Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 13 Mayıs Matematik Sorularının Çözümleri

Transkript

1 Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 1 Mayıs 01 Matematik Sorularının Çözümleri 1. 9! 8! 7! 9! + 8! + 7! 7!.( ) 7!.( ) , π, π π,14 olduğuna göre, Tabanları aynı, üsleri farklı olan üslü doğal sayılarda, üssü küçük olan sayı daha küçük olduğundan, π < 4 π < 4 Tabanları farklı, üsleri aynı olan üslü doğal sayılarda, tabanı küçük olan sayı daha küçük olduğundan, < π < π Buna göre, π < π < 4 olur.

2 . I. Yol 5 < x < 6 ( 5)² < x ² < ( 5 < x ² < 6 6)² Seçeneklerden x yazılırsa, 5< < 6 5 < < < 5, < 6 olur. II. Yol 5 < x < 6 5 ve 6 ifadeleri hesaplanırsa, olarak bulunur < x < < x <,< x <, 4 5 5,0< x <, 40 7 x,... olabilir. Not : Bir x pozitif tam sayısının karekökü yaklaşık olarak aşağıdaki yöntemle bulunuyor : x sayısından küçük en büyük tam kareyle x sayısından büyük en küçük tam kare bulunuyor. Bu sayılardan ilki a, ikincisi b olarak adlandırılıyor. x a x sayısının karekökü x a + formülüyle bulunuyor. b a

3 ? (mod 10) 1? (mod 10) 1 (mod 10) 9 (mod 10) 7 (mod 10) 4 1 (mod 10) ( ). 1. (mod 10) 14? (mod 10) 1 (mod 10) 4 (mod 10) 8 (mod 10) 4 6 (mod 10) 5 (mod 10) 6 4 (mod 10) 7 8 (mod 10) 8 6 (mod 10) 14 4 ( ) (mod 10) Buna göre, (mod 10) 5. k bir pozitif tam sayı olmak üzere, 5k 7k + 5k 7k 15k+ k k 6 k 6 için 9k ifadesi en küçük değeri alacağından, sonuç 9 bulunur. 6

4 6. x ve y pozitif tam sayıları için x y 9 olduğuna göre, I. x bir tek sayıdır. II. y bir tek sayıdır. III. x > y dir. ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur? x y 9 x 9+ y x 9+ y Çift sayıdır. x in tek sayı veya çift sayı olması eşitliğin çift sayı olmasını değiştirmeyeceğinden, x her zaman tek sayı değildir. x 9+ y Çift sayı Tek sayı + Tek sayı olduğundan, y bir tek sayıdır. x y 9 x 9+ y x 10, y 11 x < y x 5, y 1 x > y olduğundan, x > y her zaman doğru değildir.

5 7. a < b < c olmak üzere, 5 a. b. c ( ) a daima pozitif olacağından, b negatif ise b.c 5 negatif olur. 5 c pozitif olur ki c bu durumda pozitif olur. b negatif olduğundan b negatif olur. Bu durumda : b < c a daima pozitif olduğundan, a pozitifte olabilir, negatifte olabilir. Lakin a < b < c olacağından a negatif olur. a negatif ( ) b negatif ( ) c pozitif ( + ) 8. x² y² + xy³ x³ y xy³ xy.( xy xy.( x² + y²) y²) y.( x+ y) ( x y).( x+ y) y ( x y) 9. a, b ve c gerçel sayılar olmak üzere, a + b + c 0 ab + bc b.(a + c) a + c b olacağına göre, b.( b) b² b² olur.

6 10. ( a n ) sayı dizisi a n 1 a n 1,, n 1 ise n ise a + a a 4 a 1+ a a a + a a 1 a + a a 1 1 a + 1 a 1 a 1+ a.1+.(a ) 1 + 4a f(x) x³ x g(x) x³ + x h(x) f(x) + g(x) h(a) f(a) + g(a) 4 f(a) + g(a) (a³ a) + (a³ + a) 4 a³ 8 a³ a

7 1. x ve y birer gerçel sayı olmak üzere, x + x 5 y + 6 y Eşliklerin kareleri alınırsa, bu eşitlikler daima pozitif olacağından, ( x + )² ( x 5 )² x² + 6x + 9 x² 10x x 16 x 1 ( y + )² ( 6 y )² y² + 4y y + y² 16y y Buna göre, x + y 1 + elde edilir. 1. A { a, b, c, d, e, f, g } kümesinin elemanları kullanılarak biri elemanlı, diğeri 4 elemanlı iki ayrık küme oluşturulmak isteniyor. Buna göre, a ve b elemanları aynı kümede bulunmayacak biçimde, bu iki küme kaç farklı şekilde oluşturulabilir? a ve b yi bir kenara ayıralım. Geriye kalan 5 elemandan elemanlı alt kümeleri seçilirse, C(5, ) 5! (5 )!.! 10 ve Geriye kalan 5 elemandan elemanlı alt kümeleri seçilirse, C(5, ) 5! (5 )!.! 10 Bu alt kümelere a veya b eklenirse; farklı şekilde oluşturulabilir.

8 14. Bir torbada beyaz ve 4 kırmızı top vardır. Bu torbadan aynı anda rastgele çekilen iki toptan en az birinin beyaz olma olasılığı kaçtır? (1 beyaz + 1 kırmızı) olma olasılığı ! (7 )!.! 7 4 (1 beyaz + 1 beyaz) olma olasılığı 7 7! (7 )!.! 7 1 Buna göre, istenen olasılık elde edilir a0 b c4 d6 e8 (a + 0) + (b + ) + (c + 4) + (d + 6) + (e + 8) 4 a + b + c + d + e 14 Onlar basamağındaki rakamların toplamı 14 olacağına göre, olur ki, bu sayıların en küçüğü 8 olur.

9 16. A + B + E 550 A B B B.E E (B + 100) + B + B 550 5B 900 B 180 TL 17. Kovanın hacmi h litre olsun. A musluğu 5 dakikada a litre su akıtıyorsa 4 dakikada h 5. h 4. a h B. musluğu a dakikada 16 dakikada h 4a 5 5 litre su akıtıyorsa 80 h. a 16.5 h a h 4 a 80 a 10 5 a h 8 litre

10 18. Binadaki kat sayısı x olsun. Binadaki pencere sayısı x Toplam pencere sayısı 18 x. x x ² 64 x 8 Binadaki kat sayısı x.8 16 bulunur. 19. Kutudaki yumurta sayısı x olsun. 7,5 TL 750 kuruş x Kar 4 kutunun satışından 6 TL kar elde ederse 1 kutunun satışından a a a 1,5 TL kar elde eder. 1,5 TL 150 kuruş x x 0

11 0. Saatteki hızı 60 km olan bir tren, uzunluğu 40 metre olan bir tünele giriyor. Lokomotif tünele girdikten 0 saniye sonra trenin son vagonu tünelden çıkıyor. Trenin boyu x metre olsun v tren 60 km / saat 60. metre / saniye m / sn 6 x x 80 metre elde edilir. 6

12 1. Ankara da bu filmi izleyen seyirciler, toplam seyircilerin yüzde kaçıdır? Seyirci sayısı Yüzdesi Adana 1 Ankara 750 x Bursa Đstanbul Đzmir Toplam 100 % 18 i 700 kişi ise % x i 750 kişi x x 5

13 . Đstanbul da bu filmi izleyen seyirci sayısı, Bursa da izleyenlerin katıdır. Buna göre, Bursa da bu filmi izleyen seyirci sayısı kaçtır? Seyirci sayısı Yüzdesi Adana y Ankara 750 Bursa X Đstanbul X Đzmir Toplam z % 18 i 700 kişi ise % 1 si y kişi y y 1800 % 18 i 700 kişi ise % 100 ü z kişi z z Toplam seyirci sayısı : X + X ise X 6750 X 50 kişi

14 . Her bir n pozitif tam sayısı için A n açık aralığı A n ( n,n) biçiminde tanımlanıyor. Bu açık aralıkta bulunan tam sayıların sayısı ise T A ) ile gösteriliyor. Örnek : A açık aralığı (, 6) ve T A ) 8 dir. ( ( n T ( A6 )? A 6 açık aralığı ( 6, 1) { 5, 4,,, 1, 0, 1,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} Buna göre, T A ) 17 olur. ( 6 4. T A 5 \ A )? ( A 5 açık aralığı ( 5, 10) { 4,,, 1, 0, 1,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A açık aralığı (, 4) { 1, 0, 1,, } A 5 \ A { 4,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Buna göre, T A 5 \ A ) 9 bulunur. (

15 5. Asal çarpanlarına ayrıldığında her bir asal çarpanının kuvveti 1 olan pozitif tam sayıya karesiz sayı denir. Örnek : 0 sayısı, asal çarpanlarına 0 ¹.¹.5¹ biçiminde ayrıldığından bir karesiz sayıdır. Buna göre, A) 60 ².5¹.1¹ B) ².7¹ C) 85 5¹.7¹.11¹ karesiz sayıdır. D) 490 ¹.5¹.7² E) 55 ¹.5².7¹ 6. I. Bir basamaklı en büyük karesiz sayı 8 dir. 8 ³ 8, karesiz sayı değildir. Yanlıştır. II. Đki basamaklı en küçük karesiz sayı 10 dur. 10 ¹.5¹ 10, iki basamaklı en küçük karesiz sayıdır. Doğrudur. III. Đki basamaklı en büyük karesiz sayı 99 dur. 99 ².11 99, karesiz sayı değildir. Yanlıştır.

16 7. Bütün kutular kapalıyken sırayla, 4 ve 6 numaralı kutuların anahtarları çevrilirse hangi numaralı kutular açık olur? kapalı açık + 6 açık 4 kapalı 4 açık 6 açık 6 kapalı Buna göre, ve 4 numaralı kutular açık olur. 8. Bütün kutular açıkken sırayla 1, ve numaralı kutuların anahtarları çevrilirse hangi numaralı kutular kapalı olur? 1 açık 1 kapalı + kapalı + kapalı + 4 kapalı + 5 kapalı + 6 kapalı kapalı açık + 4 açık + 6 açık kapalı açık + 6 kapalı Buna göre, 1, 5 ve 6 numaralı kutular kapalı olur.

17 9. 1. kişi. kişi. kişi 1. artırma artırma artırma artırma artırma artırma Buna göre, 6. artırmada satılan vazoya en fazla 150 TL ödenmiştir kişi. kişi. kişi 1. artırma artırma artırma artırma artırma artırma artırma artırma Buna göre, 8. artırmada satılan vazoya en az 175 TL ödenmiştir.

18 1. K yıkama merkezinde 10 tane makine vardır. Her bir makinenin yıkama kapasitesi 6 kg olduğuna göre, 7 7 kg çamaşırı 1 makine yıkar. 6 En az sürede çamaşır yıkamak için : Đlk seferde 10 makine tam kapasite çalıştırılmalıdır. 60 kg çamaşır 60 dakikada yıkanır. Sonra 15 dakika beklenmekte ve Son seferde kalan 1 kg çamaşır makinede 60 dakikada yıkanır. Toplam geçen süre : dakika Buna göre, 7 kg çamaşırı K merkezinde yıkamak için en az geçen süre 15 dakikadır.. L yıkama merkezinde 1 tane makine vardır. M yıkama merkezinde 15 tane makine vardır. M yıkama merkezinde 10 dakikada m kg çamaşır yıkansın. L yıkama merkezinde 10 dakikada l kg çamaşır yıkansın olmak üzere, makineler kez çalışmışlardır. Bu durumda m.6.15 m 70 kg l.6.1 l 16 kg m l kg bulunur.

19 . (10 x ) (6 4) x 8 ( ) x x 9 x 9 4. ( 9 8 7) ( x 5) 8 ( x 5) 4 ( ) ( x 5) 16 x 5 x 1 5. ( 1 x 1) ( x ) x 1 x² 6x+ 9 x ² 7x ( x 5).( x ) 0 x 5 0 x 5 x 0 x Buna göre, x in alabileceği değerler toplamı olur.

20 6. X { a, b, c, d, e} ve A kümesi X in bir alt kümesi olmak üzere, A için f A fonksiyonu ve F A sıralı beşlisi 1, f A ( x) 0, x A ise x A ise F A ( f ( a), f ( b), f ( c), f ( d), f ( e)) A biçiminde tanımlanıyor. A F A (0, 0, 1, 1, 0) A? f A (a) 0 a A f A (b) 0 b A f A (c) 1 c A f A (d) 1 d A f A (e) 0 e A Buna göre, A { c, d } olur. A A A 7. F B (1, 0, 0, 1, 1) B { a, d, e } a b c d e F C (1, 0, 1, 0, 1) C { a, c, e } Buna göre, a b c d e B C { a, e } bulunur.

21 8. D { c, e } E D F E? E D ( : kapsama işareti ) D E ( : alt küme işareti ) D) F E (1, 0, 1, 0, 1) { a, c, e } { c, e } a b c d e 9. Bir pekmez üreticisi, kg pekmez yapmak için 10 kg dut kullanmaktadır. Bu üretici, dutun kilogramını TL ye alıp elde ettiği pekmezin kilogramını 1 TL ye, kalan dutun kilogramını da,5 TL ye satıyor. Bu üretici, aldığı 0 kg dutun tamamını pekmez yapıp satmıştır. 10 kg duttan kg pekmez yapılırsa, 0 kg duttan x 10.x 0. x 9 kg pekmez yapılır. 1 kg pekmezin fiyatı 1 TL ise 9 kg pekmezin fiyatı TL olur. Dutun alış fiyatı 0 60 TL Kar Satış fiyatı Alış fiyatı olduğundan, Kar TL bulunur.

22 40. 5 kg dut alan üretici, bu dutun bir kısmından elde ettiği 6 kg pekmezi ve kalan dutu satmıştır. Dutun alış fiyatı TL Pekmezin satış fiyatı TL Kalan dut için 10 kg duttan kg pekmez X 6 kg pekmez.x 10.6 x 0 kg dut Kalan dut miktarı kg Dutun satış fiyatı 5.,5 1,5 TL Buna göre, üreticinin bu satış sonundaki kârı (1,5 + 7) 50 4,5 TL 41. Bu üretici, aldığı dutun bir kısmından pekmez yapmış; bu pekmezi ve kalan 1 kg dutu toplam 10 TL ye satmıştır. Buna göre, üretici kaç kg dut almıştır? 1 kg dut,5 TL ye satıldığına göre, 1 kg dut 1,5 0 TL ye satılır. Toplam 10 TL satış yaptığından, TL sini pekmez satışından elde etmiştir. 7 1 kg pekmez 1 TL olduğuna göre, 7 TL ye 6 kg gelir. 1 kg pekmez yapmak için 10 kg dut kullanıldığından, 6 kg pekmez için 0 kg dut kullanılır. Buna göre, üreticinin aldığı dut miktarı kg

23 4. Sonuç olarak, 1 sayısının sembollerle gösterimi (,, ) biçimindedir. 4. (,, ) Birinci sembol olduğuna göre, aradığımız sayı dan küçüktür. Đkinci sembol olduğuna göre, aradığımız sayı den büyüktür. Üçüncü sembol olduğuna göre, aradığımız sayı den büyüktür. Buna göre, 8 sayısının sembollerle gösterimi (,, ) biçimindedir.

24 44. Tanıma göre, sayı doğrusu üzerindeki 1 den 17 ye kadar olan çift sayıların bulunması isteniyor. Bunlar, 4, 6, 8, 10, 1, 14, 16 olduğuna göre, Sembol olduğunda, aranan sayı dan büyük olacağından, 10, 1, 14, 16 sayıları için en az bir tane sembolü kullanılır. 6, 8 için en az bir tane sembolü kullanılır. 4 için en az bir tane sembolü kullanılır. için sembolü kullanılmaz. 45.

25 46. AB // DE CDE CBA k 7 ( k : benzerlik oranı) Benzer iki üçgenin alanlarının oranı, benzerlik oranının karesine eşit olduğundan, alan( CDE) alan( CBA) k² alan( CDE) alan( CBA) 7 alan( CDE) alan( CBA) 9 49 alan ( CDE) S olsun. alan ( CBA) S+ 0 olur. S S S 9. S S S ede edilir.

26 47. m(bod) 144 derece elde edilir.

27 48. KLMN karesinin bir kenar uzunluğu x olsun. HAE dik üçgeninde pisagor teoremine göre, HE ² 4² + ² HE 5 Bu durumda EFGH karesinin bir kenar uzunluğu 5 olur. HN a olsun. NE 5 a olur. KEN NHM KE a x x 5 a HM KE a elde edilir. HAE NEK 4 5 a a 5 x 4a 15 a 15 a x x x bulunur. 7

28 49. Buna göre, (p, q) (, 4) olur.

29 50. Dik koordinat düzleminde, kenarlarından biri y x doğrusu, köşegenlerinden biri x 1, diğeri ise y 1 doğrusu üzerinde bulunan karenin alanı kaç birim karedir? Karenin bir kenar uzunluğu birim olacağına göre, Karenin alanı ( )² 8 birim kare bulunur. Adnan ÇAPRAZ adnancapraz@yahoo.com AMASYA