MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ

Transkript

1 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1072 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 591 MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ Matematik Öğretimi Yazar: Prof.Dr. Hüseyin ALKAN Yrd.Doç.Dr. Murat ALTUN Editör: Prof.Dr. Aynur ÖZDAŞ

2 Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Anadolu Üniversitesine aittir. "Uzaktan öğretim" tekniğine uygun olarak hazırlanan bu kitabın bütün hakları saklıdır. İlgili kuruluştan izin almadan kitabın tümü ya da bölümleri mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik kayıt veya başka şekillerde çoğaltılamaz, basılamaz ve dağıtılamaz. Copyright 1998 by Anadolu University All rights reserved No part of this book may be reproduced or stored in a retrieval system, or transmitted in any form or by any means mechanical, electronic, photocopy, magnetic tape or otherwise, without permission in writing from the University. Tasarım: Yrd.Doç.Dr. Kazım SEZGİN ISBN

3 Başlarken Matematik, birçok bilim dalının kullandığı bir araç olup, ayrıca modern insanın objektif ve özgür düşünmesine, özgüveninin artmasına, karşılaştığı problemlerdeki sebep-sonuç ilişkilerini açıklamasına yardımcı olacak yetenek ve becerilerinin gelişmesine yardımcı olmaktadır. Çağımızda bilim ve teknolojideki hızlı ilerleme, her alanda yeni bilgi, beceri, teknik ve teknolojik araçları gündeme getirmektedir. Bu nedenle matematiği bilen, anlayan ve yorumlayan insanlara gereksinim duyulmaktadır. Çağın getirdiği değişmeler ve gelişmelerin yanı sıra, matematiğin toplum içinde karmaşık bir etkinlik olarak yer alması nedeniyle, matematik öğretiminin karşı karşıya olduğu sorunlar toplumun sorunları ile paralellik göstermektedir. Bu nedenle matematik öğretim ve eğitiminde de hızlı değişikler ve gelişmeler gözlenmektedir. On üniteden oluşan bu kitapta, ilköğretim matematik öğretmenlerinin, matematik öğretimi alanındaki bilgi ve becerilerinin yenileştirilmesi ve zenginleştirilmesi amaçlanmaktadır. İlk altı ünite matematik öğretimi ile ilgili kuramsal bilgilerden oluşmakta olup, son dört ünite, bazı matematik konularının öğretimi ile matematik öğretiminde çağdaş yaklaşımı esas alan, sınıf içinde doğrudan kullanılabilecek etkinlikleri ve önerileri içermektedir. Bu kitabı oluşturan üniteleri çalışırken, ünitelerdeki çalışma önerilerine uymanızın başarınızı doğrudan etkileyeceği gerçeğini unutmamalısınız. Çalışmalarınızda başarılar dilerim. Editör Prof. Dr. Aynur ÖZDAŞ ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

4

5 Matematik Öğretiminin Amaç ve İlkeleri Yazar Yrd.Doç.Dr. Murat ALTUN ÜNİTE 1 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Matematiğin ne olduğu hakkında bilgi verebilecek ve bilim dalları içindeki yeri ve önemini açıklayabilecek, Matematiğin günlük yaşamdaki yerini açıklayabilecek, Matematiği konu alanlarına ve uygulama alanlarına göre ögelerine ayırabilecek, Matematiğin doğuşu ile ilgili yaklaşımları açıklayabilecek, Matematiğin genel amacını ve ilköğretim matematiğinin amaçlarını sıralayabilecek, Matematik öğretiminin temel ilkelerini tanıyabileceksiniz. İçindekiler Giriş 3 Matematik Nedir? 3 Matematiğin Ögeleri 4 Matematik Nasıl Doğmuştur? 5 Matematik Öğretiminin Amaçları 7 Matematik Öğretiminin Temel İlkeleri 9

6 Özet 14 Değerlendirme Soruları 14 Yararlanılan ve Başvurulabilecek Kaynaklar 17 Çalışma Önerileri Bu üniteyi çalışmadan önce, İlköğretim Matematik Programını inceleyiniz. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

7 MATEMATİ K ÖĞ RETİ M İ N İ N AMAÇ VE İ LKELERİ 3 1. Giriş İlköğretimin ilk sınıflarından başlayarak, öğretim programlarında matematiğe geniş bir yer ayrılır. Sınıflar ilerledikçe öğrencilerin ilgi alanları ve meslek seçimlerine göre matematiğe ayrılan zaman bir kısım programlarda daha da çoğalır, diğer programlarda kısmen azalsa da, dersler arasında, matematik dersine hemen her zaman yer verilir. Bu durum, matematiğin ne olduğuna, niçin bu kadar önemli bulunduğuna dikkat çekmektedir. Bu noktaların açıklığa kavuşturulması, bu kitapta yer alan diğer ünitelerin anlaşılmasına da yardımcı olacaktır. Bu ünitede matematiğin ne olduğuna, diğer bilim dalları ile olan ilişkisine, konu alanları itibariyle nasıl sınıflandırılabileceğine ve ilköğretimde matematik öğretiminin amaçlarının neler olduğuna yer verilecektir. 2. Matematik Nedir? "Matematik nedir?" sorusuna bazı kaynaklar "aritmetik, cebir, geometri gibi sayı ve ölçü temeline dayanarak niceliklerin özelliklerini inceleyen bilimlerin ortak adı" şeklinde bir tanım vermektedir. Bu tanım matematiğe sadece ilköğretim düzeyinde bakınca yeterli görünse de, daha geniş bir açıdan bakıldığında yetersiz kalmaktadır. Çünkü sayı ve ölçüyü temel almayan matematik de vardır. Ayrıca matematik yalnızca niceliklerin özelliklerini değil sistemlerin özelliklerini de inceler. Ayrıca matematiğin diğer bilimlerden destek almamak, kendi kendini üretmek gibi özellikleri vardır. Matematiği bir tanım cümlesinin içine sığdırmak zor görünmektedir. Bu noktadan hareketle aşağıda matematikle ilgili bazı açıklamalara yer verilmektedir. Matematiğin konusu, sayılar, şekiller, kümeler, fonksiyonlar ve uzaylar gibi soyut kavramlar ve bunların arasındaki ilişkilerdir. Matematikçi bu varlıkların yapılarını ve özelliklerini inceler ve bunlarla ilgili genellemeleri ortaya çıkarır. Matematik bilginin üretilmesinde izlenen yol matematiğe hastır ve ispatlama olarak adlandırılır. Bir matematikçi örneklerden yola çıkmaz, geneli ilgilendiren düşünceyi kanıtlamaya çalışır ve bu düşünce tüm örnekler için geçerli olur. Bunu basit bir örnekle açıklayacak olursak, "iki tek sayının toplam bir çift sayıdır", düşüncesinin ispatlanması; tek sayı formuna uygun iki değişkenin seçilmesi (k ve k' birer doğal sayı olmak üzere S 1 = 2k + 1, S 2 = 2k' + 1) ve bunların toplanması, elde edilen sonucun çift olduğu (2 çarpanını içermesi) gösterilmek suretiyle yapılır. Elde edilen sonucun herhangi iki tek sayıya uygulanması sadece bir doğrulamadır. Matematik düşüncenin geliştirilmesine hakim olan bu yaklaşımın adı tümdengelimdir. Tümevarım ile yapılan matematik ispatlar da vardır. Bunlar ya elemanlarının tamamı incelenebilecek kadar az olan sonlu kümelerle ilgilidir veya tümdengelimle ispatın mümkün olmadığı durumlardır. "n tane ardışık tek sayının toplamı AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

8 4 MATEMATİ K ÖĞ RETİ M İ N İ N AMAÇ VE İ LKELERİ? n 2 'dir". Bu ispat yönteminde de elde edilen sonuç genel için doğrudur. ispatlama yaklaşımlarındaki bu durum "Matematik bilgi, deneye dayanmayan ama deneyle doğrulanabilen bir bilgidir" şeklinde ifade edilebilir. Fizik, kimya, biyoloji ve diğer bilimlerden yöntem olarak ayrılışı buradadır. Ayrıca matematik, diğer tüm bilimlerin gelişmesine katkı verir, ancak kendi gelişmesinde diğer bilimlerden yararlanmaz, yani matematik bilgi yine matematik bilgi yardımıyla üretilir. Matematikçiler, elde ettikleri bir kuralın tüm örnekler için geçerli olduğundan nasıl emin oluyorlar? Aslında yukarıda matematiği, onun bir takım özellikleriyle açıklamaya çalıştık. Bu özellikleri; matematiğin; bir bilgi alanı olması; kendine has dili olan bir iletişim aracı olması, ardışık ve yığılmalı bir bilim olması, varlıkların kendileri ile değil, aralarındaki ilişkilerle ilgilenmesi, insan beyninin yarattığı bir soyutlama olması, birçok bilim dalının kullandığı bir araç olması ve bir düşünce biçimi olması olarak ifade edebiliriz. 3. Matematiğin Ögeleri Matematiği somut ve soyut oluşuna göre ikiye ayırmak mümkündür. Somut matematik, pratik hesaplamalar, problem çözme ve ölçme yaparken kullandığımız matematiktir. Buna faydacıl ya da sosyal değer taşıyan matematik diyebiliriz. İkincisi, matematiğin kendi iç tartışmalarının yer aldığı matematiktir. Teoremlerin ispatı, sayı sistemlerinin kurulması, yeni matematik yapıların yaratılması ve bunların iç dinamiğinin açıklanması bu kapsamdadır. Bu tür matematik pür matematik diye bilinir ve soyuttur. Pür matematiğin hayatla ilişkisi zaman içinde oluşmaktadır. Gelişmesi sadece insan zihninin merakını giderme ve gerçeği bulma uğraşına bağlıdır. Matematiğe değişik cephelerden bakıldığında bazı sınıflamalar yapmak mümkün olur. Matematiği değişik cephelerden gösteren yandaki prizmadan, kapsamındaki alanlar itibariyle matematiğin, sayılar, cebir, ölçüler, şekiller ve cisimler ve veri işleme (istatistik) olmak üzere beş temel alana ayrıldığı görülür. Matematiğe uygulama alanları cephesinden baktığımızda üç ayrı uygulama alanı görebiliriz. Bunlar (1) Pratik etkinlikler, (2) Gerçek hayat etkinlikleri ve (3) Matematiğin kendi iç tartışmalarıdır. Şekil 1.1: Değişik Açılardan Metamatik ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

9 MATEMATİ K ÖĞ RETİ M İ N İ N AMAÇ VE İ LKELERİ 5 Matematiği; bilgi ve beceri kazanma amacıyla, günlük işleri yürütmede kullanma, pratik etkinlikler kapsamında, bir köprü yapımında ya da bir direğin boyunu hesaplama amacıyla kullanma gerçek hayat problemleri kapsamında, teoremlerin isbatı, cebirsel yapılar oluşturma ve matematik problemlerinin çözümü için kullanma matematiğin kendi iç tartışmaları kapsamında düşünülen etkinliklere örnek olarak gösterilebilir. Matematiksel yollarla çalışma (Matematiğin hayatı etkileyiş biçimi) cephesinden baktığımızda da matematiği üç ana bölüm halinde ele alabiliriz. Bunlar (1) Genel kullanım, (2) Matematik ile iletişim, (3) Muhakeme etmedir. Genel kullanım kapsamında; bir işi yaparken ihtiyaç duyulan matematiği kullanma, matematiği kullanarak bir işi planlama, elde edilen sonuçların gerçeğe uygunluğunu test etme, problemlere değişik çözümler sunmayı düşünebiliriz. İletişim kurma kapsamında; matematik bilgiyi anlama ve yorumlama, bir işle ilgili mantık yürütme, bir soru üstüne konuşurken matematikten yararlanma, bir çözümün sonuçlarını anlamlı biçimde sunma. Son olarak muhakeme etme kapsamında da; hipotez kurma ve genelleme yapma, tahmin etme, ispat yapma, ispatı reddetme, tanım yapma, verilere bakarak sezgide bulunma gibi etkinlikleri sayabiliriz. Bu açıklamalar çerçevesinde matematiğin öğelerini; mantık, sezgi, çözümleme, yapı kurma, genellik, bireysellik ve estetik olarak sıralayabiliriz. 4. Matematik Nasıl Doğmuştur? Matematiğin doğuşuyla ilgili iki temel yaklaşım vardır. Bunlardan birincisi, matematiği insanın kendisinin icat ettiği, ikincisi ise, matematiğin evrende var olduğu insanın onu zaman içinde farkettiğidir. İkinci görüşü destekleyen doğal kanıtlar oldukça fazladır. Doğada herşey kararlı davranmaktadır. Bir filize dizili yaprakların fizile yapışma noktaları arasında eşit açılar vardır. Fasulye filizi; çubuğa tırmanırken tam bir helis çizmektedir. Bir helis bir noktadan belli yüksekliğe dolanarak çıkmak için en kısa yoldur. Arı peteği düzgün altıgendir. Düzgün altıgen düzlemi homojen örtebilen çokgensel bölgeler arasında bir köşeden en az sayıda ayrıt çıkarmak suretiyle yapılanıdır. Böylece en az malzeme ile düzlemi parsellemek mümkün olmaktadır. Gök cisimleri konik yollar üzerinde koşarlar. Ayçiçeğinin tohumları, biri sağa diğeri sola dönen ve birbirini kesen iki grup logaritmik sarmal şekline dizilmişlerdir. Işık düzleme deyince, dik doğrultuyla eşit açı yaparak yansır. Doğada ve evrendeki kararlılığın matematikle iç içeliği apaçıktır. Bundan ötürüdür ki, matematik yapmakla evreni ve evren içindeki olayları açıklayacak bilgi üretilir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

10 6 MATEMATİK ÖĞRETİMİNİN AMAÇ VE İLKELERİ Şekil 1.2: Ayçiçeği Tohumları İki Logaritmik Sarmal Şeklinde Dizilir Sonuç olarak matematik, insan zihninin çevreden aldığı esin ve ilk hareketle, soyutlama yapmak suretiyle ürettiği bir bilgidir. Bu bilgi evrendeki diğer olayları (sistemleri) açıklamak için bir model oluşturmaktadır. İleri düzeyde matematik yapmak için çevrenin etkisine ihtiyaç kalmamakta mevcut matematik materyal ve düşüncenin kendisi yeterli bir çevre oluşturmaktadır. Yani bir yerden sonra matematik kendi sorularını, buna bağlı olarak da araştırmalarını ortaya koymaktadır. Bu duruma matematiğin her alanından örnekler bulmak kolaydır. Örneğin "üçgen; doğrusal olmayan üç noktayı ikişer ikişer birleştiren doğru parçaların kümesidir" tanımını biz yapmaktayız ve muhtemelen bu tanımlamanın çevreyi tanıma ve açıklamayla kısmen bir ilgisi vardır. Ne var ki üçgende yüksekliklerin, açıortayların, kenarortayların bir noktada kesişmesi, dokuz nokta çemberinin varlığı vs. çevreden ilgisiz, mevcut matematik bilgi üzerindeki araştırma ile ortaya çıkan gerçeklerdir. Matematiğin nasıl doğduğu, matematikçilerin matematikle uğraşma biçimlerine bakılarak da açıklanabilir. Matematikçilerin, matematiği kullanma ya da matematik çalışma biçimleri iki başlık altında düşünülebilir Araç Olarak Matematik Matematik, bir takım bilgilerle insan hayatına destek veren bir bilimdir, bu nedenle gereksinimler doğrultusunda oluşmuştur. Ölçüler, dört işlem tekniği buna örnek ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

11 MATEMATİ K ÖĞ RETİ M İ N İ N AMAÇ VE İ LKELERİ 7 olarak gösterilebilir. Uygulamalı matematik olarak bilinen tüm matematik konuları, araç olarak üretilen matematik kapsamında ele alınabilir Amaç Olarak Matematik Matematik bu anlamda bir araç değil amaçtır ve yalnızca "Bilme ihtiyacının ürünüdür, bir düşünme ve doğruyu arama uğraşıdır." Matematik bu uğraşın sonucunda ortaya çıkmıştır. Teorik matematikçilerin benimsedikleri bu anlayışı haklı gösterecek pek çok örnek vardır. Örneğin; "x 2-1 = 0 denkleminin çözümü vardır ve çözüm x = ±1 dir. Öyleyse x = 0 denkleminin de bir çözümü olmalıdır"; sezgisi sanal sayıların tanımlanmasını ve buna bağlı olarak karmaşık sayılar kümesinin kurulmasını beraberinde getirmiştir. Karmaşık sayılarda, analitik fonksiyonlar teorisini doğurmuştur. Daha basit bir örnek olarak "Bir üçgende üç yüksekliğin bir noktada kesişmesi"ni göz önüne alalım. Bu sonucun her üçgen için doğru olup olmadığının araştırılması, bu düşünceyi ilginç bulan, "Acaba tüm üçgenlerde böyle mi?" diye kafa yoran insanın işidir ve matematik bu tür yaklaşımlarla üretilmiştir. Üretilen matematiğin herhangi bir ihtiyacı karşılamasının ya da kullanılıp kullanılmamasının önemi yoktur. Yani, matematik uygun zihinsel ortamlarda, zihnin kendine bir soru sorması ile başlamaktadır. Bu soru "bilme ve anlama" diyebileceğimiz entellektüel bir duygudan kaynaklanır. Bu duygu da bir ihtiyacın sonucudur. Sonuç olarak matematik, matematiğe karşı duyarlı kişilerin düşünme gücü sayesinde oluşmakta ve kendi iç devinimi ile gelişmektedir. Pratik ihtiyaçların ürettiği matematik de vardır. Matematiğin ilk gelişmeye başladığı yer olarak kabul edilen Mezopotamya, Mısır ve Çin'de nehir taşmaları sonucu kaybolan arazi sınırlarını belirleme ihtiyacı ölçmeyi ve düzlemsel şekillerin tanınmasını, nehirin ne zaman taşacağı ise takvimle ilgili ilk bilgilerin ortaya çıkmasını sağlamıştır. Harplerde üstün gelebilmek, doğal afetlere karşı koyabilmek gibi ihtiyaçlar matematiksel temellere dayanan birçok yeni buluşun yapılmasına yol açmıştır. Özetle matematik alanında yapılan araştırmaların az bir kısmı pratik ihtiyaçlardan, çoğu "bilme ve anlama" tutkusundan ileri gelmiştir ve soyuttur. 17. yy.'da Galileo, top mermilerinin parabolik bir yol izlediğini, Kepler, gezegenlerin güneş çevresinde elips yörüngeler çizdiklerini ortaya koymuştur. Bunlar ve daha önce verdiğimiz örnekler göz önüne alınınca, evrenin en ince ayrıntısından tümüne kadar bir yapılar kompleksi olduğu, matematiğin de bu yapıların (sistemlerin) açıklanmasında başvurulan bir bilim olduğu görülüyor. 5. Matematik Öğretiminin Amaçları Matematiğin insan hayatındaki önemi ve bilimsel hayatın gelişmesine olan katkısından ötürü, matematik öğretimi önem kazanmakta ve matematik öğretimine okul AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

12 8 MATEMATİ K ÖĞ RETİ M İ N İ N AMAÇ VE İ LKELERİ öncesinden başlayarak, ilköğretim ve sonrasında geniş bir zaman ayrılmaktadır. Matematik öğretiminin amacı genel olarak şöyle ifade edilebilir. Kişiye günlük hayatın gerektirdiği matematik bilgi ve becerileri kazandırmak, ona problem çözmeyi öğretmek ve olayları problem çözme atmosferi içinde ele alan bir düşünme biçimi kazandırmaktır. İnsanın çevresi geometrik eşya ve yapılarla kuşatılmıştır. Kullanılan eşyaların tamamı çok çeşitli geometrik cisimlerin yalın ya da bileşik halleridir. Bunları tanımak, insan hayatının her anında sıkça yer alan ölçü aletlerini kullanmak ve elde edilen sonuçları yorumlamak temel matematik beceriler gerektirir. Televizyon ya da gazete haberlerindeki sayısal verileri ya da grafikleri anlamak yine bazı temel matematik bilgi ve beceriler sayesinde olur. İnsan, hayatında sıkça birşeyleri karşılaştırma daha iyi ve daha uygun olanı seçme durumunda kalır. Karşılaştırma varlıkların nitel ve nicel özellikleri üzerinde yapıldığı için karşılaştırmada da temel matematik bilgilerden yararlanılır.? Lisede veya ortaokulda öğrendiğiniz herhangi bir matematik bilgiyi günlük bir işte kulandığınız oldu mu? Örneğin hayatınızda hiç ikinci derce denklem çözme ya da benzerlik bağıntılarını kullanma durumunda kaldınız mı? Eğer kullanmadıysanız bunların öğretiminin gerekliliği sizce nasıl açıklanabilir? Problem çözmeyi öğrenme ve olayları problem çözme yaklaşımı içinde ele alma amacı da şöyle açıklanabilir. Bu yaklaşım, insanın çevresinde olup bitenleri anlaması, olayların nedenleri ve sonuçları arasındaki ilişkileri görmesi, bunlardan faydalanmasını sağlayacak bir düşünme biçimi geliştirmesini sağlar. Bu durum yaygın bir deyimle muhakeme etme olarak ta bilinir. Burada sözü edilen problem çözme yaklaşımının dört temel aşaması vardır. Bunlar; Kişinin bir güçlükle karşılaşması halinde, bu güçlüğün kaynaklarını görme ve güçlüğü yalın olarak ortaya koyma, Güçlüğü ortadan kaldırabilmek için kullanılacak olan stratejileri seçme ve planlama, Bu stratejileri kullanarak güçlüğü giderme ve çözümü değerlendirmedir. (Nasıl çözüldü? Başka çözüm yolu var mı? Çözüm bekleneni tam olarak vermekte midir? Güçlüğün değişik koşullar altında ortaya çıkması halinde çözüm nasıl yapılır?) Matematiğin burada açıklanan genel amacına ulaşması, bilgi, ve beceriler bakımından bir birikim gerektirir. Bu bakımdan her düzeydeki matematik öğretiminin amacı, öğrencilerin yaş ve sınıf düzelerine uygun olarak çeşitlenme gösterir. Bu nedenle, sınıflara göre matematik öğretiminin amacı, öğrencilerin düzeylerine uygun gerekli matematik bilgi ve becerileri kazandırmak, bunların kullanıldığı yer ve durumları tanıtmak, kazanılan bilgi ve becerileri uygulayabileceği ortamlar hazırlamaktır. Böylece kişinin gerekli durumlarda bu birikimini kullanabilmesi mümkün olur. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

13 MATEMATİ K ÖĞ RETİ M İ N İ N AMAÇ VE İ LKELERİ İlköğretim Matematiğinin Amaçları İlköğretim sonrasında öğrencilerin bir kısmı öğrenimi bırakıp hayata atıldığı için, ilköğretim programları günlük hayatın gerektirdiği hemen her türden bilgi ve beceriyi kazandırmayı amaçlarlar. Bunun yanısıra öğrencilerin eğitimlerini sürdürmeleri durumunda da, eğitimleri için gerekli olacak temel matematik bilgi ve becerilerin kazandırılması da amaçlanmıştır. İlköğretim Matematik Programı, ilköğretim Matematik Dersinin Amaçlarını 23 madde olarak vermiştir. Bunlar bazı maddeleri birleşik ifade etmek suretiyle şöyle özetlenebilir: Matematiğin hayattaki yerini ve önemini kavrayabilme, matematiğe karşı olumlu tutum geliştirebilme, Günlük hayatta gerekli olan yazılı ve zihinden hesap yapma becerisini kazanabilme, Problem çözme ve problem kurma yeteneğini geliştirebilme, Günlük hayatta kullanılan ölçü, grafik, plan ve çizelgelerden yararlanabilme, Yüzde, faiz, kâr, zarar, indirim gibi günlük hayatta sık karşılaşılan hesaplamaları yapabilme, Geometrik şekil ve cisimleri tanıma, bunların arasındaki ilişkileri kavrayabilme, alan ve hacimlerini hesaplayabilme, Sayı sistemini kavrayabilme, Cebirsel işlemler becerisi edinebilme, denklem ve denklem sistemlerini kavrayabilme ve bunları günlük hayattaki problemlere uygulayabilme, Basit trigonometri bilgisine sahip olabilme, Olasılık ve istatistiğin temel kavramlarını anlayabilme, bilgi ve düşüncelerini anlatmada bunlardan yararlanabilme, Tümevarım ve tümdengelim ile düşünebilme, yaratıcı ve eleştirici düşünme yeteneğini geliştirebilme, Karşılaştığı problemleri tanıma, sınırlama, çözme ve bu çözümleri değerlendirebilme. 6. Matematik Öğretiminin Temel İlkeleri Hiçbir ilke ya da kuram'a bağlı olmadan öğretim yapmak mümkündür ve muhtemelen ilkel toplumlarda öğretim böyle olmaktaydı. Belli bir plan ve ilkeler doğrultusunda yapılan eğitimin emek, zaman ve etkililik bakımından daha iyi olacağı açıktır. Matematik öğretiminde amaca ulaşılabilmesi için uyulması gerekli başlıca ilkeler aşağıda tanıtılmıştır. Kavramsal temellerin oluşturulması Matematik, kendisi başlı başına bir dil olduğu için birçok temel kavrama sahiptir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

14 10 MATEMATİ K ÖĞ RETİ M İ N İ N AMAÇ VE İ LKELERİ Kavram, sözcük olarak "belirli ortak özellikleri taşıyan nesne ve olayların adı" dır. Açı, üçgen, yüzey, işlem, benzerlik, limit, dizi, türev vs. birer matematik kavramdır. Bir matematik konusunun öğretimi yapılırken, o konuya ilişkin temel kavramları tam olarak kazandırmadan alıştırma ya da uygulama çalışmalarına geçmek ezbere öğrenmeye yol açar. Paralelkenar konusu incelenirken "paralelkenar nedir? diğer dörtgenlerden farkı nedir?" Çokgensel bölgelerin alanları incelenirken "çokgen nedir? alan nedir? alanı ölçmek nedir?" sorularına verilen cevaplar kavram bilgisi ile ilgilidir. Bu sorulara tam cevap veremeden de öğrencilere, alan hesaplama formüllerini ezberlemek suretiyle, çokgensel bölgelerin alanları hesaplattırılabilir, ancak bu etkili ve kalıcı bir öğrenme olmaz. Kavram bilgisini tam olarak verebilmek için öğretmenin dikkat edeceği nokta, konu ile ilgili tanımları tam olarak kazandırmaktır. Kavramın ne olduğunu vermenin yanısıra ne olmadığının da verilmesi gerekir. Kavram kazandırılmadan alıştırmalara nadiren yer verildiği olur. Bu da kavrama karşı bir ilgi ve sempati yaratmak için yapılır. İlköğretimde kavram bilgisi verilirken fazlaca sembolik ve matematiksel dilden kaçınılmalı, öğrencilerin anlayabileceği bir dil kullanılmalıdır. Yamuk tanımını bildiğiniz şekliyle bir kenara not ediniz. Daha sonra bir kaynağa bakarak eksik ya da fazla ifadeleriniz varsa düzeltiniz. Bir kavramın özellikleri, örnekleri değiştiği halde hep aynı kalan unsurlarıdır. Kavramın kazandırılmasında bunların öne çıkarılması önemlidir. Yamuk için "iki kenarı paralel olan düzlemsel dörtgendir" ifadesi gerekli ve yeterlidir. Bu tanımın verilmesi sırasında karenin, dikdörtgenin, paralelkenarın, eşkenardörtgenin de birer yamuk oldukları ortaya konmalıdır. Bunlar yapılmadığı taktirde kavramla ilgili bilgi öğrencinin zihninde soyutlanmamış, netleşmemiş olur. Kavramların oluşturulması, kavramla ilgili detaylı bilgiye daha sonra yer verileceği durumlar (sözgelimi yamuğun çizimi, çevresi, alanı vs.) için çok önemlidir. Önşartlılık ilişkisi Matematik konuları diğer derslere göre daha güçlü bir sıralı yapıya sahiptir. Bunun temel nedeni matematiğin hiç bir dış katkı almadan kendisini üretmesidir, yani ardışık ve yığılmalı bir bilim olmasıdır. Herhangi bir kavram onun önşartı durumundaki diğer kavramlar kazandırılmadan tam olarak verilemez. Önşartlılık ilişkisi bazı konular için doğrusal bir yapıdadır. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

15 MATEMATİ K ÖĞ RETİ M İ N İ N AMAÇ VE İ LKELERİ 11 B A A B C D C Şekil 1.3: Konular Arasındaki Önşartlılığın Biçimleri A kavranmadan B ye, B kavranmadan C ye geçme şansı yoktur. Sayıların öğretimi bu modele uygundur. Tek basamaklı sayılar öğrenilmeden iki basamaklılar, iki basamaklılar öğrenilmeden üç basamaklılar öğrenilemez. Bu durum tüm konularda ortaya çıkmaz. Bazı konularda temel alınacak konu çeşitlilik gösterebilir. Bunu şöyle örnekleyebiliriz. Üçgenin alanını kavratmak için dikdörtgenin alanından yararlanılabileceği gibi paralelkenarın alanından da yararlanılabilir. Bu modele ağ modeli denilebilir. Ağ modelinin uygun düştüğü konularda öğretmen, temel alınacak konulardan hangisi sınıf tarafından daha iyi biliniyorsa konuyu onun üzerine kurmalı ve ondan yararlanmalıdır. Önşartlılık ilişkisi olan konuların herbirinin bilinmesi halinde, bunlardan birine öğretim sırasında yer vermek, diğerini uygulama sırasında kullanmak ve böylece öğrencilere seçenek sunmak en idealidir. Anahtar kavramlara önem verme Bazı matematik kavramlar, diğer konuları işlerken bir araç gibi kullanılır. Bunlara bilgiyi hatırlama veya üretme için sıkça başvurulur. Birim çember, kenarları 2 birim olan eşkenar üçgen, dikkenarları 1'er birim olan ikizkenar dik üçgen, açıların trigonometrik değerlerini bulmada birer araçtırlar. Sayı doğrusu, işlem tekniğinin ve sayı sisteminin kavratılmasında, sık kullanılan bir araçtır. İşlemlerin özellikleri, zihinden hesap yapmanın anahtarıdır. Bu yüzden öğrenildiği gibi kalmamalı, gerek günlük hayatımızda, gerekse derslerin kapsamındaki hesaplamada kullanılmalıdır. Burada öğretmene düşen görev, araç niteliğindeki bu kavramları kendisinin kullanması ve yeri geldiğinde de öğrencilere kullandırtmasıdır. Öğretimde öğretmen ve öğrencinin görevlerinin iyi belirlenmesi Matematik derslerinde öğretmen, yeri geldikçe konuyu açıklayarak anlatan, yeri geldikçe öğrencilerle tartışan, yeri geldikçe sadece öğrenci çalışmalarını izleyen konumlardadır. Mutlaka öğretmen tarafından anlatılması ve açıklanması gereken "örneğin; iki kesrin birbiriyle çarpılması, trigonometrik denklem, eşitsizlik, vb." soyut AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

16 12 MATEMATİ K ÖĞ RETİ M İ N İ N AMAÇ VE İ LKELERİ kavramların verildiği durumlarda öğretmene büyük görev düşer. Eğer öğretmen, öğretimi amaçları doğrultusunda gerçekleştiremezse, öğrencilerde ezberleme eğilimi artar veya onarılması güç hatalı öğrenmeler ortaya çıkar. Bunun yanısıra matematik derslerinin büyük bir çoğunluğunda öğretmen sınıfta araç ve materyal hazırlığı yapan, öğrencilerin grup şeklinde mi yoksa bireysel olarak mı çalışacağına karar veren, onların bilgiyi üretmeleri ve kullanmaları için ortam hazırlayan bir kişidir. Bu ortamı hazırladıktan sonraki görevi, öğrencilerin bilgiyi üretme ve uygulama sırasında çektikleri güçlükleri gözlemek ve onlara yardımcı olmaktır. Çalışma sonunda ise, sınıf tartışması açıp konu ile ilgili ortak sonucu öğrencilerle paylaşmak ve öğrencilerin birbirleriyle paylaşmasını sağlamaktır.? Öğretimde çevreden yararlanma Matematik dersi işlerken sınıfa getirdiğiniz herhangi bir market malzemesi oldu mu? Olduysa ne için getirdiniz? Matematik öğrenmenin temel amacı çevreden ve olaylardan anlam çıkarma, onları daha iyi yorumlayabilme olup, bu amaca en iyi şekilde ulaşabilmek için, bazen çevre sınıfa, bazen de ders çevreye taşınmalıdır. Böylece öğrenilen bilgi, daha kolay uygulamaya geçirilebilir. Bu durum özellikle ilköğretim matematiği için çok önemlidir ve ilköğretim matematiğinin her konusu için uygun örnekler vardır. Çokgensel bölgelerin alanlarının hesaplanmasında "evimizin ya da sınıfımızın pencere camı tutarının, boya-badana tutarının hesaplanması", Yüzde (%) hesaplarının öğretiminde bir banka hesap defterindeki işlemlerin analizi, Hacim hesaplarında bir marketten alınan farklı boylardaki kutu ambalajlar üzerinde çalışma, Grafiklerin öğretimi için, altın ve döviz fiyatlarındaki değişimi gösteren gazete sayfaları, Alışveriş hesapları için bir lokantanın yemek fiyat listesi veya marketlerin fiyat cetvelleri uygun araçlardır. Araştırma çalışmalarına yer verme İlköğretim matematiği öğretim etkinliklerinde, öğrencilerin düzeylerine uygun olarak, rutin olmayan problemler ve araştırma çalışmalarına yer verilmeli, onların bu konular üzerinde bireysel ya da grupça çalışmaları sağlanmalıdır. Bu tür çalışmalar onların öğrendiklerini uygulamalarına olanak sağladığı gibi bağımsız çalışma, özgün düşünme ve açıklama yapma yeteneklerini geliştirir. Örneğin; ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

17 MATEMATİ K ÖĞ RETİ M İ N İ N AMAÇ VE İ LKELERİ 13 "Kenar uzunlukları 60 cm. ve 100 cm. olan dikdörtgen şeklindeki bir kartondan en büyük hacimli üstü açık kutu yapabilmek için köşelerden kesilmesi gereken karelerin boyutu ne olmalıdır?" Böyle bir çalışma öğrencilerin yürütebileceği bir araştırmadır. (Bu problemin kesin cevabı, üst düzey bir kavram olan türev kavramını gerektirir). Bu düzeyde beklenen ise, öğrencilerin köşelerden kesilen karenin boyutunun değişimi ile oluşan kutunun hacminin değişiminin paralellik göstermediği, ancak en büyük olan bir hacim değerin varlığını farketmeleri ve bunu bulmaya çalışmalarıdır. Bu amaçla öğrencilerin aşağıdaki tabloyu doldurmaları ve bu tablonun satırlarını ihtiyaca göre artırmaları gerekli ve yeterlidir. 60 cm Kesilen (cm) 5 cm 10 cm 15 cm 17 cm 20 cm Hacim 3 50 x 90 x 5 = cm 40 x 80 x 10 = cm3 100 cm 25 cm Matematiğe karşı olumlu tutum geliştirme Öğrencilerin birçoğu hata yapma korkusuyla matematik etkinliklerinden uzak durmakta ve başarısız olmaktadır. Matematik korkusu ve kaygısı üzerine yapılmış araştırmalar öğrencilerin matematikle ilgili yaşantıları arttıkça, matematiğe karşı olumlu tutumlarında azalmalar gözlendiğini ortaya koymuştur. Öğrencinin matematiğe karşı tutumunda, öğretmenin rolü büyüktür. Bu nedenle öğretmen, öğrencilerin matematiğe karşı olumlu tutum geliştirmelerini sağlayacak önlemler almalıdır. Önerilen bazı önlemler şunlardır: İlkokulun ilk yıllarından itibaren öğrenciler gelişmişlik düzeylerine uygun matematik etkinliklerle karşı karşıya getirilmeli, onların kapasitelerini zorlayacak etkinliklerden kaçınılmalıdır. Matematik derslerinde uzun ve can sıkıcı ödevlerden kaçınılmalı, alışılmış rutin alıştırmaların yanısıra öğrencilerin ölçme yapmalarını gerektiren, onları araştırmalara yönelten ödevler de verilmelidir. İşlem kavramları ve bu işlemlerin teknikleri öğretilirken ezberleme yerine bunların anlamları üzerinde durulmalı, işlemlerin tekniklerini açıklayıcı ders materyali, kavram ve algoritmalar pekişinceye kadar öğrencilerin görebilecekleri mekanlarda bulundurulmalıdır. Öğretmen, matematikte aynı sonuca ulaşan yöntemlerin çokluğunu sezdirmeli ve öğrencilerin bulduğu farklı çözümleri önemsemelidir. Çocuklar gerek işlem ve çizim yaparken, gerek problem çözerken yeterli zaman kullanabilmeli, yetiştirememe kaygısı içinde bırakılmamalıdırlar. Ayrıca AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

18 14 MATEMATİ K ÖĞ RETİ M İ N İ N AMAÇ VE İ LKELERİ öğrencilerin problem çözme ve işlem yapma sırasında düştükleri hatalar hoşgörü ile karşılanmalı, bu hataları giderici, onarıcı ve yol gösterici çalışmalar yapılmalıdır. Matematiğin eğlendirici, dinlendirici yanı öğrencilere tanıtılmalı, matematik öğretiminde oyunlaştırılmış etkinliklere yer verilmelidir. Matematik etkinlikler sırasında öğrencilerin kendi düşüncelerini açıklamaları için fırsatlar verilmeli, başarılı öğrencilerin hızlı çözümlerinin, yavaş olan öğrencileri bloke etmesi önlenmelidir. Özet Matematik için, üzerinde herkesin birleştiği bir tanım henüz verilememiştir. Bunun nedeni kapsamının geniş olması ve felsefi temellerinin çeşitlilik göstermesidir. Matematiğin konusu; sayılar, şekiller, cisimler, uzaylar fonksiyonlar ve bunların birbirleriyle olan ilişkileridir. Matematik, matematiğe karşı duyarlı kişilerin düşünme gücü sayesinde çevresinden aldığı ilham sonucunda oluşmuş ve kendi iç devirimi ile gelişmektedir. Matematik alanında yapılan çalışmaların bir kısmı, çeşitli alanlarda duyulan gereksinimler nedeni ile yapılan uygulamalı çalışmalar, çoğu ise "bilme ve anlama" tutkusundan kaynaklı soyut çalışmalardır. Matematik öğretimiyle; bireylerde bir takım yetenekler, değerler ve tutumlar geliştirilmek amaçlanır. Bu genel amaç içerisinde ilköğretim matematik öğretiminin amacı; bireyin, içinde yaşadığı topluma ekonomik, sosyal, kültürel ve bilimsel yönden uyum sağlamasına olanak sağlayacak matematik bilgi ve becerileri kazandırmaktır. İlköğretim matematik öğretiminin, amaçları doğrultusunda gerçekleşebilmesi için uyulması gerekli bir takım ilkeler vardır. Bunların başlıcaları; konu ile ilgili temel kavramların kazandırılması, yeni bir konuya girerken önkoşul konumundaki ön öğrenmelerin belirlenmesi, öğretimde çevreden yararlanılması ve öğrencinin matematiğe karşı olumlu tutum geliştirmesine yardımcı olunmasıdır. Değerlendirme Soruları 1. Matematik bilgi için verilen aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur? A. Matematik bilgi mutlaka bir işe yaramalıdır. Yaramaz ise matematik olmaktan çıkar. B. Matematik bilginin çoğu harplerin ve doğal afetlere karşı verilen savaşların sonucunda ortaya çıkmıştır. C. Matematik bilgilerin çoğu tümevarım yöntemiyle elde edilmiştir. D. Matematik bilgilerin çoğu deneysel yöntemle elde edilmiştir. E. Matematik bilgilerin çoğu doğruyu bilme ve anlama uğraşının sonucunda elde edilmiştir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

19 MATEMATİ K ÖĞ RETİ M İ N İ N AMAÇ VE İ LKELERİ Aşağıdakilerden hangisi bir gerçek hayat problemine örnek olarak verilebilir? A. Boğaziçi köprüsünü taşıyan halatların yükünün hesabı B. Bir pencere camının eninin ve boyunun ölçülmesi C. Bir üçgende üç iç açı ortayın bir noktada kesiştiğinin gösterilmesi D. Bir doğruya paralel olan iki doğrunun paralel olduğunun gösterilmesi E. Seçim sonuçlarının dairesel grafikle anlatılması 3. Aşağıdakilerden hangisi matematikle ilgili bir pratik etkinliktir? A. Pazar alışverişinde harcanan paranın hesabı B. Kenarları verilen bir üçgenin çizimi C. Bir dairenin 1/100 ölçekli planının çizilmesi D. Bir bataklığın genişliğinin üçgenlerde benzerlik yardımıyla hesaplanması E. Bir sınıftaki öğrencilerin notlarının standart kaymasının hesabı 4. Aşağıdakilerden kaç tanesi matematiğin birer iç tartışmasıdır? İki açısı verilen üçgenin üçüncü açısının hesabı Bir çift zar atıldığında toplam 7 gelme olasılığının hesabı x+a = b denkleminin bir çözümünün varlığının ispatı Bazı bitkilerin davranışlarının matematikle açıklanabildiğini gösterme Asal sayıların sonsuzluğunun ispatı A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E Matematiğin konu alanları kaç ana başlık altında ele alınabilir? A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E Aşağıdakilerden hangisi matematiğin ilköğretim düzeyindeki amaçlarından biri değildir? A. Matematiğe karşı olumlu tutum geliştirebilme B. Basit trigonometri bilgisine sahip olabilme C. Olasılık ve istatistiğin temel kavramlarını anlayabilme D. Tümevarım ve tümdengelim ile düşünebilme E. Eşitsizlik sistemlerini kavrayabilme ve günlük hayattaki problemlere uygulayabilme AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

20 16 MATEMATİ K ÖĞ RETİ M İ N İ N AMAÇ VE İ LKELERİ 7. Aşağıdakilerden hangisi matematik öğretiminin temel ilkelerinden biri değildir? A. Önşartlılık ilişkisi B. Anahtar kavramlara önem verme C. Buluş yoluyla öğrenme D. Öğretimde çevreden yararlanma E. Matematiğe karşı olumlu tutum geliştirme 8. Matematik öğretiminde kazandırılacak bilgilerin öğretiminde "başka bir bilginin temele alınmak zorunda olmasını" aşağıdaki ifadelerden hangisi dile getirir? A. Konuya hazırlık yapılması B. Araştırma çalışmalarına yer verme C. Olumlu tutum geliştirme D. Ön şartlılık ilişkisi E. Kavramsal temellerin oluşturulması 9. Öğrencilerin örneğin dikdörtgenin alanını formül kullanarak yapması, ancak alan formülü yerine zaman zaman çevre formülüne başvurması öğrenmede hangi ilkenin gözardı edildiğini ortaya koyar? A. Ön şartlılık ilkesi B. Kavramsal temellerin oluşturulması C. Anahtar kavramlara önem verme D. Öğretmen ve öğrencinin rollerinin iyi belirlenmesi E. Öğretimde çevreden yararlanma 10. Matematik öğretiminin en genel amacı "bireylere, olayları problem çözme atmosferi içinde ele alan bir düşünme biçimi kazandırmaktır" ifadesi ile aşağıdakilerden hangisi anlatılmak istenmektedir? A. Matematik öğretimi dört işlem problemlerini çözebilme yeteneğini geliştirmelidir. B. Geometri konularını da problem çözme kapsamında ele almalıdır. C. Matematik öğretimi ile, güçlüğü sezen ve onu ortadan kaldırmak için strateji geliştiren, yaptığı çözümü değerlendiren bireylerin yetişmesi amaçlanır. D. Matematik öğretimi ile günlük hayatın gerektirdiği hesaplamaları iyi yapabilen bir insan yetiştirmek amaçlanır. E. Matematik, insanın çevresindeki olaylarla ilgili olmalıdır. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

21 MATEMATİ K ÖĞ RETİ M İ N İ N AMAÇ VE İ LKELERİ 17 Yararlanılan ve Başvurulabilecek Kaynaklar Altun, Murat. Matematik Öğretimi. Bursa: Busbridge, John ve D. Ali Özçelik. İlköğretim Matematik Öğretimi, Ankara: MEB, İlköğretim Matematik Dersi Programı, İstanbul: Aksu, M., Özdaş, A. ve diğerleri. Matematik Öğretimi. Eskişehir: Değerlendirme Sorularının Yanıtları 1. E 2. A 3. A 4. B 5. C 6. E 7. C 8. D 9. B 10. C AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

22 Matematik Öğrenme ve Öğretme Süreci Yazar Y. Doç.Dr. Murat ALTUN ÜNİTE 2 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Öğrenme ve öğretim kavramlarını tanımlayabilir, Matematik öğretimini etkileyen başlıca öğrenme kuramlarını bilir, Piaget, Bruner, Vygotsky, Van Hiele, Freudenthal'in öğrenme yaklaşımlarını açıklayabilir. Matematik bilgilerin çeşitlerini tanır ve bunlara örnekler verilebilir, Bir dersin hedeflerinin yazılmasında, Bloom Taksonomisinin yerini ve önemini bilir, bu taksonominin bilgi, kavrama, uygulama düzeylerine uygun örnekler verebilir, İlköğretim Matematik Programını tanır, değerlendirelebilir ve programla ilgili değişiklik önerilerinde bulunabilirler. İçindekiler Giriş 21 Matematik Öğretimini Etkileyen Bazı Öğrenme Kuramları 21 Matematik Bilgilerin Sınıflandırılması, Hedef-Davranışların Yazılması ve Öğretimi 26 İlköğretim Matematik Programının Tanıtılması ve Değerlendirilmesi 31

23 Özet 36 Değerlendirme Soruları 37 Yararlanılan ve Başvurulabilecek Kaynaklar 39 Çalışma Önerileri Yanınızda bir kâlem, kâğıt bulundurunuz ve metinleri çalışırken, içindeki hesaplama ve çizimleri yapınız, Yanınızda bir İlköğretim Matematik programı bulundurunuz ve metinlerin içindeki sayfa numaralarını dikkate alarak programın ilgili sayfalarını inceleyiniz. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

24 MATEMATİ K ÖĞ RENME VE ÖĞ RETME SÜRECİ Giriş Öğrenme, "bir takım yaşantılar sonucunda kalıcı izli davranış değişikliğinin oluşması" şeklinde tanımlanabilir. Bu tanıma göre zihinden çarpma yapmasını bilmeyen bir insanın çarpma işlemini yapar hale gelmesi, çember çizmesini bilmeyen birinin çemberi çizer hale gelmesi bir davranış değişikliğidir ve öğrenme olayının sonucudur. Öğretme ise, "bireye belli bir davranışı kazandırmak (öğretmek) için uygun ortamın hazırlanması, yönlendirilmesi ve öğrenmenin gerçekleştirilmesi etkinlikleri" olarak tanımlanabilir. Yukarıda verilen örneklere devam edecek olursak, öğrencilerin, zihinden çarpma yapabilir ya da pergel yardımıyla çember çizebilir hale gelmesi için, öğretmenin hazırlayıp uyguladığı etkinlikler, öğretimdir. İnsanın ya da hayvanın nasıl öğrendiği, insanın öğrenmesine nasıl katkıda bulunulabileceği bilim adamlarını sürekli meşgul etmiştir ve etmektedir. Öğrenme olayının iyi tanınması ve öğretme modellerinin kullanılması, öğrenmeyi hem daha etkili ve ekonomik kılmakta hem de geleneksel yöntemlerle tam öğrenilemeyen bazı kavram ve becerilerin öğrenilmesini sağlamaktadır. Bu ünitede matematik öğretimini etkileyen psikologlardan ve bunların öğrenme kuramlarından sözedilmektedir. 2. Matematik Öğretimini Etkileyen Bazı Öğrenme Kuramları Öğrenme Kuramları "Davranış Kuramları" ve "Biliş Kuramları" olmak üzere iki ana başlık altında ele alınabilir. Matematik öğretimi, daha çok biliş kuramlarından etkilendiği için burada sadece biliş kuramlarına, kuramcılar esas alınarak yer verilecektir Jean Piaget ( ) Piaget zihinsel gelişim üzerinde çalışmış ve çocukların zihinsel gelişmelerinin sıralı dört basamakta gerçekleştiğini bildirmiştir. Bu basamakların, nesneleri tasarlama ve organize etme, nesneleri sembollerle gösterme ve diğer zihinsel beceriler bakımından karakteristik özellikleri vardır. Duyusal Devinim Dönemi (Doğumdan 1 veya 1,5 yaşa kadar) İşlem Öncesi Dönem (1 veya 1,5 yaştan yaklaşık 7 yaşa kadar) Somut İşlemler Dönemi (7 yaştan ergenliğe kadar) Soyut işlemled Dönemi (Ergenlikten itibaren) AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

25 22 MATEMATİ K ÖĞ RENME VE ÖĞ RETME SÜRECİ Her çocuk bu dönemlerden sırasıyla geçer ancak çocuktan çocuğa, dönemlerle ilgili yaşlar değişebilir. İlköğretim yaşı somut ve soyut işlemler dönemine rastlamaktadır. Piget, çocuğun matematik aktivitileri başarabilmesi için belirli bir olğunluğa gelmiş olmasının gerektiğini ve bu olgunluğa gelmemiş çocukların, öğrenme yerine ezberleyeceğini belirtmiştir. Somut işlemler dönemindeki bir çocuk, matematik işlemleri öğrenebilir ve yapabilir. Piaget'e göre somut işlemler dönemine gelmemiş bir çocuk sayı sayabilir, hatta ikişer, üçer de sayabilir, ancak bütün bunlar onun matematik yapabileceği anlamına gelmez. Çocuğun matematik aktivitelere katılabilmesi için sayıyı koruma adı verilen "denk iki küme kurabilme, kümelerden birinin elemanlarının seyreltilmesi halinde, kümelerdeki çokluğun değişmediğinin farkında olma" özellikleri ile açıklanan yeterliğin tamamlanmış olması gerekir. Bu dönemdeki öğrenmeler öğrencilerin yaşantılarına doğrudan bağlı olmalıdır. Ayrıca yine Piaget'e göre soyut işlemler dönemine (12 yaş) gelmemiş çocuklar sembollerle düşünme, hipotezlerden yola çıkarak sonuca ulaşmayı başaramazlar. Piaget'e göre öğrenme, çocuğun içinde bulunduğu gelişim basamağına uygun olarak, çevre ile etkileşim aracılığıyla gerçekleşir. Bu durum, çevrenin zihinsel olarak yeniden oluşturulması, çevreyle uyum içinde olma şeklinde de ifade edilebilir. Piaget'e karşı yaklaşımlar da vardır. özellikle belli öğretim faaliyetlerine getirdiği yaş sınırlamaları bazı eleştireler almıştır. Bütün bunların yanında zihinsel gelişmeyi detaylı olarak incelemesi ve matematik öğrenmelerin çoğunlukla bilişsel alanla ilgili olması, onun matematik öğretimini etkilemesine yol açmıştır Jerome Bruner Bruner, öğrencilere kazandırılması düşünülen yeni bir kavramın sunulmasında üç aşamanın yer alması gerektiğini savunmuştur. Koni kavramının öğretimini yaparken yer verdiğiniz etkinlikleri üç-dört madde halinde bir kenara not ediniz. Bunlar somut metaryel kullanma, grafikle gösterme ve sembollerle göstermedir. Bunun için hazırlanacak eğitim ortamında ve kullanılacak materyal seçiminde somut materyaller, grafik ve şemalar ve son olarak sembollerin kullanımına yer verilmelidir. Bruner "buluş yoluyla öğrenme" üzerinde durmuş ve buluşla öğrenmenin zihinde tutmayı ve transferi kolaylaştırdığını, öğrenmeyi güdülediğini savunmuştur. Buluş yolunun matematikte geniş uygulama alanı vardır. bu yol kullanıldığında öğretmenin görevi; öğrencilere bilgiyi sunmaktan ziyade öğrencilerin bilgiye ulaşabilmeleri için ortam hazırlamaktır. Böylece öğrenciler kavram ve ilkeleri kendi etkinlikleri ile öğreneceklerdir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

26 MATEMATİ K ÖĞ RENME VE ÖĞ RETME SÜRECİ 23 Aşağıdake etkinlik üçgende içaçılar toplamının buluş yoluyla kazandırılması ile ilgilidir. Etkinlik: Üçgenin İç Açıları Toplamı Materyal: Üçgen şemaları, açıölçer Grup: 2-3 kişi İşlemler: Herbir gruba farklı bir üçgenin verilmesi ve öğrencinin bu üçgenlerin açılarını ölçüp toplamaları. A A A B C B 110 B C 46 C Yapılan ölçümlerin öğretmen tarafından kontrolu. Üçgenin iç açıları toplamının 180 olduğunun bulunması. Buluş yoluyla öğretim için, öğrenme konusuna ilgi şarttır ve öğrencilerin, problem çözme becerilerin geliştirilmiş olmaları gerekir. Bir üçgende dış açılar toplamının 360 olduğunu ve bir dörtgende iç açılar toplamının 360 olduğunu yukarıdaki etkinliğe benzer şekilde öğrencilere nasıl buldurursunuz?? 2.3. Lev Vygotsky Bir Sovyet psikolog olan Lev Vygotsky ( ), çocuğun bilişsel gelişmesinde çevrenin çok önemli bir faktör olduğunu ortaya koymuştur. Çocukta zihinsel işlem yapmanın kendi akranları ve yetişkinlerle olan etkileşimi ile geliştiğini belirten Vygotsky, dil gelişiminin erken yaşlarda olmasını da kendiliğinden gerçekleşen ve çocuğun isteyerek kurduğu etkileşime bağlamış, etkili öğrenmenin, uygun ortamlarda, birlikte yapılan etkinlikler, problem çözme faaliyetleri ile gerçekleşeceğini ileri sürmüştür. Piaget'in, öğrenmede gelişmeyi ön plana çıkarması yanında, Vygotsky sosyal çevreyle etkileşimi öne çıkarmıştır. Vygotsky'nin düşüncelerinden, Matematik eğitiminde yararlanmak için iyi organize edilmiş öğretim ortamları hazırlamak ve öğ- AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

27 24 MATEMATİ K ÖĞ RENME VE ÖĞ RETME SÜRECİ rencileri etkileşim içinde olacakları, birlikte gerçekleştirecekleri etkinliklerle, birlikte çözebilecekleri problemlerle yüzyüze getirmek gerekir. Böylece öğrenme olayına karşı çocukta, bir içselleşme (içten isteme) oluşacak ve öğrenme kendiliğinden gerçekleşecektir Pierre Van Hiele Van Hiele, çocukta matematik, özellikle geometrik düşünmenin nasıl geliştiğine ilişkin çalışmalar yapmıştır. Hiele'ye göre çocuğun geometrik kavramları geliştirmesi 5 aşamada olmaktadır. Bunlar 0, 1, 2, 3, 4 düzeyleri olarak bilinir. 0, 1, 2 düzeyleri ilkokul yaşlarına, 3 ve 4 düzeyleri ortaokul ve sonrasına tekabül eder. 0. Düzey (Gözönünde Canlandırma) Bu basamaktaki çocuklar şekil ve cisimleri bir bütün olarak algılarlar. Çocuk için "kare karedir." Karenin tanımını ve özelliklerini, tanıma bağlı olarak kavrayamazlar. Çocuk bu safhada özellik ve ayrıtları bütüne yapışık olarak algılamaktadır. Bu evredeki çocuklara, geometri öğretiminde fiziksel gereçlerin sunulması, çocukların bunlarla oynamaları ve kullanmaları gerekir. Bunun için; - Üzerinde çalışılan şekillerin rastlanabilen çeşitlerine yer verilmelidir. - Çocuklara, geometrik eşya ve şekilleri yapmaları, çizmeleri için fırsatlar verilmelidir. - Geometrik eşya ve şekillerle ilgili gözlem ve düşüncelerini anlatmaları için ortamlar hazırlanmalıdır. - Formal tanımlardan kaçınılmalı, çocukların şekil ve cisme örnek göstermeleri önemsenmelidir. 0 düzeyi aşamasındaki etkinlikler, ilkokulun 1., 2. ve 3. sınıfları için uygun etkinliklerdir. diğer sınıflarda da yeni tanıtılan kavramlar içir (Örneğin 5. sınıfta koni) benzer etkinliklere başvurulabilir. 1. Düzey (Analiz) Bu evredeki çocuklar şekillerin özelliklerini analiz etmeye başlarlar ve şekillerin özelliklerini tümüyle açıklayabilirler. "Yamuğun dört kenarı vardır. Dört açısı vardır. İki kenarı birbirine paraleldir. Kapalı bir şekildir" gibi. Bir kavramın (örneğin kare) bir takım özellikler demeti, bu özelliklerin bir araya gelmesi hali olduğunu anlarlar. Bu evredeki çocuklar şekillerle ilgili bazı genellemelere ulaşabilirler. Örneğin "eşkenar dörtgenin dört eş kenarı vardır veya parelelkenarın karşılıklı ikişer kenarı paraleldir" gibi. Bunun yanında şekil sınıfları arasındaki ilişkileri göremezler. "Dikdörtgen aynı zamanda bir parelelkenardır" gibi. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

28 MATEMATİ K ÖĞ RENME VE ÖĞ RETME SÜRECİ 25 Eğitim-öğretimde bu evrede, bir önceki düzeyin çalışmalarının bir devamı olarak; - Yararlanılan eşya ve şekillerin değişik özellikleri üzerinde konuşma, anlatma, bunların listesini çıkarma çalışmaları yapılmalıdır. - Kullanılan geometrik eşya ve şekilleri ölçme, tanımlama, şekli bozarak başka bir şekle çevirme çalışmaları yapılmalıdır. - Eşya ve şekilleri göz önünde tutarak sınıflandırma ve adlandırma, bunun yanısıra bu şekiller üstüne problem çözme çalışmaları yapılmalıdır. İlköğretim 3. ve 4. sınıfları bu devreye rastlar. 2. Düzey (Yaşantıya bağlı çıkarım) Bu evre, şekil sınıfları arasında bağ kurabilmenin geliştiği evredir. Örneğin "yamuk iki kenarı paralel olan dörtgendir", "Dikdörtgen açıları 90 olan paralelkenardır" gibi. Çocuklar bir şekli, onun karekteristik özelliklerini kullanarak sınıflayabilirler, fakat aksiyomatik sistemi kullanamaz ve usule uygun çıkarım yapamazlar. Geometrik bir ispatı izleyebilir ama kendi kendilerine ispat yapamazlar. Bu evrede çocuklar özelliği veya ayrıtı bütünden ayrı olarak düşünebilmektedirler. İlkokulun 5. sınıfı için önerilen etkinliklerin bir kısmı bu evreye uygundur. 2. Düzey basamak ortaokul sınıflarında da devam etmektedir. Bu evrede çocuklar; - Kullandıkları geometrik eşya ve şekillerin neden faydalı oldukları, hangi özelliklerinin ne işe yaradığı, üstüne konuşturulmalı, - Şekiller ve eşyalar ile ilgili, gözleme dayalı konuşmalar yapabilmeleri için ortam hazırlanmalı, - Şekil ve modellerle ilgili çizim yapma, şekil sınıflarının ortak özelliklerini söyleme, genellemeye varma, hipotez kurma, hipotezi test etme gibi etkinliklere yer verilmelidir. 3. Düzey (Çıkarım) Çocuklar bu dönemde bir aksiyomatik yapıyı kullanabilirler ve bu sistem içinde kendi kendilerine ispat yapabilirler. Bir teoremin farklı uygulamalarını görebilirler. Bu düzeyde çocuk için, şekillerin özellikleri, şekil ve cisimden bağımsız bir obje haline gelir. Bu dönem lise yıllarına tekabül eder. 4. Düzey Bu düzeydeki öğrenciler farklı iki aksiyomatik sistem arasındaki ilişkileri ve ayrılıkları görebilirler. Öğrenciler bu düzeyde geometriyi bir bilim olarak ele alıp çalışabilirler. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

29 26 MATEMATİ K ÖĞ RENME VE ÖĞ RETME SÜRECİ 2.5. Hans Freudenthal Hollandalı bir eğitimci olan Freudenthal ( ), matematik öğretiminde "Realistik Matematik Eğitim" (RME) diye bilinen bir eğitim yaklaşımının kurucusudur. RME'ye göre matematik, tümüyle bir insan aktivitesidir, gerçek hayattan yani doğal çevreden, çevredeki eylem ve olguları açıklama amacıyla üretilmiştir. Öğretimi de çevre merkezli olmalıdır. Yani her matematik konusunun öğretimine, uygun bir çevresel olayla başlanmalıdır. Bu durum öğrenilen matematiği hem daha anlamlı kılar ve hem de öğrenmeye karşı motivasyonu artırır. RME'ye göre çocuğun matematiği öğrenmesi matematik yapma (matematiği keşfetme) şeklinde olmalıdır. Çocuk hedeflenen bilgiyi, bir problem çözme etkinliği sonucunda elde etmelidir. Bu problem çözme çalışmalarında çocukların grup olarak çalışmalarının ve kendi stratejilerini ortaya koymalarının büyük bir önemi vardır. RME'nin hareket noktası, zihnin nesneyi sezgi yoluyla kavradığı düşüncesidir. Bu düşünceyle, herhangi bir matematik kavramının kazandırılmasında, çocuğun okul öncesindeki gözlemlerinden ve izlenimlerinden hareket etmek gerekir. Bu bilgiler, özel bir öğretim olmaksızın oluşmuş, informal kazanımlardır. RME yaklaşımı, matematik bilgilerin kazanılması ve kavranmasının arkasından uygulamalara geçilmesi şeklinde şekillenen formal matematik eğitiminden farklıdır. Freudenthal'e göre eğitime uygulamalarla başlanmalıdır. Bu uygulamalar, çocukların okul öncesindeyken yapmakta olduğu uygulamalardır. İnsan zihni, nesneleri sezgi yoluyla kavradığı için, nesneyle ilgili bilgi olmaksızın doğru kullanım, yani uygulama başlar. Örneğin, çocuk açının ne olduğunu bilmeden, kendisine daha yakın mesafede bulunan, sözgelimi 10 m. yüksekliğindeki binanın, kendisine daha uzak mesafede bulunan sözgelimi 30 m. yüksekliğindeki binayı göstermeyeceğini bilir ve bu durum bir realitedir. Öyleyse açı öğretimi için böyle bir izlenimden yararlanılabilir. 3. Matematik Bilgilerin Sınıflandırılması, Hedef- Davranışların Yazılması ve Öğretimi Bir derste nelerin öğrenileceğini, konuların ne derinlikte öğrenileceğini o dersin amaç ve davranışları belirler. Bu bakımdan öğretmenin, öğretim faaliyetlerine geçmeden önce, öğrencilere kazandıracağı amaç ve davranışları ayrıntılı olarak belirlemesi gerekir. Mevcut ilköğretim sistemimizde bu hedef- davranışlar, Milli Eğitim Bakanlığınca hazırlanan İlköğretim Matematik Programı ile öğretmenin hizmetine sunulmuştur. Bu nedenle, Öğretmene düşen görev, bir derste bunların hangilerinin kazandırılacağına karar vermek ve işleniş ya da eğitim durumu olarak adlandırılan bölümde bunları öğrenciye kazandırmaktır. Amaç ve davranışları öğretmenin kendisinin de yazması mümkündür, ancak bu konuda özel bir bilgi ve deneyiminin olması gerekir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ