2. HAFTA DERS KONULARI

Transkript

1 . HAFTA DERS KONULARI AġAĞIDAKI KONULAR VERILECEKTIR 1- MAtlab programının çağrılması - Matlab hakkında tarihi bilgi ve genel özellikleri 3- Matlab ortamının tanıtımı a. Help ortamının tanıtımı b. Workspace c. History d. Genel grafik özellikleri (çok kısa) e. M dosyaları 4- Değişkenler, vector, matrisler 5- Aritmetik işlemler 6- atama deyimleri 7- örnekler ve dersde ödevler 8-1

2 a. Matlab Yrd. Doç. Dr. Ömer Gündoğdu Yrd. Doç. Dr. İrfan Kaymaz MATLAB, bilim adamları ve mühislere, Fortran ve C gibi gelenekselleģmiģ dillerde program yazmaksızın, matrislere dayalı problemleri çözmede kullanılmak üzere bir sayısal hesaplama kütüphanesi sunmak amacıyla, MATris LABoratuvarı (MATrix LABoratory) programı olarak tasarlanmıģtır. Fakat daha sonra, Optimization Toolbox ve Control System Toolbox gibi bazı toolbox lar eklenerek geliģtirilmiģtir. MATLAB bir yorumlayıcıdır (interpreter); yani sonuç, daha ziyade el tipi hesap makinelerine benzer tarzda ekranda yazılı bir metin olarak alınabilir. Neticede diğer dillerde olduğu gibi derleme ye (compilation) ihtiyaç yoktur; fakat programlamaya izin vermesi cihetiyle de güçlü bir paket programdır. 1. Temel Bilgiler MATLAB hem yeni baģlayanlara hem de uzmanlaģmıģ olanlara çok pratik bir yardım da sağlamaktadır. Özel bir komut hakkında bilgi edinmek için ekrandan help komut adı komutu girilir; burada komut adı ilgiliğiniz MATLAB komutunu temsil eden kelimedir. Kullanıcı, belirli bir konuda hangi komutları kullanabileceğini bilmek isterse lookfor kavram adı komutunu girmesi yeter. Mesela, lookfor exponential yazılıp enter tuģuna basıldığında; MATLAB her biri için kısa açıklamalarıyla birlikte üs almaya iliģkin tüm komutları sıralar. ġayet ilave bilgi gerekliyse help exp komutunun girilmesi ilgili komuta ait ayrıntılı bir yardımla neticelenir.. Hesap Makinesi Olarak MATLAB Ekrana bir ifade yazılıp giriģ (enter) tuģuna basıldığında MATLAB bu komutu hemen icra eder ve sonucu komut penceresinde basar. Eğer kullanıcı özel bir komutun sonucu olan çıktıyı görmek istemiyorsa komut bittikten sonra basitçe bir ; iģareti, yani noktalı virgül (semicolon) koymak yeterlidir. Açıklamalar yazılmak istiğinde bunların her satırının önüne % (yüzde) iģareti konmalıdır. MATLAB taki temel aritmetik işlemler aģağıda Tablo 1 de artan öncelik sırasına göre özetlenmiģtir. Tablo 1. MATLAB ta aritmetik iģlemler. İşlem Sembol Misal Toplama, a+b + +3 Çıkarma, a-b - 5- Çarpma, a*b * 3*4 Bölme, a/b / 14/7 Üs alma, a b ^ ^3 Ömer Gündoğdu, 00, Yayın hakkı saklıdır, yazarın yazılı izni olmadan hiçbir Ģekilde basılıp çoğaltılamaz ve iktibas yapılamaz.

3 MATLAB aynı zamanda pek çok hazır (built-in) matematik ve nümerik fonksiyonlara sahiptir. Bu fonksiyonların bazıları Tablo 1.4 te listelenmiģtir. Tablo. MATLAB taki hazır matematik fonksiyonlar. Fonksiyon Sembol Misal Sinüs, sin( ) sin sin(pi) Cosinüs, cos( ) cos cos(pi) Tanjant, tan( ) tan tan(pi) Arksinüs, arcsin( ) asin asin(0) Arkkosinüs, arccos( ) acos acos(0) Arktanjant, arctan( ) atan atan(1) Eksponensiyal, e x exp exp() Tabii logaritme log log(10) 10 tabanlı logaritma log10 log10(10) Kare kök, x sqrt sqrt(5) Mutlak değer, x abs abs(3) 3. Değişkenler MATLAB, kullanıcıların değiģkenlere değer atamasına müsaade etmektedir. Böyle bir atama yapabilmek için eģit iģaretinin sol tarafına bir değiģken ismi girilmelidir. AĢağıdaki misaller değiģkenlere değer ve ifadelerin nasıl atanacağını, keza MATLAB ın verdiği cevapları göstermektedirler.» a = 3, b = % Virgülle ayırmak kaydıyla bir satırda birden fazla atama yapılabilir. a = 3 b =» c = a + b c = 5» d = a ^ b d = 9 Bir değiģkenin değerini görmek için değiģkenin adını girmek yeterlidir.» d d = 9 MATLAB ın sayısı ve çok küçük sayıları için pi and eps gibi hazır değiģkenleri vardır.» pi » eps.04e-016 3

4 4. Vektörler MATLAB ta vektörleri üretmek için kullanılabilen bir dizi yöntem vardır. Bunların bir kaçı burada sunulacaktır. Bir vektör oluģturmanın yollarından biri bunun elemanlarını (bileģenlerini) bir köģeli parantez içinde sıralamak ve bunu bir değiģkene eģitlemektir. Elemanların bir virgülle ayrılması veya aralarında boģluk bırakılması gerektiğini kaydedelim. Mesela, A=[1 3] Ģeklindeki bir satır vektör aģağıda verilen yollardan biriyle gösterilebilir.» A = [1 3] A = 1 3» A = [1,,3] A = 1 3 Bir satır vektörün transpozunu almak onun elemanlarını sütun tarzında yazmaktır. Keza sütun vektörün transpozu da onun elemanları satır tarzında yazılarak elde edilir. MATLAB ta bir vektörün transpozunu almak için kesme (apostrof) iģareti kullanılır. Mesela A vektörünün transpozunu almak için aģağıdaki gibi yapılır:» A' 1 3 Keza bir sütun vektör elemanların arası noktalı virgülle ayrılarak yahut her elemandan sonra giriģ (enter veya return) tuģuna basılarak da elde edilebilir. Mesela:» B = [1;;3] % Noktalı virgül kullanılmıģ B = 1 3» Return tuģu kullanılmaktadır» B = [1 3] B = 1 3 Elemanları sabit bir artım kadar fark eden bir vektör oluģturmak için iki nokta üstüste yazım tarzı (Colon notation) da kullanılabilir. Bu notasyonun kullanımıyla elemanları belli bir aralıkta yer alan bir vektörün temsili onun tüm elemanlarını açık açık yazmaktan daha kolaydır. 4

5 Mesela, bir A=[ ] vektörü elemanları 1 den 6 ya 1 er artımla sıralanan bir küme olarak aģağıdaki tarzda ifade edilebilir:» A = 1:1:6 % 1 den 6 ya 1 er artımla baģla! A = Bu komutun genel biçimi X=X min : X:X max ile verilmektedir. Bu komut, X ile gösterilen elemanları X min den baģlayan ve X artımlarıyla X max ile biten bir vektörle aynı Ģeydir. Negatif artımlar, yani azalımlara da müsaade olunmuģtur:» B = 8:-:0 B = Artım olarak 1 kullanılacaksa, artım değerinin verilmesi gerekmez ve bu durumda birer birer artan sayılar üretilir.» A = 1:6 % Bu halde 1 artımı atlanmıģtır. A = MATLAB ta diğer faydalı bir komut length komutudur. Bu komutun cevabı ilgilenilen bir vektörün uzunluğu (elemanlarının sayısı) olarak döner.» a = :3:45; length(a) 15 Toplama ve çarpma gibi cebir kuralları MATLAB taki vektör iģlemlerine tatbik olunmaktadırlar; mamafih vektörler aynı boyutta olmalıdırlar. Vektörler üzerinde iģlem yapan diğer iki mühim fonksiyon nokta (skaler) ve vektörel çarpımlardır. a ve b iki vektör olmak üzere bu iki iģlem için genel form sırasıyla dot(a,b) ve cross(a,b) dir. Bir vektörün Ģiddeti norm fonksiyonuyla hesaplanabilir.» a = [1 3]; b = [0,1,-1];» dot(a,b) -1» norm(a,)

6 5. Matrisler Matrislere elemanları iki indisle tanımlanan iki boyutlu diziler olarak bakılabilir. MATLAB ta bir matrisin elemanları, bir köģeli parantez içinde her satırı noktalı virgüllerle ayrılarak veya satır satır yazılarak girilebilir veya saklanabilir. Bir A matrisinin i ninci satır ve j ninci sütunundaki eleman A(i,j) Ģeklinde gösterilir. Mesela x3 lük ( yani, satır and 3 sütunlu) 1 A Ģeklindeki bir A matrisi MATLAB a aģağıdaki gibi girilebilir:» A = [1 3;4 5 6;7 8 9] A = » % Her satırdan sonra giriģ tuģuna basarak girmek de aynı ölçüde kolaydır.» A = [ ] A = » A(,3) % Ġkinci satır ve üçüncü sütundaki eleman. 6» A(:,1) % A(:,1)deki ":" birinci sütundaki tüm elemanlar anlamına gelmektedir » A(,:) % Ġkinci satır MATLAB ta matris üretmeye yarayan ve bir kısmı aģağıda Tablo 1.5 te listelenen bir dizi hazır fonksiyon vardır. Tablo 3. Matris oluģturan bazı MATLAB hazır fonksiyonları. Fonksiyon Sembol Misal Birim matris eye eye(m,n) Birler matrisi ones ones(m,n) Sıfırlar matrisi zeros zeros(m,n) Tesadüfi sayılar matrisi rand rand(m,n) 6

7 MATLAB ta matris aritmetiği kolay ve sade bir iģtir. Temel matris iģlemlerinden bazıları aģağıda Tablo 1.6 da sıralanmıģtır. Tablo 4. MATLAB ta temel matris iģlemleri. İşlem Sembol Misal Toplama + A+B Çıkarma - A-B Çarpma * A*B Eleman eleman çarpma.* A.*B Sağdan bölme / A/B (=A*B -1 ) Eleman eleman bölme./ A./B (=A*B -1 ) Soldan bölme \ A\B (=A -1 *B) Transpozunu alma A Burada açıkça ifade edilmemekle beraber yapılan iģlemin anlamlı olması için, iģleme tabi tutulan bütün niceliklerin uygun (tutarlı) boyutlarda olması gerekmektedir. Aksi halde hata meydana gelecektir. AĢağıda matris iģlemlerine dair bazı misaller sunulmaktadır. A ve B 1 0 A ve B Ģeklinde x lik matrisler olsun.» A = [1 ;3 -]; B = [0 ;1 3];» A+B % Matrislerin toplanması » A*B % Matrislerin çarpımı 8-0» A.*B % eleman eleman çarpımın nasıl olduğuna dikkat edilsin! » A*B' » A^ % Bu bir matrisin karesini almaktır; yani A^=A*A » A.^ % Bu eleman eleman kare almaktır

8 » A/B % A/B=A*inv(B);inv(B) B nin ters matrisi demektir » B/A % B/A=B*inv(A) » A./B % Bu eleman eleman bölmedir. Warning: Divide by zero. Inf » A\B %A\B=inv(A)*B MATLAB taki eleman eleman iģlemler bir çok öğrencinin zihninde karıģıklığa yol açmaktadır. Matrislerde eleman eleman iģleme niçin ihtiyaç duyulduğunu göstermek üzere bir parçacığın konumunun zamana göre değiģimini belirleyen aģağıdaki fonksiyonun oluģturulmasını göz önüne alalım: x (t ) t 3 t 3. Burada t saniye ve x metre cinsindir. Bu süreç MATLAB ta aģağıdaki gibi gerçekleģtirilebilir:» t=linspace(0,10,50); % zaman vektörünü üret» x=t^3+*t^+3; % Noktalar atlanmıģ!??? Error using ==> ^ Matrix must be square.» x=t.^3+*t.^+3; % Eleman eleman iģlem için noktalar kullanılmıģ. Ġlkin 0-10 saniye aralığında eģit aralıklarla yer alan 50 adet zaman noktasını eleman kabul eden bir zaman vektörü üretilir. Bilahare bu zaman değerleri vektörü yukarıdaki formül vasıtasıyla konum vektörünü oluģturmakta kullanılır. ġayet t^3 ve t^ ibareleri girilirse, MATLAB ın komut penceresinde matrix must be square (matris kare matris olmalıdır) Ģeklinde hata mesajı görülür; çünkü, mesela t^ = t*t anlamına gelmekte olup gerçekte 1x50 bir matris 1x50 matrisle çarpılmak istenmektedir ki, bu tanımsızdır. Bunun yerine t.^ veya t.*t yazmak eleman eleman iģleme sevkedecek ve problem doğru tanımlanmıģ olacaktır. MATLAB ta bir matrisin determinantını hesaplama, tersini bulma gibi özel matris iģlemlerine mahsus ve Tablo 5 de kısmen verilen hazır fonksiyonlar da vardır Tablo 5. MATLAB taki Matris Fonksiyonları Fonksiyon Sembol Misal Bir matrisin determinantı det det(a) Bir matrisin tersi inv inv(a) Bir matrisin özdeğerleri ve özvektörleri eig eig(a) [v,d]=eig(a) 8

9 6. MATLAB ta Grafik Çizme MATLAB iki ve üç boyutlu verileri istenen formatta göstermeye yarayan bir dizi fonksiyon ihtiva etmektedir. MATLAB ın fonksiyon çizimlerine mahsus zengin koleksiyonu, kullanıcılara bilimsel ve mühislik uygulamalara ait çizimleri kolayca ve etkin biçimde çime imkanı sağlamaktadır. MATLAB ta bu amaçla yer alan komutların kısa açıklamaları için Tablo 6 e bakılabilir. Tablo 6. MATLAB taki çizim fonksiyonları Fonksiyon Açıklaması Misal plot Ġki boyutlu doğru ve sembollerle çizim için plot(xdata,ydata) temel komut polar Kutupsal (polar) koordinatlardaki çizimler polar(theta,rho) plot3 Üç boyutlu (3-D) çizimler plot3(x,y,z) title Grafiğin üstüne adını yazmak için title( my plot ) xlabel ylabel x eksenine ait etiket y eksenine ait etiket xlabel( xdata ) ylabel( ydata ) grid Grafiği doğru ağlarıyla örer. grid subplot Grafik penceresini bölmelere ayırır. subplot(mnk) mxn Ģekil, k aktif olandır text Grafikte istenen yere bir metin yerleģtirir. text(x,y, a plot ) x and y associated to plot scale gtext Grafikte istenen noktaya bir metin yerleģtirir. gtext( my plot ) ginput Ekran üzerinde istenilen koordinatlardaki noktaları belirtmede kullanılır ginput axis X ve y eksenlerini dıģarıdan müdahaleyle axis([x min,x max,y min,y max ]) ölçeklirir leg Birkaç grafik birden çizildiğinde farklı leg( name1,name ) grafikleri etiketler hold Mevcut çizimi alıkor. hold / hold on / hold off Bu komutlar ancak misaller vasıtasıyla en iyi tarzda anlaģılacağından temel çizim özelliklerini göstermek için çeģitli haller aģağıda sunulmaktadır. Okuyucunun çizim ve etiketleme fonksiyonlarına aģinalık kazanması için hem komutlar hem de bunlara karģılık yapılan iģler verilmiģtir.» t=0:0.01:*pi;» x=sin(t);y=cos(t);» plot(t,x) % t ye göre x i çizer» grid % Taksimat çizgilerini yerleģtirir» xlabel('t') % Yatay eksene t etiketini koyar» hold % Çizimi alıkor; yani yeni çizim mevcutun üzerine yapılır Current plot held» plot(t,y) % t ye göre y yi çizer» ylabel('x and y') % DüĢet eksene x ve y yazar» title('sine and Cosine Curves') % Grafiğe bir ad basar 9

10 x and y Net Akademi Kulübü Ücretsiz MATLAB Kursu- Ders Notları 1 Sine and Cosine Curves t ġekil 1. Sinüs ve kosinüs eğrilerinin grafikleri Birbiri üzerine farklı eğriler çizmenin karıģıklığa yol açması mümkündür. Aynı Ģekilde yer alan farklı çizimleri ayırt edebilmenin basit bir yolu her eğri için farklı renkler veya farklı veri noktası sembolleri kullanmaktır. Diğer bir çare kesikli çizgi gibi farklı çizgi tipleri kullanmaktır. Keza bu imkanlar da aģağıdaki tabloda özetlenmiģtir (Tablo 7). Tablo 7. Çizimde farklı renk ve çizgi alternatifleri. Renk ve çizgi tiplerinin kullanılması çizimlerin farklı görünmesine ve birbirlerinden ayırt edilmesine yardımcı olacaktır. ġimdi aynı çizimleri tamamen yeni bir tarzda elde edelim:» plot(t,x,'b',t,y,'k:') % Bir komutla aynı Ģekil üzerinde mavi sürekli çizgiyle x in t ye % göre ve yine siyah kesikli çizgiyle y nin t ye göre değiģiminin çizdirilmesi 10

11 x and y Net Akademi Kulübü Ücretsiz MATLAB Kursu- Ders Notları» grid» xlabel('t')» ylabel('x and y')» title('sine and Cosine Curves')» leg('sine','cosine') 1 Sine and Cosine Curves Sine Cosine t ġekil. Farklı çizgi tipleriyle sinüs ve kosinüs eğrilerinin bir arada çizimi 7. Düz Yazı dosyaları (Script files) Bir senaryo dosyası (script file) özel bir görevi ifa için gerekli MATLAB komutlarının saklandığı bir metin programıdır. BaĢka bir ifadeyle bir komutlar dizisi bir dosyada saklanır ve daha sonra bunları komut penceresinden tek tek girmek yerine bu dosya çalıģtırılarak bu komutlar icra edilir. Bu dosyaların MATLAB ın çalıģtığı birimde (directory).m uzantısıyla saklanmaları gerekir. MATLAB senaryo dosyalarının oluģturulması ve yazılması için bir metin hazırlayıcısı (text editor) sunmaktadır. Bu senaryo dosyaları Windows da Notepad veya Unix de vi-editor gibi herhangi bir metin hazırlayıcısında da yazılabilirler. MATLAB metin hazırlayıcısı ya komut penceresinin üst kısmında yer alan New M-file düğmesi tıklanarak veya kısaca File menüsünden New/M-file ibaresini seçerek etkin hale getirilebilir. Misal olarak ArĢimet spiralinin çizmek üzere küçük bir dosya oluģturulmuģ ve Archimedes.m adıyla saklanmıģtır. Bu dosya aģağıda verilmektedir. % Bu, Arşimet spirlini çizen bir M-dosyasıdır (m-file dır) % (Rho=c*theta burada c>0) [0,*pi] aralığında % c=1 kabul edelim theta=linspace(0,*pi,100); % [0,*pi]aralığında 100 nokta üretir c=1; Rho=c*theta; polar(theta,rho,'k') 11

12 Bu M-dosyasının adı komut penceresinde uzantısız biçimde yazılır (yani: >> Archimedes) ve enter tuģuna basılırsa aģağıdaki grafik elde olunur: ġekil 3. Polar koordinatlarda ArĢimet spirali. 8. Fonksiyonlar (Functions) Kullanıcılar ki fonksiyonlarını yazmak için M-dosyalarından yararlanmak da isteyebilirler. Aslında, MATLAB fonksiyonları Mathworks tarafından yazılmıģ bir takım senaryo dosyalarıdır. Senaryo dosyalarıyla (script files) fonksiyonları (functions) tanımlayan M-dosyaları arasındaki farklardan biri fonksiyon dosyalarının baģlangıçlarında function ibaresini ihtiva etmeleridir. Bu ibare, mesela giriģ ve çıkıģ parametrelerinin ne olacağı gibi, fonksiyonun formatını tanımlamaktadır. Dolayısıyla biri giriģ (input), diğeri çıkıģ (output) olmak üzere iki parametre listesine sahiptirler.bir fonksiyon dosyası daha ilk satırında aģağıdaki biçimde bir ifade ihtiva etmelidir: function [çıkış parametreleri listesi]= fonksiyon-adı(giriş parametreleri listesi) Buradaki fonksion-adı M-dosyasına verilen isimle aynı olmalıdır. Mesela raddeg adında bir fonksiyon oluģturulmuģsa M-dosyasının adı raddeg.m olmalıdır. GiriĢ ve çıkıģ parametreleri skalerler, vektörler ve/veya çok indisli diziler olabilir. Fonksiyon dosyalarında kullanılan değiģkenler senaryo dosyalarda kullanılan global değiģkenlerin aksine lokal niteliktedirler. Mamafih bu dahili fonksiyon değiģkenleri global olarak tanımlanabilirler. Fonksiyonlardaki ilave bir kısıtlama da açıklama satırlarının function sözcüğüyle baģlayan birinci satırdan sonra önlerine birer % iģareti konarak yazılmak zorunda olmasıdır. Misal olarak aģağıda verilen program radyan cinsinden verilen bir açıyı dereceye çeviren bir fonksiyonu teģkil etmektedir. Bu M-dosyası is raddeg.m olarak saklanmaktadır. function [deg]=raddeg(rad) % raddeg(rad) radyan cinsinden verilen bir açıyı dereceye çevirir. rad*180/pi 1

13 Mesela / radyanlık bir açı dereceye çevrilmek istenirse komut penceresinde raddeg(pi/) yazılarak girilir. Neticede sonuç aģağıdaki gibi olacaktır:» raddeg(pi/) MATLAB ile Programlama MATLAB, FORTRAN and C gibi diğer programlama dillerindekine benzer bazı temel programlama yapıları sunmaktadır. Bu yapılar kullanıcıların, iliģki ve mantık iģlemcileriyle birlikte döngüler ve Ģart ifadeleri oluģturmasına izin verir ki, bunların mühislik hesaplamalarında geniģ uygulama alanı vardır. MATLAB ın sağladığı tekrarlı ve Ģartlı kontrol yapılarına kısa bir bakıģ aģağıda verilmiģtir: For Döngüleri (For-loops) Bir ifadeyi mükerreren icra etme yollarından biri MATLAB ın sağladığı for-döngüsü yapısını kullanmaktır. Bunun sentaksı for döngü_değişkeni=döngü_ifadesi deyimler olarak verilmektedir. Burada döngü_değişkeni bir değiģkene verilen uygun bir addır ve döngü_ifadesi genel olarak kullanılacak indis değiģkenine iģaret eder. (mesela sayaç baģlangıç değeri, artım ve ulģıldıktan sonra for döngüsü nden çıkılacak olan sayaç(indis=index) değeri, i=başlangıç değeri:artım:bitiş değeri gibi). Bu yapıya, 1 den n ye kadar tam sayıların toplamını hesaplayan (sum1.m) adlı aģağıdaki program misal verilebilir: function [sum]=sum1(n) % 1 den verilen bir n ye kadar tamsayıların toplamını %hesaplayan (sum1.m) programı sum=0; for i=1:n sum=sum+i; % 1 en n ye 1 er artımla değişen i indisi % üzerinde for döngüsü 1 den 15 e kadar tamsayıların toplamı bu takdirde komut penceresinde sum1(15) ifadesi girilerek aģağıdaki gibi elde edilebilir:» sum1(15) 10 Tekrarlı deyimleri elde etmenin bir baģka yolu while deyimini kullanmaktır. Bu durumda önceden verilen bir Ģart sağlanmadığı sürece bir iterasyon süreci devam eder. while cümlesi while şart deyimler 13

14 Ģeklinde bir yapıya sahiptir. Mesela, yukarıdaki (sum1.m) fonksiyonunu while deyimiyle yeniden yazmak mümkündür: function [sum]=sum(n) % 1 den verilen bir n ye kadar tamsayıların toplamını % hesaplamaya mahsus(sum.m) programı sum=0; i=0; while i <= n sum=sum+i; i=i+1; Bu program komut penceresinde aynı tarzda icra edildiğinde aynı sonuç elde olunur.» sum1(15)-sum(15) 0 Şart Deyimleri Bütün programlama dillerinin en hayati özelliklerinden biri deyimlerin muayyen Ģartlara tabi tutularak icra edildikleri dallanmalardır. MATLAB aģağıdaki genel Ģekilleri haiz if deyimleri ni kullanmaktadır: If şart deyimler veya alternatif olarak if şart deyimler else deyimler veya ikinci bir alternatif de if şart deyimler elseif şart deyimler AĢağıdaki misal, a, b, ve c sabitleri verilmiģ olmak kaydıyla ax bx c 0 Ģeklinde bir ikinci derece denklemini köklerini bulmak için Ģart deyimleriyle kurulmuģ bir programdır: 14

15 function [kokler]=quadrt(a,b,c); % a, b, ve c sabitleri verildiğinde a^+bx+c=0 denkleminin köklerini % bulan program d=b^-4*a*c; if d==0 kokler=-b/(*a); disp('katlı kok:') disp(kokler) elseif d>0 kokler=[-b-sqrt(d),-b+sqrt(d)]./(*a); disp('iki farklı kok:') disp(kokler) else kokler=[-b-i*sqrt(abs(d)),-b+i*sqrt(abs(d))]./(*a); disp('iki kompleks kok:') disp(kokler) Bu program kökleri bulur ve komut penceresinde basar. Genel olarak programlarda iç içe döngüler ve Ģart deyimleri kullanmak mümkündür. 15