PROJE ADI: PARALEL AYNALARDA GÖRÜNTÜLER ARASI UZAKLIKLARININ PRATİK HESAPLANMASI

Transkript

1 PROJE ADI: PARALEL AYNALARDA GÖRÜNTÜLER ARASI UZAKLIKLARININ PRATİK HESAPLANMASI PROJE AMACI: Paralel aynaların arasına konulan bir cismin sonsuz tane görüntüsü vardır. Bu proje burada oluşan herhangi iki görüntü arasındaki mesafeyi bulmak için bir model oluşturarak matematiksel denklemler elde etmek ve bu suretle karmaşık problemlere bir çözüm getirmek amacıyla hazırlanmıştır. GĠRĠġ: Gündelik hayatta sıkça kullandığımızdüzlem aynalarda sanal görüntüler oluşmaktadır. Tek başına kullanılan aynalarda tek bir görüntü oluşurken birden fazla ayna kullanıldığında birden çok görüntü elde edilebilir. Önümüzde ve arkamızda bir ayna varken aynaya baktığımızda birçok görüntü görürüz. Bu görüntülerin nasıl oluştuğu Yansıma kurallarına girer. Yansıma kurallarını bilen herkes bu görüntülerin nasıl oluştuğunu bilir. Fakat bu görüntüler arasındaki mesafeyi bulmak için özelliklede çok uzaklardaki görüntüler arasındaki mesafeleri bulmak sorununu, yansıma kurallarıyla çözmek oldukça zor ve bir o kadar da dikkat gerektiren bir iştir. Bu gibi sorulara cevap verecek herhangi bir fizik formülü yâda matematiksel denklem ise araştırmalarımıza göre yoktur. Fizikte var olan Mevcut formüller isekesişen aynalarda sadece oluşabilecek görüntü sayısı ile ilgilidir. Biz birbirlerine paralel olan aynalarda niçin sonsuz görüntü oluştuğunu ve oluşan görüntüler arasındaki mesafeyi, örneğin solda ki 120. Görüntü ile sağdaki 500.görüntü arasındaki mesafeyi bulmak için yola çıktık. Bu yolda çalışırken olumlu ve olumsuz sorularla karşılaştık. Niçin ve nasıl sonsuz görüntü oluşur insanlarda bir merak uyandırırken, görüntüler arası mesafe bulmak anlamsız geldi, ne işimize yarayacak diye soranlarla bilekarşılaştık. Niçin sonsuz tane görüntü oluşur, Fizik konuları olan yansıma kuralları ve görüş alanı kullanılarak anlatılabilir veya çizerek ispatlanabilir. Fakat bu görüntüler arası uzaklıkları çizerek yâda sayarak bulmak oldukça güçtür. Bu projemiz İşte burada matematiğin fizikte önemli bir yeri olduğunu göstermek ve karmaşık soruları hemen çözmek adına anlamlı olacağına inanarak çalışmalarımıza başlattık. YÖNTEM: Çalışmalarımıza bir cismin düzlemaynada görüntüsü nasıl oluşur onu göstermekle başladık. Bunun için öncelikle yansıma ve yansıma kurallarını bilmemiz gerekiyordu, Önce bu konu üzerinde çalıştık. YANSIMA VE DÜZLEM AYNA YANSIMA Işınların parlak bir yüzeye çarpıp geldiği ortama geri dönmesine yansıma denir. Yansıma olayında ışığın hızı, enerjisi, frekansı, rengi değişmez. Sadece hareket yönü değiģir. Yansımanın iki kanunu vardır; 1.Kanun: Gelen ışın, yansıyan ışın ve normal aynı düzlemdedir.

2 2.Kanun: Gelen ışının normalle yaptığı açı ( α ), yansıyan ışının normalle yaptığı açıya ( β ) eşittir. ( α : Gelme açısı β : Yansıma açısı ) Şekil Ayrıca; 1,1 Ayrıca; -Gelen ışığın ayna ile yaptığı açı, yansıyan ışığın ayna ile yaptığı açıya eşittir. -Yüzeye dik gelen ışık kendi üzerinden geri yansır. Şekil 1,2 -Yüzey düzgün ise düzgün yansıma olur. Şekil 1,3 -Yüzey pürüzlü ise yansıma dağınık olur. Cisimleri görebilmemiz dağınık yansıma sonucudur. Şekil 1,4

3 GÖRÜNTÜ OLUġUMU -Işık geldiği yoldan geri döner. Buna ışığın tersinirliği prensibi denir. -Bir cismin görülebilmesi için o cisimden gözümüze ışık gelmesi gerekir. Cisimden çıkan ışınlar gözümüze doğrudan gelirse cismin kendisini algılarız. Işık yansıma ya da kırılma sonucu gelirse, görüntüsünü algılarız. -Tek ışınla görüntü oluşmaz. Görüntünün oluşması için en az iki tane yansıyan ya da kırılan ışın gereklidir. -Yansıyan ya da kırılan ışınların kendileri kesişirse görüntü gerçek, uzantıları kesişirse görüntü zahiri (sanal) dir. -Gerçek görüntüler daima terstir. -Sanal görüntüler daima düzdür. Optik cihazlarda görülürler. Perde üzerine düģürülemezler. DÜZLEM AYNALAR Üzerine düşen ışığı yansıtan yüzeylere ayna denir. Yansıtıcı yüzeyin şekline göre adlandırırlar. Yansıtıcı yüzeyi düz olan aynalara düzlem aynalar denir. CİSİM d d GÖRÜNTÜ Şekil2,1 DÜZLEM AYNA Şekildeki cisminden çıkan ışınlar düzlem aynada yansıyor ve uzantılarının kesiştiği yerde görüntü oluşuyor.

4 Buna göre oluşan görüntü; Zahiri ( sanal ),cisim ve görüntünün aynaya uzaklıkları eşit, boyları eşit ve aynaya göre simetriktir. Tüm bunları toparlayacak olursak; Görüntü aynaya gelen ışınların yansıması sonucu oluşur. Yansıyan ışınların kendileri kesişerek bir görüntü oluşturuyorsa görüntü gerçek (Gerçek görüntüler aynaya bakarak görünmezler) Uzantılar kesişerek oluşuyorsa oluşan görüntü sanal görüntüdür.(sanal görüntüleri aynaya bakarak görebiliriz.) Şekil 2,1 KL cisminin düzlem aynadaki görüntüsünün nasıl oluştuğunu gösteriyor. Bu görüntü aynanın arkasında ve sanaldır. Cismin aynaya uzaklığı ile görüntünün aynaya uzaklığı eşittir. Bir cismin tek bir ayna yardımıyla sadece tek bir görüntüsü oluşur. Birden çok görüntü oluşturmak için en az iki aynaya ihtiyaç vardır. Bizim araştırma konusu ise sonsuz tane görüntü nasıl oluşur ve bu görüntüler arasındaki uzaklık nedir. Sonsuz görüntüġekil 3,1 deki gibi cisimden çıkan ıģınların sürekli paralel aynalardan yansımasıyla oluģur. Aynalara gönderilen ıģınların aralığı ne kadar sık olursa yatay ekseni kesen uzantı sayısı o kadar fazla olur ġekil 3,1

5 Bizim cevaparadığımız D mesafesi Ģekil 3,2 de verilmiģtir. D=? N A N B GÖRÜNTÜ x y GÖRÜNTÜ d A CİSİM d B DÜZLEM AYNALAR ġekil 3,2 Sonsuz görüntü nasıl oluştuğunu anladıktan sonra görüntüler arası mesafeleri defalarca farklı mesafelerde çizerek görüntüler arası mesafeyi ölçtük ve nasıl bir değişim olduğunu görmeye çalıştık ve sonrasında tek numaralı görüntüler, çift numaralı görüntüler ve görüntünün sağında veya solunda oluşuna göre 4 farklı denklemler elde ettik. Bu denklemler yukarıda çizdiğimiz şekil 3,2 de verilen değişkenlere bağlı olarak aşağıda verilmiştir. GÖRÜNTÜ NUMARALARI TEK SAYI ĠSE( GĠBĠ) Denklem 1,1 Denklem 1,2 Denklem 1,3 GÖRÜNTÜ NUMARALARI ÇĠFT SAYI ĠSE( GĠBĠ) Denklem 2,1 Denklem 2,2 Denklem 2,3

6 ĠSPAT: Denklemlerin doğruluğunu Şekil 4,1 deki basit bir örnekle ispatlamaya çalışalım. ŞEKİL 4,1 OLUġTURDUĞUMUZ DENKLEMLERLE ÇÖZELĠM Denklem 2,1 Denklem 1,2 d 2 =2.d+(2-1).2d d 2 =4d d 1 =1.d+(1-1).2d d 1 =d Denklem 1,3 ve 2,3 D=4d+d+2d+d D=8d ÇĠZEREK ÇÖZELĠM X aynası Y aynası 4d 2d 2d 2d K d d 4d 2d 4d G 3 G 2 G 1 G 1 G 2 G 3 G 4 D=8d ŞEKİL 4,2

7 ġekil 4,2 den yararlanarak ArdıĢık iki görüntü arasındaki mesafe pratik olarak her zaman Ģekil 4,3 deki gibi yazılabileceğini de ayrıca ispatlamıģ olduk. 1. ayna 2. ayna G 2y 2x 2y 2x 2y G G 3 4 G 2 G 1 x x K y y 2x 2y 2x G 1 G 2 G 3 G 4 2y 2x G ŞEKİL 4,3 ġekil 4,2 deki çizimle bulduğumuz sonuç ile bizim denklemlerle çözdüğümüz sonuç aynıdır. Yeni bir soruyu ġekil4,2 ye bakarak oluģturalım. Soldaki 3.görüntü ile sağdaki 4.görüntü arasındaki mesafe olan 22d yi de bizim denklemlerle bulalım. Soldaki tek sayılı görüntü için Denklem 1,1 sağdaki çift sayılı görüntü içinde denklem 2,2 yi aralarındaki mesafe içinde Denklem 1,3 yâda 2,3 alarak çözüm yapalım d A =3.2d+(3-1).d d A =8d d B =4.2d+(4-1).d d B =11d D=8d+11d+2d+d D=22d Görüldüğü gibi çizimlerle gösterip bulduğumuz değerler bizim ürettiğimiz formüllerle de bulunulabiliyor. Denklemler de tek dikkat edilecek husus sorulan görüntü numarasının tek mi çift mi olduğu, buna dikkat edip gerekli denklemler alınıp rahat bir şekilde çözülebilir.

8 Denklemlerimizi özel durumlarda daha kolay hale getirebiliriz.(aşağıda oluşturduğumuz denklemler genel bir halin sonuç denklemleridir. Bu denklemlerin hepsi Denklem1,1-1,2-1,3-2,1-2,2-2,3 lerin özel sonuçlarıdır. AĢağıdaki tüm özel durumlarda verilen değiģkenler Ģekil 4,3 e göre alınıp ispatları Ģekil 4,2 de ki çizimlerde yapılmıģtır. A-) X=Y iken Aynı nolu görüntüler arası uzaklık isteniyorsa(soldaki ve sağdaki 7.görüntüler yâda sol ve sağ taraftaki 10.görüntüler gibi ) D=2 yâda kısaca D=4nx B-)X=Y iken Farklı nolu görüntüler arası uzaklık isteniyorsa(soldaki 7. ve sağdaki 8.görüntüler gibi ) D=x(2n sol -1)+y(2n sağ -1)+x+yn sağ =n sol olursa A ile aynı çıkıyor. C-) X=Y iken Aynı taraftaki görüntüler arasındaki mesafe( sağ taraf mı sol taraf mı fark etmez) D=2y(n A -n B ) D-)X ve Y eşit olmayıp sol taraftaki tek-tek ve çift-çift numaralı görüntüler için(7.ile 9. Yada 12. İle 14.) D=2x(n A -n B ) E-)X ve Y eşit olmayıp sağ taraftaki tek-tek ve çift-çift numaralı görüntüler için(3.ile 5. Yada 4. İle 28.) D=2y(n A -n B) E-)X ve Y eşit olmayıp sol taraftaki tek numaralı ve çift numaralı görüntüler için(7.ile 20. Yada 30. İle 47.) D= (n tek.x+(n tek -1)y) - (n çif t.y+(n çift -1).x)

9 F-) X ve Y eşit olmayıp sağ taraftaki tek numaralı ve çift numaralı görüntüler için(7.ile 20. Yada 30. İle 47.) D= (n tek.y+(n tek -1).x) - (n çif t.x+(n çift -1).y) SONUÇ VE TARTIġMA: Paralel düzlem aynalarda oluşan sonsuz sayıdaki görüntülerden herhangi iki görüntü arasındaki mesafeyi veren herhangi bir matematiksel denklem yoktur. Bu görüntüler aynaya yakın ilk birkaç görüntüsü ise çizilerekkolaylıkla sayılabilir fakat gibi görüntüler ise sayarak bulmak neredeyse imkânsız olacaktır. Biz bu sorun için bir matematiksel denklem oluşturduk ve denklemimizin doğruluğunu yaptığımız kontrollü deneylerle ve örnek sorularla ispatlamaya çalıştık ve bunu başardık. Bu mesafeyi bulmak belki anlamsız düşünülebilir bunu somut olarak nerede niçin kullanırız bilmiyoruz ama en azından bu konuyla ilgili merakımızı giderirken düzlem aynaları öğrenmiş olduk. Bilimde merakla başlamaz mı? KAYNAK:

10