Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri"

Transkript

1 ölüm 3: Vektörler Kavrama Soruları 1- Neden vektörlere ihtiyaç duyarız? - Vektör ve skaler arasındaki fark nedir? 3- Neden vektörel bölme işlemi yapılamaz? 4- π sayısı vektörel mi yoksa skaler bir nicelik midir? 5- Hızı 5 m/s olan bir tren üzerinde hareket eden bir aracın hızı 4 m/s ise bu aracın yere göre hızı nedir? Konu İçeriği Sunuş 3-1 Koordinat Sistemleri 3- Vektör ve Skaler nicelikler 3-3 Vektörlerin azı Özellikleri 3-4 ir Vektörün ileşenleri ve irim Vektörler Sunuş Fizikte yaygın olarak hem sayısal hem de yön özelliğine sahip olan fiziksel niceliklerle çalışma gereksinimi duyarız. Örneğin hız, ivme, kuvvet vs. gibi. u fiziksel niceliklerin sayısal değerlerinin yanında yön özellikleri de vardır ve bu yön özelliklerini bu niceliklerle yapılacak işlemlere de yansıtılması gerekir. Örneğin iki hız niceliğini toplamamız veya çıkarmamız gerektiği zaman sadece bu niceliklerin büyüklüklerini dikkate aldığımız zaman hatalı bir işlem yapmış oluruz çünkü hızlarının yönü de toplama işleminde en az hızlarının büyüklüğü kadar önemlidir. Örneğin hızı 5 m/s olan bir tren üstünde hızı 3 m/s olan bir aracın hızını skaler olarak toplarsak 8 m/s veya m/s gibi bir hız elde ederiz, oysa ki araç ne tam trenle aynı ne de ters yönde hareket etmiyor ise hızı ile 8 m/s arasındaki her değer olabilir. u bölümde önce yaygın olarak kullanılan koordinat sistemlerini, vektörel ve skaler niceliklerin tanımlarını, vektörlerin bazı özelliklerini ve son olarak da birim vektörleri ve herhangi bir vektörün birim vektörler cinsinden nasıl ifade edilebileceğini göreceğiz. 3-1 Koordinat Sistemleri ir cismin konumunu tanımlamak için bir yönteme gereksinim duyarız. u konum tanımlaması koordinat kullanımı ile sağlanır. Örneğin geçen dersimizde bir doğru boyunca hareket eden bir cismin konumunu belirlemek için tek bir eksen kullandık (-ekseni) ve cismin konumunu bu doğru üzerindeki sadece bir sayı ile tanımlanmasının yeterli olduğunu öğrendik. Eğer cisim bir doğru boyunca değil de bir düzlemde hareket ediyor ise tek bir eksen ile cismin konumunu belirleyemeyeceğimiz açıktır. unun için ikinci bir eksen takımına daha ihtiyacımız vardır. Eğer cisim bir hacim içersinde hareket ediyor ise en az üç eksen takımı ile cismin uzaydaki konumunu kesin olarak belirlememiz gerekecektir. İki boyuttaki hareketi tanımlamak için birbirine dik olan iki eksen takımı tanımlayacağız ve bu eksenlerin kesiştiği noktayı başlangıç noktası olarak (orijin) alacağız. Eksenlerden yatay olanı, düşey olanı y ekseni ile isimlendireceğiz. u tür koordinat sistemine Kartezyen ölüm 3: Vektörler, Hazırlayan: Dr. H.Sarı 1/9 Güncel: Temmuz 8

2 Koordinat Sistemi veya Dik Koordinat Sistemi denir. u koordinat sisteminde düzlemdeki herhangi bir nokta (,y) sayı çifti ile ifade edilebilir. öylelikle düzlem üzerindeki her noktayı sadece iki sayı ile karışıklığa meydan vermeden temsil edebiliriz. y 1 ( 1,y 1 ) - 1 Dik koordinat sisteminin yanısıra, düzlemdeki bir noktayı temsil etmek için başka koordinat sistemleri de kullanılmaktadır. azen düzlemdeki bir noktayı belirlemek için bu noktayı başlangıç noktasına birleştiren bir doğru (r) ve bu doğrunun yatay eksenle (+) arasındaki açıyı (θ) vererek de yapabiliriz. u şekilde tanımlanan koordinat sistemine Kutupsal (Polar) Koordinat Sistemi denir. Kutupsal koordinat sistemi bazı hareketli cisimlerin konumlarını belirlemede dik koordinatlara göre daha pratik olabilir. Örneğin düzlem üzerinde dairesel hareket yapan bir cismin hareketini kutupsal koordinatlar cinsinden vermek oldukça faydalıdır çünkü dairesel hareket yapan bir cismin yarıçapı değişmeyeceğinden konumunu iki değişken yerine (r,θ) sadece θ açısı ile belirlemek mümkündür. - y r θ (,y)= (r, θ) Kutupsal koordinatlarda konumu belirleyen r ve θ sayı çiftlerinden r, başlangıç noktasını (,) cismin konumuna birleştiren doğrunun uzunluğu, θ açısı ise + ekseninden saat yönünün tersi yönde ölçülen değerdir. (,y)= (r, θ) Dik ve Kutupsal Koordinat Sistemleri rasındaki İlişki: Düzlem üzerindeki bir noktanın kutupsal koordinatlardaki konumu (r, θ) biliniyor ise dik koordinat değerlerini (,y) aşağıdaki şekilde bulabiliriz; r nin - ve y-ekseni üzerindeki izdüşümlerinde =rcosθ y=rsinθ - y=r sinθ r θ =r cosθ enzerşekilde dik koordinat değerleri (,y) biliniyor ise kutupsal koordinat değerleri (r, θ) bulunabilir; ölüm 3: Vektörler, Hazırlayan: Dr. H.Sarı /9 Güncel: Temmuz 8

3 r = y y 1 y tan θ = => θ = arctan( ) = tan ( ) Örnek 3.1 Çözüm: ir noktanın y düzlemindeki kartezyen koordinatları (,y)=(-3.5,-,5) m dir. u noktanın kutupsal koordinatlarını bulunuz. - -3,5m θ (r, θ)=? r (,y)=(-3.5m, -.5m) -,5m r = = ( 3.5m) + (.5m) = 4. 3m y.5m o tan θ = = =.714 θ = m (r,θ)=(4.3, 16 o ) olduğu bulunur. 3- Vektör ve Skaler Nicelikler Vektörler normal sayılar olmadığı için bu bölümde vektörlerin adi sayılardan farklı olduğunu ve bazı özelliklerini göreceğiz. Vektörel ve skaler nicelikleri tanımlarsak: Vektör: Hem sayısal (büyüklük) hem de yön özelliğine sahip olan fiziksel nicelik. Örneğin yer değiştirme, hız, ivme, momentum. Skaler: Tek bir sayı ile belirtilebilen ve yönü olmayan fiziksel nicelik. Örneğin kütle, sıcaklık, sürat gibi fiziksel nicelikler sadece bir sayı (ve tabi uygun bir birim ile) ile tarif edilebildikleri için skaler niceliklerdir. Vektörlerin Gösterimi: Vektörel nicelikler, örneğin vektörü gibi, koyu gösterimle veya üzerinde ok ile gösterilir. ir vektörün büyüklüğü olarak gösterilir. Örneğin v hız vektörünün büyüklüğü yani sürati v şeklinde gösterilir. iz bu gösterimlerden vektörel nicelikleri koyu harflerle yazarak ifade edeceğiz. 3-3 Vektörlerin azı Özellikleri Vektörler normal sayılar olmadığı için bu bölümde vektörel nicelikler ile bildiğimiz bazı aritmetik işlemlerin nasıl yapılacağını göreceğiz. a) İki Vektörün Eşitliği: Eğer ve gibi iki vektör aynı büyüklüğe ve aynı yön ve doğrultuya sahip ise bu iki vektör eşit denir Yani; ölüm 3: Vektörler, Hazırlayan: Dr. H.Sarı 3/9 Güncel: Temmuz 8

4 i) İki vektörün büyüklükleri: = eşit ise ii) İki vektör paralel doğrular boyunca aynı yönü gösteriyorsa // u iki vektörün eşit olduğunu = söyleriz. b) Vektörlerin Toplanması: Vektörlerin toplanma kuralları, geometrik yöntemlere uygun olarak tanımlanır. R=+ R bileşke vektör= + R vektörünün büyüklüğü R =( + ) 1/ Vektörlerin geometrik olarak yapılan bu toplama işlemini, vektörleri birim vektörler cinsinden ifade ettikten sonra nasıl daha kolay bir şekilde yapılabileceğini göreceğiz. Örnek 3. 3 metre doğuya doğru daha sonra 4 metre kuzeye doğru yürüdüğümüzü düşünelim. Son konumumuzun başlangıç noktasına göre belirleyen vektör nedir? Çözüm: R=+ =4m kuzey Α=3m doğu =4m kuzey R=+ R = + = (4m) + (3m) = 5m =3m doğu 4m tan θ = = = 1,33 3m R =5m, θ=53 o olduğu bulunur. o θ = 53 Vektör toplamının değişme özelliği vardır: +=+ c) Vektörlerin Çıkarılması: R=+(-) - R bileşke vektör= -=+(-) R vektörünün büyüklüğü R =( + ) 1/ ölüm 3: Vektörler, Hazırlayan: Dr. H.Sarı 4/9 Güncel: Temmuz 8

5 d) ir Vektörün bir Skaler ile Çarpılması: ir vektörünü skaler (k) bir sayı ile çarparsak (bölersek) yeni oluşacak vektörünün doğrultusu ile aynı olacak, yönü ise k skaler sayısının işaretine (pozitif veya neğatif oluşuna göre) bağlı olacaktır. üyüklüğü ise k skaler sayısı kadar değişecektir. =k =( k ) 1/ =k Grafiksel olarak gösterirsek: Diyelim ki elimizde bir vektörü var. u vektörü k=3 gibi skaler bir sayı ile çarparsak k=3 =k => =3 vektörü ile aynı yönlü olup büyüklüğü nın 3 katıdır. e) Vektörlerin Çarpımı: Vektörleri iki şekilde birbirleri ile çarpabiliriz. u çarpımlar Skaler Çarpımı ve Vektörel Çarpımı dır. i) Skaler Çarpım ve vektörlerinin skaler çarpımı =3.=. cosθ=c şeklinde tanımlanır. Skaler çarpımda, vektörlerden birinin diğeri üzerindeki izdüşümü alınarak (iki vektörün aynı yöndeki bileşenleri işleme alınarak) çarpma işlemi yapılır. İki vektörün skaler çarpımının sonucu bir skaler sayıdır. urada θ, ve vektörleri arasındaki açıdır. θ Cosθ.=(cosθ).=. cosθ=c ii) Vektörel Çarpım ve vektörlerinin vektörel çarpımı =C şeklinde tanımlanır. ölüm 3: Vektörler, Hazırlayan: Dr. H.Sarı 5/9 Güncel: Temmuz 8

6 Vektörel çarpımda, vektörlerden biri ile diğerinin dik bileşeni alınarak (iki vektör birbirine dik bileşenleri işleme alınarak) çarpma işlemi yapılır. İki vektör birbirine göre dik olduğundan vektörel çarpımının sonucu yine bir vektördür. urda θ, ve vektörleri arasındaki açıdır. C vektörünün büyüklüğü = C =( sinθ) =. sinθ Sinθ Yönü ise ve vektörlerinin oluşturduğu düzleme diktir. θ u iki çarpıma örnekler skaler çarpım için ölüm 7 de, vektörel çarpım için ise ölüm 1 da ayrıntılı olarak verilecektir. f) Vektörlerin ölümü: Diğer vektörel işlemlerin aksine iki vektörü birbirlerine bölemeyiz! unun sebebi vektörlerin sahip olduğu yön özelliğini bölme işlemine yansıtamayışımızdandır. Yani vektörel bölme tanımsızdır! 3-4 ir Vektörün ileşenleri ve irim Vektörler Vektörleri geometrik olarak toplamak veya diğer vektörel işlemleri, çok hassas sonuçlar elde edilmek istendiğinde ve üç boyutlu problemlerde yeterli değildir ve fazlaca pratik değildir. u kesimde, bu tür vektörel işlemleri dik koordinat sisteminde eksenler boyunca tanımlayacağımız birim vektörleri kullanarak nasıl daha pratik bir şekilde yapılabileceğini göreceğiz. Vektörleri ileşenlerine yırma: ir vektörü dik koordinat sisteminde bileşenlerine aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi ayrılabilir. u vektörünün her eksen üzerindeki izdüşümlerine bu vektörün bileşenleri denir. y y y y - vektörünü ve y bileşen vektörlerinin toplamı şeklinde ifade edebiliriz. = : vektörünün -ekseni boyunca iz düşümü y : vektörünün y-ekseni boyunca iz düşümü = cosθ y = sinθ ölüm 3: Vektörler, Hazırlayan: Dr. H.Sarı 6/9 Güncel: Temmuz 8

7 ileşenler cinsinden vektörünün büyüklüğü = + y y 1 y ve + ekseni ile yaptığı açı θ = arctan( ) = tan ( ) şeklinde ifade edilebilir. irim Vektörler: Herhangi bir vektör birim vektörler cinsinden ifade edilir. unun için uzayda belli özel doğrultuları gösteren birim vektörler tanımlamamız gerekecektir. irim vektörü tanımlarsak; irim Vektör: üyüklüğü bir birim olan, yönü özel bir doğrultu boyunca seçilen (, y gibi), boyutsuz bir vektördür. irim vektörler düzlemde veya uzayda sabit bir yönü belirtmede kullanılırlar, başka bir fiziksel anlamları yoktur. Dik koordinat sisteminde birim vektörler aşağıdaki şekilde tanımlanabilir. ĵ î -ekseni boyunca tanımlayacağımız birim vektör= î y-ekseni boyunca tanımlayacağımız birim vektör= ĵ u birim vektörlerin büyüklükleri eşittir î = ĵ =1, Yönleri ise; î: + yönünde; -î: önünde ĵ: +y yönünde; -ĵ: -y yönünde u birim vektörler yardımı ile y düzlemindeki içersindeki herhangi bir vektörü, örneğin vektörünü, bu birim vektörler cinsinden ifade edebiliriz. y ĵ î = = î ĵ : vektörünün ekseni üzerindeki iz düşümü y : vektörünün y ekseni üzerindeki iz düşümü ölüm 3: Vektörler, Hazırlayan: Dr. H.Sarı 7/9 Güncel: Temmuz 8

8 u sayede herhangi bir vektörü bileşenleri cinsinden ifade edip, daha önce yaptığımız vektörel işlemleri geometrik olarak değil de vektörlerin bileşenler ile kolayca yapabiliriz. Örneğin daha önce geometrik olarak yaptığımız iki vektörün toplama işlemini göz önüne alalım. ve vektörlerini birim vektörler cinsinden ifade edersek: şeklinde yazarız. u iki vektörün toplamı: == î ĵ == î+ y ĵ R=+=( î ĵ)+( î+ y ĵ)=( + ) î+( y+ y) ĵ=r î+r y ĵ R y R Toplam vektörün büyüklüğü: y R = R + Ry = ( + y ) + ( y + y ) y î R + ekseni ile yaptığı açı: Ry y + y tan θ = = bulunur. R + Görüldüğü gibi kaç tane vektör olursa olsun bu vektörleri birim vektörler cinsinden ifade ederek gerekli işlemleri her bir eksen üzerinden yapıp sonuç (bileşke) vektörün bileşenlerini bulabiliriz. Örnek 3.3 y düzleminde yer alan ve =î+ĵ m ve =î-4ĵ m ile verilen ve vektörlerinin toplamını bulunuz. Çözüm: =î+ĵ m =m, y =m =î-4ĵ m =m, y =-4m R=+=(î+ĵ)+ (î-4ĵ)= (+)î+(-4)ĵ m 4 R= (4)î+(-)ĵ m => R =4m, R y =-m θ: 333 o R : (m) 1/ - R=+ R = R + Ry = (4m) + ( m) = m -4 Ry m o tanθ = = =,5 θ = tan 1 (,5) θ = 333 R 4m R =() 1/ m, θ=333 o olduğu bulunur. ölüm 3: Vektörler, Hazırlayan: Dr. H.Sarı 8/9 Güncel: Temmuz 8

9 Üç boyuttaki hareketi tanımlamak için üçüncü bir eksene (z-ekseni) ihtiyaç duyarız. z ekseni boyunca tanımlayacağımız birim vektörü ise kˆ ile gösteririz. una göre uzayda tanımlı herhangi bir vektörünü birim vektörler cinsinden = iˆ+ ˆj + kˆ y z şeklinde tanımlayabiliriz. + z ĵ ^k î ölüm 3 ün Sonu Kaynak: u ders notları, R.. Serway ve R. J. eichner (Çeviri Editörü: K. Çolakoğlu), Fen ve Mühendislik için FİZİK-I (Mekanik), Palme Yayıncılık, 5. kitabından derlenmiştir. ölüm 3: Vektörler, Hazırlayan: Dr. H.Sarı 9/9 Güncel: Temmuz 8

3 VEKTÖRLER. Pilot uçağın kokpit inden havaalanını nasıl bulur?

3 VEKTÖRLER. Pilot uçağın kokpit inden havaalanını nasıl bulur? 3.1 Koordinat sistemleri 3.2 Kartezyen koordinatlar 3.3 Vektörler 3.4 Vektörlerin bileşenleri 3.5 Vektörlerin toplanması 3.6 Vektörlerin çıkarılması 37Bii 3.7 Birim vektör 3 VEKTÖRLER Pilot uçağın kokpit

Detaylı

Bölüm 4: İki Boyutta Hareket

Bölüm 4: İki Boyutta Hareket Bölüm 4: İki Boyutta Hareket Kavrama Soruları 1- Yerden h yüksekliğinde, yere paralel tutulan bir silah ateşleniyor ve aynı anda silahın yanında başka bir kurşun aynı h yüksekliğinden serbest düşmeye bırakılıyor.

Detaylı

2. KUVVET SİSTEMLERİ 2.1 Giriş

2. KUVVET SİSTEMLERİ 2.1 Giriş 2. KUVVET SİSTEMLERİ 2.1 Giriş Kuvvet: Şiddet (P), doğrultu (θ) ve uygulama noktası (A) ile karakterize edilen ve bir cismin diğerine uyguladığı itme veya çekme olarak tanımlanabilir. Bu parametrelerden

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

Fizik 101-Fizik I 2013-2014. Dönme Hareketinin Dinamiği

Fizik 101-Fizik I 2013-2014. Dönme Hareketinin Dinamiği -Fizik I 2013-2014 Dönme Hareketinin Dinamiği Nurdan Demirci Sankır Ofis: 364, Tel: 2924332 İçerik Vektörel Çarpım ve Tork Katı Cismin Yuvarlanma Hareketi Bir Parçacığın Açısal Momentumu Dönen Katı Cismin

Detaylı

HAREKET HAREKET KUVVET İLİŞKİSİ

HAREKET HAREKET KUVVET İLİŞKİSİ HAREKET HAREKET KUVVET İLİŞKİSİ Sabit kabul edilen bir noktaya göre bir cismin konumundaki değişikliğe hareket denir. Bu sabit noktaya referans noktası denir. Fizikte hareket üçe ayrılır Ötelenme Hareketi:

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı

2. Işık Dalgalarında Kutuplanma:

2. Işık Dalgalarında Kutuplanma: KUTUPLANMA (POLARİZASYON). Giriş ve Temel ilgiler Işık, bir elektromanyetik dalgadır. Elektromanyetik dalgalar maddesel ortamlarda olduğu gibi boşlukta da yayılabilirler. Elektromanyetik dalgaların özellikleri

Detaylı

Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri

Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri Resim düzlemi O : İzdüşüm (projeksiyon ) merkezi P : Arazi noktası H : Asal nokta N : Nadir noktası c : Asal uzaklık H OH : Asal eksen (Alım ekseni) P OP :

Detaylı

1. BÖLÜM FİZİĞİN DOĞASI - VEKTÖRLER DENGE - MOMENT - AĞIRLIK MERKEZİ

1. BÖLÜM FİZİĞİN DOĞASI - VEKTÖRLER DENGE - MOMENT - AĞIRLIK MERKEZİ 1. BÖLÜM FİZİĞİN DĞASI - VEKÖRLER DENGE - MMEN - AĞIRLIK MERKEZİ FİZİĞİN DĞASI - VEKÖRLER - DENGE - MMEN - AĞIRLIK MERKEZİ SRULAR 1. I. ork (x) II. Güç (P) III. Açısal momentum (L) Yukarıdakilerden hangisi

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

Newton un ikinci yasası: Bir cisim ivmesi cisim üzerine etki eden toplam kuvvet ile doğru orantılı cismin kütlesi ile ters orantılıdır.

Newton un ikinci yasası: Bir cisim ivmesi cisim üzerine etki eden toplam kuvvet ile doğru orantılı cismin kütlesi ile ters orantılıdır. Bölüm 5: Hareket Yasaları(Özet) Önceki bölümde hareketin temel kavramları olan yerdeğiştirme, hız ve ivme tanımlanmıştır. Bu bölümde ise hareketli cisimlerin farklı hareketlerine sebep olan etkilerin hareketi

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

KAYNAK: Hüseyin (Guseinov), Oktay. 2007. "Skaler ve Vektörel Büyüklükler."

KAYNAK: Hüseyin (Guseinov), Oktay. 2007. Skaler ve Vektörel Büyüklükler. KAYNAK: Hüseyin (Guseinov), Oktay. 2007. "Skaler ve Vektörel Büyüklükler." Eğitişim Dergisi. Sayı: 15 (Mayıs 2007). SKALER VE VEKTÖREL BÜYÜKLÜKLER Prof. Dr. Oktay Hüseyin (Guseinov) Hayvanların en basit

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir

Detaylı

HACETTEPE ÜNİVERSİTESİ HACETTEPE ASO 1.OSB MESLEK YÜKSEKOKULU HMK 211 CNC TORNA TEKNOLOJİSİ

HACETTEPE ÜNİVERSİTESİ HACETTEPE ASO 1.OSB MESLEK YÜKSEKOKULU HMK 211 CNC TORNA TEKNOLOJİSİ HACETTEPE ÜNİVERSİTESİ HACETTEPE ASO 1.OSB MESLEK YÜKSEKOKULU HMK 211 CNC TORNA TEKNOLOJİSİ Öğr. Gör. RECEP KÖKÇAN Tel: +90 312 267 30 20 http://yunus.hacettepe.edu.tr/~rkokcan/ E-mail_1: rkokcan@hacettepe.edu.tr

Detaylı

TOPOĞRAFYA Temel Ödevler / Poligonasyon

TOPOĞRAFYA Temel Ödevler / Poligonasyon TOPOĞRAFYA Temel Ödevler / Poligonasyon Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ ÇEVRE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JDF 264/270 TOPOĞRAFYA DERSİ NOTLARI http://geomatik.beun.edu.tr/marangoz http://jeodezi.karaelmas.edu.tr/linkler/akademik/marangoz/marangoz.htm

Detaylı

Cismin Ağırlığı Düzlemsel Alanda Ağırlık Merkezi - İntegrasyon Yöntemi Örnekler Düzlemsel Eğride Ağırlık Merkezi - İntegrasyon Yöntemi

Cismin Ağırlığı Düzlemsel Alanda Ağırlık Merkezi - İntegrasyon Yöntemi Örnekler Düzlemsel Eğride Ağırlık Merkezi - İntegrasyon Yöntemi 4. 4. Cismin ğırlığı Düzlemsel landa ğırlık erkezi - İntegrasyon Yöntemi Düzlemsel Eğride ğırlık erkezi - İntegrasyon Yöntemi 4.3 Bileşik Plak ve Teller 4.4 Pappus Guldinus Teoremleri 4.5 Üç Boyutlu Cisimlerde

Detaylı

Rijit cisim mekaniği, diyagramdan da görüldüğü üzere statik ve dinamik olarak ikiye ayrılır. Statik dengede bulunan cisimlerle, dinamik hareketteki

Rijit cisim mekaniği, diyagramdan da görüldüğü üzere statik ve dinamik olarak ikiye ayrılır. Statik dengede bulunan cisimlerle, dinamik hareketteki Rijit cisim mekaniği, diyagramdan da görüldüğü üzere statik ve dinamik olarak ikiye ayrılır. Statik dengede bulunan cisimlerle, dinamik hareketteki cisimlerle uğraşır. Statik, kuvvet etkisi altında cisimlerin

Detaylı

Manyetizma. Manyetik alan çizgileri, çizim. Manyetik malzeme türleri. Manyetik alanlar. BÖLÜM 29 Manyetik alanlar

Manyetizma. Manyetik alan çizgileri, çizim. Manyetik malzeme türleri. Manyetik alanlar. BÖLÜM 29 Manyetik alanlar ÖLÜM 29 Manyetik alanlar Manyetik alan Akım taşıyan bir iletkene etkiyen manyetik kuvvet Düzgün bir manyetik alan içerisindeki akım ilmeğine etkiyen tork Yüklü bir parçacığın düzgün bir manyetik alan içerisindeki

Detaylı

BELĐRLĐ BĐR SIKMA KUVVETĐ ETKĐSĐNDE BĐSĐKLET FREN KOLU KUVVET ANALĐZĐNĐN YAPILMASI

BELĐRLĐ BĐR SIKMA KUVVETĐ ETKĐSĐNDE BĐSĐKLET FREN KOLU KUVVET ANALĐZĐNĐN YAPILMASI tasarım BELĐRLĐ BĐR SIKMA KUVVETĐ ETKĐSĐNDE BĐSĐKLET FREN KOLU KUVVET ANALĐZĐNĐN YAPILMASI Nihat GEMALMAYAN, Hüseyin ĐNCEÇAM Gazi Üniversitesi, Makina Mühendisliği Bölümü GĐRĐŞ Đlk bisikletlerde fren sistemi

Detaylı

Dinamik. Fatih ALİBEYOĞLU -10-

Dinamik. Fatih ALİBEYOĞLU -10- 1 Dinamik Fatih ALİBEYOĞLU -10- Giriş & Hareketler 2 Rijit cismi oluşturan çeşitli parçacıkların zaman, konum, hız ve ivmeleri arasında olan ilişkiler incelenecektir. Rijit Cisimlerin hareketleri Ötelenme(Doğrusal,

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta)

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta) AĞIRLIK MERKEZİ STATİK (2. Hafta) Ağırlık merkezi: Bir cismi oluşturan herbir parçaya etki eden yerçeki kuvvetlerinin bileşkesinin cismin üzerinden geçtiği noktaya Ağırlık Merkezi denir. Şekil. Ağırlık

Detaylı

DİNAMİK (2.hafta) Yatay Hareket Formülleri: a x =0 olduğundan ilk hız ile yatay bileşende hareketine devam eder.

DİNAMİK (2.hafta) Yatay Hareket Formülleri: a x =0 olduğundan ilk hız ile yatay bileşende hareketine devam eder. EĞİK ATIŞ Bir merminin serbest uçuş hareketi iki dik bileşen şeklinde, yatay ve dikey hareket olarak incelenir. Bu harekette hava direnci ihmal edilerek çözüm yapılır. Hava direnci ihmal edilince yatay

Detaylı

Fizik 101-Fizik I 2013-2014. Nurdan Demirci Sankır Enerji Araştırmaları Laboratuarı- YDB Bodrum Kat Ofis: 325, Tel:4332. İçerik

Fizik 101-Fizik I 2013-2014. Nurdan Demirci Sankır Enerji Araştırmaları Laboratuarı- YDB Bodrum Kat Ofis: 325, Tel:4332. İçerik Fizik 101-Fizik I 2013-2014 İki Boyutta Hareket Nurdan Demirci Sankır Enerji Araştırmaları Laboratuarı- YDB Bodrum Kat Ofis: 325, Tel:4332 İçerik Yerdeğiştirme, hız ve ivme vektörleri Sabit ivmeli iki-boyutlu

Detaylı

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda verilen d 1 ve d aykırı doğrularının ikisine birden dik olan doğruya ortak dikme doğrusu denir... olmak üzere bu iki doğru denkleminde değilse

Detaylı

Fizik 101-Fizik I 2013-2014. Katı Bir Cismin Sabit Bir Eksen Etrafında Dönmesi

Fizik 101-Fizik I 2013-2014. Katı Bir Cismin Sabit Bir Eksen Etrafında Dönmesi -Fizik I 2013-2014 Katı Bir Cismin Sabit Bir Eksen Etrafında Dönmesi Nurdan Demirci Sankır Ofis: 325, Tel: 2924332 İçerik Açısal Yerdeğiştirme, Hız ve İvme Dönme Kinematiği Açısal ve Doğrusal Nicelikler

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. BEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ GEOMATİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JDF329 FOTOGRAMETRİ I DERSi NOTLARI

Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. BEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ GEOMATİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JDF329 FOTOGRAMETRİ I DERSi NOTLARI FOTOGRAMETRİ I GEOMETRİK ve MATEMATİK TEMELLER Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ BEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ GEOMATİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JDF329 FOTOGRAMETRİ I DERSi NOTLARI http://geomatik.beun.edu.tr/marangoz/

Detaylı

Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü

Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü Fizik 8.01 Ödev # 8 Güz, 1999 ÇÖZÜMLER Dru Renner dru@mit.edu 14 Kasım 1999 Saat: 18.20 Problem 8.1 Bir sonraki hareket bir odağının merkezinde gezegenin

Detaylı

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler 2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE ÖĞRENME Ay Hafta D.Saati ALANI EYLÜL 2 Geometri 2 3 Geometri 2 Geometri 2 Olasılıkve ALT

Detaylı

Bu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d)

Bu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d) Ders 10 Metindeki ilgili bölümler 1.7 Gaussiyen durum Burada, 1-d de hareket eden bir parçacığın önemli Gaussiyen durumu örneğini düşünüyoruz. Ele alış biçimimiz kitaptaki ile neredeyse aynı ama bu örnek

Detaylı

MALZEME BİLGİSİ. Kristal Yapılar ve Kristal Geometrisi

MALZEME BİLGİSİ. Kristal Yapılar ve Kristal Geometrisi MALZEME BİLGİSİ Dr.- Ing. Rahmi ÜNAL Konu: Kristal Yapılar ve Kristal Geometrisi 1 KRİSTAL YAPILAR Malzemelerin iç yapısı atomların diziliş biçimine bağlıdır. Kristal yapı Kristal yapılarda atomlar düzenli

Detaylı

4. FAYLAR ve KIVRIMLAR

4. FAYLAR ve KIVRIMLAR 1 4. FAYLAR ve KIVRIMLAR Yeryuvarında etkili olan tektonik kuvvetler kayaçların şekillerini, hacimlerini ve yerlerini değiştirirler. Bu deformasyon etkileriyle kayaçlar kırılırlar, kıvrılırlar. Kırıklı

Detaylı

BATMIŞ YÜZEYLERE GELEN HİDROSTATİK KUVVETLER. Yatay bir düzlem yüzeye gelen hidrostatik kuvvetin büyüklüğünü ve etkime noktasını bulmak istiyoruz.

BATMIŞ YÜZEYLERE GELEN HİDROSTATİK KUVVETLER. Yatay bir düzlem yüzeye gelen hidrostatik kuvvetin büyüklüğünü ve etkime noktasını bulmak istiyoruz. BTMIŞ YÜZEYLERE ELEN HİDROSTTİK KUVVETLER DÜZLEM YÜZEYLER Yata Yüeler Sıvı üei Yata bir dülem üee gelen idrostatik kuvvetin büüklüğünü ve etkime noktasını bulmak istioru. d d Kuvvetin Büüklüğü :Şekil deki

Detaylı

BÖLÜM 04. Çalışma Unsurları

BÖLÜM 04. Çalışma Unsurları BÖLÜM 04 Çalışma Unsurları Autodesk Inventor 2008 Tanıtma ve Kullanma Kılavuzu SAYISAL GRAFİK Çalışma Unsurları Parça ya da montaj tasarımı sırasında, örneğin bir eskiz düzlemi tanımlarken, parçanın düzlemlerinden

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI

Detaylı

DENEY 0. Bölüm 1 - Ölçme ve Hata Hesabı

DENEY 0. Bölüm 1 - Ölçme ve Hata Hesabı DENEY 0 Bölüm 1 - Ölçme ve Hata Hesabı Amaç: Ölçüm metodu ve cihazına bağlı hata ve belirsizlikleri anlamak, fiziksel bir niceliği ölçüp hata ve belirsizlikleri tespit etmek, nedenlerini açıklamak. Genel

Detaylı

Fizik 101-Fizik I 2013-2014. Statik Denge ve Esneklik

Fizik 101-Fizik I 2013-2014. Statik Denge ve Esneklik 1 -Fizik I 2013-2014 Statik Denge ve Esneklik Nurdan Demirci Sankır Ofis: 364, Tel: 2924332 2 İçerik Denge Şartları Ağırlık Merkezi Statik Dengedeki Katı Cisimlere ler Katıların Esneklik Özellikleri 1

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

5 kilolitre=..lt. 100 desilitre=.dekalitre. 150 gram=..dag. 1. 250 g= mg. 0,2 ton =..gram. 20 dam =.m. 2 km =.cm. 3,5 h = dakika. 20 m 3 =.

5 kilolitre=..lt. 100 desilitre=.dekalitre. 150 gram=..dag. 1. 250 g= mg. 0,2 ton =..gram. 20 dam =.m. 2 km =.cm. 3,5 h = dakika. 20 m 3 =. 2014 2015 Ödevin Veriliş Tarihi: 12.06.2015 Ödevin Teslim Tarihi: 21.09.2015 MEV KOLEJİ ÖZEL ANKARA OKULLARI 1. Aşağıda verilen boşluklarara ifadeler doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız. A. Fiziğin ışıkla

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

ÜNİTELENDİRME ŞEMASI

ÜNİTELENDİRME ŞEMASI LENDİRME ŞEMASI ÜNİTE DOĞRULAR VE AÇILAR. Aynı düzlemde olan üç doğrunun birbirine göre durumlarını belirler ve inşa eder.. Paralel iki doğrunun bir kesenle yaptığı açıların eş olanlarını ve bütünler olanlarını

Detaylı

4. HAFTA ENM 108 BİLGİSAYAR DESTEKLİ TEKNİK RESİM. Yrd.Doç.Dr. İnan KESKİN. inankeskin@karabuk.edu.tr

4. HAFTA ENM 108 BİLGİSAYAR DESTEKLİ TEKNİK RESİM. Yrd.Doç.Dr. İnan KESKİN. inankeskin@karabuk.edu.tr 4. HAFTA ENM 108 BİLGİSAYAR DESTEKLİ TEKNİK RESİM Yrd.Doç.Dr. İnan KESKİN inankeskin@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 İçindekiler Tablosu Koordinat Kullanımı...

Detaylı

PARALEL KUVVETLERİN DENGESİ

PARALEL KUVVETLERİN DENGESİ ARALEL KUVVETLERİN DENGESİ aralel kuvvetler eğer aynı yönlü ise bileşke kuvvet iki kuvvetin arasında ve büyük kuvvete daha yakın olur. Bileşke kuvvetin bulunduğu noktadan cisim asılacak olursak cisim dengede

Detaylı

BÖLÜM 1 Uçak Dinamiğine Giriş. Hazırlayan: Ozan ÖZTÜRK

BÖLÜM 1 Uçak Dinamiğine Giriş. Hazırlayan: Ozan ÖZTÜRK BÖLÜM 1 Uçak Dinamiğine Giriş Hazırlayan: Ozan ÖZTÜRK Dev Makineler Bir Uçağın Tasarım Bileşenleri Uçak Ne Demek Uçak veya tayyare, hava akımının kanatların altında basınç oluşturması yardımıyla havada

Detaylı

Fizik ve Ölçme. Fizik deneysel gözlemler ve nicel ölçümlere dayanır

Fizik ve Ölçme. Fizik deneysel gözlemler ve nicel ölçümlere dayanır Fizik ve Ölçme Fizik deneysel gözlemler ve nicel ölçümlere dayanır Fizik kanunları temel büyüklükler(nicelikler) cinsinden ifade edilir. Mekanikte üç temel büyüklük vardır; bunlar uzunluk(l), zaman(t)

Detaylı

Fizik 101: Ders 21 Gündem

Fizik 101: Ders 21 Gündem Fizik 101: Ders 21 Gündem Yer çekimi nedeninden dolayı tork Rotasyon (özet) Statik Bayırda bir araba Statik denge denklemleri Örnekler Asılı tahterevalli Asılı lamba Merdiven Ders 21, Soru 1 Rotasyon Kütleleri

Detaylı

İÇİNDEKİLER UZAY AKSİYOMLARI... 001-006... 01-03 UZAYDA DOGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 04-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-014... 06-07

İÇİNDEKİLER UZAY AKSİYOMLARI... 001-006... 01-03 UZAYDA DOGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 04-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-014... 06-07 UZY GEMETRİ İÇİNDEKİLER Safa No Test No UZY KSİYMLRI... 001-00... 01-0 UZYD DGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 0-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-01... 0-07 PRİZMLR... 015-0... 08-1 KÜP... 05-00... 1-15 SİLİNDİR...

Detaylı

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY A. AÇI Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesine açı denir. Bu ışınlara açının kenarları, başlangıç noktasına ise açının köşesi denir. B. YÖNLÜ AÇI

Detaylı

Yatay Eksen: Dürbünün etrafında döndüğü eksendir. Asal Eksen: Çekül doğrultusundaki eksen Düzeç Ekseni: Düzecin üzerinde bulunduğueksen Yöneltme

Yatay Eksen: Dürbünün etrafında döndüğü eksendir. Asal Eksen: Çekül doğrultusundaki eksen Düzeç Ekseni: Düzecin üzerinde bulunduğueksen Yöneltme Teodolit Yatay Eksen: Dürbünün etrafında döndüğü eksendir. Asal Eksen: Çekül doğrultusundaki eksen Düzeç Ekseni: Düzecin üzerinde bulunduğueksen Yöneltme Ekseni: Kıllar şebekesinin kesim noktası ile objektifin

Detaylı

11.1 11.2. Tanım Akışkanların Statiği (Hidrostatik) Örnekler Kaldırma Kuvveti. 11.3 Örnek Eylemsizlik Momenti. 11.4 Eylemsizlik Yarıçapı

11.1 11.2. Tanım Akışkanların Statiği (Hidrostatik) Örnekler Kaldırma Kuvveti. 11.3 Örnek Eylemsizlik Momenti. 11.4 Eylemsizlik Yarıçapı 11.1 11. Tanım Akışkanların Statiği (Hidrostatik) Örnekler Kaldırma Kuvveti 11.3 Örnek Eylemsizlik Momenti 11.4 Eylemsizlik Yarıçapı 11.5 Eksen Takımının Değiştirilmesi 11.6 Asal Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

ŞEKİL DEĞİŞTİRME HALİ

ŞEKİL DEĞİŞTİRME HALİ ŞEKİL DEĞİŞTİRME HALİ GİRİŞ Önceki bölümde cisme etkiyen kuvvetlerin dengesi incelenerek gerilme kavramı geliştirildi. Bu bölümde ise şekil değiştiren cisim mekaniğinin en önemli kavramlarından biri olan

Detaylı

BÖLÜM I GİRİŞ (1.1) y(t) veya y(x) T veya λ. a t veya x. Şekil 1.1 Dalga. a genlik, T peryod (veya λ dalga boyu)

BÖLÜM I GİRİŞ (1.1) y(t) veya y(x) T veya λ. a t veya x. Şekil 1.1 Dalga. a genlik, T peryod (veya λ dalga boyu) BÖLÜM I GİRİŞ 1.1 Sinyal Bir sistemin durum ve davranış bilgilerini taşıyan, bir veya daha fazla değişken ile tanımlanan bir fonksiyon olup veri işlemde dalga olarak adlandırılır. Bir dalga, genliği, dalga

Detaylı

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4.

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4. POLİNOMLAR I MATEMATİK. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? I. ( ) P = + II. ( ) P = + III. ( ) + + P = + 6. ( ) ( ) ( ) P = a b a + b sabit polinom olduğuna göre ( ) ( ) ( ) P a +P b +P 0 toplamı kaçtır?

Detaylı

Dizi Antenler. Özdeş anten elemanlarından oluşan bir dizi antenin ışıma diyagramını belirleyen faktörler şunlardır.

Dizi Antenler. Özdeş anten elemanlarından oluşan bir dizi antenin ışıma diyagramını belirleyen faktörler şunlardır. Dizi Antenler Özdeş anten elemanlarından oluşan bir dizi antenin ışıma diyagramını belirleyen faktörler şunlardır. 1. Dizi antenin geometrik şekli (lineer, dairesel, küresel..vs.) 2. Dizi elemanları arasındaki

Detaylı

a = b ifadesine kareköklü ifade denir.

a = b ifadesine kareköklü ifade denir. KAREKÖKLÜ SAYILAR Rasyonel sayılar kümesi sayı ekseninde sık olmasına rağmen sayı eksenini tam dolduramamaktadır;çünkü sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel olmayan sayılar da vardır. Karesi

Detaylı

6. Sınıf Fen ve Teknoloji

6. Sınıf Fen ve Teknoloji KONU: Kuvvet Kuvveti göremeyiz, ancak onu etkileri ile tanırız. Kuvvet; Duran bir cismi hareket ettirebilir. Hareket eden bir cismi durdurabilir. Hareket eden bir cismin hızını değiştirebilir. Hareket

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu

Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu FOTOGRAMETRİ I Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ JDF329 Fotogrametri I Ders Notu 2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi İçerik Tanımlar

Detaylı

Eğer piramidin tabanı düzgün çokgense bu tip piramitlere düzgün piramit denir.

Eğer piramidin tabanı düzgün çokgense bu tip piramitlere düzgün piramit denir. PİRAMİTLER Bir düzlemde kapalı bir bölge ile bu düzlemin dışında bir T noktası alalım. Kapalı bölgenin tüm noktalarının T noktası ile birleştirilmesi sonucunda oluşan cisme piramit denir. T noktası piramidin

Detaylı

Havuz Modelleme. Bina Tasarım Sistemi. www.probina.com.tr. Prota Yazılım Ltd. Şti.

Havuz Modelleme. Bina Tasarım Sistemi. www.probina.com.tr. Prota Yazılım Ltd. Şti. Bina Tasarım Sistemi Havuz Modelleme [ Probina Orion Bina Tasarım Sistemi, betonarme bina sistemlerinin analizini ve tasarımını gerçekleştirerek tüm detay çizimlerini otomatik olarak hazırlayan bütünleşik

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

Hareket ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Öneriler. Bu üniteyi çalıştıktan sonra,

Hareket ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Öneriler. Bu üniteyi çalıştıktan sonra, ÜNİTE 3 Hareket Bu üniteyi çalıştıktan sonra, Amaçlar hareket kavramını, hareketi doğuran kuvvetleri, hız kavramını, ivme kavramını, enerji kavramını, hareket ile enerji arasındaki ilişkiyi öğreneceksiniz.

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri

Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri Yazar Doç.Dr. Hüseyin AZCAN ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Küresel Koordinatlar Silindirik Koordinatları Dönel Yüzeylerin Elde Edilmesi

Detaylı

STATİK (1. Hafta) Giriş TEMEL KAVRAMLAR

STATİK (1. Hafta) Giriş TEMEL KAVRAMLAR Giriş STATİK (1. Hafta) Mühendislik öğrencilerine genellikle ilk yıllarda verilen temel derslerin başında gelir. Sabit sistemler üzerindeki kuvvet ve momentleri inceleyen bir bilim dalıdır. Kendisinden

Detaylı

Microsoft Excel Uygulaması 2

Microsoft Excel Uygulaması 2 Microsoft Excel Uygulaması 2 Dört Temel İşlem: MS Excel hücrelerinde doğrudan değerlere ya da hücre başvurularına bağlı olarak hesaplamalar yapmak mümkündür. Temel aritmetik işlemlerin gerçekleştirilmesi

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 :

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 : FONKSİYONLR FONKSİYONUN EKSENLERİ KESİM NOKTLRI =f() fonksio - nunun ekseninin kestiği noktaların m apsisleri b, c, e dir. u noktalar a b f()= denkleminin kökleridir n =f() in p eksenini kestiği nokta

Detaylı

YAKIN DOĞU ÜNİVERSİTESİ SAĞLIK HİZMETLERİ MESLEK YÜKSEK OKULU ELEKTRONÖROFİZYOLOJİ TEKNİKERLİĞİ FİZİK DERSİ AKAN BAKKALOĞLU 1

YAKIN DOĞU ÜNİVERSİTESİ SAĞLIK HİZMETLERİ MESLEK YÜKSEK OKULU ELEKTRONÖROFİZYOLOJİ TEKNİKERLİĞİ FİZİK DERSİ AKAN BAKKALOĞLU 1 YAKIN DOĞU ÜNİVERSİTESİ SAĞLIK HİZMETLERİ MESLEK YÜKSEK OKULU ELEKTRONÖROFİZYOLOJİ TEKNİKERLİĞİ FİZİK DERSİ AKAN BAKKALOĞLU 1 FİZİKTE ÖLÇME, BİRİM ve BİRİM SİSTEMLERİ ÖLÇME: Bir niceliğin büyüklüğünün

Detaylı

AERODİNAMİK KUVVETLER

AERODİNAMİK KUVVETLER AERODİNAMİK KUVVETLER Hazırlayan Prof. Dr. Mustafa Cavcar Aerodinamik Kuvvet Bir uçak üzerinde meydana gelen aerodinamik kuvvetlerin bileşkesi ( ); uçağın havayagörehızının () karesi, havanın yoğunluğu

Detaylı

Yapısal Analiz Programı SAP2000 Bilgi Aktarımı ve Kullanımı. Doç.Dr. Bilge Doran

Yapısal Analiz Programı SAP2000 Bilgi Aktarımı ve Kullanımı. Doç.Dr. Bilge Doran Yapısal Analiz Programı SAP2000 Bilgi Aktarımı ve Kullanımı Dersin Adı : Yapı Mühendisliğinde Bilgisayar Uygulamaları Koordinatörü : Doç.Dr.Bilge DORAN Öğretim Üyeleri/Elemanları: Dr. Sema NOYAN ALACALI,

Detaylı

BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME TEZİ E 3-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALARI.

BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME TEZİ E 3-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALARI. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME TEZİ E -BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALARI Hasibe ŞENOL 16104210046 Danışman: Yrd. Doç. Dr. Murat BABAARSLAN YOZGAT 201 ÖZET

Detaylı

31.10.2014. CEV 361 CBS ve UA. Koordinat ve Projeksiyon Sistemleri. Öğr. Gör. Özgür ZEYDAN http://cevre.beun.edu.tr/zeydan/ Yerin Şekli

31.10.2014. CEV 361 CBS ve UA. Koordinat ve Projeksiyon Sistemleri. Öğr. Gör. Özgür ZEYDAN http://cevre.beun.edu.tr/zeydan/ Yerin Şekli CEV 361 CBS ve UA Koordinat ve Projeksiyon Sistemleri Öğr. Gör. Özgür ZEYDAN http://cevre.beun.edu.tr/zeydan/ Yerin Şekli 1 Yerin Şekli Ekvator çapı: 12756 km Kuzey kutuptan güney kutuba çap: 12714 km

Detaylı

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir.

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir. Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri Düzlemin noktalarını, düzlemin noktalarına eşleyen bire bir ve örten bir fonksiyona düzlemin bir dönüşümü denir. Öteleme: a =(a 1,a ) ve u =(u 1,u ) olmak

Detaylı

DÖRDÜNCÜ BÖLÜM. 4.1. Aritmetik işlemler

DÖRDÜNCÜ BÖLÜM. 4.1. Aritmetik işlemler DÖRDÜNCÜ BÖLÜM 4.1. Aritmetik işlemler Bu bölümde öğrencilerin lisede bildikleri aritmetik işlemleri hatırlatacağız. Bütün öğrencilerin en azından tamsayıların toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini

Detaylı

MIT 8.02, Bahar 2002 Ödev # 2 Çözümler

MIT 8.02, Bahar 2002 Ödev # 2 Çözümler Adam S. Bolton bolton@mit.edu MIT 8.02, Bahar 2002 Ödev # 2 Çözümler 22 Şubat 2002 Problem 2.1 İçi boş bir metalik küre içerisindeki bir noktasal yükün elektrik alanı - Gauss Yasası İş Başında Bu problemi

Detaylı

BÖLÜM 7. BİRİM SİSTEMLERİ VE BİRİM DÖNÜŞÜMLERİ

BÖLÜM 7. BİRİM SİSTEMLERİ VE BİRİM DÖNÜŞÜMLERİ BÖLÜM 7. BİRİM SİSTEMLERİ VE BİRİM DÖNÜŞÜMLERİ 7.1. Birim Sistemleri Genel Kimya, Akışkanlar Mekaniği, Termodinamik, Reaksiyon Mühendisliği gibi birçok temel ve mühendislik derslerinde karşılaşılan problemlerde,

Detaylı

EKVATORAL KOORDİNAT SİSTEMİ_devam. Serap Ak

EKVATORAL KOORDİNAT SİSTEMİ_devam. Serap Ak EKVATORAL KOORDİNAT SİSTEMİ_devam http://star-www.st-and.ac.uk/~fv/webnotes/chapter5.htm http://star-www.st-and.ac.uk/~fv/webnotes/chapter4.htm Gök küresinde bulunan önemli yıldızların ekvatoral koordinatları

Detaylı

AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ. Anten Parametrelerinin Temelleri. Samet YALÇIN

AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ. Anten Parametrelerinin Temelleri. Samet YALÇIN AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ Anten Parametrelerinin Temelleri Samet YALÇIN Anten Parametrelerinin Temelleri GİRİŞ: Bir antenin parametrelerini tanımlayabilmek için anten parametreleri gereklidir. Anten performansından

Detaylı

10. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ

10. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ 2012 10. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ TOLGA YAVAN Matematik Öğretmeni 1. ÜNİTE: DÜZLEM GEOMETRİDE TEMEL ELEMANLAR VE İSPAT BİÇİMLERI Temel Postulatlar İspatlanamayan ve ispatına gerek duyulmayan ancak doğru

Detaylı

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ KAZANIMLAR

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ KAZANIMLAR KASIM EKİM EYLÜL Ay Hafta D.Saat i 0 04 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE SÜRE ÖĞRENME ALANI ALT ÖĞRENME ALANI Örüntü Süslemeler si KAZANIMLAR.Doğru, çokgen

Detaylı

FORMÜL ADI (FONKSİYON) FORMÜLÜN YAZILIŞI YAPTIĞI İŞLEMİN AÇIKLAMASI

FORMÜL ADI (FONKSİYON) FORMÜLÜN YAZILIŞI YAPTIĞI İŞLEMİN AÇIKLAMASI 1 SIKÇA KULLANILAN EXCEL FORMÜLLERİ 1 AŞAĞI YUVARLAMA =aşağıyuvarla(c7;2) 2 YUKARI YUVARLAMA =yukarıyuvarla(c7;2) 3 YUVARLAMA =yuvarla(c7;2) 4 TAVANA YUVARLAMA =tavanayuvarla(c7;5) 5 TABANA YUVARLAMA =TABANAYUVARLA(E2;5)

Detaylı

AÇILIŞ EKRANI. Açılış ekranı temelde üç pencereye ayrılır:

AÇILIŞ EKRANI. Açılış ekranı temelde üç pencereye ayrılır: AÇILIŞ EKRANI Açılış ekranı temelde üç pencereye ayrılır: Tam ortada çizim alanı (drawing area), en altta komut satırı (command line) ve en üstte ve sol tarafta araç çubukları (toolbar). AutoCAD te dört

Detaylı

9. SINIF FİZİK YAZ TATİLİ ÖDEV KİTAPÇIĞI. MEV Koleji Özel Ankara Okulları

9. SINIF FİZİK YAZ TATİLİ ÖDEV KİTAPÇIĞI. MEV Koleji Özel Ankara Okulları 9. SINIF FİZİK YAZ TATİLİ ÖDEV KİTAPÇIĞI MEV Koleji Özel Ankara Okulları Sevgili öğrenciler; yorucu bir çalışma döneminden sonra hepiniz tatili hak ettiniz. Fakat öğrendiklerimizi kalıcı hale getirmek

Detaylı

Girişim; iki veya daha fazla dalganın üst üste binerek, yeni bir dalga şeklinde sonuç

Girişim; iki veya daha fazla dalganın üst üste binerek, yeni bir dalga şeklinde sonuç GİRİŞİM Girişim olayının temelini üst üste binme (süperpozisyon) ilkesi oluşturur. Bir sistemdeki iki farklı olay, birbirini etkilemeden ayrı ayrı ele alınarak incelenebiliyorsa bu iki olay üst üste bindirilebilinir

Detaylı

AĞIRLIK MERKEZİ. G G G G Kare levha dairesel levha çubuk silindir

AĞIRLIK MERKEZİ. G G G G Kare levha dairesel levha çubuk silindir AĞIRLIK MERKEZİ Bir cise etki eden yerçekii kuvvetine Ağırlık denir. Ağırlık vektörel bir büyüklüktür. Yere dik bir kuvvet olup uzantısı yerin erkezinden geçer. Cisin coğrafi konuuna ve yerden yüksekliğine

Detaylı

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9 OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 015 01 1 Eylül 18 Eylül Kümelerde Temel Kavramlar 1. Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimler.

Detaylı

2 Hata Hesabı. Hata Nedir? Mutlak Hata. Bağıl Hata

2 Hata Hesabı. Hata Nedir? Mutlak Hata. Bağıl Hata Hata Hesabı Hata Nedir? Herhangi bir fiziksel büyüklüğün ölçülen değeri ile gerçek değeri arasındaki farka hata denir. Ölçülen bir fiziksel büyüklüğün sayısal değeri, yapılan deneysel hatalardan dolayı

Detaylı

Fizik 101: Ders 1 Mühendisler için Mekanik Günün konusu

Fizik 101: Ders 1 Mühendisler için Mekanik Günün konusu Fizik 101: Ders 1 Mühendisler için Mekanik Günün konusu Dersin kapsamı Öneriler Birimler e Ölçümler Temel birimler Birimler sistemi Birim sistemlerinden çeirme Boyut analizi 1-Boyutlu (1-D) Kinematik (özet)

Detaylı

Fotogrametride işlem adımları

Fotogrametride işlem adımları Fotogrametride işlem adımları Uçuş planının hazırlanması Arazide yer kontrol noktalarının tesisi Resim çekimi Değerlendirme Analitik değerlendirme Dijital değerlendirme Değerlendirme Analog değerlendirme

Detaylı

ELEKTRİK-ELEKTRONİK ÖLÇME TESİSAT GRUBU TEMRİN-1-Mikrometre ve Kumpas Kullanarak Kesit ve Çap Ölçmek

ELEKTRİK-ELEKTRONİK ÖLÇME TESİSAT GRUBU TEMRİN-1-Mikrometre ve Kumpas Kullanarak Kesit ve Çap Ölçmek ELEKTRİK-ELEKTRONİK ÖLÇME TESİSAT GRUBU TEMRİN-1-Mikrometre ve Kumpas Kullanarak Kesit ve Çap Ölçmek Amaç: Mikrometre ve kumpas kullanarak kesit ve çap ölçümünü yapabilir. Kullanılacak Malzemeler: 1. Yankeski

Detaylı

Yazanlar: Prof. FERDİN AND P. BEER Lehigh Üniversitesi, Mekanik Bölümü Başkanı

Yazanlar: Prof. FERDİN AND P. BEER Lehigh Üniversitesi, Mekanik Bölümü Başkanı Mühendisler için Mekanik Cilt II DİNAMİK Yazanlar: Prof. FERDİN AND P. BEER Lehigh Üniversitesi, Mekanik Bölümü Başkanı Prof. E. RUSSELL JOHNSTON, Worcester Politeknik Enstitüsü İnşaat Mühendisliği Bölümü

Detaylı

Ölçme Bilgisi Jeofizik Mühendisliği Bölümü

Ölçme Bilgisi Jeofizik Mühendisliği Bölümü Ölçme Bilgisi Jeofizik Mühendisliği Bölümü Yrd. Doç. Dr. H. Ebru ÇOLAK ecolak@ktu.edu.tr Karadeniz Teknik Üniversitesi, GISLab Trabzon www.gislab.ktu.edu.tr/kadro/ecolak DÜŞEY MESAFELERİN YÜKSEKLİKLERİN

Detaylı

FOTOYORUMLAMA UZAKTAN ALGILAMA

FOTOYORUMLAMA UZAKTAN ALGILAMA FOTOYORUMLAMA VE UZAKTAN ALGILAMA (Photointerpretation and Remote Sensing) 1 Ders İçeriği Hava fotoğrafının tanımı Fotogrametrinin geometrik ilkeleri Fotogrametride fotoğrafik temel ilkeler Stereoskopik

Detaylı