ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ. n - BOYUTLU LORENTZ UZAYINDA B - SCROLLAR. Şeyda KILIÇOĞLU MATEMATİK ANABİLİM DALI

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ n - BOYUTLU LORENTZ UZAYINDA B - SCROLLAR Şeyda KILIÇOĞLU MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2006 Her hakkı saklıdır

2 ProfDr HHilmi HACISALİHOĞLU danışmanlığında, Şeyda KILIÇOĞLU tarafından hazırlanan bu çalışma 06 / 07 / 2006 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından Matematik Anabilim Dalı nda Doktora tezi olarak kabul edilmiştir Başkan : ProfDr HHilmi HACISALİHOĞLU İmza: Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü Üye : ProfDr Arif SABUNCUOĞLU İmza: Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü Üye : ProfDr Necmettin TANRIÖVER İmza: Başkent Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü Üye : ProfDr Baki KARLIĞA İmza: Gazi Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Üye : DoçDr Mustafa Kemal SAĞEL İmza: Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Tezin Adı: n - BOYUTLU LORENTZ UZAYINDA B SCROLLAR Yukarıdaki sonucu onaylarım ProfDr Ülkü MEHMETOĞLU Enstitü Müdürü

3 ÖZET Doktora Tezi n BOYUTLU LORENTZ UZAYINDA B SCROLLAR Şeyda KILIÇOĞLU Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: ProfDr HHilmi HACISALİHOĞLU Bu tez altı bölümden oluşmaktadır Birinci bölüm,giriş kısmına ayrılmıştır İkinci bölümde ileri bölümlerde gerekli olan kavramlar ve tanımlar verilmiştir Üçüncü bölümde, 3 ve n boyutlu Öklid uzayında regle yüzeyler incelenmiş; teğetsel demet, asimptotik demet kavramlarıyla sırt uzayı ve merkez uzaylarının varlığı irdelenmiştir Dördüncü bölümde, 3 ve n boyutlu Lorentz uzayında regle yüzeyler incelenmiştir Dayanak eğrisinin time-like veya space-like olması durumlarında oluşan farklı timelike regle yüzeyler ayrı ayrı incelenmiştir Beşinci bölümde, 3 ve n boyutlu Öklid uzaylarında özel regle yüzeyler olan B scroll - lar tanıtılmıştır Asimptotik demet ve teğetsel demet kavramlarıyla B scroll ların merkez uzayı, şekil operatörüne karşılık gelen matrisi, normali, Gauss ve ortalama eğrilikleri I ve II temel formları, asimptotikçizgileriveeğrilik çizgileri irdelenmiştir Son bölümde ise 3 ve n boyutlu Lorentz uzaylarında özel regle yüzeyler olan timelike B scroll lar tanıtılmıştır ve3 boyutlu Lorentz uzayında dayanak eğrisinin veya binormalinin time-like olması durumlarında yukarıda adı geçen konular incelenmiştir n boyutlu Lorentz uzayında dayanak eğrisinin time-like veya space-like olması durumlarında oluşan 2 ve p yinci mertebeden B scroll lar ayrı ayrı incelenmiştir Bu incelemelerde merkez uzayının araştırılması bizi Lyapunov tipi diferensiyel denklem sistemine getirmiştir ve geometri yönü ile bu sistem sonuçlandırılmıştır 2006, 131 sayfa Anahtar Kelimeler : Merkez uzay, Asimptotik demet, Teğetsel demet, Genelleştirilmiş B scroll, Genelleştirilmiş regle yüzey i

4 ABSTRACT PhD Thesis B SCROLLS IN LORENTZ n SPACE E n Şeyda KILIÇOĞLU Ankara University Graduate School of Natural And Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: ProfDr HHilmi HACISALİHOĞLU This thesis consists of six chapters The first chapter is devoted to the introduction The second chapter, concepts and definitions which are needed in the further chapters are given In the third chapter, ruled surfaces in the 3 and n dimensional Euclidean space are analyzed The existance of edge space and striction space together with concepts of tangentian bundle and asymptotic bundle are studied In the fourth chapter, ruled surfaces in the 3 and n dimensional Lorentzian space are examined Distinct time like ruled surfaces which occur when the generating curve is time like or space like are studied In the fifth chapter, B scrolls that are special ruled surfaces in 3 and n dimensional Euclidean spaces are introduced Striction space, the matrix corresponding to shape operator, the normal, the Gaussian and mean curvatures, I and II fundamental forms, asymptotic lines and curvature lines of B scrolls together with the concepts of asymptotic bundle and tangentian bundle are studied In the last chapter,time like B scrolls which are special ruled surfaces in 3 and n dimensional Lorentzian space are introduced and the subjects mentioned above, in the cases the generating curve or binormal in 3 dimensional Lorentzian space aretimelikeexamined 2 andp th degree B scrolls that occurs in the case when the generating curve is time like or space like in n dimensional Lorentzian space are studied In these studies, examination of the striction spaces have led us to Lyapunov type differential equation system and this system is studied in geometrical aspect 2006, 131 pages Key Words: Striction space, Asymptotic bundle, Tangentian bundle, Generalized B scroll, Generalized ruled surface ii

5 TEŞEKKÜR Bana araştırma olanağı sağlayan ve çalışmamın hersafhasında yakın ilgi ve önerileri ile beni yönlendiren danışman hocam, Sayın ProfDr HHilmiHACISALİHOĞLU (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi) na, yardımlarını benden esirgemeyen değerli hocalarım Sayın ProfDr ArifSABUNCUOĞLU (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi) na, Sayın ProfDr BakiKARLIĞA(GaziÜniversitesiFenEdebiyatFakültesi) ya, Sayın ProfDr Yusuf YAYLI (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi) ya ve Sayın YardDoçDr Nejat EKMEKÇİ (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi) ye teşekkürlerimi bir borç bilirim Çalışmam sırasında ellerinden gelen her türlü desteği bana veren eşim Dr Mustafa KILIÇOĞLU na, kızlarım İlayda, Açelya ya ve oğlum Ahmet Tuna ya sabırlarından ötürü teşekkürlerimi sunarım Şeyda KILIÇOĞLU Ankara, Temmuz 2006 iii

6 İÇİNDEKİLER ÖZET i ABSTRACT ii TEŞEKKÜR iii SİMGELER DİZİNİ vi ŞEKİLLER DİZİNİ vii 1 GİRİŞ 1 2 TEMEL KAVRAMLAR 4 21 Simetrik Bilineer Formlar 4 22 Yarı-Öklid Uzayları 8 23 Multivektörler, Wedge Çarpımı ve Yıldız Operatörü 13 3 ÖKLİD UZAYINDA REGLE YÜZEYLER n E Öklid Uzayında (k+1)-boyutlu Genelleştirilmiş Regle Yüzeyler 18 n 32 E Uzayında 3-Boyutlu Regle Yüzeyler 27 4 LORENTZ UZAYINDA REGLE YÜZEYLER L 3-Boyutlu Lorentz Uzayında Regle Yüzeyler 36 n L n-boyutlu Lorentz Uzayında Space-like Dayanak Eğrili (Time-like Doğrultman Uzaylı) Genelleştirilmiş Time-like Regle Yüzeyler (Lorentz Regle Yüzeyler) 37 n 43 L n-boyutlu Lorentz Uzayında Time-like Dayanak Eğrili (Space-like Doğrultman Uzaylı) Genelleştirilmiş Time-like Regle Yüzeyler (Lorentz Regle Yüzeyler) 47 5 ÖKLİD UZAYINDA B - SCROLL LAR Boyutlu Öklid Uzayında B - Scroll lar n E n-boyutlu Öklid Uzayında p Mertebeden B - Scroll lar 76 n 53 E n-boyutlu Öklid Uzayında 2 Mertebeden Genelleştirilmiş B-Scroll lar 82 6 LORENTZ UZAYINDA B - SCROLL LAR L 3-Boyutlu Lorentz Uzayında Time-like Dayanak Eğrili B - Scroll lar 93 3 L 3-Boyutlu Lorentz Uzayında Space-like Dayanak Eğrili B - Scroll lar 105 n L n-boyutlu Lorentz Uzayında p Mertebeden Genelleştirilmiş B - Scroll lar 115 iv

7 KAYNAKLAR 127 ÖZGEÇMİŞ 131 v

8 SİMGELER DİZİNİ V boy V ind V η (I) η (I) E n T η(t) (E n ) E k (t) M A (t) T (t) K k m Z k m S K H L n = E1 n V i k i ϕ t reel vektör uzayı V reel vektör uzayının boyutu V reel vektör uzayının indeksi birim hızlı eğri eğrinin birim teğet vektörü n boyutlu Öklid uzayı E n uzayının η (t) noktasındaki tanjant uzayı η (t) noktasındaki k boyutlu doğrultman uzay yüzey M yüzeyinin asimptotik demeti M yüzeyinin teğetsel demeti (k m) boyutlu sırt uzay (k m) boyutlu merkez uzay S şekil operatörüne karşılık gelen matris Gauss eğriliği ortalama eğrilik n boyutlu 1 indeksli Lorentz uzayı i yinci Frenet vektörü i yinci eğrilik ϕ nin t değişkenine göre türevinin birimi vi

9 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil 31 k =2için E n de regle yüzey 29 Şekil 51 E 3 de B scroll 65 Şekil 52 E n de p mertebeden B scroll lar 77 Şekil 53 E n de 2 mertebeden B scroll 83 Şekil 61 L n de p mertebeden B scroll 117 vii

10 1 GİRİŞ Regle yüzey kavramı, Fransızca surface regleé den gelmiş olup çizgiler yüzeyi (ışın yüzeyi) olarak da adlandırılabilir E 3 de bir regle yüzey, bir parametreye bağlı doğrular ailesinin geometrik yeri olarak tanımlanır Juza daha 1960 lı yıllarda genelleştirilmiş regle yüzeyler teorisi üzerinde çalışmıştır Daha sonra bu alanda çalışmalar Frank and Giering (1976) ve Thas (1978) ile devam etmiştir Sabuncuoğlu (1982), Genelleştirilmiş RegleYüzeyleradlı doçentlik tezinde bu yüzeyi ve özeliklerini incelemiştir Daha sonra Ergüt, Genelleştirilmiş RegleYüzeylereDair adlı doktora tezinde Thas ın E n de 2 boyutlu regle yüzey için verdiği skalar normal eğriliği, (r +1) boyutlu genelleştirilmiş regle yüzey için hesaplayarak bazı sonuçlar elde etmiştir Bunlara bağlı olarak genelleştirilmiş regle hiperyüzeyler için önemli teorem ve sonuçlar vermiştir Regle yüzeyler üzerine yine bir çalışma Çalışkan (1998) tarafından doktora tezi olarak hazırlanmıştır Keleş ve Kuruoğlu (1983), bu çalışmalar doğrultusunda n boyutlu Öklid uzayında regle yüzeylerin özeliklerini ve Massey Teoremi ni ifade etmişlerdir Altın (1994), Yüksek Mertebeden Regle Yüzeyler adlı doktora tezinde genelleştirilmiş regle yüzeylerin kapalı olması durumunda açılım uzunluğu ve açılım açısını incelemiştir Öklid uzayında ve Riemann manifoldlarında regle yüzeyleri ile ilgili çalışmalara benzer olarak yarı-riemann manifoldlarında (veya uzaylarında) bir çok çalışma yapılmıştır Yarı-Riemann manifoldları klasik terminolojide pseudo-riemann veya indefinite Riemann manifoldları olarak da adlandırılmaktadır Yarı-Riemann manifoldlarında (veya uzaylarında) diferensiyellenebilir eğrilerin sınıflandırılması oldukça önemlidir Eğriler causal karakterlerine göre time-like, space-like ve lihgt-like olmak üzere üçe ayrılır (O Neil 1983) q indeksli n boyutlu bir yarı-riemann manifoldu Mq n ise n 2 1

11 ve q =1özel durumu için M1 n yarı-riemann manifoldu, Lorentz manifoldudur q indeksli n boyutlu bir yarı-öklid uzayı R n q ise n 2 ve q =1özel durumu için R n 1 = L n bir Lorentz (Minkowski) vektör uzayıdır (O Neil 1983, Duggal and Bejancu 1996) Regle yüzeyler için E 3 ve E n de yapılanbuçalışmalar Lorentz (Minkowski) uzayında da çalışılmıştır Turgut (1995), 3 Boyutlu Minkowski Uzayında Time-like ve Spacelike Regle Yüzeyler adlı doktora tezinde 3 boyutlu Lorentz uzayında time-like ve space-like regle yüzeyler ile bunlara ait boğaz noktası, boğaz çizgisi, dağılma parametresi, açılabilir regle yüzeyler kavramlarını incelemiştir Yine Aydemir (1995), R n 1 Minkowski Uzayında Time-like Doğrultman Uzaylı Genelleştirilmiş Time-like Regle Yüzeyler adlı tezinde; Tosun (1995), R n 1 Minkowski Uzayında Space-like Doğrultman Uzaylı Genelleştirilmiş Time-like Regle Yüzeyler adlı tezinde, n boyutlu Lorentz (Minkowski) uzayında doğrultman uzaylarına göre tanımlanan regle yüzeyleri ve eğriliklerini çalıştılar Turgut ve Hacısalihoğlu (1997), Time-like Ruled Surfaces in the Minkowski 3-Space adlı makalede regle yüzeyleri incelediler L 3 de dayanak eğrisi null olan time-like regle yüzeyleri ilk olarak Graves (1979), Codimension One Isometric Immersions Between Lorentz Space adlı çalışmasında B scroll olarak tanımlamıştır Bu yeni bir çeşit regle yüzey, dayanak eğrisinin binormal vektör alanı tarafından oluşturulduğu için B scroll adını almıştır Bu yüzeylerin Gauss dönüşümü Alias vd (1998) tarafından incelenmiştir Yine bu tip regle yüzeyler olan null scroll ların Gaussdönüşümü ile ilgili çalışmalar Choi vd (1998) ne aittir Öte yandan bu konuda çalışan Nassar and Fathi (2001), On an Extension of the B Scroll Surface in Lorentz 3 Space R 3 1 adlı makalelerinde genişletilmiş B scroll u verdiler Inoguchi (2005) ise E 3 1 = L 3 3 boyutlu Lorentz uzayında B scroll ların genişletilmişlerinin de B scroll olduğunu Extension B Scrolls are B Scrolls adlı makalesiyle belirtmiştir L 3 de birer time-like regle yüzey olan B scroll ve null scroll lara ait özeliklerin incelendiği çalışmalar Balgetir tarafından yapılmıştır Balgetir in (2002) Lorentz 2

12 Uzayında Genelleştirilmiş Null Scroll lar adlı tezinde regle yüzeylere ait bilinen ve çalışılan özeliklerin ışığı altında n boyutlu Lorentz uzayında genelleştirilmiş null scroll lar incelenmiştir L n n boyutlu Lorentz uzayında çalışırken ihtiyaç duyduğumuz Frenet formüllerinin en geniş kapsamlı hali için Ekmekçi ve İlarslan ın (1998) Higher Curvatures of a Regular Curve in Lorentzian Space adlı çalışmalarından faydalanılmıştır Burada gerek 3 gerek n boyutlu Lorentz uzayında dayanak eğrisinin binormal vektör alanı tarafından üretilen time-like B scroll lar incelenmiştir İlkolarakdayanak eğrisinin time-like sonra space-like olma durumları ayrı ayrı gözetilerek incelenmiştir Bu farklılıklara dikkat edilerek her bir özel durum için oluşan time-like regle yüzeyin merkez uzayı, şekil operatörüne karşılık gelen S matrisi, normali, Gauss eğriliği, ortalama eğriliği,asimptotikçizgileri,iveiitemelformları incelenmiştir 3

13 2 TEMEL KAVRAMLAR 21 Simetrik Bilineer Formlar Tanım 211V bir reel vektör uzayı olsun h, i : V V R dönüşümü a, b R ve u, v, w V için i hu, vi = hv, ui ii hau + bv, wi = a hu, wi + b hv, wi hu, av + bwi = a hu, vi + b hu, wi koşullarını sağlıyorsa h, i dönüşümüne V reel vektör uzayı üzerinde bir simetrik bilineer formdur denir (O Neil 1983) Tanım 212V reel vektör uzayı üzerinde bir simetrik bilineer form h, i h, i simetrik bilineer formuna, olsun i v V ve v 6= 0için hv, vi > 0 ise pozitif tanımlı ii v V ve v 6= 0için hv, vi < 0 ise negatif tanımlı iii v V için hv, vi 0 ise yarı pozitif tanımlı iv v V için hv, vi 0 ise yarı negatif tanımlı denir (O Neil 1983) Tanım 213V bir reel vektör uzayı ve V üzerinde h, i : V V R bir simetrik bilineer formu, w V için hv, wi =0 v =0 4

14 şartını sağlıyorsa bu simetrik bilineer forma non-dejenere, non-dejenere değilse dejeneredir denir V üzerindeki h, i non-dejenere simetrik bilineer form, V nin bir alt vektör uzayına indirgenebilir İndirgenen simetrik bilineer form dejenere veya non-dejenere olabilir Tanım 214V bir reel vektör uzayı ve h, i : V V R bir simetrik bilineer form olsun h, i W : W W R negatif tanımlı olacak şekildeki V nin en büyük boyutlu W alt uzayının boyutuna h, i simetrik bilineer formunun indeksi denir ve q ile gösterilir Ayrıca q ya V reel vektör uzayının indeksi de denir ve ind V = q ile gösterilir (O Neil 1983, Duggal and Bejancu 1996) Buna göre 1 q boy V dir q =0olması için gerek ve yeter şart, h, i nin pozitif yarı tanımlı olmasıdır Tanım 215h, i simetrik bilineer formuna karşılık gelen kuadratik form u V için h : V R u h(u) =hu, ui şeklinde tanımlı bir dönüşümdür Bu durumda g ve h yardımıyla u, v V için hu, vi = 1 [h(u + v) h(u) h(v)] 2 şeklinde ifade edilebilir V nin E = {e 1,e 2,, e n } bazı için, λ i R ve v i ler V nin E bazına karşılık gelen 5

15 koordinat bileşenleri olmak üzere h(v) =hv, vi = nx λ i (v i ) 2 i=1 formuna sahiptir λ i katsayılarının pozitif, negatif ve sıfır olanlarının sayıları sırası ile p, q ve r ise h ya (p, q, r) tipindendir denir (Duggal and Bejancu 1996) Önerme 211 V m boyutlu vektör uzayı üzerinde h, i simetrik bilineer formuna ait (p, q, r) tipinden bir kuadratik form h olsun Bu durumda; i h, i nin dejenere (veya non-dejenere) olması için gerek ve yeter koşul r>0 (veya r =0) ii h, i nin pozitif (veya negatif) tanımlı olması için gerek ve yeter koşul p = m (veya q = m) iii h, i nin pozitif (veya negatif) yarı tanımlı olması için gerek ve yeter koşul q =0,p>0, r>0(veya p =0,q>0, r>0) olmasıdır İspat: (Duggal and Bejancu 1996) Tanım216V reel vektör uzayınınbirbazı {e 1,e 2,, e n } olsun b ij = he i,e j i olarak tanımlanan [b ij ] n n matrisine {e 1,e 2,,e n } bazına göre h, i simetrik bilineer formunun matrisi denir h, i simetrik olduğundan B matrisi de simetriktir (O Neil 1983, Duggal and Bejancu 1996) Teorem 211 V vektör uzayının bir ortonormal bazı E = {e 1,e 2,, e n } olsun ε i = he i,e i i olmak üzere v V vektörü v = nx ε i hv, e i i e i i=1 olacak şekilde tek türlü belirlidir İspat: (O Neil 1983) 6

16 Teorem 212 Bir V vektör uzayının E = {e 1,e 2,, e n } ortonormal bazı için ε 1, ε 2,, ε n işaretlerindeki negatif terimlerin q sayısı V nin indeksidir İspat: (O Neil 1983) Tanım217Bir E n n manifoldunun her bir (n 1) alt manifolduna bir hiperyüzey denir (Hicks 1971) E n de bir hiperyüzey M olsun M yi pozitif yönlü bir manifold olarak kabul edelim Bir x M noktasında M nin dış birim normal vektör alanını N ile gösterirsek, T E n(x) de T M (x) e dik bir birim vektör olarak N(x) i öyle seçebiliriz ki; [N(x),V 1 x,v 2 x,,v n 1 x ]=µ x ile T E n(x) deki pozitif yön belli olur Burada {V 1 x,v 2 x,, V n 1 x } = n ~Xu1, ~ X u2,, ~ X un 1 o vektör sistemi T M (x) in ortonormal bir bazıdır M diferensiyellenebilir bir manifold olduğu için N(x) birim vektörleri M üzerinde noktadan noktaya diferensiyellenebilir olarak değişirler Tersine olarak M üzerinde diferensiyellenebilecek şekilde, N birim normal vektörlerinin bir ailesi, birim normal vektör alanı olarak aşağıdaki gibi ifade edilir ~N(x) = N ~ x X = ~ u1 ~X u2 ~X un 1 X ~ u1 X ~ u2 X ~ un 1 olup burada X ~ u1 X ~ u2 X ~ un 1 =det D ~Xu1 ~ X u1e D ~Xun 1 X ~ u1e D ~Xu1 ~ X un 1E D ~Xun 1 X un 1E ~ dir (Greub 1963) 7

17 M deki kooordinat komşuluğunu o şekilde seçebiliriz ki, X :(u 1,u 2,,u n 1 ) U E n 1 (X (u 1,u 2,, u n 1 )) = X M olmak üzere n ~ X u1, ~X u2,, ~X un 1o sistemi T M (x) için bir ortonormal baz olsun Bunun anlamı, i) M üzerinde parametre eğrilerini, eğrilik çizgileri olarak ii) u 1,u 2,, u n 1 parametrelerini de parametre eğrilerinin u1 k =1yay uzunlukları olarak seçmek demektir Buna göre, n X ~ u1, ~X u2,, ~X un 1o bazı bir ortonormal baz olacağından w n 1 (T M(x)) olmak üzere dir ve dolayısıyla ³ w ~Xu1, X ~ u2,, X ~ un 1 =1 N(x) = ~N = ~X u1 ~X u2 ~X un 1 x olur 22 Yarı-Öklid Uzayları Tanım221V reel vektör uzayı üzerinde tanımlı h, i simetrik bilineer formu nondejenere ise h, i formuna V üzerinde bir skalar çarpım (yarı-öklid metriği) denir V ye de skalar çarpımuzayı (yarı-öklid uzayı) denir (Duggal and Bejancu 1996) 8

18 Tanım 222V reel vektör uzayı üzerinde tanımlı non-dejenere h, i simetrik bilineer formu pozitif tanımlı ise h, i formuna Öklid metriği, V ye de Öklid uzayı denir (Duggal and Bejancu 1996) Tanım 223V skalar çarpım uzayı (yarı-öklid uzayı) olsun h, i nın indeksi q =1, boy V 2 ise h, i skalar çarpımına Lorentz (Minkowski) metriği ve V ye de Lorentz uzayı veya Minkowski uzayı denir V de h, i dejenere ise V ye ışıksı (light-like) veya dejenere vektör uzayı denir Tanım 224Bir v vektörü için; i hv, vi > 0 veya v =0 ise v vektörüne space-like (uzay benzeri, uzaysı) vektör ii hv, vi < 0 ise v vektörüne time-like (zaman benzeri, zamansı) vektör iii hv, vi =0 ise v vektörüne light-like (null, ışık benzeri, ışıksı) vektör denir (O Neil 1983, Duggal and Bejancu 1996) Tanım 225V yarı-öklid uzayı ve h, i yarı-öklid metriği olmak üzere; i Γ N = {v V {0} : hv, vi =0} cümlesine V nin ışık konisi ii Γ S = {v V {0} : hv, vi > 0} cümlesine V nin uzay konisi iii Γ T = {v V {0} : hv, vi < 0} cümlesine V nin zaman konisi denir (O Neil 1983, Duggal and Bejancu 1996) Tanım 226V yarı-öklid uzayı ve h, i yarı-öklid metriği olmak üzere, k k : V R + v kvk = hv, vi 1 2 şeklinde tanımlı fonksiyona norm fonksiyonu denir kvk ifadesine v nin normu veya v ninboyudenir Boyu1birimolanvektöredebirim vektör denir Ortogonal birim vektörlerin cümlesine ortonormal sistem denir (O Neil 1983) 9

19 Teorem 221 Bir sahiptir V 6= {0} skalar çarpım uzayı bir ortonormal baz sistemine İspat: (O Neil 1983, Duggal and Bejancu 1996) Örnek 221 n boyutlu reel vektör uzayı olan R n in indeksi q,0 <q<n,olsun R n üzerinde bir yarı metrik x, y R n için qx nx hx, yi = x i y i + x j y j i=1 j=q+1 şeklinde tanımlanır Bu metrikle birlikte R n yarı-öklid uzayı olur ve Eq n ile gösterilir Özel olarak q indeksi 1 olan Lorentz metriği hx, yi = x 1 y 1 + nx x i y i i=2 ise, R n Lorentz (Minkowski) uzayı olur ve E n 1 = L n ile gösterilir Tanım 227 M diferensiyellenebilir bir manifold olsun M üzerinde non-dejenere ve sabit indeksli (0, 2) tipinden tensör alanına bir metrik tensör denir (O Neil 1983, Duggal and Bejancu 1996) Tanım 228M diferensiyellenebilir bir manifold ve h, i de M üzerinde bir metrik tensör ise M ye bir yarı-riemann manifoldu denir Buradaki sabit indekse yarı- Riemann manifoldunun indeksi denir q indeksli n boyutlu bir yarı Riemann manifoldu Mq n ile gösterilir Özel olarak q =0ise M n bir Riemann manifoldudur Metriğe de Riemann metriği denir Özel olarak n 2 ve q =1ise M1 n yarı Riemann manifolduna Lorentz manifoldu denir (O Neil 1983, Duggal and Bejancu 1996) Tanım 229M n q bir yarı-riemann manifoldu ve η : I R M n q 10

20 diferensiyellenebilir bir eğri olsun η(i) eğrisinin teğet vektör alanı T olmak üzere; i ht,ti > 0 ise η eğrisine space-like eğri ii ht,ti < 0 ise η eğrisine time-like eğri iii ht,ti =0 ise η eğrisine light-like eğri denir (O Neil 1983, Duggal and Bejancu 1996) Çalışma boyunca ele alınacak olan tüm eğriler birim hızlı olacaktır Tanım 2210E 3 uzayında M bir yüzey ve η : I M diferensiyellenebilir bir eğri olsun t I için η(t) hız vektörü, η(t) noktasında M yüzeyinin bir asimptotik vektörü ise, yani hs ( η(t)), η(t)i =0 eşitliğini sağlıyorsa η eğrisine M yüzeyi içinde asimptotik eğri denir (Sabuncuoğlu 2001) Teorem 222 E n uzayında diferensiyellenebilir bir η(i) eğrisinin η(t) noktasındaki Frenet r ayaklısı {V 1,V 2,, V r } olsun Buna göre k i : I R R t k i (t) = D Vi,V i+1 E η(t) şeklinde tanımlanan k i fonksiyonuna, η(i) eğrisinin i yinci eğrilik fonksiyonu ve t I için k i (t) sayısına, η(i) eğrisinin η(t) noktasındaki i yinci eğriliği denir Buna göre, E n üzerindeki η(i) eğrisinin Frenet vektörleri ve türevleri arasındaki ilişki 11

21 V 1 = k 1 V 2 V 2 = k 1 V 1 + k 2 V 3 V i = k i 1 V i 1 + k i V i+1, 1 <i<r V r = k r 1 V r 1 şeklindedir (Hacısalihoğlu 1994) Teorem 223 M n q (n 3) bir yarı-riemann manifoldu ve α : I R M n q ise diferensiyellenebilir bir eğri olsun Eğrinin herhangi bir noktasındaki Frenet vektörleri {V 1,V 2,, V r } ve ε i 1 = hv i,v i i için k i 6=0olmak üzere Frenet vektörleri ve türevleri arasındaki ilişki V 1 = k 1 V 2 V i = ε i 2 ε i 1 k i 1 V i 1 + k i V i+1, 1 <i<r V r = ε r 2 ε r 1 k r 1 V r 1 şeklindedir (Ekmekçi and İlarslan 1998) Yukarıda ifade edilen Frenet denklemlerinin matris gösterimi ise, 12

22 V 1 V 2 V 3 V r V r 2 V r 1 = 0 k ε 0 ε 1 k 1 0 k 2 0 ε 1 ε 2 k 2 0 k r k r 1 0 ε r 2 ε r 1 k r 1 0 V 1 V 2 V 3 V r 2 V r 1 V r şeklindedir 23 Multivektörler, Wedge Çarpımı ve Yıldız Operatörü A Multivektörler: n boyutlu uzayda p tane (lineer) bağımsız vektör, p boyutlu bir alt uzay tanımlar p tane bağımsız vektörleoluşturulan n p matrisinin n p sayıdaki minörleri, sabit bir çarpan farkıyla aynıdırlar Bu minörler alt uzayı belirler Bu minörlerin cümlesine de p ranklı multivektör veya p multivektör denir (McCarthy 1990) X 1 = (α 11, α 12,,α 1n ) X 2 = (α 21, α 22,,α 2n ) X p = (α p1, α p2,,α pn ) gibi p tane lineer bağımsız vektör alalım Bunlar için, α 11 α 21 α p1 α 12 α 22 α p2 α 1n α 2n α pn n p matrisinin n p = n n p sayıdaki minörü alt uzayını belirler Bu minörler cümlesinin elemanlarına X 1 X 2 X p p multivektör denir ve rankı p olur Herhangi bir ranka sahip multivektörlerin hesaplanmasını, 2 vektörlerin hesaplanmasından 13

23 genelleştirebiliriz X 1 X 2 X p ile verilen p multivektörü için X 1 X 2 X p = X i 1 <i 2 <<i p M i1 i2 ip e i1 e i2 e ip dir Burada M i 1 i 2 i p, p p minörü [X 1,X 2,,X p ] matrisine aittir e i1 e i2 e ip baz p vektörleri arasından sıfırdan farklı olan bir tek minör vardır Bu minör ise ( 1) N ye eşittir Burada N =(i 1 1) + ( i 2 2) + +(i p p) dir 3 boyutlu uzayda rankları 1, 2, 3 olan multivektörler vardır 1 vektör bildiğimiz rankı 1 olan A = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 vektörüdür 2 vektör A B olup A B = (a 1 b 2 a 2 b 1 )(e 1 e 2 )+(a 3 b 1 a 1 b 3 )(e 3 e 1 )+(a 2 b 3 a 3 b 2 )(e 2 e 3 ) a = 1 a 2 b 1 b 2 (e a 1 e 2 )+ 1 a 3 b 1 b 3 (e a 3 e 1 )+ 2 a 3 b 2 b 3 (e 2 e 3 ) şeklindedir Dikkat edilirse, baz vektörlerinin katsayıları [AB] matrisinin 2 2 tipindeki 3 2 = 3 1 =3tane minörüdür B Wedge çarpımı: Multivektörleri göstermek için kullanılan uygun bir yol da Wedge çarpımıdır P, Q, R için ile gösterilen Wedge çarpımının özelikleriaşağıdaki şekildedir (McCarthy 1990) i İki lineerdir Yani (ap + bq) R = ap R + bq R P (aq + br) = a (P Q)+b (P R) 14

24 dir ii Birleşme özeliği vardır Yani P (Q R) =(P Q) R dir iii Anti-simetriktir Yani P Q 6= Q P dir Ayrıca P Q = Q P dir Bu çarpım, V 1 V 2 gibi 2 vektörünü elde etmek için V 1 V 2 = (a 1 P + b 1 Q) (a 2 P + b 2 Q) = a 1 a 2 (P P )+a 1 b 2 (P Q)+b 1 a 2 (Q P )+b 1 b 2 (Q Q) = a 1 b 2 (P Q) b 1 a 2 (P Q) = (a 1 b 2 b 1 a 2 )(P Q) şeklinde kullanılabilir C Yıldız operatörü: n boyutlu uzayda p vektörlerle (n p) vektörler arasında, aynı sayıda bileşene sahip olduklarından, bir ilgi vardır Örnek olarak, 3 boyutlu uzayda 3 2 = 3 1 =3 olduğundan hem A = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 şeklindeki 1 vektörleri hem de A B =(a 1 b 2 a 2 b 1 )(e 1 e 2 )+(a 3 b 1 a 1 b 3 )(e 3 e 1 )+(a 2 b 3 a 3 b 2 )(e 2 e 3 ) 15

25 şeklindeki 2 vektörleri 3 er bileşene sahiptirler Skalarlar ise, 0 ranklı multivektörlere karşılık gelirler Bu nedenle dualleri olan n vektörler de tek bileşenli vektörlerdir ( ) yıldız operatörübirp vektörünü onun duali olan (n p) vektörüne dönüştürür Bunu da baz vektörleri arasındaki bir yer değiştirme ile sağlar : V p R n V n p R n (e i1 e i2 e ip ) (e i1 e i2 e ip )=δ (e ip+1 e ip+2 e in ) dir Burada δ, eğer (i 1,i 2,,i n ); 1, 2,, n sayılarının çiftpermütasyonuise(+1), tek permütasyonu ise ( 1) dir (McCarthy 1990) Örnek olarak, A B =(a 1 b 2 a 2 b 1 )(e 1 e 2 )+(a 3 b 1 a 1 b 3 )(e 3 e 1 )+(a 2 b 3 a 3 b 2 )(e 2 e 3 ) olsun Bunun yıldız operatörü altındaki görüntüsü; duali, (A B) = (a 2 b 3 a 3 b 2 ) (e 2 e 3 )+(a 3 b 1 a 1 b 3 ) (e 3 e 1 )+(a 1 b 2 a 2 b 1 ) (e 1 e 2 ) = (a 2 b 3 a 3 b 2 ) e 1 +(a 3 b 1 a 1 b 3 ) e 2 +(a 1 b 2 a 2 b 1 ) e 3 e 1 e 2 e 3 = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 şeklindedir Bunu genelleştirirsek, (X 1 X 2 X p ) = = X M i1 i2 ip e i1 e i2 e ip i 1 <i 2 <<i p X M i1 i2 ip δ e ip+1 e ip+2 e in i 1 <i 2 <<i p elde edilir Özel olarak, n boyutlu Öklid uzayında p = n 1 ise (X 1 X 2 X n 1 ) = X i 1 <i 2 <<i n 1 M i1 i2 in 1 e i1 e i2 e i(n 1) 16

26 = X i 1 <i 2 <<i n 1 M i1 i2 in 1 δ (e in ) dir Bu şekilde tanjant uzayının baz vektörleri X 1,X 2,,X n 1 olan bir hiperyüzeyin normalini hesaplamış oluruz 17

27 3 ÖKLİD UZAYINDA REGLE YÜZEYLER 31 E n Öklid Uzayında (k + 1) Boyutlu Genelleştirilmiş RegleYüzeyler Tanım 311E n uzayında η : I E n t η(t) olacak şekilde bir diferensiyellenebilir η eğrisini gözönüne alalımve η(i) ile gösterelim η(i) eğrisinin her η(t) noktasında tanımlı bir ortonormal vektör alan sistemi {e 1 (t),e 2 (t),,e k (t)} olsun he i,e j i = δ ij olup e i nin η(i) eğrisi boyunca türevi ė i ise hė i,e j i + he i, ė j i =0 hė i, e j i = he i, ė j i elde edilir E n uzayının η(t) noktasındaki tanjant uzayı T η(t) (E n ) olmak üzere {e 1 (t),e 2 (t),, e k (t)} cümlesi bu tanjant uzayın k boyutlu bir alt vektör uzayını gerer Bu alt vektör uzayını E k (t) ile gösterelim Yani Sp{e 1 (t),e 2 (t),,e k (t)} = E k (t) T η(t) (E n ) dir M = [ t I E k (t) ; 1 k n 2 cümlesi E n uzayının (k +1) boyutlu alt manifoldudur Bu alt manifold için parametrizasyon ϕ(t, u 1,u 2,,u k )=η(t)+ u i e i (t) (311) şeklindedir Bu şekilde tanımlanan M manifolduna E n de bir (k +1) boyutlu genelleştirilmiş regleyüzeydenir (Frank and Giering 1976) i=1 18

28 Tanım 312Genelleştirilmiş regle yüzeyin E k (t) uzayına, yüzeyin η(t) noktasındaki doğrultman uzayı adı verilir (Frank and Giering 1976) Tanım 313Genelleştirilmiş regleyüzeyin(311) eşitliğinde yer alan η(t) eğrisine yüzeyin dayanak eğrisi denir (Frank and Giering 1976) Tanım 314E n de (311) ile parametrize edilmiş (k +1) boyutlu genelleştirilmiş regle yüzeyin ifadesinin t ve u i değişkenlerine göre türevleri alınırsa ϕ t = η(t)+ ϕ u1 = e 1 (t) u i ė i (t) i=1 ϕ uk = e k (t) elde edilir rank ϕ t, ϕ u1,, ϕ uk ª = rank ( η(t)+ ) u i ė i (t),e 1 (t),,e k (t) = k +1 i=1 olduğundan ϕt, ϕ u1,,ϕ uk ª cümlesi, (k +1) boyutlu yüzeyin tanımlı olabilmesi için, lineer bağımsız alınacaktır {e 1 (t),e 2 (t),,e k (t), ė 1 (t), ė 2 (t),, ė k (t)} cümlesi tarafından gerilen alt vektör uzayına M nin E k (t) içindeki (ϕ nin E k (t) ye göre) asimptotik demeti denir ve A(t) ile gösterilir Çünkü he i, ė i i =0dır yanie i lerin her biri asimptotiktir (Sabuncuoğlu 1982) A(t) =Sp{e 1 (t),e 2 (t),, e k (t), ė 1 (t), ė 2 (t),,ė k (t)} Bu geren cümleyi Gram-Schmidt yöntemiyle ortonormalleştirirsek, A(t) nin E k (t) yi 19

29 kapsayan ortonormal bazı olarak {e 1 (t),e 2 (t),, e k (t),a k+1 (t),a k+2 (t),, a k+m (t)} elde edilir O halde, 0 m k olmak üzere boy A(t) =k + m dir Tanım 315E n de ϕ(t, u 1,u 2,,u k )=η(t)+ u i e i (t) i=1 ile parametrize edilmiş M regle yüzeyi için { η(t),e 1 (t),e 2 (t),,e k (t), ė 1 (t), ė 2 (t),, ė k (t)} cümlesi tarafından gerilen alt vektör uzayına ϕ nin E k (t) ye göre (M nin E k (t) içindeki) teğetsel demeti denir ve T (t) ile gösterilir Yani, T (t) =Sp{ η(t),e 1 (t),e 2 (t),, e k (t), ė 1 (t), ė 2 (t),,ė k (t)} dir η(t) nin de dahil edilmesi nedeniyle, 0 m k olmak üzere boy T (t) =k + m veya boy T (t) = k + m +1 olduğu söylenebilir M regle yüzeyinin P = ϕ(t, u 1,u 2,,u k ) noktası alındığında, P noktasındaki tanjant uzayının bir bazı ϕt, ϕ u1, ϕ u2,,ϕ uk ª lineer bağımsız vektörler cümlesidir t sabit tutularak u i ler değiştirilirse, P noktası E k (t) uzayını tarayacaktır Buna göre T (t) teğetsel demeti, E k (t) uzayının tümp noktalarındaki teğet uzaylarının birleşimini kapsayacaktır Yani T (t) = [ T η(t) (E k (t)) 20

30 olur (Sabuncuoğlu 1982) Şimdi de ė i (t) türevlerini ve A(t) asimptotik demetinin bazını tekolarakbelirleyen önemli bir teoremi verelim Teorem 311 E n de (k +1) boyutlu genelleştirilmiş regleyüzeym olsun Her t I için E k (t) uzayının öylebir {e 1 (t),e 2 (t),,e k (t)} bazı bulunabilir ki, bu baz için ė i = ė i = α ij e j + κ i a k+i ; 1 i m k j=1 α ij e i ; m +1 i k j=1 dir ve {e 1 (t),e 2 (t),,e k (t)} bazı, A(t) asimptotik demetinin ortonormal olan {e 1 (t),e 2 (t),, e k (t),a k+1 (t),a k+2 (t),, a k+m (t)} bazını tekolarakbelirler İspat: boy T (t) = k + m olduğunda A(t) asimptotik demetinin ortogonal bir bazı, Gram-Schmidt yöntemiyle {e 1 (t),e 2 (t),, e k (t), ě 1 (t), ě 2 (t),,ě m (t)} ; 0 m k olarak bulunur Burada dir Eğer ě i = ė i mx e j hė i,e j i j=1 ě i k ě i k = a k+i ; 1 i m 21

31 alınırsa A(t) asimptotik demetinin ortonormal bir bazı e1 (t),e 2 (t),,e k (t),a k+1 (t),a k+2(t) (t),,a k+m (t) ª şeklinde bulunur Ayrıca ė i Sp{e 1 (t),e 2 (t),,e k (t),a k+1 (t),a k+2 (t),, a k+m (t)} olduğundan dır olduğundan ė i = α ij e j + σ iυ a k+υ ; 1 i k (312) j=1 υ=1 hė i,e j i = he i, ė j i σ ij = σ ji dir (312) eşitliği a k+υ ile sağdan çarpılırsa σ iυ = hė i,a k+υ i elde edilir σ iυ = = ė i, À ě υ k ě υ k 1 k ě υ k hė i, ě υ i ė i yerine vektör değerini yazarsak σ iυ = 1 k ě υ k hě i, ě υ i bulunur i 6= υ için σ iυ =0(1 υ m) olur i = υ için σ ii = 1 k ě i k hě i, ě i i 22

32 = k ě i k 2 k ě i k = k ě i k = κ i, κ i > 0 dir Bu halde (312) eşitliğinde 1 i m için i 6= υ ise σ iυ =0ve i = υ ise σ ii = κ i olduğundan ė i = α ij e j + κ i a k+i ; 1 i m k j=1 şeklini alır m +1 i k için daima i 6= υ olacağından ve bu durumda σ iυ =0olduğundan ė i = α ij e j ; m +1 i k j=1 dır Bu ise ispatı tamamlar Tanım 316 {e 1 (t),e 2 (t),, e k (t)} bazına E k (t) uzayının doğal taşıyıcı bazı veya M nin asli çatısı denir (Frank and Giering 1976) Tanım 317E n de (k +1) boyutlu genelleştirilmiş regleyüzeym olsun boy T (t) =k + m = boy A(t) ise M nin sırt uzayı vardır denir (Frank and Giering 1976) Bu durumda M nin η(i) dayanak eğrisinin η(t) hız vektörü,a(t) asimptotik demetinin içindedir O zaman η(t) = mx ζ i e i + η j a k+j i=1 j=1 olacaktır Bir diğer p(t) dayanak eğrisi, η(i) eğrisine bağlı olarak yazılırsa p(t) =η(t)+ u i (t) e i (t) i=1 23

33 dir p(t) dayanak eğrisinin ṗ(t) hız vektörü ise, ṗ(t) = η(t)+ = η(t)+ u i (t) e i (t)+ i=1 u i (t) e i (t)+ i=1 u i (t) ė i (t) i=1 mx u i (t) ė i (t)+ i=1 i=m+1 u i (t) ė i (t) şeklindedir Teorem 311 de ifade edilen ė i (t) türevleri ve η(t) değerleri yukarıdaki eşitlikte yazılırsa ṗ(t) = = = = Ã mx mx! ζ i e i (t)+ η j a k+j + u i (t) e i (t)+ u i (t) α ij e j (t)+κ i a k+i i=1 j=1 i=1 i=1 j=1 Ã! + u i (t) α ij e j (t) i=m+1 j=1 Ã mx mx! ζ i e i (t)+ η j a k+j + u i (t) e i (t)+ u i (t) α ij e j (t) i=1 j=1 i=1 i=1 j=1 Ã mx! + u i (t)(κ i a k+i )+ u i (t)(α ij e j (t)) i=1 j=1 i=m+1 Ã mx m! X ζ i e i (t)+ η j a k+j + u i (t) e i (t)+ u i (t)(α ij e j (t)) i=1 j=1 i=1 j=1 i=1 Ã! mx + u i (t)(α ij e j (t)) + u i (t)(κ i a k+i ) j=1 i=m+1 i=1 Ã mx! ζ i e i (t)+ η j a k+j + u i (t) e i (t)+ u i (t)(α ij e j (t)) i=1 j=1 i=1 j=1 i=1 mx + u i (t)κ i a k+i i=1 bulunur Eşitliğin sağındaki 1, 3 ve 5 terimlerde i yerine j alınırsa ṗ(t) = Ã ζ j + u j (t)+ j=1! mx u i (t)α ij e j (t)+ ηj + u j (t)κ j ak+j i=1 j=1 24

34 elde edilir Burada η j + u j (t)κ j =0 ; 1 j k m sisteminin m tane, u j = η j κ j ; κ j > 0 gibi, sıfırdan farklı bir skalar çözümü tek olarak olarak belirlidir Bu m tane skalar için ṗ(t) hız vektörüe k (t) içinde kalır Geriye kalan k m tane değişken keyfi olarak seçilebilir Bunlar (k m) boyutlu bir alt vektör uzayı oluştururlar Bu uzay, K k m ile gösterilirse K k m uzayına M regle yüzeyinin sırt uzayı denir Bu durumda, boy T (t) =boy A(t) ise M regle yüzeyinin bir sırt uzayı oluşabileceği söylenebilir Üstelik k = m ise K 0 uzayı 0 boyutlu (nokta) bir sırt uzayı olur (Sabuncuoğlu 1982) Tanım 318K k m alt vektör uzayı, η(i) eğrisi boyunca doğrultman uzayı olarak alınırsa ϕ tarafından içerilen yeni bir regle yüzey meydana gelir Daha küçük, (k m +1) boyutlu bu yeni regle yüzeye sırt regle yüzeyi denir Tanım 319E n de (k +1) boyutlu genelleştirilmiş regleyüzeym olsun boy T (t) =k + m +16= boy A(t) ise M regle yüzeyinin merkez uzayı vardır denir (Frank and Giering 1976) Bu durumda η(t) / A(t) =Sp{e 1 (t),e 2 (t),, e k (t), ė 1 (t), ė 2 (t),,ė k (t)} dir T (t) nin {e 1 (t),e 2 (t),,e k (t), ė 1 (t), ė 2 (t),, ė k (t)} cümlesinden Gram-Schmidt yöntemiyle elde edilen ortonormal bir bazı olarak {e 1,e 2,,e k,a k+1,a k+2,, a k+m,a k+m+1 } sistemini alalım Burada a k+m+1 işareti dışında tek olarak belirlidir O halde 25

35 mx η(t) = ζ i e i + η j a k+j + η m+1 a k+m+1 ; η m+1 6=0 i=1 j=1 olacaktır Bir diğer p(t) dayanak eğrisi, η(i) eğrisine bağlı olarak yazılırsa ve t değişkenine göre türev alınırsa ṗ(t) hız vektörü bulunur ṗ(t) türevinde Teorem 311 de ifade edilen ė i (t) türevleri ve η(t) değerleri yazılırsa ṗ(t) = Ã ζ j + u j (t)+ j=1! u i (t)α ij e j (t)+ ηj + u j (t)κ j ak+j + η m+1 a k+m+1 i=1 j=1 olur Burada sisteminin m tane, η j + u j (t)κ j =0 ; 1 j k m u j = η j κ j ; κ j > 0 gibi sıfırdan farklı bir skalar çözümü tek olarak olarak belirlidir Geriye kalan k m tane değişken keyfi olarak seçilebilir Bunlar (k m) boyutlu bir alt vektör uzayı oluştururlar Bu uzay, Z k m ile gösterilirse Z k m uzayına merkez uzay denir Bu durumda, boy T (t) 6= boy A(t) ise M regle yüzeyinin bir merkez uzayı oluşabileceği söylenebilir Üstelik k = m ise Z 0 uzayı 0 boyutlu (nokta) bir merkez uzayı olur (Frank and Giering 1976) Tanım 3110 E n de (k +1) boyutlu genelleştirilmiş regle yüzey M olsun Z k m (t) alt vektör uzayı, η(i) eğrisi boyunca doğrultman uzayı olarak alınırsa M tarafından içerilen yeni bir regle yüzey meydana gelir Daha küçük, (k m +1) boyutlu bu yeni regle yüzeye merkez regle yüzeyi denir Ayrıca Z k m (t) merkez uzayının her bir noktasına merkez noktası denir (Çalışkan 1983) Tanım 3111E n de (k +1) boyutlu genelleştirilmiş regle yüzey M olsun Her t I için M nin T (t) teğetsel demetinin {e 1 (t),e 2 (t),,e k (t),a k+1 (t),a k+2 (t),,a k+m (t), a k+m+1 (t)} 26

36 ortonormal bazını, E n nin {e 1 (t),e 2 (t),, e k (t), a k+1 (t), a k+2 (t),, a k+m (t), a k+m+1 (t),a k+m+2 (t),, a n (t)} ortonormal bazına tamamlayan { a k+m+2 (t), a k+m+3 (t),, a n (t)} ortonormal bazına tümleyen ortonormal baz denir Tanım 3112 { a k+m+2 (t), a k+m+3 (t),, a n (t)} sistemi E n nin η(t) noktasındaki T η(t) (E n ) tanjant uzayının (n (k + m +2) 1)) = (n k m 1) boyutlu bir alt uzayını gerer Bu alt uzay F (t) ile gösterilmek üzere F (t) =Sp{ a k+m+2 (t), a k+m+3 (t),, a n (t)} dir F (t) alt uzayı η(i) eğrisi boyunca hareket ederken, E n de M regle yüzeyi tarafından içerilmeyen (n k m) boyutlu yeni bir regle yüzeyi üretir Üretilen bu yüzeye n boyutlu E n uzayının (n k m) boyutlu tümleyen regle yüzeyi denir Bu tümleyen regle yüzey Ψ n ile gösterilir Ψ n tümleyen regle yüzeyi için Ψ n (t, u 2,u 3,, u n k m )=η(t)+ parametrizasyonu verilebilir (Tosun 1995) n k m X λ=2 u λ a k+m+λ 32 E n Uzayında 3 Boyutlu Regle Yüzeyler Bu kesimde, 31 de yapılan çalışmalara paralel olarak k =2özel halinde 3 boyutlu regle yüzeyler incelenmiştir 27

37 Tanım 321E n uzayının bir η : I E n t η(t) eğrisinin her η(t) noktasında tanımlı {e 1 (t),e 2 (t)} ortonormal vektör alan sistemini alalım he 1, e 2 i =0, he 1, e 1 i =1, he 2, e 2 i =1olup ė 1 ve ė 2, sırasıyla, e 1 ve e 2 nin η(i) eğrisi boyunca türevleri olsun Bu durumda hė 1, e 1 i = hė 2,e 2 i =0 hė 1, e 2 i + he 1, ė 2 i = 0 hė 1,e 2 i = he 1, ė 2 i elde edilir E n uzayının η(t) noktasındaki tanjant uzay T η(t) (E n ) olmak üzere, {e 1 (t),e 2 (t)} cümlesi bu teğet uzayın 2 boyutlu bir alt vektör uzayını gerer Bu alt vektör uzayı E 2 (t) ile gösterelimyani Sp{e 1 (t),e 2 (t)} = E 2 (t) T η(t) (E n ) dir M = S E 2 (t) cümlesi E n uzayının 3 boyutlu alt manifoldudur Bu alt manifold t I için bir parametrizasyon ϕ(t, u 1,u 2 )=η(t)+u 1 e 1 (t)+u 2 e 2 (t) şeklindedir Bu şekilde tanımlanan M manifolduna E n de bir regle yüzey denir E 2 (t) ye bu yüzeyin doğrultman uzayı adı verilir η(i) eğrisine ise M regle yüzeyinin dayanak eğrisi denir ϕ(t, u 1,u 2 )=η(t)+u 1 e 1 (t)+u 2 e 2 (t) olmak üzere ϕ t = η(t)+u 1 ė 1 (t)+u 2 ė 2 (t) ϕ u1 = e 1 (t) 28

38 ϕ u2 = e 2 (t) olup ϕt, ϕ u1, ϕ u2 ª = { η(t)+u1 ė 1 (t)+u 2 ė 2 (t),e 1 (t),e 2 (t)} cümlesi, yüzeyin tanımlı olabilmesi için lineer bağımsız alınacaktır Şekil 31 k =2için E n de Regle Yüzey Tanım 322Sp{e 1 (t),e 2 (t), ė 1 (t), ė 2 (t)} = A(t) alt vektör uzayına M nin E 2 (t) içindeki asimptotik demeti denir A(t) nin boyutu 0 m 2 için 2+m dir A(t) uzayı E 2 (t) yi kapsayan bir alt vektör uzayıdır A(t) uzayının m = 0 için {e 1 (t),e 2 (t)} m = 1 için {e 1 (t),e 2 (t),a 3 (t)} m = 2 için {e 1 (t),e 2 (t),a 3 (t),a 4 (t)} şeklinde ortonormal bazı bulunabilir Öncelikle m = 1 için inceleme yapalım 29

39 Teorem 321 E n de (k =2,m=1)3 boyutlu bir regle yüzeyi M olsun Her t I için E 2 (t) uzayının öylebir{e 1 (t),e 2 (t)} bazı bulunabilir ki bu baz için, ė 1 = a 11 e 1 + a 12 e 2 + κa 3, κ > 0 ė 2 = a 21 e 1 + a 22 e 2 dir ve bu baz M nin asimptotik demetinin {e 1 (t),e 2 (t),a 3 (t)} bazını tekolarakbelirler Burada {e 1 (t),e 2 (t)} bazına E 2 (t) nin doğal taşıyıcı bazı denir Tanım 323M yüzeyinin sabit bir P = ϕ(t, u 1,u 2 ) noktası dikkate alınırsa, bu P noktasındaki tanjant uzayının birbazı ϕt, ϕ u1, ϕ u2 ª = { η + u1 ė 1 + u 2 ė 2,e 1,e 2 } dir t sabit tutularak, u 1 ve u 2 sayıları değiştirilirse P noktası E 2 (t) uzayını tarayacaktır Buna göre Sp{ η,e 1,e 2, ė 1, ė 2 } uzayı E 2 (t) nin tüm P noktalarındaki tanjant uzaylarının birleşimini kapsar Bu uzay T (t) ile gösterilir ve M nin E 2 (t) içindeki teğetsel demeti olarak adlandırılır Bu durumda 3 boy T (t) 4 dir Bu iki durumu ayrı ayrı inceleyelim Tanım 324boy T (t) =3=boy A(t) ise M nin η(i) eğrisinin η(t) hız vektörüa(t) uzayının içindediryani η(t) =ξ 1 e 1 + ξ 2 e 2 + η 1 a 3 (321) biçimindedir Herhangi bir p(t) dayanak eğrisi, η(t) eğrisine bağlı olarak p(t) =η(t)+u 1 (t)e 1 (t)+u 2 (t)e 2 (t) biçiminde yazılabilir Buradan ṗ(t) = η(t)+ u 1 (t)e 1 (t)+u 1 (t)ė 1 (t)+ u 2 (t)e 2 (t)+u 2 (t)ė 2 (t) olup (321) eşitliğini ve Teorem 321 deki ė 1 ve ė 2 türevlerini kullanarak 30

40 ṗ (t) = ξ 1 e 1 + ξ 2 e 2 + η 1 a 3 + u 1 e 1 + u 1 (a 11 e 1 + a 12 e 2 + κa 3 )+ u 2 e 2 +u 2 (a 21 e 1 + a 22 e 2 ) = (ξ 1 + u 1 + u 1 a 11 + u 2 a 21 )e 1 +(ξ 2 + u 2 + u 1 a 12 + u 2 a 22 )e 2 +(η 1 + u 1 κ)a 3 bulunur η 1 + u 1 κ =0 (322) olacak şekildeki P (t) noktaları için ṗ(t) vektörü E 2 (t) nin içinde kalır κ > 0 olduğundan u 1 = η 1 κ skaları tek olarak belirlidir Bu E 2 (t) içinde 1 boyutlu bir alt uzayı oluşturur Geriye kalan bir değişken keyfi olarak seçilebilir Bu da, 1 boyutlu bir alt uzayı oluşturur Bu uzayı K 1 (t) ile gösterelim Bu uzaya M regle yüzeyinin sırt uzayı denir Tanım 325 boy T (t) = 4 6= boy A(t) olsun Bu durumda merkez uzayı vardır denir Ayrıca η(t) / Sp{e 1,e 2,a 3 } dür {e 1,e 2,a 3,a 4 } cümlesi T (t) nin ortonormal bir bazı olacak biçimde bir a 4 birim vektörü işareti dışında tek olarak belirlidir η(t) =ξ 1 e 1 + ξ 2 e 2 + η 1 a 3 + η 2 a 4 (323) olup herhangi bir p(t) =η(t)+u 1 (t)e 1 (t)+u 2 (t)e 2 (t) dayanak eğrisinin hız vektörü ṗ(t) = η(t)+ u 1 (t)e 1 (t)+u 1 (t)ė 1 (t)+ u 2 (t)e 2 (t)+u 2 (t)ė 2 (t) dir Bu ifadede (323) eşitliğini ve ė 1, ė 2 türevlerini yerlerine yazarsak ṗ (t) = ξ 1 e 1 + ξ 2 e 2 + η 1 a 3 + η 2 a 4 + u 1 e 1 + u 1 (a 11 e 1 + a 12 e 2 + κa 3 )+ u 2 e 2 +u 2 (a 21 e 1 + a 22 e 2 ) 31

41 = (ξ 1 + u 1 + u 1 a 11 + u 2 a 21 )e 1 +(ξ 2 + u 2 + u 1 a 12 + u 2 a 22 )e 2 +(η 1 + u 1 κ)a 3 +η 2 a 4 bulunur η 1 + u 1 κ =0 u 1 = η 1 κ lineer denklemi ile tanımlanan 1 boyutlu Z 1 (t) uzayına M nin E 2 (t) içindeki merkez uzayı denir Şimdi de m =0için teoremi ifade edip sırt ve merkez uzaylarını inceleyelim boy A(t) =2+m =2+0=2olacaktır ortonormal bir bazı bulunabilir A(t) uzayının {e 1 (t),e 2 (t)} biçiminde ė 1 = a 11 e 1 + a 12 e 2 ė 2 = a 21 e 1 + a 22 e 2 yazılabileceği açıktır Burada a 12 = a 21 dir Teorem 322 (k =2,m=0) 3 boyutlu bir M Regle yüzeyinde E 2 (t) uzayının öyle bir {e 1 (t),e 2 (t)} bazı bulunabilir ki, bu baz için ė 1 = a 11 e 1 + a 12 e 2 ė 2 = a 21 e 1 + a 22 e 2 dir ve bu baz A(t) nin bazını da {e 1 (t),e 2 (t)} şeklinde tek olarak belirler T (t) teğetsel demet olmak üzere boy T (t) =2+0=2veya boy T (t)=2+0+1=3 dür Öncelikle boy T (t) =2alalım η(t) dayanak eğrisinin η(t) hız vektörüa(t) uzayındadır ve η(t) =ξ 1 e 1 + ξ 2 e 2 (324) 32

42 şeklindedir Herhangi bir p(t) dayanak eğrisi η(t) eğrisine bağlı olarak p(t) =η(t)+u 1 (t)e 1 (t)+u 2 (t)e 2 (t) şeklindedir Bu durumda, ṗ(t) = η(t)+ u 1 (t)e 1 (t)+u 1 (t)ė 1 (t)+ u 2 (t)e 2 (t)+u 2 (t)ė 2 (t) olup burada (324) eşitliğini ve Teorem 322 deki ė 1 ve ė 2 türevlerini yerlerine yazarsak ṗ(t) = ξ 1 e 1 + ξ 2 e 2 + u 1 e 1 + u 2 e 2 + u 1 (a 11 e 1 + a 12 e 2 )+u 2 (a 21 e 1 + a 22 e 2 ) = (ξ 1 + u 1 + u 1 a 11 + u 2 a 21 )e 1 +(ξ 2 + u 2 + u 1 a 12 + u 2 a 22 )e 2 bulunur Tüm P (t) noktaları için ṗ(t) vektörü E 2 (t) içindedir Sadece 2 boyutlu bir uzay oluşur Bu uzaya sırt uzayı denir Yani A(t) nin ve E 2 (t) nin boyutları aynı ise boğaz uzayı yok, sırt uzayı vardır boy T (t) =3olsun Bu durumda η(t) =ξ 1 e 1 + ξ 2 e 2 + η 1 a 3 vektörü Sp{e 1,e 2 } cümlesinin elemanı değildir {e 1,e 2,a 3 } cümlesi T (t) nin ortonormal bir bazı olacak şekilde bir a 3 birim vektörü işareti dışında tek olarak belirlidir Herhangi bir p(t) dayanak eğrisi, η(t) eğrisine bağlı olarak yazılırsa ve türevi alınırsa, benzer işlemlerle ṗ(t) =(ξ 1 + u 1 + u 1 a 11 + u 2 a 12 )e 1 +(ξ 2 + u 2 + u 1 a 21 + u 2 a 22 )e 2 + η 1 a 3 olur Bu şekildeki tüm P (t) noktalarının cümlesim regle yüzeyinin E 2 (t) içindeki 2 boyutlu merkez uzayını oluştururlar Son olarak m =2için teoremi ifade edip sırt ve merkez uzaylarını inceleyelim 33

43 boy A(t) =2+2=4olsun A(t) uzayının {e 1,e 2,a 3,a 4 } şeklinde ortonormal bir bazını bulabiliriz Teorem boyutlu bir M Regle yüzeyinde E 2 (t) uzayınınöylebir{e 1 (t),e 2 (t)} bazı bulunabilir ki bu baz için, ė 1 = a 11 e 1 + a 12 e 2 + κ 1 a 3, κ 1 > 0 ė 2 = a 21 e 1 + a 22 e 2 + κ 2 a 4, κ 2 > 0 dir ve bu {e 1,e 2 } bazı A(t) nin {e 1,e 2,a 3,a 4 } bazını tekolarakbelirler boy T (t) =4veya boy T (t) =5dir Öncelikle boy T (t) =4alalım η(t) dayanak eğrisinin η(t) hız vektörü A(t) uzayının içinde olup η(t) =ξ 1 e 1 + ξ 2 e 2 + η 1 a 3 + η 2 a 4 (325) şeklindedir Herhangi bir p(t) dayanak eğrisi, η(t) eğrisine bağlı olarak yazılırsa p(t) =η(t)+u 1 (t)e 1 (t)+u 2 (t)e 2 (t) dir ṗ(t) = η(t)+ u 1 (t)e 1 (t)+u 1 (t)ė 1 (t)+ u 2 (t)e 2 (t)+u 2 (t)ė 2 (t) türevinde (325) eşitliğini ve Teorem 323 deki ė 1 ve ė 2 türevlerini yerlerine yazarsak ṗ = ξ 1 e 1 + ξ 2 e 2 + η 1 a 3 + u 1 e 1 + u 2 e 2 + u 1 (a 11 e 1 + a 12 e 2 + κ 1 a 3 )+ +u 2 (a 21 e 1 + a 22 e 2 + κ 2 a 4 )+η 2 a 4 = (ξ 1 + u 1 + u 1 a 11 + u 2 a 21 )e 1 +(ξ 2 + u 2 + u 1 a 12 + u 2 a 22 )e 2 + +(η 1 + u 1 κ 1 )a 3 +(η 2 + u 2 κ 2 )a 4 bulunur η 1 + u 1 κ 1 =0 ve η 2 + u 2 κ 2 =0 34

44 lineer denklemlerini sağlayan u 1 = η 1 κ 1 ve u 2 = η 2 κ 2 skalarları şeklindeki P (t) noktaları için ṗ(t) vektörü E 2 (t) uzayı içindedir u 1 ve u 2 skalarları tek olarak belirli olup, geriye 2 2 = 0tane keyfi değişken kalır Yani M nin E 2 (t) içinde sırt uzayı yoktur boy T (t) =4+1=5alınırsa bu durumda η(t), Sp{e 1,e 2,a 3,a 4 } cümlesinin elemanı değildir ve {e 1,e 2,a 3,a 4,a 5 } cümlesi T (t) nin ortonormal bir bazı olacak şekilde a 5 tek olarak belirlidir Bu durumda η(t) =ξ 1 e 1 + ξ 2 e 2 + η 1 a 3 + η 2 a 4 + η 3 a 5 dir Benzer işlemlerle p(t) eğrisinin hız vektörü ṗ(t) = (ξ 1 + u 1 + u 1 a 11 + u 2 a 21 )e 1 +(ξ 2 + u 2 + u 1 a 12 + u 2 a 22 )e 2 + +(η 1 + u 1 κ 1 )a 3 +(η 2 + u 2 κ 2 )a 4 + η 3 a 5 olarak bulunur η 1 + u 1 κ 1 =0 ve η 2 + u 2 κ 2 =0 lineer denklemleri ile tanımlı merkez uzayının boyutu 2 2 = 0 dır Merkez uzayı yoktur 35

45 4 LORENTZ UZAYINDA REGLE YÜZEYLER 41 L 3 3 Boyutlu Lorentz Uzayında Regle Yüzeyler Tanım 411 L 3 3 boyutlu Lorentz (Minkowski) uzayında verilen bir l doğrusunun verilen bir η (I) eğrisi boyunca hareket ettirilmesi ile bir yüzey elde ediliyorsa bu yüzeye 3 boyutlu Lorentz uzayında bir regle yüzey denir η (I) eğrisine dayanak eğrisi ve l doğrusuna regle yüzeyin bir anadoğrusu denir (Turgut 1995) Tanım 412 L 3 3 boyutlu Lorentz uzayında, bir regle yüzeyin anadoğruları boyunca teğet düzlemleri aynı ise regle yüzeye açılabilirdir denir (Turgut 1995) Tanım 413 L 3 3 boyutlu Lorentz uzayında açılabilir olmayan bir regle yüzey verilsin Regle yüzeyin komşu iki anadoğrusunun ortak dikmesi varsa bu dikmenin esas anadoğru üzerindeki ayağına merkez (boğaz, striksiyon) noktası denir (Turgut 1995) Tanım 414 L 3 3 boyutlu Lorentz uzayında açılabilir olmayan bir regle yüzeyin anadoğrusu, dayanak eğrisiboyuncayüzeyi oluştururken merkez noktalarının geometrik yerine boğaz çizgisi (striksiyon eğrisi) denir (Turgut 1995) Tanım 415 L 3 3 boyutlu Lorentz uzayında regle yüzeyin anadoğrularının herbirini dik olarak kesen bir eğri varsa bu eğriye regle yüzeyin bir ortogonal yörüngesi denir (Turgut 1995) Tanım 416 L 3 3 boyutlu Lorentz uzayında bir yüzey M olsun M yüzeyi üzerine indirgenmiş metrikpozitiftanımlı ise M ye L 3 de space-like yüzey denir (Beem and Ehrlich 1981) Tanım 417 L 3 3 boyutlu Lorentz uzayında bir yüzey M olsun M yüzeyi üzerine indirgenmiş metrik Lorentz metriği ise M ye time-like yüzey denir (Beem and Ehrlich 1981) Teorem 411 L 3 3 boyutlu Lorentz uzayında regle yüzeyin time-like olması için gerek ve yeter koşul, yüzeyin N normalinin space-like bir vektör alanı yani hn,ni > 0 36

46 olmasıdır (Turgut 1995) Teorem 412 L 3 3 boyutlu Lorentz uzayında M regle yüzeyinin space-like olması için gerek ve yeter şart, yüzeyin N normalinin time-like bir vektör alanı yani hn,ni < 0 olmasıdır (Turgut 1995) Tanım 418 L 3 3 boyutlu Lorentz uzayında bir yüzey M ve M nin şekil operatörüne karşılık gelenmatris S olsun Bir P M için K(P )=ε det S P ; ε = hn,ni değerine M nin P noktasındaki Gauss eğriliği, K : M R fonksiyonuna M yüzeyinin Gauss eğrilik fonksiyonu denir M yüzeyi space-like ise ε = hn,ni = 1 olduğu için K = det S ve M time-like ise ε = hn,ni =+1olduğundan K =det S dir (Turgut 1995) 42 L n n Boyutlu Lorentz Uzayında Space-like Dayanak Eğrili (Time-like Doğrultman Uzaylı)Genelleştirilmiş Time-like Regle Yüzeyler (Lorentz Regle Yüzeyler) Tanım 421L n n boyutlu Lorentz (Minkowski) uzayında {0} I R olmak üzere diferensiyellenebilir bir space-like η (I) eğrisini alalım η : I L n t η(t) η (I) eğrisinin her η(t) noktasında tanımlı ortonormal vektör alan sistemi {e 1 (t),e 2 (t),,e k (t)} ile verilsin Bu sistem η(t) L n noktasındaki T η(t) (L n ) tanjant uzayının k boyutlu 37

47 bir alt uzayını gerer Bu alt uzayı E k (t) ile gösterelim Yani E k (t) =Sp{e 1 (t),e 2 (t),, e k (t)} olup time-like alt uzaydır E k (t) time-like alt uzayı η(i) eğrisi boyunca hareket ederken L n de (k +1) boyutlu bir yüzey meydana getirir Bu yüzeye L n uzayında (k +1) boyutlu space-like dayanak eğrili (time-like doğrultman uzaylı) genelleştirilmiş time-like regle yüzey denir ve M ile gösterilir M = [ t I E k (t) için kullanacağımız parametrizasyon ϕ(t) =η(t)+ u i e i (t) (421) i=1 dir (Aydemir 1995) Tanım 422 L n n boyutlu Lorentz uzayında (421) eşitliği ile tanımlanan M yüzeyinin E k (t) alt uzayına time-like doğrultman uzay, η(i) eğrisine yüzeyin space-like dayanak eğrisi denir (Aydemir 1995) Eğer ϕ nin t ve u i (1 i k) değişkenlerine göre türevlerini alırsak ϕ t (t) = η(t)+ u i ė i (t) ve ϕ ui (t) =e i (t) i=1 olmak üzere ( ª ϕt, ϕ u1,,ϕ uk = η(t)+ ) u i ė i (t),e 1 (t),, e k (t) i=1 sistemini, (k +1) boyutlu yüzeyin tanımlı olması için lineer bağımsız alacağız Tanım 423 L n de (k +1) boyutlu bir time-like regle yüzey M ve E k (t) time-like 38

48 doğrultman uzay olsun Sp{e 1 (t),e 2 (t),,e k (t), ė 1 (t), ė 2 (t),,ė m (t)} alt uzayına M nin E k (t) ye göre asimptotik demeti denir ve A(t) ile gösterilir boy A(t) =k + m, 0 m k kabul edilirse, A(t) nin E k (t) yi içeren {e 1 (t),e 2 (t),, e k (t),a k+1 (t),a k+2 (t),, a k+m (t)} şeklinde bir ortonormal bazı vardır (Aydemir 1995) Teorem 421 L n de (k +1) boyutlu space-like dayanak eğrili time-like regle yüzey M ve asimptotik demeti A(t) ise A(t) time-like alt uzaydır (Aydemir 1995) İspat: İspatı bir başka yoldan yapalım A(t) nin E k (t) yi içeren {e 1 (t),e 2 (t),, e k (t),a k+1 (t),a k+2 (t),, a k+m (t)} ortonormal bazı bulunabilir E k (t) time-like alt uzay olduğundan e i (1 i k) vektörleri için he i,e j i = ε i δ ij ; 1 i, j k bağıntısı sağlanır time-like uzayında Ayrıca, L n Lorentz uzayında indeks q = 1 olduğundan E k (t) he i,e i i = 1 < 0 olacak şekilde bir tek time-like vektör vardır L n uzayı, indeksi q =1olan yarı- Öklidyen uzay olduğundan L n in bir ortonormal bazında bir tek time-like vektör vardır Bu nedenle A(t) =Sp{e 1 (t),e 2 (t),, e k (t),a k+1 (t),a k+2 (t),,a k+m (t)} bir time-like alt uzaydır Tanım 424 L n de (k +1) boyutlu time-like M regle yüzeyinin time-like doğrult- 39

49 man uzayı E k (t) ve dayanak eğrisi η(i) olsun Sp{ η(t),e 1 (t),e 2 (t),, e k (t), ė 1 (t), ė 2 (t),,ė k (t)} alt uzayına M nin E k (t) ye göre teğetsel demeti denir ve T (t) ile gösterilir Eğer boy A(t) =k + m ise, boy T (t) =k + m veya boy T (t) =k + m +1dir Kabul edelim ki, boy T (t) =k + m = boy A(t) olsun Bu durumda time-like M regle yüzeyinin sırt uzayı vardır ve {e 1 (t),e 2 (t),, e k (t),a k+1 (t),a k+2 (t),, a k+m (t)} hem A(t) nin hem de T (t) nin ortonormal bazıdır Eğer boy T (t) =k + m +16= boy A(t) ise bu durumda time-like M regle yüzeyinin merkez uzayı vardır ve {e 1 (t),e 2 (t),,e k (t),a k+1 (t),a k+2 (t),,a k+m (t),a k+m+1 (t)} T (t) nin ortonormal bazıdır Teorem 422 L n n boyutlu Lorentz uzayında space-like dayanak eğrili time-like regle yüzeyin T (t) teğetsel demeti, time-like alt uzaydır (Aydemir 1995) İspat: İspatı değişik bir yoldan yapalım boy T (t) =k+m = boy A(t) ise T (t) =A(t) olup Teorem 421 den A(t) time-like olduğundan T (t) de time-like alt uzaydır boy T (t) =k+m+1 6= boy A(t) ise L n, indeksi q =1olan yarı-öklidyen uzay olduğundan bazındaki tek time-like vektör E k (t) içinde kalır O halde T (t) time-like alt uzaydır Teorem 423 L n de (k +1) boyutlu time-like regle yüzey M ve doğrultman uzayı E k (t) olsun t 0 I olmak üzere {e i (t 0 )} i=1,,k, E k (t) nin ortonormal bazı olsun t 0 J I olacak şekilde bir J açık aralığı bulunabilir ki, bu aralıkta E k (t) nin t J için D E ē i, ē j =0 ; 1 i, j k olacak şekilde bir {ē 1 (t), ē 2 (t),,ē k (t)} 40