma...7 irbirine Doğru Harekette: Yollar / Hızlar...7 Yakalayan (Yetişen) Hareketliler...74 Gidiş - Dönüşte Karşılaşma / Karşılaşma Yakalama...7 Uygulama Zamanı 7...76 Tren Geçişi: Direk Geçme / Tünel Geçme...78 İki Trenin Geçişi: Karşılıklı / Aynı Yönde...79 Tur indirmeler / Nehirde Hareket...80 İki Ucu Yanan İp / Hareketin Grafik Yorumu...8 Saat Problemleri...8 Uygulama Zamanı 8...8 ÇÖZÜMLÜ TEST...84 ÇÖZÜMLÜ TEST...86 ÇÖZÜMLÜ TEST...88 ÇÖZÜMLÜ TEST 4...90 İŞÇİ - HAVUZ PROLEMLERİ İş Kavramı...96 İş Miktarı - Zaman İlişkileri / Kesirli İş Miktarı...97 irlikte İş Yapma...98 Negatif İş...99 irlikte Yapılan İşte: Tek aşına İş / Geriye Kalan İş...00 İşe Katılma / İşten Ayrılma...0 İş Denklemleri...0 Uygulama Zamanı 9...0 irlikte İş ağıntısında:kesir ifadeleri / Kesir Denklemleri...04 Çalışma Hızı / İşçi Kapasitesi...0 Usta - Çırak İlişkisi / Özdeş İşçiler...06 Aynı İşi Yapma / Havuzun Arasında Musluk...07 Değişkenle İş - Havuz / En Az - En Çok...08 Uygulama Zamanı 0...09 ÇÖZÜMLÜ TEST... 0 ÇÖZÜMLÜ TEST... ÇÖZÜMLÜ TEST... 4 KONU TESTLERİ... 9 SİZİN İÇİN ÇÖZDÜKLERİMİZ...
Yüzde Kavramı: Kesir Yüzde İlişkisi YÜZDE PROLEMLERİ Konu Özeti (Kesirleri ve Ondalığı Yüzdeye Çevirme) Konu Özeti (Yüzdeyi Kesir ve Ondalığa Çevirme) Paydası 00 olan kesir ile belirtilen oranlara yüzde (%) denir. a % a 00 = Yüzde oran ile miktar hakkında genel bir kanı oluşturulur. %a = a 00 Yüzdeler kesir halinde belirtildikten sonra en sade haline çevrilir. Aşağıdaki kesiri ve ondalığı yüzde olarak yazınız. a) b) 0, ÇÖZÜM Kesirin ve ondalığın ya paydası 00 yapılarak ya da 00 ile çarpılarak yüzde değeri bulunur. 0 a) = = % 0 00 ( 0) Pratik yol: 00 = 0 ise = % 0 b) 0, = = % 00 Pratik yol: 0, 00 = ise 0, = % Aşağıdaki yüzde ifadelerini kesirli ve ondalıklı olarak yazınız. a) %60 b) %0, ÇÖZÜM Yüzde ifade 00 e bölünerek kesir ve ondalık hali kolayca bulunur. 60 60 a) %60 = = = 00 0 0 60 % 60 = = 060, = 0, 6 00 0, b) % 0, = = = 00 00 000 ( 0) 0, % 0, = = 000, 00 00 Aşağıda verilen kesirleri ve ondalık sayıları yüzde olarak yazınız. ) 4 6) 0 Aşağıda verilen yüzde ifadeleri kesirli olarak yazınız. ) %0 6) %0 ) 7) 0, ) % 7) %60 ) 4 8) 0, ) %0 8) %7 4) 9) 0, 4) % 9) %80 ) 0 0), ) %40 0) %0 ) % ) %0 ) %7 4) %40 ) %0 6) % 7) %0 8) %0 9) % 0) %0 ) 0 6) ) 0 7) ) 8) 4 4) 4 9) 4 ) 0)
YÜZDE PROLEMLERİ Yüzde Orantısı ve Yüzde İfadeleri Konu Özeti Yüzde orantısı ya da doğru orantı ile yüzde ifadeler kolayca hesaplanabilir. Orantı ile, Miktarın oranı Yüzde oran İlgili kısım a = Tamamı 00 Doğru orantı ile, Miktar Yüzde Tamamı % 00 İlgili kısım % a D.O.: Tamamı a = 00 İlgili kısım Yüzde ifadelerinin problem tipleri ileriki sayfalarda detaylı anlatılacaktır. (Yüzde İfadeleri) Aşağıdaki yüzde ifadelerinde istenilenleri bulunuz. a) 00 sayısının % 0 u kaçtır? b) Hangi sayının % 40 ı 60 dır? c) 40 sayısının yüzde kaçı 0 dur? ÇÖZÜM Yüzde ifadelerinde yüzde orantısı ya da doğru orantıdan istediğinizi kullanabilirsiniz. x 0 a) = & x 00 = 00 0 & x = 60 00 00 00 ün % 0 u 60 dır. b) Miktar Oran x % 00 60 % 40 D.O.: x 40 = 60 00 x = 0 dir. % 40 ı 60 eden sayı 0 dir. 0 x c) = & 0 00 = 40 x & x = 40 00 0 sayısı 40 ın % i dir. Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bununuz. 6. Hangi sayının % i 6 tür?. 0 sayısının %0 u kaçtır? 7. 0 sayısının yüzde kaçı 90 dır?. 80 sayısının %0 u kaçtır?. 00 sayısının %4 i kaçtır? 8. 0 sayısının yüzde kaçı 00 dür? 4. Hangi sayının %0 si 8 dir? 9. 6 sayısının yüzde kaçı 0,8 dir?. Hangi sayının %60 ı 4 tür? 0. 0,08 sayısının yüzde kaçı 0,0 dir? ) ) 4 ) 90 4) 40 ) 90 6) 80 7) %7 8) %40 9) % 0) %
Yüzdenin Geometrik Yorumu YÜZDE PROLEMLERİ Konu Özeti (Yüzdenin Geometrik Yorumu) Geometrik şeklin ebatlarındaki yüzde değişim tespit edilerek istenilen değişimin yüzdesi bulunur. ir telin %0 si kesilerek kısaltılınca orta noktası öncekine göre 0, cm kayıyor. una göre telin kesilen parçası kaç cm dir? ir dikdörtgenin kısa kenarı % 0 arttırılıp uzun kenarı % 0 azaltılırsa alandaki değişim yüzde kaç olur? ÇÖZÜM Kısa kenarı 0k, uzun kenarı 0u alalım, Alan = 0k 0u = 00ku olur. 0 Kısa kenar % 0 artarsa = 0k + 0k = k 00 0 Uzun kenar % 0 azalırsa = 0u 0u = 8u 00 Yeni alan = k 8u = 96ku Alandaki değişim = 00ku 96ku = 4ku O halde alan, % 4 azalmıştır.(00ku da 4ku azalış) ÇÖZÜM Telin kısaltılmadan önceki boyu 00x olarak alınırsa kesilen parça 0x olur. Önce; 00x 0x 0x Telin boyu %0 kısaldıktan sonra; (0x kesilince) 80x 40x 40x 0x 40x = 0, cm x = 0,0 cm Kesilen parça; 0x = 0 0,0 = cm dir. Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz.. ir karenin kenarları %0 arttırılırsa alanı yüzde kaç artar? 4. Küp şeklindeki bir su deposunun boyutlarından iki tanesi %0 ve %0 arttırılap, bir tanesi %40 azaltılırsa deponun taşıyabileceği su miktarı yüzde kaç değişir?. ir dikdörtgenin kısa kenarı %0 azaltılıp uzun kenarı %0 arttırılırsa alandaki değişim yüzde kaç olur?. ir dikdörtgenin uzun kenarı %0 azaltıldığında alanın değişmemesi için kısa kenarı yüzde kaç arttırılmalıdır?. ir ağaç fidanının toprağa tutunulabilmesi içni %0 unun gömülmesi gerektirmektedir. Şekildeki, II. fidan I. fidandan %0 daha kısadır. I. fidanın I. Fidan II. Fidan toprak altındaki parçası 7 cm daha uzun olduğuna göre bu fidanların toprak üstündeki parçalarının uzunlukları toplamı kaç cm dir? ) 44 ) %9 azalır ) %00 4) % 6,4 azalır ) 7 7
YÜZDE PROLEMLERİ Tablo - Grafikte Yüzdeler Konu Özeti (Tablo - Grafikte Yüzdeler) Tablo ya da grafiğin hangi ölçeğinin yüzdesi alınacaksa o ölçeğin toplamına %00 denilerek orantı kurulur. Öğrenci sayısı 8 7 4 Alınan not Yukarıdaki sütun grafiği, bir sınıftaki öğrencilerin matematik sınavından aldıkları notların dağılımını göstermektedir. ve ün üzerinde not alanlar başarılı olduğuna göre bu sınıfta başarısız olanların yüzdesi nedir? ÇÖZÜM aşarısızlar ( veya alanlar) = + = kişi Toplam = + + 7 + 8 + = kişi aşarısızların yüzdesi = 00 4 % 0 = Aşağıdaki tabloda; Çeşit Ağırlık (g) Yüzde (%) fındık, fıstık, ceviz Fındık 0 ve badem karıştırılarak oluşturulan bir Fıstık kuruyemiş paketindeki Ceviz 40 miktarlar ve adem 7 yüzdeleri belirtilmiştir. una göre Toplam 00 a) Karışımdaki fındık miktarı kaçtır? b) Karışımdaki badem yüzdesi nedir? ÇÖZÜM Fındık: x gr Karışımın toplam kütlesi: x + y + 00 gr dır. Ceviz: y gr (i) Karışımın %0 si fındık olduğundan; x 0 = & 4x- y = 00 x+ y+ 00 00 (ii) Karışımın %40 ı ceviz olduğundan; y 40 = & y- x = 600 x+ y+ 00 00 4x y = 00 Denklemleri ortak çözülürse y x = 600 x = 0 ve y = 00 bulunur. a) Karışımdaki fındık miktarı 0 gr dır. b) Karışımdaki badem yüzdesi %a olsun. 00 adem Ağırlığı a 00 a = & = & a = 0 bulunur. 00 70 00 Karışım Ağırlığı 70 Aşağıdaki sütun grafiği bir okuldaki öğrencilerin sınıflara göre sayılarını göstermektedir. Öğrenci sayısı 0 0 8 Sınıf 9. Sınıf 0. Sınıf. Sınıf. Sınıf una göre aşağıdaki soruları cevaplayınız?. 0. sınıftaki öğrenciler okulun yüzde kaçıdır?.. sınıftaki öğrenciler okulun yüzde kaçıdır?.. sınıftaki öğrenciler 0. sınıftaki öğrencilerin yüzde kaçıdır? Yandaki tabloda, bir Ders Adet Yüzde (%) okulda verilen dersler, Türkçe 0 bu derslere giren öğretmen Matematik 4 adetleri ve bu Fen 4 adetlere karşılık gelen Sosyal 0 yüzdeler verilmiştir. una göre aşağıdaki Diğer Dersler 4 soruları cevaplandırınız. Toplam 00 4. u okulda kaç tane fen öğretmeni vardır?. u okulda toplam kaç öğretmen vardır? 6. u okuldaki matematik öğretmenlerinin adeti tüm öğretmenlerin adetinin yüzde kaçıdır? 8 ) ) ) 60 4) ) 0 6) %0
Uygulama Zamanı Uygulama. 40 sayısının % inin 4 eksiği kaçtır? 9. %40 ı dolu olan bir depoya 6 ton su ilave edildiğinde deponun tamamı doluyor. una göre başlangıçta depoda kaç ton su vardır?. 00 sayısının %40 ının % i kaçtır?. Hangi sayısının %60 ı 90 eder? 0. A sayısı sayısının %40 ına, C sayısı da A sayısının %40 ına eşittir. una göre C sayısı sayısının yüzde kaçıdır? 4. 80 sayısının yüzde kaçı dir?. 0,064 sayısının % i kaçtır?. ir çocuk, elindeki parasının önce %60 ını daha sonra kalan parasının %0 unu harcıyor. una göre ilk duruma göre çocuğun elindeki parasının yüzde kaçı kalmıştır? 6. %7 si ile %9 unun toplamı eden sayı kaçtır?. A sayısının %40 ı sayısına eşittir. 7. Murat elindeki parasının %0 unu Ali'ye verince elinde 6 lirası kalıyor. A ile arasında A = + 0 bağıntısı varsa kaçtır? una göre Murat'ın elinde başlangıçta kaç lira vardır?. ir dikdörtgenin kısa kenarı %0 azaltılıp uzun kenarı %0 arttırılırsa alanı nasıl değişir? 8. %4 i dolu olan bir depoda 6 ton su bulunduğuna göre deponun tamamı kaç ton su alır? ) 6 ) 0 ) 0 4) ) 0,06 6) 00 7) 80 8) 80 9) 4 0) 6 ) 8 ) 40 ) %7 artar 9
4. Samsun'da düzenlenen hukuk kongresine katılan katılımcılara ulaşım için otobüs, tren ve uçak seçeneklerinden birini tercih etmeleri istenmiştir. Kongreye katılan katılımcılardan %7'i otobüsü, %60'ı ise uçağı tercih etmemiştir. 0 katılımcı otobüsü tercih ettiğine göre, kongreye kaç kişi trenle yolculuk ederek katılmıştır? Aşağıdaki grafiklerin birincisinde bir ülkedeki Arpa, uğday, Ceviz, Domates ve Eriğin 04 yılındaki üretim miktarları, ikincisinde ise bu ürünlerin 0 yılındaki üretiminin 04 yılına göre artış ve azalış miktarları verilmiştir. Üretim miktarı (x 000 ton) 00 7 0. Aşağıdaki tabloda bir okulun yıllık gelir kaynakları, bu gelir kaynaklarının miktarları ve bu miktarlara karşılık gelen yüzdeler verilmiştir. 00 7 0 Kaynaklar Gelir Miktarı (in TL) Yüzde (%) Arpa uğday Ceviz Domates Erik 04 Ürün Devlet 44 Okul Aile irliği 0 Kantin 0 Otopark Kermesler 0 Toplam 00 a) Okulun otopark olarak kullanılan bahçesinden elde edilen yıllık gelir kaç bin dir? b) Devlet destek miktarı tüm gelir miktarının yüzde kaçıdır? Üretimdeki değişim (x 000 ton) 0 00 7 0 uğday Ceviz Ürün Arpa Domates Erik 0 7 0 una göre 7., 8. ve 9. soruları cevaplayınız. 6. Şenay Hanım, elindeki bir miktar hamur ile kurabiye yapmak için eşit büyüklükte daire şeklinde kurabiye hamuru hazırlamıştır. Şenay Hanım, yapacağı kurabiye sayısını 4 katına çıkarmak için aynı hamuru yoğurarak yeniden yapacağı kurabiye hamurlarının çapını yüzde kaç azaltmalıdır? (Kurabiyelerin kalınlıkları eşit olacaktır.) 7. Eriğin 0 yılındaki üretimi 04 yılına göre yüzde kaç artmıştır? 8. Toplam üretim 04 yılandan 0 yılına kadar yüzde kaç artmıştır? 9. 0 yılında hangi ürünün o yılda yapılan toplam üretim içindeki payı %0'dir? 0 4) 70 ) a) 66 b) 6) 0 7) 00 8) 9) uğday
Ticari Terimler KÂR - ZARAR Konu Özeti Kâr - zarar problemlerini çözebilmek için ticari terimleri iyi bilmek gerekir. Alış Fiyatı: Satıcının ürüne ödediği paradır. Maliyet Fiyatı: Alış fiyatı + diğer masraflardır. Etiket (Satış) Fiyatı: Satıcının ürüne biçtiği değerdir. Kâr: ir malın satışından elde edilen kazançtır. Satış = Maliyet + Kâr Zarar: ir malın satışından elde edilen kayıptır. Satış = Maliyet Zarar Zam (Arttırım): Satış fiyatı üzerine eklenen fiyattaki artış miktarıdır. İskonto (İndirim): Satış fiyatı üzerinden yapılan fiyattaki indirim miktarıdır. Vergi: ir malın satış fiyatı üzerine eklenen devletin aldığı paydır. KDV, ÖTV gibi. Enflasyon: Paranın değerindeki kayıptır. Ciro: ir zaman diliminde (günlük, haftalık, aylık,...), satıştan sonra ele geçen toplam paradır. Cironun içinde maliyet ve vergiler de dahildir. Kazanç = Ciro (Maliyet + Vergiler) 0 ye alınan bir ürün, a) 70 ye b) 40 ye c) 0 ye satıldığında, satıcının kâr - zarar durumunu belirleyiniz. ÇÖZÜM Aksi belirtilmediği sürece bir ürünün alışı maliyet olarak değerlendirilir. a) 70 0 = 0 liralık kâr b) 0 40 = 0 liralık zarar c) 0 0 = 0 ne kâr ne zarar Etiket fiyatı 00 olan ürüne a) 0 zam yapılırsa b) 0 indirim yapılırsa satışı kaç olur. ÇÖZÜM Zam ve indirim aksi belirtilmediği sürece etiket fiyatına uygulanır. a) Zamlı Satış = 00 + 0 = 0 liradır. b) İndirimli satış = 00 0 = 80 liradır. lık masrafıyla birlikte maledilen bir ürünün alış fiyatını bulunuz. ÇÖZÜM Maliyet = Alış + Masraflardır. Alış x olsun, = x + x = liradır. ardağı den bir günde 000 bardak çay satan bir çay ocağının günlük cirosunu bulunuz. ÇÖZÜM Aranan ciro çay ocağının kazancı değil, satıştan elde ettiği paradır. Kazanç, bütün masraflar düşünce bulunur. Ciro = 000 = 000 liradır.. 0 tanesi 00 ye alınan ürünlere toplam 0 masraf yapıldığına göre bu ürünlerin bir tanesinin maliyeti nedir? 4. Etiket fiyatı 00 + KDV olarak belirlenen bir ürün 8 ye alınırsa KDV ye ödenen miktar kaç liradır?. 4 tanesi 0 ye maledilen 0 tane üründen 60 kâr elde etmek için tanesi kaç ye satılmalıdır?. 00 ye maledilen bir ürün bir sene sonra 0 ye maledilebiliyorsa, bu senedeki yıllık enflasyon oranı nedir?. tanesi ye maledilen ürünlerin 8 tanesi ye satılırsa, bu ürünlerin bir tanesinden elde edilen kazanç ya da kayıp ne olur? 6. Günlük 00 börek satarak 000 cirosu olan bir börekçi böreklerin 0 tanesini ye malettiğine göre bu börekçinin günlük kârı nedir? ) ) 8 ) zarar 4) 8 ) 0 6) 70 7
KÂR - ZARAR Kârlı Satış / Zararlı Satış Konu Özeti (Kârlı Satış) Konu Özeti (Zararlı Satış) Maliyetinden fazla olan satışa kârlı satış denir. Satış = Maliyet + Kâr Maliyetinden düşük olan satışa zararlı satış denir. Satış = Maliyet Zarar Kâr yüzdesi, maliyete göre belirlenir. Zarar yüzdesi, maliyet üzerinden belirlenir. 0 ye maledilen bir ürün % 0 kârla kaç ye satılır? ÇÖZÜM Kâr, maliyet üzerinden kâr yüzdesi ile tespit edilir. 0 Kâr = 0 = 0 liradır. 00 Satış = Maliyet + Kâr olduğundan, Satış = 0 + 0 = 60 liradır. II. Yol: Orantı ile, kâr x olsun, % de: 00 de 0 kâr Parada: 0 de x kâr D.O.: 00x = 0 0 x = 0 liradır. Satış = 0 + 0 = 60 liradır. Maliyeti 0 olan bir ürünün % 0 zararlı satışı kaç dir? ÇÖZÜM Zarar, maliyet üzerinden zarar yüzdesiyle tespit edilir. 0 Zarar = 0 = 0 liradır. 00 Satış = Maliyet Zarar olduğundan, Satış = 0 0 = 40 liradır. II. Yol: Orantı ile, zarar x olsun, % de: 00 de 0 zarar Parada: 0 de x zarar D.O.: 00 x = 0 0 x = 0 liradır. Satış = 0 0 = 40 liradır. 80 liraya maledilen bir ürün için aşağıdaki soruları cevaplandırınız? 40 liraya maledilen bir ürün için aşağıdaki soruları cevaplandırınız.. %0 kârla kaç liraya satılır?. %0 zararla kaç liraya satılır?. %0 kârla kaç liraya satılır?. %0 zararla kaç liraya satılır?. %0 kârla kaç liraya satılır?. %0 zararla kaç liraya satılır? 4. %0 kârla kaç liraya satılır? 4. %0 zararla kaç liraya satılır?. %7 kârla kaç liraya satılır?. %7 zararla kaç liraya satılır? 8 ) 98 ) 6 ) 4 4) 70 ) ) 6 ) 9 ) 68 4) 0 ) 60
Kârlı Satışta Maliyet / Zararlı Satışta Maliyet KÂR - ZARAR Konu Özeti (Kârlı Satışta Maliyet) Konu Özeti (Zararlı Satışta Maliyet) Kâr yüzdesinin maliyet üzerinden belirlendiğini unutmayınız. Satış fiyatı üzerinden kâr belirlemeyiniz! u tarz ifadelerde en çok yapılan hata zararın satış fiyatı üzerinden belirlenmeye çalışılmasıdır. Zarar maliyet üzerinden belirlenir. Örnekle açıklayalım. % 0 kâr ile 40 ye satılan bir ürünün maliyetini ve satıştan elde edilecek kârı bulunuz. ÇÖZÜM Kâr yüzdesi maliyet üzerine uygulanacağından, kesirsiz kolay hesap yapabilmek için maliyeti 00m alalım, Maliyet = 00m Kâr = 0m Satış = Maliyet + Kâr olduğundan, 40 = 00m + 0m 40 = 0 m & m = dir. Maliyet = 00 m = 00 = 00 liradır. Kâr = 0 m = 0 = 40 liradır. II. Yol: Orantı ile, Kâr % 0 iken kârlı satışın maliyet üzerinden yüzdesi % 00 + % 0 = % 0 olur. Maliyet x dersek, % de: 00 de 0 ye satış Parada: x de 40 a satış & D.O.: 0 x = 00 40 x = 00 liradır. 40 = 00 + kâr kâr = 40 liradır. % 0 zararla ile 0 ye satılan bir ürünün maliyetini ve zararını bulunuz. ÇÖZÜM Maliyeti 00m alırsak, Maliyet = 00m Zarar= 0m Satış = Maliyet Zarar olduğundan, 0 = 00m 0m 0 = 70 m & m = tür. Maliyet = 00 m = 00 = 00 liradır. Zarar = 0 m = 0 = 90 liradır. II. Yol: Orantı ile, Zarar % 0 iken zararlı satışın maliyete göre yüzdesi % 00 % 0 = % 70 olur. Maliyet x dersek, % de: 00 de 70 e satış Parada: x de 0 a satış & D.O.: 70 x = 00 0 x = 00 liradır. 0 = 00 zarar zarar = 00 0 = 90 liradır.. % kârla 0 liraya satılan bir malın maliyeti kaç liradır?. %0 zararla 40 liraya satılan bir malın maliyeti kaç liradır?. %40 kârla 6 liraya satılan bir malın maliyeti kaç liradır?. % zararla nedir? 9A 4 liraya satılan bir ürünün maliyeti. %0 kârla 9 liraya satılan bir mal %40 kârla kaç liraya satılır?. %40 zararla 0 liraya satılan bir ürünün % kârlı satış fiyatı kaç liradır? ) 00 ) 40 ) 0 ) 00 ) A ) 64 9
Karışımdaki Oranlar / Karışımdaki Yüzdeler KARIŞIM PROLEMLERİ Konu Özeti (Karışımdaki Oranlar) A maddesinden x gr, maddesinden y gr kullanılarak oluşturulan karışımda, x A nın ye oranı dir. y x A nın karışıma oranı x + y dir. y nin karışıma oranı x+ y dir. Konu Özeti (Karışımdaki Yüzdeler) A maddesinden x gr, maddesinden y gr kullanılarak oluşturulan karışımda, x y A nın yüzdesi = 00 ve nin yüzdesi = 00 x+ y x+ y A ile nin yüzdeleri toplamı %00 eder. 0 gramı tuz olan 00 gr tuzlu sudaki, a) tuzun suya b) tuzun karışıma c) suyun karışıma oranlarını bulunuz. ÇÖZÜM 00 gr tuzlu suyun, 0 gramı tuz ise, 00 0 = 80 gr sudur. tuz 0 tuz 0 a) = = b) = = su 80 4 karışım 0 0 4 su 4 80 4 c) = = karışım 0 0 0 gr şeker ve 0 gr un ile oluşturulan karışımdaki, a) Şeker yüzdesini bulunuz. b) Un yüzdesini bulunuz. ÇÖZÜM Karışım toplam 0 + 0 = 0 gr dır. O halde, 0 a) Şeker yüzdesi = 00 = % 40 bulunur. 0 0 b) Un yüzdesi = 00 = % 60 bulunur. 0 II. yol: %40 + un yüzdesi = %00 un yüzdesi = %60 ; şeker yüzdesi 40 gr şeker, gr tuz ve gr sudan oluşan bir karışım için aşağıdaki soruları cevaplayınız?. Şeker miktarının su miktarına oranı kaçtır?. 0 gr tuz ve 0 gr sudan oluşan bir karışımdaki tuz yüzdesi kaçtır?. Tuz miktarının su miktarına oranı kaçtır?. 0 gr şeker ve 60 gr sudan oluşan bir karışımdaki su yüzdesi kaçtır?. Şeker miktarının tuz miktarına oranı kaçtır?. 0 gr şeker, gr tuz ve gr sudan oluşan bir karışımdaki, a) şeker yüzdesi kaçtır? b) tuz yüzdesi kaçtır? 4. Su miktarının toplam karışımın miktarına oranı kaçtır? ) 8 ) ) 8 4) 6 ) 60 ) 7 ) a) 0 b) 0 47
KARIŞIM PROLEMLERİ Karışımdaki Madde Miktarı - Yüzde İlişkileri Konu Özeti Karışımın ya da içindeki maddelerden birinin yüzdesi ile birlikte miktarı verildiğinde, diğer miktarlar bulunabilir. (Karışımın Miktarı) Şeker oranı %0 olan 00gr şekerli su karışımında, a) Şeker miktarını bulunuz. b) Su miktarını bulunuz. ÇÖZÜM "A nın %x i = A 0 a) Şeker miktarı = 00 = 60 gr dır. 00 b) Su miktarı = 00 60 = 40 gr dır. x "olduğunu hatırlayınız. 00 (Madde Miktarı) 80 gr tuz içeren tuzlu su karışımının su yüzdesi %80 olduğuna göre bu karışımdaki, a) Tuz yüzdesi bulunuz. b) Su miktarını bulunuz. c) Karışım miktarını bulunuz. ÇÖZÜM Tuz miktarı verildiğine göre tuz yüzdesi tespit edilmelidir. Tuz yüzdesi + Su yüzdesi = %00 olduğuna göre, su yüzdesi E a) Tuz yüzdesi = % 00 -% 80 = % 0 dir. b) Doğru orantı ile çözülebilir; %0 80 gr : tuz %80 x gr : su D.O.: 0 x = 80 80 x = 0 gr 4 & tuz miktarı su miktarı F H c) Karışım miktarı = 80 gr + 0 gr = 400 gr. Tuz oranı %0 olan 60 gr tuzlu su karışımındaki tuz miktarı kaç gr dır?. Su yüzdesi %80 olan tuzlu su karışımındaki tuz yüzdesi kaçtır?. Şeker oranı %0 olan 80 kg şekerli su karışımındaki şeker miktarı kaç kg dır? 6. 60 gr tuz içeren tuzlu su karışımındaki tuz yüzdesi %0 ise karışımın miktarı kaç gr dır?. Un oranı % olan 40 gr un şeker karışımındaki şeker miktarı kaç gr dır? 7. 0 gr şeker içeren un - şeker karışımının un yüzdesi %80 ise karışımın miktarı kaç gr dır? 4. Alkol oranı %60 olan 400 gr alkol su karışımındaki su miktarı kaç gr dır? 8. 80 gr şeker içeren şekerli su karışımının su yüzdesi %7 ise karışımdaki su miktarı kaç gr dır? 48 ) ) 4 ) 80 4) 60 ) 0 6) 00 7) 70 8) 40
Aynı Cins Yüzdeli Karışımları Karıştırma KARIŞIM PROLEMLERİ Konu Özeti Yüzdeler: n + n = n Miktarlar: m m m + m n m + n m = n (m + m ) Şeker oranı %0 olan 0 gr şekerli su, şeker oranı %0 olan kaç gr şekerli su ile karıştırılırsa oluşan yeni karışımın şeker oranı %40 olur? Kullanılan yüzdeler aynı maddeyi belirtmelidir. ÇÖZÜM %0 luk karışımın miktarı m gr olsun, Tuz oranı %60 olan 0 L tuzlu su ile tuz oranı %0 olan 0L tuzlu su karıştırıldığında oluşan yeni karışımın tuz oranını bulunuz. ÇÖZÜM Son karışım tuz oranı %n olsun,. karışım. karışım Yeni karışım 644744 8 644744 8 64444 74444 8 % 60 0L + % 0 0L = % n ( 0L+ 0L) 600 + 600 = 0n 00 = 0n n = 40 bulunur.. karışım. karışım Yeni karışım 644 744 8 644744 8 64444744448 % 0 0 gr + % 0 mgr = % 40 ( 0 gr + mgr) 000 + 0m = 800 + 40m 000 800 = 40m 0m 00 = 0m m = 0 bulunur.. Tuz oranı %0 olan 0 L tuzlu su ile tuz oranı %0 olan 40 L tuzlu su karıştırıldığında yeni karışımın tuz oranın yüzde kaç olur? 4. Tuz oranı %40 olan L tuzlu su ile tuz oranı %0 olan kaç L tuzlu su karıştırılırsa oluşan yeni karışımın tuz oranı % olur?. Şeker oranı %40 olan 0 L şekerli su ile şeker oranı %0 olan 0 L şekerli su karıştırıldığında yeni karışımın şeker oranı yüzde kaç olur?. Şeker oranı %7 olan x gr şekerli su ile şeker oranı %8 olan y gr şekerli su karıştırıldığında yeni karışımın x şeker oranı % oluyor. una göre oranı kaçtır? y. Alkol yüzdesi %60 olan 00 gr alkol su karışımı ile alkol yüzdesi %0 olan 00 gr alkol su karışımı karıştırıldığında yeni karışımın alkol oranı yüzde kaç olur? 6. Şeker oranları %40 ve %60 olan iki meyve suyundan aynı miktarda alınıp karıştırıldığında oluşan yeni karışımın şeker oranı ne olur? ) ) 0 ) 7, 4) 7 ) 4 6) 0 49
HAREKET PROLEMLERİ Tren Geçişi: Direk Geçme / Tünel Geçme Konu Özeti (Trenin Direği Geçmesi) Konu Özeti (Trenin Tüneli Geçmesi) x Trenin direği geçmesi için alması gereken yol trenin boyu (x) kadardır. u tarz sorularda genellikle trenin hızı "km/sa" biriminde, boyu "m" biriminde, geçiş süresi "da" veya "sn" biriminde verilip gerekirse hareket bağıntısında birim uyumu için birim çevirme yapılır. x y Trenin tüneli geçmesi için alması gereken yol trenin boyu (x) ve tünelin boyu (y) kadardır. Hareket bağıntısı için birim çevirmeleri yapıp istenen birimde cevabı veriniz. Hızı 0 km/sa olan 00 m uzunluğundaki bir tren demir yolu kenarında duran bir kişiyi kaç sn de geçer? ÇÖZÜM Trenin kişiyi geçmesi için trenin boyu kadar yol aması gerekir. Geçişi süresi t saat dersek, hareket 00 bağıntısı için birim çevirisi 00 m = km dir. 000 00 km km 000 sa t = 0 & = 0 t & t = sa & t = 600sn = 6 sn de geçer. 0 0 sa = 600 sn Saatteki hızı 90 km olan bir tren 4 km uzunluğundaki bir tüneli dakikada geçtiğine göre trenin boyu kaç metredir? ÇÖZÜM Hız 90 km/sa olduğu için dakikayı saate çevirelim: da = 60 sa dır. Trenin boyuna x km dersek, alınacak yol 4 + x km dir. 9 4+ x = 90 & 4 + x = & 4 ( + x) = 9 & 60 6 8 + x = 9 x = 9 8 x = x = = 0, km dir. x = 0, km = 00 m bulunur.. Hızı 80 km/sa olan 00 m uzunluğundaki bir tren demir yolu kenarındaki duran aydınlatma direğini kaç saniyede geçer?. Hızı saniyede 40 m olan 0 m uzunluğundaki bir tren 40 m uzunluğundaki bir köprüyü kaç saniyede geçer?. Hızı 60 km/sa olan bir tren bir elektirik direğini saniyede geçiyor. una göre trenin uzunluğu kaç metredir?. 0 m uzunluğundaki bir tren 600 m/da hızla 70 m uzunluğundaki bir tüneli kaç saatte geçer?. 00 m uzunluğundaki bir tren bir direği 0 sn de geçtiğine göre bu tren saatte kaç km yol almaktadır?. Saatteki hızı 90 km olan bir tren 400 m uzunluğundaki bir tüneli dakikada geçtiğine göre trenin boyu kaç metredir? 78 ) 9 ) 0 ) 90 ) 9 ) 40 ) 600
İki Trenin Geçişi: Karşılıklı / Aynı Yönde HAREKET PROLEMLERİ Konu Özeti (İki Trenin Karışılıklı irbirini Geçmesi) y x V V Karşılıklı hareket eden iki trenin birbirini geçmesi için boyları toplamı (x + y) kadar yol almaları gerekir. x + y = (V + V ) t irimlere dikkat ediniz. karşılaşan hareketliler bağıntısı kullanılır. Konu Özeti (İki Trenin Aynı Yönde irbirini Geçmesi) y V Aynı yöne giden iki trenden hızlı olan diğerini yakaladıktan sonra geçmesi için boyları toplamı (x + y) kadar yol alması gerekir. x + y = (V V ) t x V yakalayan hareketliler bağıntısı kullanılır. Hızları 0 km/sa ve 60 km/sa olan iki trenin boyları 0 m ve 0 m dir. Farklı iki hattan birbirine doğru karşılıklı gelen trenler kaç saniye sonra tamamen birbirlerini geçerler? 0 ÇÖZÜM Yol; 0 m + 0 m = 0 m = km dir. 000 Geçiş süresi t saat olsun, 0 0 = ( 0 + 60) t & = 0 t & 000 000 6 00 t = = sa = 600 sn = = 8 sn 000 00 00 00 00 sa = 600 sn 80 km/sa ve 0 km/sa hızlarındaki iki trenin boyu 00 m ve 00 m dir. Farklı hatlardan aynı yöne giden bu iki trenden hızlı olan diğerini yakaladıktan kaç saniye sonra geçer? 00 ÇÖZÜM Yol; 00 m + 00 m = 00 m = km dir. 000 Geçiş süresi t saat olsun, 0 00 = ( 80-0) t & = 0 t & 0 0t = & 0 00 0 00t = & sa = 600 sn = 6 sn bulunur. 00 00. Uzunluğu 0 m, hızı saniyede 40 m olan bir tren, karşıdan gelen başka hattaki, uzunluğu 80 m, hızı saniyede 60 m olan treni kaç saniyede tamamen geçer?. Hızı saniyede 70 m, boyu 0 m olan bir tren farklı hattan aynı yöne giden hızı saniyede 40 m, boyu 90 m olan diğer treni yakaladıktan kaç saniye sonra geçer?. Hızları 40 km/sa ve 60 km/sa olan iki trenin boyları 00 m ve 0 m dir. Farklı iki hattan birbirine doğru karşılıklı gelen trenler kaç saniye sonra tamamen birbirlerini geçerler?. Hızı 00 km/sa olan 00 m uzunluğundaki bir tren, aynı yöne giden başka bir hattaki hızı 60 km/sa olan başka bir treni yakaladıktan 4 sn sonra geçebilmektedir. una göre yavaş olan trenin boyu kaç metredir? ) )9 ) 7 ) 00 79
HAREKET PROLEMLERİ Tur indirmeler / Nehirde Hareket Konu Özeti (Tur indirmeler) Konu Özeti (Nehirde Hareket) Kapalı bir şekildeki döngüsel hareketlerde ilk kez karşılaşmadan sonraki.,.,... gibi karşılaşmalarda her tur bindirmede kapalı şeklin çevresinin tur sayısı kadar katı yol alınır. Örnekle açıklayalım. V V V akıntı Nehirde hareket sorularında akıntı hızının hareketlerinin hızına etkisi gözardı edilmemelidir. Akıntı yönünde yol alanın hızı: "V + V akıntı " dır. Akıntıya karşı yol alanın hızı: "V V akıntı " dır. Hızları ortalama 400 km/sa ve 00 km/sa olan iki F aracı aynı anda yarışa başlıyor. Yarıştıkları pist 0 km olduğuna göre hızlı olan yavaş olana kaç saat sonra 0 kez tur bindirir? ÇÖZÜM Hızlı olan 0. kez tur bindirdiğinde yavaş olandan 0 kez fazladan pistin çevresini dolanmıştır. Yani t saatte 0 0 = 00 km fazladan yol alınır. 00 km = (400 00) t 00 = 00t t = saat bulunur. ir deniz motoru akıntı yönünde saatte aldığı 40 km lik yolu, dönüşte saatte alıyor. una göre nehirin akıntı hızı kaç km/sa dir? ÇÖZÜM Motorun hızı "V m ", akıntı hızı "V a " olsun, Akıntı yönünde: 40 = ( V + V ) V + V = 0...() i 0 m a & m a Akıntıya karşı: 40 = ( V - V ) V - V = 8...( ii) 8 m a & m a (i) ve (ii) ortak çözülürse: V m = 4 km/sa, V a = 6 km/sa. Hızı ortalama 00 km/sa ve 0 km/sa olan iki motosiklet aynı anda yarışa başlıyor. Yarıştıkları dairesel pist 0 km olduğuna göre hızlı olan yavaş olana kaç saat sonra kez tur bindirir?. Saatteki hızı 40 km/sa olan bir motor akıntıya karşı 90 km lik bir yolu saatte aldığına göre akıntının hızı saatte kaç km dir?. Çevresi 700 m olan çembersel bir pistte aynı noktadan zıt yönlere 00 m/da ve 0 m/da hızlarla koşan iki koşucunun. karşılaşmaları. karşılaşmalarından kaç dakika sonra gerçekleşir?. Durgun sudaki hızı 0 km/sa olan bir bot akıntı hızının km/sa olduğu bir nehirde bulunduğu noktadan 6 km uzaklığa gidip hiç durmadan geri dönecektir. una göre yolculuk kaç saat sürer?. D G H V A V E noktada olur? C F Şekildeki ACD karesinin kenarlarının orta noktaları E, F, G ve H noktalarıdır. A noktasından V ve V hızlarıyla harekete başlayan iki hareketli arasında V = V eşitliği olduğuna göre ikinci karşılaşmaları hangi. 90 km lik bir yolu akıntıya karşı 6 saatte gidip, saatte dönen bir motorun saatteki hızı kaç km dir? 80 ) ) 4 ) D ) 0 ) 0 ) 0
İki Ucu Yanan İp / Hareketin Grafik Yorumu HAREKET PROLEMLERİ Konu Özeti (İki Ucu Yanan İp) Konu Özeti (Hareketin Grafik Yorumu) İki ucundan yanan ip, her ucundan yanma hızına göre değerlendirilir. Örnekle açıklayalım, Grafikte okunan ölçeklere göre yol - zaman - hız değerleri tespit edilir. İki yarısı farklı kalınlıkta olan 4 m uzunluğundaki bir fitil her iki ucundan aynı anda yakılıyor. Ateşin ilerleme hızı fitilin ince tarafında saniyede m, kalın tarafında ise saniyede m olduğuna göre fitilin tamamı kaç saniyede yanar? ÇÖZÜM A C m m Fitilin ince tarafı önce yanıp biteceğinden, yol hız zaman @ D A Fitilin ince tarafı = t & t = 4 sn de yanıp biter. yol hız zaman D u sürede kalın taraftan yanan = 4 = 8 m Kalın tarafta kalan = 8 = 4 metre 4 m yol hız zaman H? m/sa m/sa 4 m = ( + ) t & t = sn de yanar. O halde fitilin tamamı = 4 + = sn de yanar. Sabit hızla hareket eden Yol (km) A ve araçlarının yol - zaman grafiği 60 yandaki gibidir. u iki araç aralarında 40 km 0 mesafe bulunan iki şehirden birbirlerine doğru aynı anda hareket A Zaman (saat) ederlerse kaç saat sonra karışılaşırlar? ÇÖZÜM Karşılaşma süreleri t saat olsun, 60 A aracı saatte 60 km yol alıyorsa hızı = = 0 km/ sa 0 aracı saatte 0 km yol alıyorsa hızı = = km/ sa O halde, 40 = (0 + ) t 40 = t & t = 4 bulunur.. İki yarısı farklı kalınlıkta olan 6 m uzunluğundaki bir fitil bir ucundan yakılıyor. Ateşin ilerleme hızı fitilin ince tarafından saniyede 6 m, kalın tarafında ise m olduğuna göre fitilin tamamı kaç saniyede yanar? Sabit hızla giden A ve hareketlilerinin yol - zaman grafiği şekildeki gibidir. Yol (m) A 90 0 Zaman (dakika). ir yarısı ince diğer yarısı kalın olan m uzunluğundaki bir ip her iki ucundan aynı anda yakılıyor. Ateşin ilerleme hızı ipin ince tarafında saniyede m, kalın tarafında ise saniyede m olduğuna göre ipin tamamının yanması kaç saniye sürer? una göre aşağıdaki soruları cevaplayınız?. u iki hareketli aralarında m mesafe bulunan iki şehirden birbirlerine doğru hareket ederse kaç dakika sonra karşılaşırlar?. u iki hareketli çevre uzunluğu 60 m olan çembersel pistte aynı noktadan aynı anda ve aynı yönde hareket ederlerse kaç dakika sonra ilk kez yanyana gelirler? ) 9 ) ) ) 4 8
HAREKET PROLEMLERİ Saat Problemleri Konu Özeti 0 6 Saatin uzun kolu yelkovan, kısa kolu akreptir. Ardışık iki saat arası 60 = 0 Ardışık iki dakika arası 0 = 6 60 dakikada 0 yol alan akrep dakikada 0 o = c m, yelkovan 6 yol alır. 60 Saat problemleri yukarıdaki ifadeler yardımıyla oluşturulan aşağıdaki bağıntı ile rahatlıkla çözülür. Akrep ile yelkovan. dakika 60. saat = arası açı Saatin olduğu durumlarda bağıntıda saat yerine "0" yazılır. Saat :0 da akrep ile yelkovan arasındaki açı kaç derecedir? ÇÖZÜM Dakika = 0 Saat = bağıntıda yerine 4 koyalım. Akrep ile yelkovan = arası açı 0-60 = 0 = = bulunur. 0-00. Saat 6:00 da akrep ile yelkovan arasındaki küçük açı kaç derecedir? 4. Saat ten en az kaç dakika sonra akrep ile yelkovan arasındaki açı 0 olur?. Saat 9:0 da akrep ile yelkovan arasındaki küçük açı kaç derecedir?. Saat 6 dan kaç dakika sonra akrep ile yelkovan üst üste gelir?. Saat :0 da akrep ile yelkovan arasındaki küçük açı kaç derecedir? 6. Yelkovan uzunluğu 4 cm olan bir saatin, yelkovan ucu saat :00 den :0 ye kadar kaç cm yol alır? 8 ) 0 ) 0 ) 6 0 4) 60 ) 6) 8 π
İŞÇİ - HAVUZ PROLEMLERİ İş Kavramı Konu Özeti İş ve havuz problemlerinde birim zamanda yapılan iş üzerinden işlemler yapılır. Havuz problemlerinde musluklar işçi gibi düşünülür. ir musluk bir havuzun tamamını 0 saatte dolduruyorsa, a) u musluğun çalışma hızı nedir? b) u musluk 4 saatte havuzun ne kadarını doldurulur? irim zamanda yapılan iş çalışma hızı olarak kabul edilirse, hız bağıntısı iş problemlerine uygulanabilir. Örneğin, bir işçi bir işi a günde yaparsa, İşçinin birim zamanda yaptığı iş (hızı) dır, a yol hız zaman 64748? @ t sürede yapılan iş = t a Yapılan işin tamamı aksi belirtilmediği sürece "" olarak alınır. ÇÖZÜM İşin yani havuzun tamamını "" alırsak, a) irim zamanda yapılan iş (çalışma hızı) = 0 dur. yol hız zaman 64748 A b) Yapılan iş = 4 0 4 = = 0 Yani 4 saatte havuzun si dolar. dir.. ir musluk bir havuzun tamamına 6 saatte dolduruyor. una göre musluğun birim zamanda (saatte) yaptığı iş nedir?. ir musluk bir havuzun tamamını saatte dolduruyor. una göre bu musluk 6 saatte işin kaçta kaçını bitirir? 6. irim zamanda (saatte) boş havuzun 0 sini dolduran. ir işçi bir işi günde tamamlamaktadır. una göre işçinin birim zamanda (günde) yaptığı iş nedir? bir musluk saatte havuzun kaçta kaçını doldurur?. irim zamanda (günde) bir işin 0 unu yapan bir işçi işin tamamını kaç günde yapar? 7. günde 40 ayakkabı yapan bir ayakkabı ustası 8 günde kaç ayakkabı yapar? 4. ir işçi bir işin tamamını tek başına günde bitirebilmektedir. una göre bu işçi 4 günde işin kaçta kaçını bitirir? 8. ir musluk 00 litre su alan bir havuzu 6 saatte doldurmaktadır. Havuz boşken açılan musluk 0 saat açık bırakılırsa havuzdan kaç litre su taşar? 96 ) 6 ) ) 0 4) ) 6) 4 7) 64 8) 00
İş Miktarı - Zaman İlişkileri / Kesirli İş Miktarı İŞÇİ - HAVUZ PROLEMLERİ Konu Özeti (İş Miktarı) Konu Özeti (Kesirli İş Miktarı) irim zamanda yapılan iş (çalışma hızı) tespit edilerek iş bağıntısı kullanılır. İş = Çalışma Hızı Zaman irim zaman için gerekirse birim çevirmeleri yapılır. gün = 4 saattir. ir işin kesrinin yapılma süresi verildiğinde iş bağıntısı ile ya da iş bağıntısından elde edilen aşağıdaki çıkarım ile işin tamamının yapılma süresi kolayca bulunur. a v ir işin si t sürede yapılırsa, b b bu işin tamamı t sürede yapılır. a ir işçi bir işi 0 günde yapıyorsa, a) İşin sini kaç günde yapar? b) 60 saate işin ne kadarını yapar? ÇÖZÜM İşin tamamına dersek, a) Günlük çalışma hızı = 0 dur, iş hız zaman A D @ O halde, = t & = t & t = 4 bulunur. 0 b) gün = 4 saat 0 gün = 40 saattir. Saatlik çalışma hızı = dır. 40 O halde, 60 saatte yapılan iş = 60 60 = 40 4 0 = i 4 4 kadardır. ir işçi, bir işin sini 8 günde yaparsa, a) İşin tamamını kaç günde yapar? b) İşin kalanı kaç günde yapar? ÇÖZÜM İşçi, işin tamamını a günde bitirirse, çalışma hızı a dır. İş = Çalışma Hızı Zaman bağıntısından, iş hız zaman?? @ 4 8 a) = 8 & = & a = 4 & a = bulunur. a a Pratik yol: İşin si 8 günde yapılırsa, tamamı 8 = günde yapılır. b) İşin tamamı "" alınırsa, ü yapıldıktan sonra işin, - = ü kalır. Çalışma hızı olduğundan, iş hız zaman? A @ t = t & = & t = 4 t = 4 bulunur. 4. ir öğrenci bir testi 0 dakikada çözerse bu testin ünü kaç dakikada çözer?. ir musluk bir havuzun yarısını 7 saatte doldurursa tamamını kaç saatte doldudur?. ir çiftçi, bir tarlayı günde çapalamaktadır. u çiftçi 0 saatte tarlanın ne kadarını çapalar?. ir boyacı bir evin sini 0 saatte boyarsa evin tamamını kaç saatte boyar?. Günde 8 saat çalışarak günde 4 sandık çakan bir çırak saatte kaç sandık çakar?. ir inşaat firması elindeki projenin ünü 4 günde bitirdiğine göre işin kalanını kaç günde bitirir? ) 8 ) 6 ) 90 ) 4 ) ) 0 97
İŞÇİ - HAVUZ PROLEMLERİ irlikte İş Yapma Konu Özeti ir işin tamamını. işçi a saatte,. işçi b saatte yapıyorsa işçilerin çalışma hızları sırasıyla ve dir. O a b halde, birlikte çalışma hızı c + m olur ve iş bağıntısından aşağıdaki durum elde a b edilir. (Musluk Problemi) A 00 L yol hız zaman 64748 H @ Yapılan iş = c + m t a b Havuz problemlerinde, havuzu dolduran musluk, işçi gibi düşünülerek aynı bağıntı kullanılır. Şekildeki 00 L lik havuzu A musluğu tek başına saatte, musluğu tek başına 6 saatte doldurmaktadır. Havuz boşken iki musluk birden açılıp saat sonra her ikisi de kapatılırsa havuzun kaç L si boş kalır? ir işi Ali günde, Veli 6 günde yapabiliyor. İkisi birlikte çalışırsa işin tamamını kaç günde bitirirler? ÇÖZÜM İşin tamamını "" alalım, Ali'nin çalışma hızı = Veli'nin çalışma hızı = 6 İş birlikte bitirme süresi t gün olsun, iş hız zaman? 6 4748 @ O halde, = f + t & = c + t & 6 p m 6 6 ( ) t = t & = & t = & t = gün bulunur. 6 ÇÖZÜM İşin tamamı "00 L lik havuz" ise, 00L A nın akma hızı = = 60Lsa / dır. sa 00L nin akma hızı = = 0Lsa / dır. 6 sa irlikte hız zaman 6447 48 Yapılan iş = ( 60 + 0) Yapılan iş = 0 = 0 L dir. oş kalan = 00 L 0 L = 80 L dir. Ahmet bir işi tek başına günde, Mustafa ise aynı işi tek başına 6 günde yapabilmektedir. una göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.. İkisi birlikte günde işin kaçta kaçını yaparlar? 4. oş bir havuzu tek başına 9 saatte, saatte ve 8 saatte dolduran üç musluk birlikte açılırsa havuz kaç saatte dolar?. Ahmet tek başına 4 gün, Mustafa tek başına 6 gün çalışırsa işin kaçta kaçı biter?. İkisi birlikte işi kaç günde bitirirler?. 0 L lik bir havuzu iki musluktan birincisi tek başına 0 saatte, ikincisi tek başına 6 saatte doldurmaktadır. Havuz boş iken iki musluk birlikte açılıp saat sonra kapatılırsa havuzun kaç L si boş kalır? 98 ) ) ) 9 4) 4 ) 0
Negatif İş İŞÇİ - HAVUZ PROLEMLERİ Konu Özeti Olması istenen işin olmaması yönde çalışan işçi negatif iş yapar. Örneğin, havuz doldurulurken boşaltan musluk negatif iş yapar. (Dolan Havuz) Şekildeki havuzu A musluğu A tek başına saatte doldurmakta, musluğu tek başına saatte boşaltmaktadır. İki musluk birlikte açıldığında havuzun tamamı kaç saatte dolar? ÇÖZÜM Havuzun tamamına "", birlikte havuzun dolma süresine t dersek, Akma hızları: A nın =, nin = tür. Dolması istenen havuzda boşaltan musluk negatif iş yapar. O halde, iş hız zaman? 644744 8? = t f - & t & t & t 6 p = c - m = = saat 6 6 6 ( ) ( ) (oşalan Havuz) Şekildeki havuzun tamamını A musluğu tek başına 8 saatte doldurmakta, musluğu dolu havuzu tek başına 4 saatte boşaltmaktadır. Havuz dolu iken iki musluk birden açıldığında kaç saatte boşalır? ÇÖZÜM Havuzun tamamı "" alalım, Akma hızları: A nın = 8, nin = 4 tür. oşalması istenen havuzda dolduran musluk negatif iş yapar. irlikte boşaltma süresi "t" olsun, iş hız zaman A 6 4748 A O halde, = - t f & 4 8 p ( ) = c - m t & 8 8 = t & t = 8 & t = 8 saat bulunur. 8 A. oş havuzu A musluğu tek başına 6 saatte doldurmakta, havuzun dibindeki bir musluğu ise dolu havuzun tamamını tek başına 8 saatte boşaltmaktadır. İkisi aynı anda açıldıktan 4 saat sonra havuzun kaçta kaçı dolar?. Dolu bir havuzun dibinde bulunan iki musluktan birincisi bu havuzu tek başına saatte, ikincisi ise aynı havuzu tek başına 4 saatte tek başına boşaltmaktadır. Havuz dolu iken iki musluk aynı anda açılırsa havuz kaç saatte boşalır?. oş bir havuzu bir musluk tek başına 6 saatte doldurmaktadır. Havuzun dibindeki boşaltan iki musluk da sırasıyla tek başlarına 4 saatte ve 48 saatte dolu havuzu boşaltmaktadır. una göre üç musluk aynı anda açılırsa boş havuz kaç saatte dolar? 4. A Şekildeki havuzu A musluğu tek başına 8 saatte doldurmakta, musluğu dolu havuzu tek başına 6 saatte boşaltmaktadır. Dolu havuz, iki musluk birden açıldığında kaç saatte boşalır? ) 9 4 ) 9,6 ) 8 4) 9 99
İŞÇİ - HAVUZ PROLEMLERİ irlikte Yapılan İşte: Tek aşına İş / Geriye Kalan İş Konu Özeti (Tek aşına İş) Konu Özeti (Geriye Kalan İş) ir işin birlikte yapılma süresi belliyse tek başına yapılan işin süresi iş bağıntısından elde edilir. ir işin tamamını yapacak kadar süre kullanılmazsa, işin bir kısmı yapılmadan kalır. ir işi Edi ile üdü birlikte günde bitiriyor. Edi bu işi yalnız başına 6 günde yapabildiğine göre üdü aynı işi yalnız başına kaç günde bitirir? ÇÖZÜM Edinin işi tek başına bitirme süresi 6 olduğuna göre çalışma hızı dir. üdü'nün işi tek başına 6 bitirme süresine b dersek çalışma hızı olur. b O halde birlikte c + m = & 6 b 6 + = & = - & b b 6 ( ) ( ) - = = = & = & b = bulunur. b 6 b 6 b ir işi,. işçi tek başına 8 saatte,. işçi tek başına saatte bitirebilmektedir.. işçi saat,. işçi saat çalışırsa işin ne kadarı kalır? ÇÖZÜM. işçinin çalışma hızı = 8,. işçinin çalışma hızı dir. O halde,. işçinin. işçinin yaptığı iş yaptığı iş C F Yapılan iş = + = 8 4 8 + = = 4 4 Kalan iş = - = yani işin yarısı kalmıştır. dir.. Engin bir işi tek başına 4 günde bitiriyor. Aynı işi Taner ile birlikte günde bitirebildiklerine göre Taner bu işi tek başına kaç günde bitirir?. ir havuzu A musluğu tek başına 6 saatte, musluğu ise tek başına 8 saatte dolduruyorlar. A musluğu saat, musluğu saat açık kalırsa havuzun kaça kaçı boş kalır?. oş bir havuzu bir musluk 8 saatte doldurmakta havuzun dibindeki diğer musluk ise x saatte boşaltmaktadır. İkisi birlikte açıldığında havuz 0 saatte dolduğuna göre x kaçtır?. A Şekildeki havuzu A musluğu tek başına saatte dolduruyor. Havuz dolu iken musluğu tek başına 6 saatte boşaltıyor. una göre havuz boşken A musluğu saat, musluğu 4 saat açık kalırsa havuzun ne kadarı dolar?. Ahmet, Mehmet ve Veli bir işi beraber 6 günde bitiriyorlar. Ahmet ile Mehmet aynı işi 9 günde bitirdiğine göre Veli tek başına bu işi kaç günde bitirir?. A Şekildeki havuzu A musluğu tek başına 6 saatte, musluğu tek başına 9 saatte C dolduruyor. Havuz dolu iken C musluğu tek başına 8 saatte boşaltıyor. una göre havuz boş iken A musluğu saat, musluğu saat ve C musluğu 6 saat açık kalırsa havuzun ne kadarı boş kalır? 00 ) ) 40 ) 8 ) ) 6 )
Yüzde Problemleri KONU TESTİ - Ç -. ir kırtasiyeci elindeki kalemlerin %'ini sattığında 60 taneden fazla, %0'sini sattığında ise 68 taneden daha az kalem kalmaktadır. una göre, kırtasiyecinin elindeki kalem sayısı en çok x, en az y olduğuna göre x + y toplamı kaçıtır? 4. ir depoda bulunan elma ve armutların ağırlıkları toplamı 80 tondur. Elmaların %'si, armutların %40'ı çürümüştür. Sağlam elma ve armutların ağırlıkları toplam 6 tondur. una göre, depoda kaç ton sağlam elma vardır? A) 6 ) 64 C) 6 D) 6 E) 6 A) 4 ) 48 C) 44 D) 40 E) 4. ir çiftçi, elindeki fındıkların önce %'ini, daha sonra. A sınıfındaki öğrencilerin %60'ı, sınıfındaki öğrencilerin %4'i kızdır. İki sınıftaki öğrenci toplamının %0'si kızıdır. una göre, A sınıfındaki öğrenci sayısının sınıfındaki öğrenci sayısına oranı kaçtır? da kalanın %40'ını satıyor. Son durumda çiftçinin elinde 8 ton fındık kaldığına göre, çiftçi kaç ton fındık satmıştır? A) 6 ) 8 C) 0 D) E) A) 4 ) C) D) E) 4. ir kuruyemişci fındık, fıstık ve leblebileri karıştırarak elde ettiği kuruyemişleri, ve kiloluk paketler halinde satmaktadır. Her bir paketteki kuruyemişlerin %0'u fındık, %0'si fıstık ve %0'si leblebiden oluşmaktadır. una göre, kg lık paketteki fıstık ve kg lık paketteki fındık miktarının toplamı kg lık paketteki leblebi miktarının yüzde kaçıdır? A) 4 ) 6 C) 8 D) 0 E) 6. ir çiçekçideki güllerle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir. Güller 0 lu ve li demetler halinde satılmaktadır. 0 lu demetlerin sayısı, li demetlerin sayısının %0'sidir. Satılan toplam gül demetlerinin sayısı 0'dur. 0 lu demetlerin satış fiyatı li demetlerin satış fiyatının %80'idir. u güllerin tamamını satarak 60 TL elde eden çiçekçi, 0 lu demetlerin tanesini kaça satmıştır? A) 6 ) 40 C) 4 D) 48 E) 4
Ç - 7. Şen Market, halk günlerinde yaptığı indirim ile ilgili Ürün şekildeki tablonun bulunduğu broşürü dağıtmıştır. u marketten 0 TL lik giyecek, yiyecek ve temizlik ürünü alan Cem İndirim yüzdesi Giyecek 0 Yiyecek Temizlik 7, TL lik indirim kazanmıştır. Cem yiyeceğe 4 TL ödediğine göre giyeceğe, temizlik ürünlerinden kaç TL fazla ödemiştir? A) 4 ) 0 C) D) 60 E) 6 9. Aşağıdaki grafikte yeni açılan bir internet sitesinin ziyaretçi sayısının bir önceki güne göre değişimi yüzde olarak verilmiştir. Değişim (%) 0. gün Günler. gün 4. gün u internet sitesini. gün 7 kişi ziyaret ettiğine göre ziyaretçi sayısının ilk 4 günlük ortalaması kaçtır? A) 7 ) 76, C) 78,0 D) 80 E) 8, 8. Aşağıdaki doğrusal grafikte başlangıçta içinde x m su bulunan bir havuzdaki su miktarının zamana göre değişimi gösterilmiştir. x 00 Su miktarı (m ) O 4 Zaman (saat) u havuzda su boşalmaya başladıktan 4 saat sonra havuzdaki suyun %'i boşaldığına göre 6 saat sonra havuzdaki su miktarı kaç m tür? A) 40 ) 0 C) 60 D) 70 E) 80 0. Yolcu sayısı Doluluk Oranı (%) A firması %80 firması %7 Şekildeki tabloda iki şehir arası sefer düzenleyen A ve firmalarının bir hafta boyunca taşıdıkları yolculara göre otobüslerin doluluk oranı verilmiştir. ir haftada toplam 4000 yolcu iki şehir arasında yolculuk etmiş ve bunlardan %40'ı A, geri kalanı firması ile seyahat etmiştir. una göre, otobüsler tam kapasiteyle sefer düzenleyebilseler her iki firma ile toplam kaç kişi seyahat edecekti? A) 4400 ) 4600 C) 4800 D) 000 E) 00 4. A.. E 4. C. D 6. A 7. C 8. 9. 0. E
Hareket Problemleri KONU TESTİ -. A kentinden kentine gitmek için aynı anda yola çıkan iki otomobilden birincisi saatte x km, ikincisi de saatte y km hızla gidiyor. İkinci otomobil kentine saat önce vardığına göre, A ve kentleri arası kaç km dir?. Hızları farkı km/sa olan iki hareketli, aynı anda aynı noktadan zıt yöne doğru harekete başlıyorlar. Hareketlerinden 40 dakika sonra aralarındaki uzaklık 0 km olduğuna göre, hızlı giden hareketlinin hızı kaç km/sa'dir? A) y- x xy ) x+ y xy C) ( x+ y) xy A) 0 ) 4 C) 40 D) 6 E) 0 xy D) y - x E) xy ( y- x). A 4V V 6. ir araç yarısını saatte 0 km hızla, kalan yarısını saatte 0 km hızla aldığı yolu 40 km hızla dönmüştür. Saatteki hızları 4V ve V olan iki araç A noktasından aynı anda noktasına doğru harekete başlamıştır. Hızı düşük olan araç öbüründen saat geç noktasına vardığına göre, hızı fazla olan araç noktasına kaç saatte gitmiştir? una göre, bu aracın hareketi boyunca ortalama hızı kaç km'dir? A) 8 ) 0 C) D) E) 8 A) 6 ) 7 C) 8 D) 9 E) 0. Şekildeki ACD dik yamuk D 60 m C biçimindeki yürüyüş parkurunda A köşesinde bulunan iki kişiden biri ye V doğru dakikada V metre sabit hızla, öteki D ye doğru A V V metre sabit hızla aynı anda harakete başlıyor ve ilk kez C noktasında karşılaşıyorlar. AD = C ve DC = 60 m olduğuna göre, C uzunluğu kaç m dir? A) 80 ) 00 C) 0 D) 0 E) 00 7. II. Araç I. Araç A 00 km C Şekildeki I. araç II. araçtan saat sonra yola çıkmıştır. II. aracın hızı I. aracın hızından 60 km/sa fazla olduğuna ve toplam 4 saatte I. arabaya yetiştiğine göre, II. aracın hızı kaç km/sa dir? A) 0 ) 0 C) 0 D) 00 E) 90 4. 80 km/sa 0 km/sa A C Saatteki hızı 80 km olan bir araç A noktasından, saatteki hızı 0 km olan başka bir araç ise noktasından aynı anda birbirlerine doğru hareket ediyor. u iki araç C noktasında karşılaştıktan 9 saat sonra A'dan hareket eden araç 'ye varıyor. una göre A noktasından hareket eden araç hareketinden kaç saat sonra 'ye varmıştır? 8. A ve şehirlerinden hızları sırası ile 40 km/sa ve V km/sa olan iki hareketli birbirine doğru aynı anda yola çıkıyor ve saat sonra karşılaşıyorlar. A'dan hareket eden yola devam ediyor ve 6 saat sonra şehrine varıyor. una göre, V hızı kaç km/sa dır? A) 0 ) 60 C) 70 D) 80 E) 90 A) ) 6 C) 7 D) 8 E) 0 4
Hareket Problemleri KONU TESTİ - 4. Asfalt yol Aynı anda çalışmaya başlayan toprak ve kayalık zemin üzerindeki iki petrol sondaj makinasının aynı de- A 0 km Arazi Ceviz ağacı C km rinlikteki petrole ulaşmaları sırasıyla gün ve 4 gün sürmektedir. (Sondaj makineleri petrole ulaşana kadar aralıksız çalışmaktadır.) Şekilde A noktasında bulunan Ahmet arazi bisikletiyle C noktasında bulunan ceviz ağacına ulaşmak istiyor. Ahmet bisikletiyle arazide saatte 9 km yol almaktadır. Ahmet A noktasından C noktasına bir doğru boyunca gittiği sürede, A noktasından noktasına ordan da C noktasına gitmek istiyor. TOPRAK PETROL KAYALIK Şekilde verilenlere göre, Ahmet'in asfalt yoldaki hızı kaç km/sa olmalıdır? (Asfalt yol doğrusaldır.) una göre 4. ve. soruları cevaplayınız. A) 0 ) C) 4 D) 6 E) 8 4. Toprak zemindeki sondaj makinasının indiği derinlik petrole kalan mesafenin 'ü iken, kayalık zemindeki sondaj makinası inmesi gereken toplam derinliğin yüzde kaçına erişmiştir?. ir su motoru akıntı yönünde aldığı yolu dönüşte %0 daha fazla sürede alıyor. A) 0 ) 4 C) 40 D) E) 0 akıntı una göre nehrin akıntı hızının motorun durgun sudaki hızına oranı nedir? A) ) C) D) E). Sondaj makinaları çalışmaya başladıktan kaç gün sonra petrole kalan mesafelerinin oranı 'tür? Ç - 6 A) 0, ) C), D) E),. A ve noktasındaki iki araç birbirine doğru aynı anda hareket ediyor. Hızlı olan araç 80 km yol aldığında yavaş olan araç yolun yarısını almış oluyor. Yavaş olan aracın yolunu tamamlamasına 4 km varken hızlı olan aracın kalan yolu aldığı yolun beşte biri kadardır. una göre A ve noktaları arası kaç km'dir? A) 0 ) 80 C) 00 D) 0 E) 40 4
İşçi-Havuz Problemleri KONU TESTİ - 7 Ç -. ir yolu, saatte a km asfaltlayan bir makine saatte, a saatte km asfaltlayan başka bir makine ise 8 saatte asfaltlayabilmektedir. una göre, bu yol kaç km'dir? A) ) 4 C) D) 6 E) 7 4. ir lokantanın limonata akıtan L musluğu ile, vişne suyu akıtan V musluğu hakkında aşağıdakiler bilinmektedir. Limonata L V Vişne suyu Limonatanın şeker oranı %, Vişne suyunun şeker oranı %'dir.. ir seviye belirleme sınavında, Ahmet soruların yarısını bitiridiğinde Mehmet 0 soru çözüyor. Mehmet soruların yarısını bitirdiğinde Ahmet 4 soru çözüyor. una göre, bu sınavda kaç soru vardır? A) 0 ) 4 C) 60 D) 7 E) 90 oş bir sürahiyi L ve V muslukları sırasıyla 4 ve 8 dakikada doldurabilmektedir. Gelen bir sipariş üzerine bir sürahi karışık meyve suyu hazırlamak için, önce V musluğu dakika açılıyor, sonra L musluğu da açılarak iki musluk birlikte dakika akıtılıp kapatılıyor ve kalan kısım şekersiz su ile dolduruluyor. una göre, hazırlanan karışık meyve suyunun şeker oranı yüzde kaçtır? A) ) 8 C) 0 D) 4 E) 8. A. Fatma bir işe başlayıp, saat çalıştıktan sonra I II III Çiğdem ile birlikte saat daha çalışırlarsa işin 'ini tamamlıyorlar. Eğer Çiğdem işe başlayıp saat sonra Fatma ile birlikte saat daha çalışırlarsa işin 4 'i kalıyor. una göre, bu işin tamamını Fatma tek başına kaç günde yapar? A) ) 0 C) D) 0 E) Şekildeki balık çiftliğinin I. havuzu A musluğundan akan su ile, III. havuzu musluğundan akan su ile, II. havuz da I. ve III. havuzlardan taşan su ile dolmaktadır. Havuzların hacmi sırasıyla V, 0V ve V'dir. I. havuz A musluğu ile saatte, III. havuz musluğu ile saatte dolduğuna göre, musluklar 6 saat aktığında II. havuzun yüzde kaçı dolar? A) 0 ) 60 C) 70 D) 80 E) 90