3-Boyutlu öklid uzayında bertrand eğriler ve bishop çatısı. Bertrand curves and bishop frame in the 3-dimensional euclidean space

Transkript

1 Sakarya Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi, (6), 40~45, 07 SAKARYA ÜİVERSİESİ FE BİLİMLERİ ESİÜSÜ DERGİSİ SAKARYA UIVERSIY JOURAL OF SCIECE e-iss: 47-85X Dergi sayfası: Geliş/Received --06 Kabul/Accepted Doi /saufenbilder Boyutlu öklid uzayında bertrand eğriler ve bishop çatısı Melek Masal, Ayşe Zeynep Azak * ÖZ Bu çalışmada 975 yılında L. R. Bishop tarafından tanımlanan Bishop çatısına ait eğrilikliklerin geometrik anlamları verildi. Daha sonra 850 yılında Bertrand ın tanımladığı Bertrand eğri çiftlerinin Bishop vektörleri arasındaki bağıntılar elde edildi. Ayrıca bu Bertrand eğri çiftlerinin paralel eğri olması durumunda bazı ilginç sonuçlar elde edildi. Anahtar Kelimeler: Bertrand eğriler, Bishop çatısı, Frenet çatısı, Öklid uzayı, paralel eğriler Bertrand curves and bishop frame in the -dimensional euclidean space ABSRAC In this paper, the geometric meanings of the curvatures belong to Bishop frame, which was defined by L.R. Bishop in 975, has been given. Afterwar, the relations between the Bishop vectors of Bertrand curve couple, which Bertrand defined in 850, has been obtained. Furthermore, some interesting results have been found when these curves become parallel curves. Keywor: Bertrand curves, Bishop frame, Frenet frame, Euclidean space, parallel curves Sorumlu Yazar/Corresponding Author Sakarya University, Faculty of Education, Department of Mathematics and Science Education, 5400, Hendek, Sakarya mmasal@sakarya.edu.tr Sakarya University, Faculty of Education, Department of Mathematics and Science Education, 5400, Hendek, Sakarya apirdal@sakarya.edu.tr 07 Sakarya Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü 40

2 M. Masal, A.Z.Azak /-Boyutlu öklid uzayında bertrand eğriler ve bishop çatısı. GİRİŞ (IRODUCIO) Asli normalleri paralel olan eğriler Bertrand tarafından Bertrand eğrileri olarak tanımlanmıştır [4]. Son yıllarda, Bertrand eğrileri bilgisayar destekli geometrik tasarımlarda (CAD) ve bilgisayar destekli üretimlerde (CAM) önemli bir rol oynamaktadır [6,9]. Bu öneminden ötürü Bertrand eğriler geometriciler tarafından farklı uzaylarda çalışılmıştır [,,8,,4,7,0]. Diğer yandan paralel vektör alanlarına bağlı olarak 975 yılında eğrilerin alternatif veya paralel çatısı olarak adlandırılan Bishop çatısı, Bishop tarafından tanımlanmış [5], böylece geometriciler bu çatı sayesinde Frenet çatısının tanımlanamadığı durumlar için (özellikle eğrinin ikinci türevinin sıfır olduğu durumlarda) alternatif bir çatı olarak Bishop çatısını kullanmaya başladılar. Bishop çatısı ile ilgili yapılan makalelere örnek olarak [,6,7,9,,,9,] verilebilir. Bizim bu çalışmamız ise iki kısımdan oluşmaktadır. Birinci kısımda Bishop eğriliklerinin, Frenet eğriliklerine benzer olarak, geometrik anlamları ifade edildi. İkinci kısımda ise Frenet çatısına göre tanımlanan Bertrand eğri çiftlerinin Bishop vektörleri ve yay parametreleri arasındaki bağıntılar ile Bertrand eğri çiftlerinin paralel eğri olması durumunda eğrilikleri arasındaki bağıntılar elde edildi.. Ö HAZIRLIK (PRELIMIARIES) E de s yay parametresi ile verilen regüler bir C eğrisinin Frenet ve Bishop bileşenleri,,,,,,, k, k olmak üzere B ve C eğrisinin s yay parametresine göre Frenet ve Bishop formülleri, [5] B B ve k k k k () () dır. C eğrisinin Frenet ve Bishop bileşenleri arasında C cos sin B sin cos ve, ( s) ( s), ( s) k ( s) k ( s). bağıntıları vardır. Buradan, k ( s) ( s)cos ( s) k ( s) ( s)sin ( s) () (4) (5) Eğer C ve C uzay eğrilerinin karşılıklı noktalarında teğet vektörleri paralel ise ( C, C ) eğri çiftine paralel eğri çifti denir. [6].. BİSHOP ÇAISIA GÖRE EĞRİLİKLERİ ALAMI (MEAIGS OF HE CURVAURES ACCORDIG O BISHOP FRAME) E de bir C eğrisinin Bishop bileşenleri,,, k, k ise C eğrisinin Bishop çatısına göre normal uzayı onun teğet vektör alanının ortogonal komplemanı dır. Buna göre, 0 p, X E X S. C eğrisinin Bishop çatısına göre rektifiyan uzayı onun.normal vektör alanı in ortogonal komplemanı olup, 0 p, X E X S. C eğrisinin Bishop çatısına göre oskülatör uzayı ise onun. binormal vektör alanının ortogonal komplemanı, 0 p, x E X S. C eğrisi E de I, koordinat komşuluğu ile verilsin. eğrisini s0 I nın bir komşuluğunda aylor serisine açarsak Sakarya Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi, (6), 40~45, 07 4

3 M. Masal, A.Z.Azak /-Boyutlu öklid uzayında bertrand eğriler ve bishop çatısı s ( s) (0) s. (0) (0) s (0)... 6 dır, burada s 0 =0 alınmıştır. (6) (0) noktasındaki Bishop bileşenleri 0, 0, 0, k0, k 0 ise s I yay parametresi olmak üzere, () den k k k k k k (7) elde edilir. (7) denklemleri (6) da yerine yazılırsa s s 0 s k k... 6 s s k k s s k k (8) bulunur. s 0=0 noktasının bir 0 komşuluğunda un çok küçük bir değeri için s s s s 4 0,... 0 olsun. Bu durumda nın bir parçası, (8) den ( s) 0 s. 0 olur. Bu ise bize eğrisinin en iyi lineer yaklaşımını verir. Şimdi ise s 0=0 noktasının öyle bir 0 komşuluğunda eğrimizi ele alalım ki, s s s s 4 0, 0,... 0 olsun. Bu durumda nın bir parçası, (8) den, s s ( s) 0 s k k bulunur. eğrisine eğrisinin Bishop yaklaşımı denir. Buradan 0 0 k olması halinde eğrinin, 0 0 ın gerdiği alt uzayda, k0 0 olması halinde eğrinin 0, 0 ın gerdiği alt uzayda, k0 0 ve k0 0 olması halinde eğrinin bir doğru (teğet doğrusu) olduğu söylenebilir. Böylece aşağıdaki teorem verilebilir: eorem. E de bir C eğrisinin i) Birinci Bishop eğriliği sıfır ise eğri Bishop çatısına göre rektifyan uzayda yatar. ii) İkinci Bishop eğriliği sıfır ise eğri Bishop çatısına göre oskülatör uzayda yatar. iii) Birinci ve ikinci Bishop eğrilikleri sıfır ise eğri teğet doğrusu ile çakışıktır. 4. BERRAD EĞRİLERİ (BERRAD CURVES) Yay-parametreleri s ve s olan C ve C birim hızlı regüler eğrilerinin Frenet bileşenleri,, B,, ve,, B,, bileşenleri k k ve,,, k, k,,,, olsun., Bishop anım. C ve C eğrilerinin asli normal vektörleri lineer bağımlı ise C, C eğri çiftine Bertrand eğri çifti denir. C, C Bertrand eğri çifti ise, C( s) C ( s ) ( s ) s ve sb dir. C, C Bertrand eğri çiftlerinin teğetleri ve arasındaki açı ise cos 0 sin 0 0 B sin 0 cos B (9) yazılabilir. Ayrıca C, C eğri çiftinin Bertrand eğri çifti olması için gerek ve yeter koşul, R için olmasıdır, [0]. eorem. C, C E de Bertrand eğri çifti ise Bishop vektörleri arasında Sakarya Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi, (6), 40~45, 07 4

4 M. Masal, A.Z.Azak /-Boyutlu öklid uzayında bertrand eğriler ve bishop çatısı cos sin sin sin cos ( sin sin ) (cos cos sin sin cos ) (sin cos sin cos cos ) (cos sin ) (sin cos cos sin cos ) (sin sin cos cos cos ) bağıntıları vardır. İspat. C, C E de Bertrand eğri çifti ise () ve (9) eşitliklerinden 0 0 cos 0 sin 0 cos sin sin cos sin 0 cos cos sin 0 sin cos elde edilir. Buradan cos sin sin sin cos ( sin sin ) (cos cos sin sin cos ) (sin cos sin cos cos ) (cos sin ) (sin cos cos sin cos ) (sin sin cos cos cos ) bulunur. Sonuç. C, C Bertrand eğri çifti aynı zamanda paralel eğri çifti ise Bishop vektörleri arasında, cos( ) sin( ) 0 sin( ) cos( ) bağıntıları vardır. Burada, 0 için, için dır. İspat. C, C Bertrand eğri çifti aynı zamanda paralel eğri çifti ise 0 veya dir. Bu durumda eorem den C ve C vektörleri arasında cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) eşitlikleri elde edilir. eorem. C, C Bertrand eğri çifti ise cos dır. Burada sabittir. İspat. C, C Bertrand eğri çifti ise C( s) C s s, sb dır. Bu eşitliğin her iki tarafının s alınırsa, () den, ( ) ( sin ) ( cos ) Bishop a göre türevi (0) elde edilir. (0) denkleminin her iki tarafının ile iç çarpımı alınırsa, cos elde edilir. Buradan aşağıdaki sonucu verebiliriz: Sonuç. C, C Bertrand eğri çifti ise s c cos dır. Burada c integrasyon sabitidir. eorem4. C, C sin Bertrand eğri çifti ise dır. Burada sabittir. İspat. C, C Bertrand eğri çifti ise (0) denkleminin her iki tarafının alınırsa, ile iç çarpımı Sakarya Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi, (6), 40~45, 07 4

5 M. Masal, A.Z.Azak /-Boyutlu öklid uzayında bertrand eğriler ve bishop çatısı sin, sb elde edilir. Böylece aşağıdaki sonucu verebiliriz: Sonuç. C, C Bertrand eğri çifti ise c sin dır. Burada c integrasyon sabitidir. eorem5. C, C çifti ise ve dır. İspat. C, C Bertrand eğri çifti paralel eğri Bertrand eğri çifti olduğundan alınabilir. Her iki tarafın s a göre türevi alınırsa, () ve () denklemlerinden sin cos sin cos elde edilir. Sonuç den ve bulunur. REFERECES [] E. As, A. Sarıoğlugil, On the Bishop curvatures of involute-evolute curve couple in E, International Journal of Physical Sciences, vol. 9, no. 7, pp , 04. [] H. Balgetir, M. Bektaş, J. Inoguchi, ull Bertrand curves and their characterizations, ote di Matematica, vol., no., pp. 7-, 004. [] H. Balgetir, M. Bektaş, M. Ergüt, Bertrand curves for nonnull curves in three dimensional Lorentzian space, Hadronic Journal, vol. 7, pp. 9-6, 004. [4] J. Bertrand, La theories de courbes a double courbure, Journal de Mathematiques Pures et Appliquees, vol. 5, pp. -50, 850. [5] L. R Bishop, here is more than one way to frame a curve, he American Mathematical Monthly, vol. 8, no., pp. 46 5, 975. [6] B. Bükcü, M. K Karacan., Special Bishop motion and Bishop darboux rotation axis of the space curve, Journal of Dynamical Systems and Geometric heories, vol. 6, no., pp. 7-4, 008. [7] B. Bükcü, M. K. Karacan, he slant helices according to Bishop frame, International Journal of Computer and Mathematical Science, vol., no., pp , 009. [8] J. H. Choi,. H. Kang, Y. H. Kim, Bertrand curves in -dimensional space forms, Applied Mathematics and Computation, vol. 9, no., pp , 0. [9] M. Çetin, Y. unçer, M. K.. Karacan, Smarandache curves according to Bishop frame in Euclidean -space, General Mathematics otes, vol. 0, no., pp , 04. [0] M. P. Do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, Saddle River, ew Jersey, 976. [] R. Ghadami, Y. Yaylı, A new characterization for inclined curves by the Sakarya Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi, (6), 40~45, 07 44

6 M. Masal, A.Z.Azak /-Boyutlu öklid uzayında bertrand eğriler ve bishop çatısı help of spherical representations according to Bishop frame, International Journal of Pure and Applied Mathematics, vol. 74, no. 4, pp , 0. [] S. Izumiya,. akeuchi, Generic properties of helices and Bertrand curves, Journal of Geometry, vol. 74, pp , 00. []. Körpınar, V. Asil, S. Baş., On characterization inextensible flows of curves according to Bishop frame, otas de Matematica, vol. 7(), no. 0, pp. 7-45, 0. [4] P. Lucas, J. A. Ortega-Yagües, Bertrand curves in the three-dimensional sphere, Journal of Geometry and Physics, vol. 6, no. 9, pp , 0. [5] A. W. utbourne, R. R. Martin, Differential geometry applied to the design of curves and surfaces, Ellis Horwood, Chichester, UK, 988. [6] B. O eill, Semi-Riemannian Geometry with Applications to Relativity, Academic Press, ew York, 98 [7] A. O. Öğrenmiş, H. Öztekin, M. Ergüt, Bertrand curves in Galilean space and their characterizations, Kragujevac Journal of Mathematics, vol., pp. 9-47, 009. [8] S. G. Papaioannou., D. Kiritsis, An application of Bertrand curves and surface to CAD/CAM, Computer Aided Geometric Design, vol. 7, no. 8, pp. 48-5, 985. [9] D. Ünal, İ. Kişi, M. osun, Spinor Bishop equations of the curves in Euclidean - space, Advances in Applied Clifford Algebras, vol., no., pp , 0. [0] M. Y. Yılmaz, M. Bektaş, General properties of Bertrand curves in Riemann Otsuki space, onlinear Analysis, vol. 69, no. 0, pp. 5, 008. [] S. Yılmaz, E. Özyılmaz, M. urgut, ew spherical indicatrices and their characterizations, Analele Stiintifice ale Universitatii Ovidius Constanta, vol. 8, no., pp. 7-54, 00. Sakarya Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi, (6), 40~45, 07 45