TASLAK KARTOGRAFYA. Ders Notu. Prof. Dr. Selçuk Üniversitesi. Bu doküman öğretim yılında ek ders notu olarak kullanılacaktır.

Transkript

1 KARTOGRAFYA Prof. Dr. Ders Notu İ.Öztuğ BİLDİRİCİ Selçuk Üniversitesi Harita Mühendisliği Bölümü Bu doküman öğretim yılında ek ders notu olarak kullanılacaktır. KONYA 2016

2 İçindekiler 1 ve Harita İletişim Harita Gereksinimi Haritaların Genel Özellikleri Haritaların Tanımlanması ve Sınıflandırılması Ölçek Haritaların Yayınlanış Biçimleri Yeryüzünün Şekli ve Boyutları Tarihçe Küre Yüzeyi Küre Yüzeyinde Koordinat Sistemleri Küre Yüzeyinde Eğriler Küresel Üçgen Kürede Temel Ödevler Küre Üzerinde Alan Elipsoit Yüzeyi ve Geometrisi Elipsoit Yüzeyinde Koordinat Sistemleri

3 ii İçindekiler Elipsoit Yüzeyinde Alan Jeoit Harita Yapımında Referans Yüzeyleri Harita Projeksiyonları ve Nümerik Analiz İterasyon İki Değişkenli İterasyon Harita Projeksiyonları Projeksiyonların Özellikleri ve Sınıflandırılması Projeksiyon Deformasyonları ve Tissot Endikatrisi Projeksiyon Yüzeyinin Konumu Grid Sistemleri ve Pafta Bölümleme

4 Bölüm 1 ve Harita İnsanların yeryüzüne ilişkin bilgileri harita ve harita benzeri grafik tasvirlerle birbirlerine aktarmaları insanlık tarihi kadar eskidir. Ancak kartografyanın bağımsız bir bilim dalı olarak ortaya çıkışı bu kadar geriye gitmez. Bunun nedenleri içinde harita yapımının coğrafya ve jeodezi disiplinleri kapsamında ele alınması sayılabilir (Uçar ve Uluğtekin, 2006). Coğrafya yeryüzü üzerindeki objelerin özellikleri ve birbirleri ile ilişkilerini inceler. Jeodezi ise yer yuvarı ve diğer gök cisimlerinin geometrik ve fiziksel olarak modellenmesi ile uğraşır. Bu amaçla ölçmeler yapar, modeller geliştirir. harita yapmak ve kullanmak için gerekli bilim sanat ve teknik olarak tanımlanır. Bu kısa tanım halen geçerliliğini korumakta ve Uluslararası Birliği özgörü özgörev belgesinde yer almaktadır ( Belgede harita tanımı da verilmekte, haritanın coğrafi gerçekliğin işaretleştirilmiş gösterimi olduğu, buradaki coğrafi gerçekliğin ise harita yapımcısı tarafından seçilmiş objelerle temsil edildiği ve haritanın mekansal ilişkileri anlamak gerektiğinde kullanılmak üzere tasarlandığı vurgulanmıştır. Bu tanımda öne çıkan konular: Harita işaretleştirilmiş, soyut bir gösterimdir. Ait olduğu mekanda bulunan objelerin tamamını göstermez. Mekansal ilişkileri anlamak için tasarlanmıştır. Kağıt ve benzeri ortamlarda bulunan haritalar analog harita olarak adlandırılır. Analog haritanın iki temel işlevi vardır (Robinson vd., 1995). 1. Bilgi depolama ortamı olarak hizmet verir.

5 2 ve Harita 2. İçinde yaşadığımız çevrenin karmaşıklığını, mekansal dokuları ve ilişkileri anlamamıza yardım eden bir dünya görünümü sağlar. Başka bir deyişle analog harita hem veri depolama hem de görselleştirme işlevlerini aynı anda gerçekleştirir. Bilgi teknolojilerinin kartografyaya girmesiyle birlikte bu iki işlev iki farklı araçla gerçekleşmeye başlamıştır. 1. Sayısal veri tabanı coğrafi bilgi depolama ortamı olarak analog haritanın yerini almıştır. 2. Çeşitli ortamlarda bulunan kartografik görselleştirmeler analog haritanın ikinci işlevini gerçekleştirirler. Burada söz konusu edilen görselleştirmeler ekran haritası olarak adlandırılmaktadır. Bu açıdan analog ve ekran haritaları olmak üzere haritaları ikiye ayırmaktayız. Ekran haritaları giderek yaygınlaşmaktadır. İnternet tabanlı harita servisleri (Google Maps vb.) bilgisayarlarda, tabletlerde, cep telefonlarında, televizyonlarda günlük hayatın içindedir. kelime köklerinden hareketle de tanımlanabilir. Kelime, Yunanca carto (harita) ve graphein (çizmek) kelimelerinin bileşiminden gelmektedir. 1.1 İletişim İnsanların bilgi edinme ve iletişim kurma çabalarının başlangıcı tarih öncesine kadar gider. İlk insanların bu amaçla sesler ve çizimlerle iletişim kurmaya çalıştıklarını varsaymak mümkündür. Bu ilkel sesler günümüzün konuşulan ve yazılan dillerine ve matematiğe, çizimler ise günümüz grafiklerine dönüşmüştür. Düşünce ve iletişimi temsil eden bu araçları bilgi aktarım biçimleri ya da bilgi sunum biçimleri olarak adlandırabiliriz. Konuşma dili ya da yazılı dil insanların düşünceler geliştirmelerini ve düşüncelerini çeşitli yollarla (kitaplar, makaleler, romanlar) ifade etmelerini sağlar. Matematik ise kümeler, sayılar ve büyüklükler arasındaki ilişkileri sembollerle ifade etmenin bir yoludur. İletişimin dördüncü yolu grafikler yardımıyla gerçekleşir. Grafik yöntemler basit çizimler ve resimlerden planlara ve diyagramlara kadar değişik şekillerde ortaya çıkar. Haritalar yoluyla iletişim grafik iletişim yollarından biridir. Maddeler halinde sıralamak gerekirse bilgi iletişimi dört yolla gerçekleşir. 1. Yazılı 2. Sözlü 3. Sembolik (Matematik formülleri, müzik notaları)

6 İletişim 3 4. Grafik Grafik iletişim bir anda gerçekleşir. Diğer iletişim yollarında iletişim sıralı olarak gerçekleşir. Bir metni okurken belli bir sıra içinde okuruz. Bir konuşmayı dinlerken de yine aynı şekilde sıralı bilgi akışı söz konusudur. Grafik iletişim bu yönü ile diğerlerinden ayrılmaktadır. Mekansal bir ilişki tanımlayarak iletişime geçtiğimizde yaptığımız tanımlanın karşı tarafta da bizimle benzer bir düşünce oluşturmasını isteriz. Bunu gerçekleşmesinin en iyi yolu görsel bir sunum kullanmaktır. Bu görsel sunum harita olup, kartografya her yönüyle haritaların yapılması ve incelenmesi ile uğraşan disiplindir. Bu bağlamda kartografya, iki ve üç boyutlu uzayda oluşan ilişkiler, yapılar ve düşünceleri ifade ve analiz etmenin etkin bir yolu olduğu için grafik sanat ve tekniklerin önemli bir dalı olarak görülebilir. İletişim verici ve alıcı olarak adlandırılan iki varlık arasında gerçekleşir. Verici ve alıcı insan olabileceği gibi hem verici hem alıcı ya da her ikisi insan, hayvan ya da makine olabilir. Verici tarafından iletilmek istenen bilgi kodlanarak işarete dönüştürülüp bir kanal üzerinden alıcıya iletilir. Alıcı kanal üzerinden gelen işareti geri kodlar ve bilgiyi edinmiş olur. İşaret kanaldan iletilirken çeşitli bozucu etkilerin ya da parazitlerin etkisi altındadır. Bu nedenle vericinin gönderdiği bilginin tamamı alıcıya iletilemeyebilir. Bir radyo vericisinden yapılan yayını düşünürsek vericide ses kodlanarak radyo dalgalarına dönüştürülür. Radyo alıcısı bu dalgaları alarak tekrara sese dönüştürür. Bu iletişimde zaman zaman yayında parazitler gürültüler oluşabilir (Şekil 1.1). Kodlama Verici Kanal Al c Parazitler Geri kodlama Şekil 1.1: Genel iletişim zinciri Harita, mekansal bilgileri iletmek üzere tasarlanmış bir bilgi iletişim aracıdır. Bu iletişim biçiminde haritayı tasarlayan kartograf verici, harita kullanıcısı alıcı harita ise kanal yerine geçmektedir. Burada mekansal bilgi harita dili ile görsel hale getirilir. Harita kullanıcısı ise harita dilini geri kodlayarak mekansal bilgiyi alır. Harita dilinin harita kullanıcıları tarafından tam olarak bilinmemesi nedeniyle haritadaki işaretlerin anlamları işaret tablosu ile açıklanır. İşaret tablosu kartograf ve harita

7 4 ve Harita kullanıcısı tarafından farklı yorumlanabilir. Bu da harita ile iletilmek istenen bilgilerde bilgi kaybına yol açabilir (Şekil 1.2). Kartograf Harita Harita Kullanıcısı İşaret tablosu 1.2 Harita Gereksinimi Ortak işaret tablosu Şekil 1.2: Kartografik iletişim zinciri Kullanıcı tecrübesine dayalı işaret tablosu İnsanlık varolduğundan beri insanlar çevrelerinde kendilerini etkileyen olayları ve objeleri anlamaya çalışmaktadır. Bu objelerin ve olayların pek azını çıplak gözle doğrudan gözlemlemek mümkündür. Çok büyük objeler (örneğin yeryüzü) küçültülerek çok küçük objeler ise(örneğin mikroorganizmalar) büyütülerek gözlemlenebilir. Burada küçültme, aynı zamanda bilgilerde azaltma anlamındadır ve kartografyanın uğraş alanını oluşturur. da yeryüzünün tamamına, bir parçasına ya da diğer gök cisimlerine ilişkin bilgiler azaltılarak ve küçültülerek harita biçiminde gözlemlenebilir hale getirilirler. Konuşma dili ya da yazılı dil ile her tür ayrıntıya girmeden duygu ve düşüncelerimizi anlattığımız gibi harita yoluyla iletişim de normal görüş alanımızı genişletir. Harita büyük alanlarda var olan mekansal ilişkileri görmemizi sağlar. Bu tür mekansal ilişkilere örnek olarak yeryüzünün ne kadarının karalardan ne kadarının sulardan oluştuğu verilebilir. Bu bilgi yazılı ya da sözlü olarak da ifade edilebilir. Ancak bu bilginin bir dünya haritası ile aktarılması yazılı ya da sözlü aktarımdan çok daha etkilidir. Sıradan bir harita, haritası olduğu bölgenin küçültülmüş bir resminden çok daha fazla özelliğe sahiptir. Harita yeryüzünde var olan objelerin ve olayların ilişkilerini anlamak, analiz etmek, görüntülemek, kaydetmek için özenle tasarlanmış bir araçtır. Temel işlevi yeryüzü obje ve olaylarını görülebilir hale getirmek ya da görselleştirmektir. Haritalar posta pullarındaki küçük tasvirlerden askeri operasyonların yönetildiği karargahlarda rastlanan dev duvar haritalarına kadar değişik büyüklük ve işlevlerde

8 Haritaların Genel Özellikleri 5 karşımıza çıkarlar. Hepsinin ortak özelliği kullanıcılarının coğrafya algısını artırmak için tasarlanmış olmalarıdır. Küçük bir bölgenin arazi şekillerini, drenaj sistemini, bilgi örtüsünü, yerleşim dokusunu, yolları, jeoleoji vb bilgileri gösteren ayrıntılı bir haritası planlama ve yönetim için gerekli bilgilerin iletişimini gerçekleştirir. Yol yapımı, bina yapımı, taşkın kontrol sistemlerinin yapımı gibi her tür inşaat faaliyeti önce harita çalışması yapılmasını gerektirir. Daha büyük alanların taşkın zararları, erozyon, arazi kullanımı, nüfüs yapısı, iklim, gelir dağılımı gibi konuları işleyen daha az ayrıntılı haritaları bir bölgenin potansiyel ve kapasitesini anlamak için vazgeçilemez araçlardır. Yeryüzünün tamamının küçük ölçekli ayrıntı düzeyi düşük haritaları yeryüzündeki genel ilişkileri anlamak için gereklidirler. Bu şekilde yeryüzünde ilgili konuda büyük resmi görmek mümkün olur. 1.3 Haritaların Genel Özellikleri Yeryüzüne ilişkin bilgileri aktaran bir iletişim aracı olarak haritayı diğer yayınlardan (kitap, gazete, İnternet temelli yayın araçları) ayıran özellikleri vardır. 1. Harita mekansal bilgileri iletir. 2. Haritalar ölçekli gösterimlerdir, basit ve kesin geometrik kurallara göre çizilirler. Bu nedenle harita üzerindeki alan ve uzunlukların doğadaki değerleri belirlenebilir. 3. Harita haritası olduğu bölgenin modelidir. Modeller, modeli oldukları objelerin en önemli özelliklerini bir takım matematiksel bağıntılar, fiziksel olaylar ve grafik gösterimler yardımıyla kolayca anlaşılabilir hale getirmektedirler. Bu açıdan da harita, yeryüzü ile ilişkili konular hakkında bilgi iletiminde, yazılı ve sözel iletişim biçimlerine göre üstünlükleri olan bir araçtır. Harita ile bilgi iletişimini kısıtlayan ya da olumsuz yönde etkileyen faktörler de vardır. 1. Harita, haritası olduğu bölgenin çok küçültülmüş bir modeli olduğundan yeryüzüne ilişkin tüm bilgileri aktarması beklenemez. Haritalar 1:1000 den 1:400 milyona kadar değişik ölçeklerde olabilirler. En büyük ölçekli harita bile yeryüzünün bin kat küçültülmüş bir modelidir. Harita, amacına göre, ölçeğinin izin verdiği düzeyde bilgi aktarımı yapabilir. Hangi bilgilerin aktarılıp hangilerinin gözardı edileceği konusundaki ilkeler kartografik genelleştirme ilkelerine göre verilir. Kartografik genelleştirmenin ortaya çıkış nedeni de haritanın yeryüzünün önemli derecede küçültülmüş modeli olması gerçeğidir. 2. Haritada işlenecek konu ile ilgili bilgiler yöntemlerin yetersizlikleri nedeniyle yeterli doğrulukta toplanmamış olabilir. Veri toplama yöntemleri (jeodezik, fotogrametrik vb) teknolojinin gelişmesine paralel olarak giderek iyileşmektedir.

9 6 ve Harita Aynı ölçekte olsa bile farklı zamanlarda üretilmiş haritaların aynı doğrulukta olması beklenmez. 3. İşlenilen konu ile ilgili seçilmiş kartografik işaret sistemi yetersiz olabilir. 4. Harita kullanıcısının harita okuma becerisindeki eksiklikleri de harita ile bilgi iletimini olumsuz etkileyebilir. 5. Bir harita çalışmasında verilerin toplanması ile haritanın yayınlanması arasında belli bir zaman geçer. Bir harita yayınlandığında anda bile güncelliğini belli bir düzeyde kaybetmiştir. Öte yandan harita yapımında maliyet vb nedenlerle belli bir süre geçmeden güncelleme yapılmaz. 6. Harita ile bilinçli olarak da yanlış bilgi aktarımı yapılabilir. Ülkeler kendi politikalarına göre bazı sınırları farklı gösterebilirler. Tematik haritalarda veriler belli bir amaç doğrultusunda yorumlanıp gerçeği yansıtmayan mesajlar verilebilir. Monmonier (1996) bu konuyu kapsamlı bir şekilde ele almaktadır. Bir haritanın mutlaka taşıması gereken özellikler de kartografya kaynaklarında tartışılmaktadır. Bu özellikler ilk kez Alman Max Eckert tarafından dile getirilmiştir. Eckert haritaların, doğru, eksiksiz, kullanma amacına uygun, açık, anlaşılır, okunaklı ve güzel olması gerektiğini ifade etmiştir (Eckert, 1921). Haritaların doğruluğu geometrik ve tematik olarak iki açıdan ele alınır. Tematik doğruluk, öznitelik doğruluğu olarak da adlandırılır. Geometrik doğruluk dört faktöre bağlıdır. Jeodezik ölçmeler(yeryuvarının şeklinin belirlenmesi, temel ağların oluşturulması vb çalışmalar) Yersel ölçmeler (ayrıntı ölçmeleri) ya da fotogrametrik değerlendirme Harita projeksiyonu (projeksiyon deformasyonları nedeniye oluşan geometrik değişimler) Çizim Tematik doğruluk ise nicel ve nitel olarak iki bakış açısından değerlendirilir. Arazi kullanım türlerinin doğruluğu nitel doğruluğa, illere ait nüfus yoğunluğu değerlerinin doğruluğu ise nitel doğruluğa örnek verilebilir. Bir haritanın doğru ve eksiksiz olması için mümkün olduğu kadar çok bilgi içermesi gerekir. Bu ise haritayı okunaksız ve anlaşılmaz hale getirir. Harita anlaşılır ve okunaklı olmaz ise bilgi iletişim işlevini yerine getiremez. Haritalar ölçek ve amaçlarına göre ait oldukları mekana ait tüm bilgileri içermezler. Bu bilgi eksikliği haritanın eksiksiz olma özelliğini sağlamadığı şeklinde de düşünülebilir. Ancak bir harita ölçeğin olanak vermediği düzeyde bilgi içeremez. Örneğin bir Türkiye haritasında hiç kimse evini bulmaya çalışmaz. Burada eksiksiz olma

10 Haritaların Tanımlanması ve Sınıflandırılması 7 özelliği harita ölçeği ve kullanım amacı doğrultusunda göreceli olarak değerlendirilir. Haritanın güncellik durumu da eksiksiz olma özelliği ile ilişkilidir. Harita güncelliğini kaybettikçe eksik bilgi gösterir hale gelir. Harita kullanım amacı hem ölçek hem de projeksiyon seçimini etkiler. Atlas haritalarında ana karaların birbirleri ile alansal oranlarının bozulması istenmediğinden alan koruyan projeksiyonlar tercih edilir. Topoğrafik harita yapımında ise açı koruyan (konform) projeksiyonlar tercih edilir. Okunaklılık işaret boyutlarına bağlıdır. Gözün ayırt etme yeteneğine göre belirlenen en küçük işaret boyutları göz önüne alınmalıdır. Yazılar için de denemelerle belirlenmiş en küçük yazı yükseklikleri söz konusudur. Haritanın güzel olması işaretlerin bir bütün olarak uyumu ve kullanıcılar üzerinde yaptıkları etki ile ölçülür. Analog haritalarda seçilen kağıt ve baskı kalitesi, ekran haritalarında görüntüleme yapılan cihazın özellikleri de haritanın güzellik derecesi bakımından önemli bir rol oynarlar. 1.4 Haritaların Tanımlanması ve Sınıflandırılması Önceki bölümlerde de ifade edildiği gibi Uluslararası Birliği (UKB) tarafından harita, coğrafi gerçekliğin işaretleştirilmiş gösterimi olarak tanımlanmıştır. Coğrafi gerçeklik, harita yapımcısı tarafından seçilmiş objelerle temsil edilir. Harita mekansal ilişkileri anlamak gerektiğinde kullanılmak üzere tasarlanır ( İnsanlar mekansal bir ilişkiyi bir başkasına anlatmak için iletişim kurduklarında kendi düşüncelerinin karşı tarafın zihninde de oluşmasını isterler. Bunu gerçekleştirmenin en iyi yolu aktarılmak istenen düşüncelerin grafik bir gösterimini ortaya koymaktır. Yeryüzüne ilişin bilgi aktarmak amacıyla yapılan bu grafik gösterim ise haritadan başka bir şey değildir (Robinson vd., 1995). İnsanoğlu geçmişten günümüze kendini etkileyen olguları (olaylar ve nesneler) anlayabilmek için bir çaba içerisindedir. Ancak bu olguların pek çoğunu doğrudan gözlemleyemez. Bazı olguları büyüterek, bazılarını ise küçülterek görülebilir hale getirmesi gerekir. Örneğin mikroorganizmaları bir mikroskop yardımıyla büyüterek, yeryüzünü ise haritalar yardımıyla küçülterek incelemek gerekir. Bu küçültme eylemi kartografya, ortaya çıkan ürün ise harita olarak düşünülebilir. Harita, yeryüzüne ilişkin bilgileri aktarmak üzere tasarlanmış bir bilgi iletişim aracıdır. Geleneksel kartografya kaynaklarında haritanın bilgi iletme fonksiyonuna vurgu yapılmadan dış görünüşü üzerinden tanımlar verilir. Bu tip tanımlarda haritanın iki boyutlu olduğu, yeryüzünün belli bir ölçekte küçültülmüş ve işaretleştirilmiş bir gösterimi olduğu, kuş bakışı özelliğinde olduğu vurgulanır. E. Imhof tarafından yapılmış olan tanım bunlara örnek olarak verilebilir. Harita, yeryüzünün ya da yeryüzünün bir kısmının küçültülmüş, basitleştirilmiş ve açıklamalarla tamamlanmış iki boyutlu resmidir. Finsterwalder ise, yeryüzünün açıklanmış ve önemli objeleri

11 8 ve Harita vurgulanmış, iki boyutlu kağıt üzerinde mümkün olduğu kadar doğru ve eksiksiz gösterimini harita olarak tanımlamıştır. Uçar ve Uluğtekin (2006) ise haritanın bilgi iletişim fonksiyonuna ve yeryüzü dışındaki gök cisimlerinin de haritalarının yapılabileceğine vurgu yaparak, Harita; yer ya da diğer büyük gök cisimlerinin yüzeylerine veya bu yüzeylerin bir bölgesine ait konulara ilişkin obje ve bilgilerin, doğadaki konumlarını çizim altlığı üzerinde belli matematik kurallara göre yansıtan, kartografik işaretlerle gösteren ve gerektiğinde yazılı sözcüklerle tamamlayarak aktaran bir bilgi iletişim aracıdır şeklinde bir tanımı yapmıştır. Gerçekten de günümüzde uzaktan algılama teknikleriyle Ay, Mars ve Venüs gibi gök cisimlerinin oldukça ayrıntılı haritaları yapılmaktadır. Bu gök cisimleri için referans yüzeyleri tanımlanmış olup, elde edilen görüntüler belli harita projeksiyonları kullanılarak foto haritalar şeklinde kullanıcılara sunulmaktadır. Örneğin yaygın kullanılan sanal küre yazılımlarından Google Earth, Ay ve Mars seçenekleri de sunmakta, bu şekilde bu gök cisimlerine ilişkin veriler/bilgiler sanal küre üzerinde sayısal arazi modeline çakıştırılmış olarak geniş kitlelere ulaştırılmaktadır. Bu bağlamda UKB tarafından verilen tanımda kullanılan coğrafi gerçeklik kavramının, yalnızca yeryüzünü değil diğer gök cisimlerini de kapsadığına dikkat çekmek gerekir. Burada herhangi bir mekanın haritasının yapılabileceğine vurgu yapılmıştır. Uçar ve Uluğtekin (2006) tanımındaki matematik kurallar kavramı ile de harita projeksiyonu 1 ve ölçeğe vurgu yapılmıştır. Günümüzde hızla ilerleyen teknoloji kartografik terimleri de yakından etkilemektedir. Coğrafi Bilgi Sistemlerinin geometrik, sözel çatısını oluşturması, veri/bilgi görselleştirilmesi anlamında haritalar, coğrafi bilginin görsel, sayısal ya da görme özürlüler için kabartma formunda sunulmasını sağlayan bir araç olarak da tanımlanmaktadır. Bu bağlamda haritaların mutlaka görsel olmasının gerekmediği, görme özürlüler için dokunarak da bilgi iletişimini gerçekleştirebileceği dikkat çekmektedir. Harita ve kartografya tartışması kapsamında coğrafi bilgi bilimi (CBB) tanımına da değinmek gerekir. UKB tarafından verilen tanımda CBB nin mekansal bilgi işleme ve yönetiminin ilgili teknoloji ile ticari, sosyal ve çevresel etkileride kapsayacak şekilde bilimsel içeriği olduğu ifade edilmiştir. Burada bilgi işleme ve yönetimi, veri analizi ve dönüşümü, veri yönetimi ve bilgi görselleştirmesini de kapsar. Haritalar çeşitli bakış açılarından sınıflandırılırlar. Bunlardan bazıları: Haritada işlenilen konulara ilişkin bilgilerin elde ediliş biçimi Ölçek Haritada işlenilen konunun içeriği Haritada işlenilen konulara ilişkin bilgilerin elde ediliş biçimi bakımından haritalar, Temel haritalar 1 Haritası yapılacak mekan için tanımlanan bir küre ya da elipsoit gibi bir referans yüzeyinden düzleme izdüşüm

12 Haritaların Tanımlanması ve Sınıflandırılması 9 Çizelge 1.1: Haritaların ölçeklerine göre sınıflandırılması Sınıf Türkiye Hake vd. (2002) Robinson vd. (1995) Büyük Ölçek 1: ve büyük 1: ve büyük 1: ve büyük Orta Ölçek 1: : : : : Küçük Ölçek 1: den küçük 1: den küçük 1: ve küçük Türetme haritalar olarak ikiye ayrılırlar. Temel haritalar, orijinal yersel ya da fotogrametrik ölçmelere ve tematik alımlara dayanılarak üretilmiş haritalardır. Türetme haritalar ise kartografik genelleştirme yoluyla temel haritalardan ve daha büyük ölçekli başka türetme haritalardan yararlanılarak üretilmiş haritalardır. Örneğin fotogrametrik olarak üretilmekte olan Türkiye 1: ölçekli topografik harita takımı temel haritalara örnek olarak verilebilir. Bu harita takımından genelleştirme ile üretilen 1: ve 1: ölçekli haritalar ise türetme haritalara örnek olarak verilebilir. Ölçeklerine göre haritalar üçe ayrılır: Büyük ölçekli haritalar Orta ölçekli haritalar Küçük ölçekli haritalar kaynaklarında ölçeklere göre sınıflandırma yaygın olarak verilmesine karşın, ölçek sınıflandırmasında sayısal değerlerde farklılıklar vardır. Çizelge 1.1 da Türkiye de yapılan harita çalışmalarına uygun ve iki temel ders kitabının sayısal sınıflandırması verilmiştir. Haritalar, işlenilen konunun içeriği bakımından, topografik haritalar tematik haritalar olarak ikiye ayrılır. Topografik sözcüğünde bulunan topos Yunanca yer, mevki ve graphein ise çizmek anlamına gelmektedir. Topografik haritalar, haritası yapılan yeryüzünde bulunan yapay objelerin, akar ve durgun suların, arazi yüzeyinin, bitki örtüsünün ve bu tür objelerin birbirleri ile olan çevresel bağıntıları ile ilgili bilgilerin gösterimini yaparlar. Topografik haritalar, kendi aralarında ölçeklerine göre de sınıflandırılır. Topografik harita daha çok büyük ölçek aralığında kullanılırken, orta ölçek aralığında genel

13 10 ve Harita topografik harita ya da genel referans haritası kavramları kullanılır. Küçük ölçekli topografik haritalar ise fiziki harita olarak adlandırlır. Tematik haritalarda ise mekan referanslı herhangi bir konunun gösterimi yapılabilir. Tematik haritalar işledikleri konunun türüne göre jeoloji, jeomorfoloji, yağış, sıcaklık, bitki örtüsü, nüfus dağılımı, kişi başına düşen milli gelir, deprem vb isimler alabilirler. İstatistiksel harita olarak da adlandırılan tematik haritalar nüfus yoğunluğu, günlük maksimum sıcaklıklar gibi bir ya da daha çok coğrafi özniteliğin (ya da değişkenin) mekansal dokusunu ortaya çıkarmak için kullanılırlar. Yaygın bir tematik harita türü idari birimler gibi veri toplama birimlerinin (enumeration unit) bir özniteliğin farklı birimlerini temsil etmek üzere renklerle doldurulduğu (farklı renkler ya da bir rengin değişik tonları) koroplet haritadır. Orantılı nokta işaret, izoritmik, nokta harita (dot map), akış haritası (flow map) gibi değişik biçimlerde de tematik haritalar yapılabilir (Slocum vd., 2005). Her haritanın konusu olduğuna göre topografik haritalar da konusu yeryüzü olan tematik haritalar olarak düşünülebilir. Topografik haritalar çok konulu, tematik haritalar ise genel olarak tek konulu olmaları bakımından da birbirlerinden ayrılırlar. Robinson vd. (1995) haritaları ölçek, fonksiyon ve ele aldıkları konular bakımından üç kategoride sınıflandırmaktadır. Ölçeğe göre sınıflandırma yukarıda tartışılmış ve yazarların yaklaşımları Çizelge 1.1 da özetlenmiştir. Fonksiyon açısından ise haritaları genel referans haritaları, tematik haritalar ve navigasyon haritaları olmak üzere üçe ayırmışlardır. Genel referans haritaları içerisinde büyük ölçekli olan grup ise topografik haritalar olarak tanımlanmıştır. Navigasyon haritaları(chart) deniz ve hava ulaşımı gereklerine göre tasarlanmış haritalar olup, tematik harita türü olarak da düşünülebilirler. Ele alınan konular açısından ise yine tematik haritalar olarak da düşünülebilecek belli konulara özgü üretilen harita türleri düşünülmektedir. Bu kapsamda ilk akla gelen kategori kadastral haritalar ve büyük ölçekli planlardır. Jeoloji haritaları da bu kategoride düşünülebilir. Şekil 1.3 ve 1.4 topografik ve tematik harita örnekleri görülmektedir. 1.5 Ölçek Ölçek harita tasarımına yön veren en önemli etkendir. Haritanın belli kullanım amaçlarına uygunluğu, içeriğinin zenginliği, kartografik tasarımı ve genelleştirmeyi doğrudan etkiler. Harita üzerinden alınacak ölçülerin (kartometrik ölçmeler) doğruluğu da ölçeğe sıkı sıkıya bağlıdır. Ölçek, harita üzerindeki belli bir uzunluğun arazideki karşılığı olan uzunluğa oranıdır. O halde ölçek, haritadaki bir uzunluğun, bu uzunluğun doğadaki gerçek değerinden kaç defa daha küçük ya da başka bir ifade ile doğadaki uzuluğun haritadaki değerinden ne kadar büyük olduğunu ifade etmektedir. Bir oran olduğuna göre birimsiz bir büyüklüktür, bir katsayıdır. Oransal olarak ölçek s harita uzunluğu, s ise doğadaki uzunluk olmak üzere aşağıdaki gibi ifade edilir.

14 Ölçek 11 Şekil 1.3: Bir topografik haritadan örnek kesit Ö = s s Ö = 1 s s M = s s = 1 M (1.1) 1.1 eşitliklerindeki M, ölçek paydası, ölçek modülü, ölçek faktörü gibi isimlendirilir. Ölçek belli olduğu takdirde doğadaki bir uzunluğun harita değeri ya da haritadaki bir uzunluğun doğadaki değeri kolayca bulunabilir. Örneğin, 1: ölçekli bir haritada 4 cm bir uzunluğun doğadaki değeri 1 km büyüklüğündedir. M = s 4 s = 4cm M = s = cm = 1km Önceki bölümlerde değinildiği üzere, haritalar ölçeklerine göre büyük, orta ve küçük ölçekli haritalar olmak üzere üçe ayrılmaktadır. Buradaki büyüklük kavramı ölçek oranının değeri ile ilşkilidir. Ölçek modülü M, büyüdükçe ölçek küçülür, küçüldükçe büyür. Örneğin 1:25000, 1:50000 den daha büyük bir ölçektir. Doğadaki belli bir uzunluğun iki farklı harita üzerindeki uzunlukları arasındaki ilişki aşağıdaki gibidir. s s 1 M = 1 s s = M 2 (1.2) 2 M 2 M 1

15 12 ve Harita Şekil 1.4: Tematik harita örneği Buna göre 1:25000 ölçekli bir haritada 4cm lik bir uzunluğun 1: ölçekli bir haritadaki karşılığı s 2 = 4(25000/100000)= 1cm olur. Alansal ölçeği, doğadaki kenar uzunlukları a ve b olan bir dikdörtgen varsayımı ile incelenebilir. Bu kenarların harita karşılıkları a ve b olmak üzere, yazılabilir. Dikdörtgenin alanı: a = a M b = b M F = ab = a b M 2 F = a b F = F M 2 (1.3) Doğada aynı büyüklükteki bir alanın iki farklı ölçekteki alanları arasındaki ilişki ise aşağıdaki gibidir. F 1 F 2 = M2 2 M 2 1 (1.4) 1.4 eşitliği, büyük ölçekli bir haritadan küçük ölçekli bir haritaya geçilmek istenirse, küçük ölçekli haritada belli bir bölge için ayrılan çizim alanının, iki ölçek modülü oranının karesi kadar azaldığını göstermektedir. Örneğin, 1:25000 ölçekli bir haritadaki belli bir alanın 1: ölçekli haritadaki karşılığı 16 kat daha küçüktür. Burada aynı bölgeye ait kartografik gösterimin 16 kat küçük bir alana

16 Ölçek 13 sığma zorunluluğuna dikkat çekmek gerekir. Bu problem kartografik genelleştirme teknikleriyle aşılır. Harita üzerinde bir nokta etrafındaki ölçek yalnızca küçültme ile ilgili değildir. Harita projeksiyonları deformasyonlar olarak adlandırılan aln, uzunluk ve açı değişimlerine neden olurlar. Harita projeksiyon deformasyonlarının etkisi orta ve küçük ölçekli haritalarda belirginleşir. Bu nedenle harita kenar bilgilerinde verilen ölçek belli meridyenler ve/veya paraleller boyunca geçerldir. Harita üzerinde herhangi bir noktada tam olarak doğru değildir. Bu bağlamda temel ve yerel ölçek kavramları ortaya çıkar. Kenar bilgilerinde verilen ölçek temel ölçek, harita projeksiyon deformasyonları etkisiye noktadan noktaya değişen ölçek ise yerel ölçek olarak adlandırılır. Ölçeğin harita üzerinde mutlaka yazılması zorunludur. Herhangi bir şekilde ölçeği bilinmeyen bir haritanın ölçeği iki şekilde belirlenebilir. Harita üzerinde dik ya da coğrafi koordinat ağı var ise koordinat değerlerinden ölçek belirlenebilir. Coğrafi koordinat değerleri kullanılırken bunların arasındaki yay uzunluklarından yararlanır. Dik koordinatlar doğrudan kullanılır. Harita üzerinde arazide belirlenebilen iki bulunabiliyor ise, bu uzunluk doğada ve haritada ölçülerek ölçek belirlenir. Örneğin bir pafta üzerinde bir derecelik meridyen yay uzunluğu 11 cm olarak ölçülmüş olsun. R = 6371km küre kabulü ile bu uzunluğun küredeki değeri, G = R 10 π cm = 111.2km M = = cm Buradan ölçeğin 1: olduğu sonucuna varılır. Ölçek harita üzerinde üç şekilde gösterilir: 1. Oransal ölçek (Örneğin 1: ya da 1/25 000) 2. Grafik ölçek 3. Sözel ifadeler (Örneğin 1cm=250m) Oransal ölçek her zaman harita kullanıcı kitlesinin gereksinimlerini karşılamayabilir. Özellikle orta küçük ölçekli harita kullanıcıları oransal ölçek yerine grafik ölçekleri kullanmayı tercih eder. Kullanıcı kitlesi teknik elemanlar olan 1:1000 ölçekli halihazır harita ve imar planlarının kullanıcıları için oransal ölçek yeterlidir. Ancak 1: ölçekli bir Türkiye haritası kullanıcı kitlesinin oransal ölçeği yorumlayarak harita kullanması beklenmez. Bu ölçekte grafik ölçek kullanımı gereklidir. Grafik ölçekler doğrusal ve geometrik olmak üzere iki şekilde tasarlanırlar. Doğrusal ölçek kullanımı daha yaygındır. Türkiye de 1: ve daha küçük ölçekli

17 14 ve Harita topografik harita üretiminde doğrusal ölçek ve oransal ölçek birlikte kullanılır. DÜnyada benzer çalışmalarda da aynı yaklaşım söz konusudur. Farklı uzunluk birimlerinin kullanan kullanıcı kitlelerine kolaylık sağlamak için farklı uzunluk birimlerinde düzenlenmiş doğrusal ölçekler birlikte kullanılabilir. Şekil 1.5 de Türkiye 1: ölçekli harita takımına ait bir paftada kullanılan oransal ve doğrusal ölçek görülmektedir. NATO kapsamında kullanım göz önüne alınarak İngiliz ölçü birimlerinde de doğrusal ölçek kullanımı burada görülmektedir. Şekil 1.6 de ise oransal, sözel ve doğrusal ölçeğin birlikte kullanıldığı bir örnek yer almaktadır. Şekil 1.5: 1: ölçekli bir harita kenar bilgilerinde ölçek Şekil 1.6: Oransal, sözel ve doğrusal ölçekler 181m 346m :5 000 Şekil 1.7: Transversal Ölçek Şekil 1.7 de okuma örnekleri ile birlikte bir geometrik ölçek örneği görülmektedir. Geometrik ölçek transversal ölçek olarak da adlandırılır. Ölçek modülü metrik ölçüler kullanılan ülkelerde yuvarlak rakamlar olarak seçilir. Uzunluk birimi metre olmayan ülkelerde (İngilter ve ABD gibi) ise ilgili uzunluk

18 Haritaların Yayınlanış Biçimleri 15 birimlerine göre düzenlenmiş modülü yuvarlak rakam olmayan ölçekler kullanılır. İngiliz ölçü birimleri kullanılan ülkelerde kullanılan bazı ölçekler aşağıdaki gibidir: 1 parmağın 2 1 mili gösterdiği haritalar: 1 / parmağın 2 mili gösterdiği haritalar: 1 / parmağın 4 mili gösterdiği haritalar: 1 / Metrik olmayan ölçeklerle üretimiş haritalara Fransa ve Rusya gibi ülkelerde de rastlanır. ABD de orta ölçekli topografik harita üretiminde 1: ölçeği kullanılır. 1.6 Haritaların Yayınlanış Biçimleri Haritalar değişik şekillerde kullanıma sunulurlar. Bir bölgenin belli bir referans yüzeyi üzerinde matematik ve kartografik kriterlere göre çizimi yapılmış aynı ölçekteki paftalarının tümüne harita takımı denir. Bu tanımdan anlaşılacağı üzere harita takımının tek bir parçasına pafta denilmektedir. Belli haritalar topluluğunun harita takımı oluşturabilmesi için, aynı ölçekte, referans yüzeyinde, projeksiyonda ve kartografik tasarımda üretilmiş olması gerekir. Türkiye 1: ölçekli topografik harita takımı örnek olarak verilebilir. Belli bir bölge ya da ülkenin çeşitli ölçeklerde yapılmış paftalarını içeren kitap şeklindeki harita toplulukları ise atlas ismini alır. Atlaslar işledikleri konuya ya da bölgeye göre isimlendirilir. Atlasların bir senaryosu/kurgusu olur. Çoğunlukla küçük ölçekli haritalar içeren atlaslarda ölçek, projeksiyon ve kartografik tasarım birliği yoktur. Bilgi teknolojilerinin yaygınlaşması ile çevrim içi haritalar yayınlayan web siteleri giderek yaygınlaşmaktadır. Çevrim içi haritalar uygulama programlama arayüzleri (API) ile harita hizmeti sağlamakta, bu şekilde pek çok web sayfası kendi içeriğine bu servisler üzerinden haritalar ekleyebilmektedir. Bu kapsamda en çok tanınan çevrim içi harita hizmet sağlayıcıları arasında Google Maps, Bing Maps, Open Street Maps sayılabilir. Şekil 1.8 de Google Maps de Konya ve çevresi fiziki harita (Arazi seçeneği) görünümünde görülmektedir. Bildiğimiz klasik görünümlü haritalar dışında havai resimler kullanılarak elde edilen haritalar son zamanlarda oldukça fazla kullanım alanı bulmuştur. Havai resimlerin harita projeksiyon düzlemine dönüştürülüp, birleştirilip kartografik işaretler ve pafta elemanları ile tamamlanması sonucu elde edilen haritalara ortofoto haritalar adı verilmektedir. Benzer haritalar uydu görüntüleri ile de yapılmaktadır. Çevrimiçi harita servislerinde genellikle uydu seçenegi ile ortofoto haritalar sunulmaktadır. Bu tür gösterimlerin çizgisel haritanın yerine geçip geçmeyeceği de zaman zaman tartışılmaktadır. Her iki harita türünün de birbirine göre üstünlükleri ve 2 1 parmak (inç)=2.54 cm

19 16 ve Harita Şekil 1.8: Google Map fiziki harita görünümünde Konya ve çevresi zayıflıkları söz konusudur. Bu konuda Uçar ve Uluğtekin (2006) tarafından yapılan karşılaştırma Çizelge 1.2 de verilmiştir. Bir ortofoto harita örneği Şekil 1.9 de görülmektedir.

20 Haritaların Yayınlanış Biçimleri 17 Çizelge 1.2: Harita ortofoto karşılaştırması Çizgisel Harita Ortofoto 1 Yeryüzünün genelleştirilmiş durumunu yansıtır. uğramamış görünümüdür. Yeryüzünün genelleştirmeye Ayrıntı düzeyi resim çözünürlüğüne bağlıdır. 2 Uzun veri toplama ve yapım Daha kısa veri toplama ve yapım zamanı gerekli olduğundan süreci nedeniyle güncel durumu yayınlandığı sırada güncelliğini daha iyi yansıtır. kaybetmeye başlamıştır. 3 Güncelleştirilmesi maliyetlidir. Yeni bir resim elde etmek daha ekonomik olduğundan güncelleştirilmesi söz konusu değildir. 4 Bilgi taşımayan (boş) alanlar Her noktası bir bilgi içerir. vardır. 5 Haritanın bilgi değeri, topografik ölçmelere ve bunların işlenilme biçimine bağlıdır. Şekil 1.9: Ortofoto harita

21 18 ve Harita

22 Bölüm 2 Yeryüzünün Şekli ve Boyutları Harita yapmak haritada gösterilecek objelerin yeryüzü üzerindeki konumlarını belirlemek, bu konumları harita düzlemindeki konumlara bir harita projeksiyonu yardımıyla dönüştürmek ve harita düzlemindeki objeleri işaretleştirmek olmak üzere üç temel aşamadan oluşur. Başka bir deyişle ilk olarak haritada gösterilecek objelerin yeryüzünde nerede olduklarını belirlemek gerekmektedir. İkinci aşamada yeryüzü üzerinde belirlenen konumlar harita düzlemine aktarılacak, üçüncü aşamada ise kartografik tasarım ilkeleri doğrultusunda harita ortaya çıkacaktır. Yeryüzü üzerinde herhangi bir nokta değişik koordinat sistemleri ile belirlenebilir. Bunlardan en yaygın olanı matematiksel anlamda bir küresel koordinat sistemi olan coğrafi koordinat sistemidir. Yeryüzü üzerinde noktaların konumlarını ifade etmek amaçlı koordinat sistemlerini tanımlayabilmek için ilk olarak yeryüzünün şeklinin ve boyutlarının bilinmesi gerekir. Yer yüzeyi bize engebeli olarak gözükmesine rağmen aslında yumuşak bir yüzeydir. Yerin boyutlarına oranla en yüksek zirveler ve en derin noktalar çok küçük düzensizliklerdir. Yeryüzünün en yüksek noktası olan yaklaşık 8800 m yüksekliğindeki Everest Tepesi ortalama küre yarıçapından ( m) binde 1.3 büyüklüğünde bir sapma demektir. Yeryüzünün en derin noktası olan Marianna Çukurluğu ise 11000m derinliğinde olup yine benzer düzeyde bir sapmaya karşılık gelir. Arthur Robinson un yorumuyla, eğer yeryüzü deniz seviyesi itibarıyla 10 inçlik (25.4 cm) bir bowling topu olsaydı Everest Tepesi 0.17 mm lik bir çıkıntı, Marianna Çukurluğu ise 0.22 mm lik bir çizik olurdu. Yeryüzü ve okyanus tabanı topografyasındaki ortalama değişim bu değerlerin çok altında olduğundan, yeryüzünün şimdiye kadar yapılmış tüm bowling toplarından daha pürüzsüz bir yüzeye sahip olduğu rahatlıkla söylenebilir (Robinson vd., 1995, s. 42).

23 20 Yeryüzünün Şekli ve Boyutları Yerin mükemmel küre görünümü ilk olarak ay yolculuklarında daha sonra çeşitli yapay uydulardan çekilen fotoğraflarda da açıkça görülebilmiştir. Buna rağmen yerin dairesel bir disk biçiminde bir düzlem olduğuna inananlar günümüzde de varlığını sürdürmektedir (Flat Earth Society, Tarihçe İlkçağ Yunan Uygarlığında yeryüzünün küre olduğu eğitimli pek çok kişi tarafından biliniyordu. Bu düşünce kısmen Pisagor un (M.Ö. 6.YY) insanların mükemmel yüzeyli bir gök cismi üzerinde yaşaması gerektiği, onun da küre olduğu şeklindeki felsefi öğretisine dayanır. Aristo (M.Ö.4.YY) ise daha somut gerçeklere dayanarak yeryüzünün küre olması gerektiğini savunmuştur. Bunlar arasında en çok bilineni yelkenli gemilerin kıyıdan uzaklaşırken ufukta bir nokta şeklinde değil, önce gövdesi sonra direği gözden kaybolduğu gerçeğidir. Bu, yeryüzünün en azında düzlem olamayacağını gösteriyordu. Güneş ve ayın dairesel görünümü ay tutulması sırasında yeryüzünün dairesel gölgesinin ayın üzerine düşmesi gibi astronomik gözlemler de yer küreselliği düşüncesini destekliyordu. Aristo nun astronomik gözlemlerinden biri de Mısır ve Kıbrısta görülen üç yıldızın daha kuzeydeki bölgelerde görülmemesi idi. Bu da ancak yeryüzünün eğri bir yüzey olmasından kaynaklanabilirdi. Yerkürenin çevresinin hesaplanması da ilk kez yine bir yunanlı bilim adamı olan Eratosthenes tarafından yapılmıştır. İskenderiye de Büyük Mısır Kütüphanesinin başkanı olan Eratosthenes bugünkü Asuan (o zamanki adı Syene) kentinde bulunan derin bir kuyunun dibinde her yıl 21 Haziran günü güneşin yansıdığı bilgisine ulaştı. Bu tarih gündönümü idi ve güneş orada o tarihte zenitte (başucunda) bulunuyordu. Bu aynı zamanda bu kentin Yengeç Dönencesi üzerinde bulunduğu anlamına geliyordu. Eratosthenes, bir sonraki gündönümünde İskenderiye de öğle üzeri düşey bir kolonun gölgesini ölçerek güneşin ufuktan itibaren yükseklik açısını buldu. Aynı anda bu açı Asuan da 90 olduğuna göre Asuan-İskenderiye yayını yerin merkezinden gören açı 7 12 olarak ortaya çıkıyordu. Bu da yaklaşık olarak 360 nin 1/50 sine karşılık geldiğinden yerin çevresi Asuan-İskenderiye uzuklığının 50 katı oluyordu. Eratosthenes kervancılardan edindiği bilgilerle bu uzaklığı o zamanki uzunluk biriminde 5000 stadia olarak tahmin etti. Buna göre bir stadia 185 m kabul edilerek 46250km değerine ulaşmıştı. Bu şekilde günümüzdeki değerden yalnızca %15 fazla bir değere ulaşmış oluyordu (Robinson vd., 1995). Ancak Eratosthenes in dönemindeki stadia biriminin günümüzdeki birimlerde karşılığı yalnızca belli varsayımlara dayanmaktadır. Bu bağlamda elde ettiği sonucun doğruluğu konusunda kesin bir yargıya varmak mümkün değildir. Ancak buradaki düşünce önemlidir. Yerküreselliği düşüncesi daha sonra İslam dünyasında ve Hindistan da da kabul gördü. Özellikle İranlı El Biruni ( ) yerküre yarıçapını hesaplamış, jeodeziye önemli katkılarda bulunmuştur( of geodesy). Yerin küre olduğunun ya da en azından eğri ve kapalı bir yüzey olduğunun kesin

24 Küre Yüzeyi 21 Şekil 2.1: Eratosthenes in küre çevresi hesabı ispatı ise Magellan ın yılları arasında gerçekleştirdiği ünlü gemi yolculuğu ile yapılmış oldu. Magellan bu yolculuğu tamamlayamamasına rağmen ekibi dünya turunu gerçekleştirdi. 2.2 Küre Yüzeyi Günümüzde yeryüzü genel olarak elipsoit kabul edilmekle beraber küçük ölçekli harita çalışmalarında ve yeryüzünün elipsoit olarak kabul edilmesini gerektirmeyecek hesaplamalarda küre yüzeyi kullanılmaktadır. Bu amaçla Otalik Küre olarak da adlandırılan, yüzey alanı elipsoit yüzey alanına eşit olan küre yüzeyi yaygın olarak kullanılır. Bu tanım gereği her elipsoit tanımlaması için bir otalik küre tanımı söz konusudur. Otalik küre belli bir elipsoit yerine alınabilecek ortalama bir küre olarak da düşünülebilir. Elipsoitin belli bir bölgesi için elipsoite yakınsayan bir küre olarak düşünülen Gauss Küresi otalik küreden farklıdır. Gauss Küresi yarıçapı enleme bağlı olarak hesaplanır ve elipsoite belli bir paralel daire boyunca yakınsadığı kabul edilir. Günümüzde yaygın olarak kullanılan GRS80 ya da WGS84 elipsoitlerine karşılık gelen otalik kürenin yarıçapı 6371 km dir. Yakın geçmişte kullanılan ve halen kimi çalışmalarda kullanılmaya devam eden Bessel Elipsoidine karşılık gelen otalik kürenin yarıçapı ise 6370 km dir. Sonuç olarak günümüzde elipsoit üzerinde hesaplama gerektirmeyen durumlarda küre yarıçapı genellikle 6371km alınmaktadır Küre Yüzeyinde Koordinat Sistemleri Küre yüzeyinde eğrilik her noktada sabit olduğundan küre yüzeyinde kordinat sistemleri tanımlamak için yerin dönme ekseninden yararlanılır. Bu şekilde yerin dönem ekseninin küreyi deldiği noktalar olan Kuzey ve Güney kutupları referans alınarak küresel bir koordinat sistemi olan coğrafi koordinat sistemi tanımlanır. Yerin dönme eksenini içeren düzlemler ile küre arakesitleri meridyenleri oluşturur. Bu şekilde oluşan her meridyen bir yarım daire olup, merkezi küre merkezi ile

25 22 Yeryüzünün Şekli ve Boyutları çakışıktır. Küre ile küre merkezini içermeyen herhangi bir düzlemin arakesiti ise bir küçük daire oluşturur. Buna göre meridyen yayları büyük daire, paraleller ise küçük daire özelliğindedir. Küre yüzeyi üzerinde bir noktayı tek anlamlı olarak tanımlamak için ise iki açısal büyüklüğe (koordinata) ihtiyaç vardır. Bir noktanın ekvatordan olan kuzey güney yönündeki açısal uzaklığı enlem, seçilen bir başlangıç meridyeninden olan doğu batı yönündeki açısal uzaklığı ise boylam olarak adlandırılır. Coğrafi koordinat sistemi olarak adlandırılan bu sistemde ekvator en büyük paralel daire olması nedeni ile doğal bir başlangıç oluşturur. Tüm meridyenler aynı özellikte olduğu için boylam için doğal bir başlangıç sözkonusu değildir. Bugünkü anlamda harita yapım çalışmalarının başlangıcında başlangıç meridyeni seçimi ülkelere göre değişiklik gösteriyordu yılında Washington, D.C. (ABD) de toplanan Uluslararası Meridyen Konferansı nda İngiltere nin başkenti Londra yakınlarında bulunan Greenwich Gözlemevi nden geçen meriyen başlangıç meridyeni olarak kabul edilmiştir. Meridyenler zaman ile ilişkilidir. Başlangıç meridyeninin bu şekilde seçilmesi sonucu tarih değişiminin gerçekleştiği 180 meridyeni çok az sayıda insanın yaşadığı Büyük Okyanus a rastlar. Başlangıç meridyeninin Greenwich meridyeni olarak seçilmesinde bu durumun da etkisi vardır. Şekil 2.2 de başlangıç meridyeninin işaretlendiği Greenwich gözlemevi binasının fotoğrafı görülmektedir. Şekil 2.2: Başlangıç Meridyeni Enlem (ϕ) ilgili noktanın meridyen düzleminde ve küre merkezinde oluşan açıdır.

26 Küre Yüzeyi 23 Ekvatordan itibaren kuzeye doğru pozitif, güneye doğru negatif olarak artar. Değişim aralığı arasındadır. Boylam (λ) ise ilgili noktanın meridyen düzlemi ile başlangıç meridyen düzleminin ekvator düzlemindeki izdüşümleri arasındaki açıdır. Başlangıç meridyeninden itibaren doğuya doğru doğru pozitif, batıya doğru negatif olarak artar. Değişim aralığı dir (Şekil 2.4, Şekil 2.3). Şekil 2.3: Enlem ve Boylam Enleme alternatif olarak bazı uygulamalarda ilgili noktanın meridyen düzleminde kuzey(ya da güney) kutup noktasından noktaya kadar oluşan açı olan kutup uzaklığı (δ) kullanılır. Kutup uzaklığı açısı yardımcı enlem(colatitude) olarak da adlandırılır, enlemin 90 den farkıdır (Şekil 2.3, δ = π ϕ). 2 Enlem o Kuzey Kutbu o 90 o -90 Güney Kutbu Ekvator o o Şekil 2.4: Coğrafi Koordinat Sistemi o Ba lang ç Meridyeni 60 Boylam o 90 Enlem ve boylam coğrafi koordinat sisteminde koordinatları oluşturan açısal büyüklüklerdir. Merdiyen ve paralel daire ise bu sistemde parametre eğrileridir. Boylamı aynı olan noktaların geometrik yeri meridyen, enlemi aynı olan noktaların geometrik yeri ise paralel daire olarak tanımlanır. Enlem ve boylam reel sayılar olduğuna göre küre üzerindeki her noktanın enlemi

27 24 Yeryüzünün Şekli ve Boyutları ve boylamı tanımlanır ve her noktadan bir meridyen ve bir paralel daire geçer. Teorik olarak küre üzerinde sonsuz sayıda meridyen ve paralel tanımlanabilir. Bazı kaynaklarda yer alan kuzey ve güney yarımkürede 90 tane paralel, başlangıç meridyeninin doğu ve batısında 180 tane meridyen olduğu bilgisi tamamen yanlıştır. Burada anlatılmak istenen enlem ve boylamın hangi aralıkta değiştiği bilgisidir. Ancak bu büyükler tamsayı olamayacağına göre bu şekilde tanımlama yapılması matematiksel olarak yanlıştır. Küre yüzeyinde noktaların konumları küre merkezine yerleştirilen bir dik koordinat sistemi (3 boyutlu) ile de tanımlanabilir. z ekseni yerin dönme ekseni ile çakışık, x ekseni küre merkezi ile başlangıç meridyeninin ekvatoru kestiği noktadan geçecek şekilde, y ekseni ise diğer eksenlere dik olacak şekilde seçilmiştir. Bu sistemde noktaların dik koordinatları ile coğrafi koordinatları arasındaki ilişkiler kürenin parametrik denklemleri ile tanımlanır. Şekil 2.5: Küre merkezli kartezyen koordinat sistemi x = Rcosϕcosλ y = Rcosϕsinλ z = Rsinϕ (2.1) Konumu tanımlanan nokta küre yüzeyinde değil de küre yüzeyinden daha yüksek veya alçak bir konumda bulunuyorsa, noktadan geçen küre normali boyunca yükseklik de dikkate alınmalıdır. x = (R+h)cosϕcosλ y = (R+h)cosϕsinλ z = (R+h)sinϕ (2.2)

28 Küre Yüzeyi 25 Kartezyen koordinatlardan enlem boylam ve yükseklik ise aşağıdaki gibi bulunur. tanλ = y x z tanϕ = x+ y 2 h = z sinϕ R Küre Yüzeyinde Eğriler (2.3) Küre yüzeyinde merkezi küre merkezi ile çakışık olan dairelere büyük daire denir. Başka bir deyişle küre merkezinden geçen düzlemlerin küre ile arakesitleri büyük daireleri oluşturur. Yüzey üzerinde iki nokta arasındaki en kısa uzaklık bu noktalardan geçen büyük dairenin kısa olan parçasıdır. Bu yay ortodrom olarak da adlandırılır. Büyük dairelerin yüzey üzerinde en kısa yol olmaları nedeniyle önemi vardır. Küre yüzeyinde merkezi küre merkezi ile çakışık olmayan dairelere ise küçük daire denir. Meridyenler büyük daire yayı, paralel daireler ise küçük daire özelliğindedir. Büyük daire yayı meridyenleri farklı açılar altında keser. Büyük dairelerin tümünün merkezi aynı olduğundan birbirlerine paralel olamazlar, kesişirler. İki büyük dairenin kesiştiği noktalara çapsal karşılıklı noktalar denir. Bu noktaları birbirine sonsuz sayıda büyük daire yayı birleştirir. Bunlardan herbirinin uzaklığı eşit olup ekvatorun yarısı kadardır. Bu tür noktalar dışında herhangi iki noktadan tek bir büyük daire geçer. Meridyenleri sabit açı altında kesen eğriler ise loksodrom olarak adlandırılır. Loksodrom eğrisi küreye sarılan helis eğrisidir (Şekil2.6). İki noktayı birleştiren loksodrom eğrisi iki nokta arasındaki en kısa uzaklık değildir. Ancak birbirine yakın noktalarda ortodrom ve loksodrom uzaklıkları arasındaki fark fazla değildir. Deniz ulaşımında pusula kullanımının yaygın olduğu dönemlerde loksodrom eğrisi önemli idi. Gemiler sabit pusula açısı altında yol aldığında loksodrom eğrisi üzerinde yol alıyordu. İki noktayı birleştiren büyük daire yay uzunluğu ya da ortodrom uzunluğu bu noktalar ve kutup(kuzey ya da güney) noktasının oluşturduğu küresel üçgen çözümü ile bulunur. Bu konu sonraki bölümlerde açıklanacaktır. İki noktayı birleştiren loksodrom eğrisi ile ilgili hesaplamalarda loksodrom eğrisi büyük daire yayı olmadığından küresel üçgen çözümlerinden yararlanılamaz. İki noktayı birleştiren loksodrom eğrisinin uzunluğu ve azimutu diferansiyel geometri yardımıyla bulunabilir. Bu amaçla bir noktadan α azimutunda dl kadar uzaklaşıldığında oluşan diferansiyel üçgenden yararlanılarak diferansiyel eşitliklere ulaşılır (Şekil2.7).

29 26 Yeryüzünün Şekli ve Boyutları K P 1 Ortodrom tanα = Rcosϕdλ dλ = Rdϕ λ 1 Loksodrom Şekil 2.6: Ortodrom ve Loksodrom Eğrileri λ 2 ϕ 2 ϕ 1 P 2 tanα cosϕ dϕ λ λ 2 λ 1 = tanα lntan( π 4 + ϕ 2 ) ϕ 2 Buradan loksodromun genel denklemine ve iki noktayı birleştiren loksodrom eğrisinin azimutuna ulaşılır. λ 2 λ 1 tanα = lntan( π + ϕ ) lntan(π + ϕ 1 ) (2.4) 4 2 ( λ = λ 1 +tanα lntan( π 4 + ϕ 2 ) lntan(π 4 + ϕ ) 1 2 ) (2.5) 2.4 eşitliğinde ters tanjant alırken azimutun değişim aralığı (0 α 2π) dikkate alınmalıdır. Loksodrom uzaklığını bulmak için ise yine diferansiyel dik üçgenden yararlanılır. cosα = Rdϕ dl l 2 R ϕ 2 dl = dϕ l l2 cosα l1 = R cosα ϕ l 1 ϕ 1 ϕ 2 ϕ 1 ϕ 1 l 12 = R cosα (ϕ 2 ϕ 1 ) (2.6)

30 Küre Yüzeyi 27 Meridyen Paralel Şekil 2.7: Diferansiyel Üçgen Bu bağıntılar ile hem iki noktadan geçen loksodrom eğrisinin azimutu ve uzunluğu, hem de bir noktadan geçen, azimutu bilinen bir loksodrom eğrisi üzerinde belli bir uzaklıktaki bir başka noktanın coğrafi koordinatları bulunabilir. Bu hesaplamalar kürede ikinci ve birinci temel ödev çözümleri gibi de düşünülebilir. Ancak temel ödev çözümleri denilince öncelikle ilgili yüzeyde en kısa bağlantı eğrileri 1 ile birleştirilen noktalar düşünülür. Loksodromun Parametrik Denklemi Loksodrom eğrisinin parametrik denklemini oluşturmak için λ parametre olarak seçilebilir. Bu durumda coğrafi koordinat sisteminin orijininden itibaren azimutu bilinen loksodromun denkleminden yararlanılabilir. λ = tanαlntan( π 4 + ϕ 2 ) tan( π 4 + ϕ 2 ) = e λ tanα ϕ = 2arctan(e λ π tanα ) 2 Bu enlem değeri kürenin parametrik denkleminde yerine yazılırsa loksodromun boylama bağlı parametrik denklemi elde edilir. x = Rcosλcos(2arctan(e λ π tanα ) 2 ) y = Rsinλcos(2arctan(e λ π tanα ) 2 ) z = Rsin(2arctan(e λ π tanα ) 2 ) (2.7) Bu parametrik denklemlerde, loksodrom bir meridyeni birden çok kez kesebileceğinden λ π, π aralığının dışına çıkabilir. Eğrinin kutuplara doğru spiral biçiminde görünümü λ değeri artırıldığında oluşur. Loksodrom eğrileri küresel spiral eğrileri 1 Düzlemde doğru, kürede ortodrom, elipsoitte jeodezik eğri

31 28 Yeryüzünün Şekli ve Boyutları olup kutuplara sonsuzda ulaşırlar. Matematiksel kaynaklarda küresel spiral aşağıdaki parametrik denklemlerle verilir 2. x = R cost 1+a2 t 2 y = R sint 1+a2 t 2 z = R at 1+a2 t 2 Burada t boylama karşılık gelir. a ise eğrinin orijin noktasında (ϕ = 0, λ = 0) ekvatordan olan açısının tanjantıdır. Bu parametrik denklemlerle tanımlı eğri, küresel spiraldir, ancak meridyenleri sabit açı altında kesmez. Bu denklemlerde enlem ve boylam ilişkisi olarak tan ϕ = at kullanılmıştır. İlgili kaynakta bunun loksodromun özel bir hali olduğu ifade edilmesine rağmen bu eğri loksodrom değildir. Her iki parametrik denklem üçlüsü de R = x 2 +y 2 +z 2 özelliğini sağlar, ki bu da ilgili eğrinin küre yüzeyinde olduğunu gösterir. Sayısal Uygulama Aşağıda coğrafi koordinatları verilen A ve B noktalarından geçen loksodrom eğrisinin uzunluğunu ve azimutunu, A noktasından loksodrom üzerinde 300km uzaklıkta bulunan C noktasının coğrafi koordinatlarını hesaplayınız (R=6371km). Nokta Enlem Boylam A B ϕ A = λ A = ϕ B = λ B = λ B λ A π tanα = lntan(45 + ϕ B 2 ) lntan(45 + ϕ A ) α = = l AB = km l AB = R cosα (ϕ B ϕ A ) π 180 C noktasının koordinatları: l AC = 300km ϕ C = ϕ A + l ACcosα180 R π = = ( λ C = λ A +tanα lntan(45 + ϕ C 2 ) lntan(45 + ϕ ) A ) π = Küresel Üçgen = Küre yüzeyinde üç nokta büyük daire yayları ile birleştirilirse bir küresel üçgen oluşur. Küresel üçgenlerin çözümleri küresel trigonometri bağıntıları ile yapılır. 2

32 Küre Yüzeyi 29 Küresel trigononometride küresel üçgenlerin kenarları bu kenarları küre yüzeyinden gören açılar ile ifade edilir. Gerekli hallerde metrik uzunluğa küre yarıçapı kullanılarak geçilir. Küresel üçgenlerin iç açıları ise küresel üçgeni oluşturan noktalarda oluşan teğet düzlemlerde oluşan açılardır(şekil 2.8). Şekil 2.8: Küresel Üçgen Bir küresel üçgenin iç açıları toplamı π +ε kadardır. ε küresel ekses ya da küresel fazlalık olarak adlandırılır. Küresel ekses, üçgen kenarları büyüdükçe büyür. Küresel üçgen alanı ve ekses arasında aşağıdaki ilişki vardır. ε = F R 2 (2.8) Bu şekilde küresel ekses bilindiği zaman küresel üçgen alanı bulunabilir. Küresel üçgen elemanlarının hesaplanmasında küresel sinüs ve kosinüs teoremleri sıklıkla kullanılan bağıntılardır. Küresel sinüs teoremi: Kenar kosinüs teoremi: Açı kosinüs teoremi: sina sinα = sinb sinβ = sinc sinγ cosa = cosccosb+sincsinbcosα cosb = cosacosc+sinasinccosβ cosc = cosacosb+sinasinbcosγ cosα = cosβcosγ +sinβsinγcosa cosβ = cosαcosγ +sinαsinγcosb cosγ = cosαcosβ +sinαsinβcosc (2.9) (2.10) (2.11)

33 30 Yeryüzünün Şekli ve Boyutları Sayısal Uygulamalar Uygulama 1: İki kenarı bir açısı verilen küresel üçgenin diğer elemanlarını ve alanını hesaplayınız. Verilenler: a = 350km, b = 250km, γ = 75 İstenenler: c,α,β,ε,f Kenar kosinüs teoreminden üçüncü kenar bulunur. a = a 180 = R π b = a 180 = R π cosc = cosacosb+sinasinbcosγ c = = km Sinüs teoreminden sinα = sina sinc sinγ α = = sinβ = sinb sinc sinγ β = = ε = α+β +γ 180 = = rd F = εr 2 = km 2 İrdeleme: Bu küresel üçgenin kenarları küre yarıçapına göre oldukça küçük olduğundan düzlem üçgene yakındır. Bu nedenle düzlem üçgen olarak hesaplanan alan değeri küresel alan değerinden biraz küçük çıkmalıdır. F = absinγ = km 2 Görüldüğü gibi düzlem üçgen alanı ile küresel üçgen alanından yaklaşık %0.2 daha küçüktür. Açılardan biri kenar kosinüs teoremine göre kontrol edilebilir. cosα = cosa cosbcosc sinbsinc α = Uygulama 2: Bir kenarı iki açısı verilen küresel üçgenin diğer elemanlarını ve alanını hesaplayınız. Verilenler: a = 350km, β = 50, γ = 65 İstenenler: b,c,ε,f Kenarın açı değeri: a = a 180 = R π Açı kosinüs teoreminden cosα = cosβcosγ +sinβsinγcosa α = = Sinüs teoreminden sinb = sinβ sinα sina b = = km

34 Küre Yüzeyi 31 sinc = sinγ sinα sina c = = km ε = α+β +γ 180 = = rd F = εr 2 = km Kürede Temel Ödevler Küre yüzeyinde temel ödev çözümleri coğrafi koordinatlar ile küresel kutupsal koordinatlar 3 arasında yapılan dönüşümlerdir. Birinci temel ödev çözümünde bir noktadan belli bir azimut doğrultusunda belli bir uzaklıkta (büyük daire yayı uzaklığı) bulunan bir başka noktanın coğrafi koordinatları hesaplanır. Kürede büyük daire yayları 4 meridyenleri farklı açılar altında kestiğinden bu çözümde ikinci noktadaki azimut da hesaplanır. Bu problem şekil 2.9 de görülen P 1 KP 2 küresel üçgeninin çözümünden başka bir şey değildir. sinϕ 2 = sinϕ 1 cosδ +cosϕ 1 sinδcosα 1 (2.12) tan(λ 2 λ 1 ) = cosϕ 1 sinα 1 tanδ sinϕ 1cosα 1 (2.13) cosα 2 = cosα 1 cos(λ 2 λ 1 )+sinα 1 sin(λ 2 λ 1 )sinϕ 1 (2.14) α 2 = π α 2 (2.15) 2.13 eşitliğinde tanjant fonksiyonunda pay ve paydanın işaretleri göz önüne alınarak ters tanjant alınmalıdır. İkinci temel ödev çözümünde ise iki noktanın koordinatları K Ekvator P 1 P 2 3 Azimut ve büyük daire yay uzunluğu 4 Ortodrom Şekil 2.9: Kürede Temel Ödev

35 32 Yeryüzünün Şekli ve Boyutları bilinmektedir ve noktalardaki azimut değerleri ile iki nokta arasındaki büyük daire yay uzunluğu istenmektedir. cosδ = sinϕ 1 sinϕ 2 +cosϕ 1 cosϕ 2 cos(λ 2 λ 1 ) (2.16) sin(λ 2 λ 1 ) tanα 1 = cosϕ 1 tanϕ 2 sinϕ 1 cos(λ 2 λ 1 ) (2.17) 2.17 eşitliğindede ters tanjant alınırken pay ve paydanın işareti göz önüne alınmalıdır. Bu tür hesaplamalarda ters trigonometrik fonksiyonlarda enlem, boylam ve azimutun değişim aralıklarına dikkat edilmelidir 5 Sayısal Uygulama π 2 ϕ π 2 π λ π 0 α 2π (2.18) Aşağıda coğrafi koordinatları verilen A ve B noktalarından geçen ortodromun(büyük daire yayının) uzunluğunu, A noktasındaki azimutunu, A noktasından 300km uzaklıkta bulunan C noktasının coğrafi koordinatlarını hesaplayınız (R=6371km). Nokta Enlem Boylam A B ϕ A = λ A = ϕ B = λ B = cosδ AB = sinϕ A sinϕ B +cosϕ A cosϕ B cos(λ B λ A ) δ AB = = km sin(λ B λ A ) tanα A = cosϕ A tanϕ B sinϕ A cos(λ B λ A ) α A = = δ AC = 300km = sinϕ C = sinϕ A cosδ AC +cosϕ A sinδ AC cosα A ϕ C = = tan(λ B λ A ) = sinα A Küre Üzerinde Alan cosϕ A λ B = = tanδ AC sinϕ A cosα A Küresel üçgenin alanı ile küresel ekses arasındaki ilişkiye yukarıda değinilmişti (2.8). Küre yüzeyinde düzenli şekillerin alanlarına zaman zaman ihtiyaç duyulur. Kürenin toplam yüzey alanı aşağıdaki gibi bulunur. F = 4πR 2 (2.19) 5 Ters tanjant için programlama dillerinde ve hesap tablosu yazılımlarında atan2 fonksiyonu tercih edilmelidir.

36 Küre Yüzeyi 33 Küre kapağı: F = 2πRh = 2πR 2 (1 sinϕ) (2.20) Küre kuşağı iki paralel daire arasında kalan bölgedir. Alanı: F = 2πR 2 (sinϕ 2 sinϕ 1 ) (2.21) Meridyen ve paraleller ile sınırlı küre yüzeyinde dörtgen bölge alanı da zaman zaman Şekil 2.10: Kürede Alan gereklidir. Pafta bölümleme sistemleri coğrafi koordinatları temel aldığından bu tür bölgeler pafta olarak da isimlendirilir (Şekil 2.10). F = R 2 (sinϕ 2 sinϕ 1 )(λ 2 λ 1 ) (2.22) Düzlemde en az üç nokta bir alan tanımlar (üçgen). Eğrisel yüzeylerde ise iki nokta da alan tanımlayabilir. Küre yüzeyinde büyük daireler merkezleri ortak olduğu için birbirlerine paralel olamazlar, kesişirler. İki büyük daire küre yüzeyini dört parçaya ayırır. İki büyükdaireyayı ilesınırlanan bualanlarikigenolarakadlandırılır. İleride incelenecek olan UTM projeksiyon sisteminde dilimler meridyenlerle sınırlanmış ikigenlerdir. İkigen alanı ikigeni oluşturan büyük daire yayları arasında oluşan açıya bağlı olarak bulunabilir (Şekil 2.11). F = 2αR 2 (2.23) Küre yüzeyinde küresel üçgen ve düzenli şekillerin (Şekil 2.10) alanları kolaylıkla hesaplanabilir. Ancak herhangi şeklin alanını hesaplamak için düzlemdekine benzer (Gauss alan bağıntıları gibi) bağıntılar bulunmamaktadır. Düzensiz şekillerin alanları için en kolay yaklaşım alan koruyan bir projeksiyona geçmek ve alanı düzlemde hesaplamaktır. Ancak bu durumda şekli oluşturan noktaları kürede birleştiren büyük daire yaylarının projeksiyondaki izdüşümlerinin bu noktaları düzlemde birleştiren doğru parçaları ile çakışık olmadığı gerçeğinin farkında olmak gerekir. Noktalar birbirine yeterince yakın ise bu aykırılığın etkisi hissedilmez.

37 34 Yeryüzünün Şekli ve Boyutları Şekil 2.11: Kürede İkigen Düzensiz şekillerde teorik olarak en doğru yaklaşım şekli küresel üçgenlere ayırıp küresel üçgen alanları toplamı ile alanı bulmaktır. Ancak çok fazla noktadan oluşan şekillerde bunu yapmak çok kolay değildir. Şekil yeterince küçük ise şeklin yaklaşık ağırlık merkezi için bulunacak alan deformasyonu değeri ile de düzlem alandan küresel alana kolaylıkla ulaşılabilir. Ancak şekil yeterince küçük değil ise noktadan noktaya değişen alan deformasyonu değerini şeklin tamamına uygulamak doğru olmaz. Sayısal Uygulama Uygulama 1: Güney kenarının enlemi 39 K olan ϕ = 1 λ = 1 30 boyutlarındaki bir paftanın alanını ve kenar uzunluklarını bulunuz (R = 6371km). ϕ 1 = 39 ϕ 2 = 40 λ rd = F = R 2 (sinϕ 2 sinϕ 1 ) λ rd = km 2 Güney kenarı: S G = Rcosϕ 1 λ rd = km Kuzey kenarı: S K = Rcosϕ 2 λ rd = km Kuzey-Güney kenarı: S KG = R ϕ rd = km Uygulama 2:Güney kenarının enlemi 41 K olan ϕ = λ = 7 30 boyutlarındaki bir paftanın alanını ve kenar uzunluklarını bulunuz (R = 6371km). ϕ 1 = 41 ϕ 2 = λ rd = F = R 2 (sinϕ 2 sinϕ 1 ) λ rd = km 2 Güney kenarı: