İNVOLÜT B-SCROLL ÜZERİNE YENİ BİR BAKIŞ. Süleyman ŞENYURT * Ordu Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi,Matematik Bölümü, Ordu

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "İNVOLÜT B-SCROLL ÜZERİNE YENİ BİR BAKIŞ. Süleyman ŞENYURT * Ordu Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi,Matematik Bölümü, Ordu"

Bulut Ataseven
5 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Ordu Üniv. Bil. Tek. Derg.,Cilt:4,Sayı:1,014,59-74/Ordu Univ. J. Sci. Tech.,Vol:4,No:1,014,59-74 İNVOLÜT B-SCROLL ÜZERİNE YENİ BİR BAKIŞ ÖZET Süleyman ŞENYURT * Ordu Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi,Matematik Bölümü, Ordu Bu çalışmada, eğrisi eğrisinin bir involütü olarak alındığında involüt eğrisinin Frenet vektörleri, eğrilik ve torsiyonu eğrisinin W Darboux ( Jean Gaston Darboux, ) vektörü ile B binormal vektörü arasındaki açısına bağlı olarak verildi. Bu durumda involüt eğri boyunca oluşan B -scroll un Gauss eğriliği, ortalama eğriliği, I. ve II. temel formları yeniden hesaplanmıştır. Son olarak da helis eğrisi boyunca oluşan involut B -scroll ların mapple programı ile çizimi verilmiştir. Anahtar Sözcükler: B-scroll, involüt B-scroll Mathematics Subject Classification: 5A04 ON INVOLUTE B-SCROLL A NEW VIEW ABSTRACT In this paper, when is considered as the involute of the curve, Frenet vectors, curvature and torsion of are given, respectively depending on the angle, which is between W Darboux vector and B binormal vector of curve. In this case, Gaussian and mean curvatures, I. and II. Fundamental forms of B -scroll generated by involute curve have been calculated. Finally the involute B -scrolls generated by helix curve have drawn application. Keywords: B -scroll, involüt B -scroll Mathematics Subject Classification: 5A04 * Sorumlu Yazar: senyurtsuleyman@hotmail.com 59

2 İnvolüt B-Scroll Üzerine Yeni Bir Bakış 1. GİRİŞ : I E, s 1 s, s, s eğri olsun. Bu eğrinin Frenet -ayaklısı diferensiyellenebilir birim hızlı bir s s s T s N s B s T s N s şeklinde tanımlanır. eğrinin eğriliği s s s, torsiyonu s ile gösterilirse, 1. s olur. T, N ve B Frenet vektörleri ile bu vektörlerin türev vektörleri arasında 1.1, T s s N s N s s T s s B s B s s N s, 1. bağıntı vardır ve bu bağıntıya Frenet formülleri adı verilir,. Tanım 1.1: I E ve I E eğrileri verilmiş olsun. eğrisinin teğet doğruları eğrisinin teğet doğrularına dik oluyorsa eğrisine eğrisinin bir involütü denir. eğrisi eğrisinin bir involütü ise Teorem 1.1: durumda dır,. s s st s IR. 1.4 I E eğrisi ()s ve ()s I E eğrisinin bir involütü olsun. Bu noktaları arasındaki uzaklık,,, 1.5 d s s c s c sbt s I 60

3 S. Şenyurt Teorem 1.: I E eğrisi eğrilerinin Frenet çatıları sırasıyla,, çatılar arasında T N B bağıntısı vardır,6. N Teorem 1.: I E eğrisi I E eğrisinin bir involütü olsun. ve T N B ve T, N, B T B T B ile gösterilirse bu 1.6 I E eğrisinin bir involütü olsun. eğrisinin eğrilikleri ve, eğrisinin eğrilikleri ve ise bu eğrilikler arasında bağıntısı vardır,6., c s 1.7 Teorem 1.4: I E eğrisi eğrisinin T, N, B ve T, N, B I E eğrisinin bir involütü olsun. ve Frenet çatıları arasında 61

4 İnvolüt B-Scroll Üzerine Yeni Bir Bakış T N B bağıntısı vardır,4. 1 T B T N 1 T B B 1.8 Sonuç 1.1: a) 0 0olur. Bu durumda eğriler düzlemseldir. b) 0 ve sabit ise c) eğrisi helis ise düzlemseldir. Teorem1.5: : I E eğrisi boyunca oluşan B -scroll'un şekil operatörüne karşılık gelen matris S ile gösterilirse bu matris dir, 5. S u u u 1 u 1 u 0 1 Tanım 1.: : I E eğrisi boyunca oluşan B -scroll'un Gauss eğriliği ve ortalama eğriliği sırasıyla det S u dır, 5,6. İzS u u u

5 S. Şenyurt Tanım 1.: E gösterilirse de bir yüzeyin 1. ve II. temel formları sırasıyla I ve II ile I, dsds, dsdu, dudu s s s u u u II S d, d ve d sds udu dır. Burada S yüzeyin şekil operatörüdür. Bu tanıma göre bir : I E eğrisi boyunca oluşan B -scroll'un 1. ve II. temel formlara karşılık gelen matris sırasıyla I u olur [6]. II u 1 u 1 0 u 1 u u 1.1. İNVOLÜT B-SCROLL ÜZERİNE YENİ BİR BAKIŞ I E eğrisi üzerinde T, N, B çatısı her s anında bir eksen etrafında ani helis hareketi yaptığı kabul edilir ve bu eksene Darboux ekseni denir. Bu eksen doğrultusundaki vektöre W ile gösterilirse W T B.1 şeklinde bulunur ve bu vektöre Darboux vektörü denir, 1. W vektörü ile B binormal vektörü arasındaki açı ile gösterilirse şekil 1 den 6

6 İnvolüt B-Scroll Üzerine Yeni Bir Bakış Bu durumda Şekil 1Darboux vektörü sin, cos W W. 1.6,1.7 ve 1.8 ifadelerinin yeni durumları T N N cost sinb B sint cosb sec sec W 1 tan T T B tan sec N T N B W W 1 tan B T B şeklinde bulunur. Tanım.1: : I E birim hızlı eğrisinin Frenet çatısı T, N, B..4.5 olsun. eğrisi boyunca B binormal vektörünün meydana getirdiği regle yüzeye B -scroll (binormal scroll) denir. Burada eğrisine B -scroll un dayanak eğrisi, B binormal vektörüne de doğrultmanı veya ana doğrusu denir. Bu durumda B -scroll parametrik denklemi s, u s u s B s.6 şeklinde yazılır,. 64

7 S. Şenyurt Tanım.: çatısı T, N, B I E eğrisi I E nın bir involütü ve eğrisinin Frenet olsun. eğrisi boyunca B binormal vektörünün meydana getirdiği regle yüzeye involüt B -scroll, eğrisine dayanak eğrisi, B binormal vektörüne de doğrultman veya ana doğru denir. Bu durumda B -scroll parametrik denklemi s, v s vs B s.7 şeklinde yazılır,4. Teorem.1: I E eğrisi I E eğrisinin bir involütü olsun. Involüt B -scroll' un denklemi s, v s vsin T v cosb.8 İspat: s, u s vs B s 1.4 ve. den karşılıkları yazılırsa ispat yapılmış olur. Teorem.: ifadesinde ve B ın yerine sırasıyla I E eğrisi boyunca B -scroll'u ile I E eğrisinin bir involütü olsun. eğrisi eğrisi boyunca involüt B -scroll'nun arakesit eğrisinin denklemi s s cot Bs..9 İspat:.8 bağıntısından vsin 0 ve v cos u u cot olur. Bu değer olmalıdır. Buradan.8 de yerine yazılırsa işlem tamamlanmış olur. Teorem.: : I E eğrisi boyunca B -scroll'un birim normal vektörü alanı ile gösterilirse N N u T N 1. u İspat:.6 ifadesinin s ve u göre türevleri alınır ve bu türevler ifadesinde yerine yazılırsa ispat tamamlanır..10 s u N s u 65

8 İnvolüt B-Scroll Üzerine Yeni Bir Bakış Teorem.4: I E eğrisi I E eğrisinin bir involütü olsun. eğrisi boyunca involüt B -scroll'un birim normal vektörü alanı N ile gösterilirse N v sec cost N sinb W v sec 1 W.11 İspat:.7 ifadesinin s ve v göre türevleri alınır ve bu türevler s v N s v Burada T, N tamamlanır. Teorem.5: de yerine yazılırsa N v T N 1 v ve yerine sırasıyla. ve I E eğrisi.4 den karşılıkları yazılırsa ispat I E eğrisinin bir involütü olsun. eğrisi boyunca B -scroll'un N birim normal vektörü alanı eğrisi boyunca involüt B -scroll'un N.1 birim normal vektörü alanına dik ise v İspat: N N N, N 0 W sin cos v sec cost N sinb u T N W, 0 1 u v sec 1 W sec u cos v 0 W u. 66

9 S. Şenyurt W sin cos v u Teorem.6: : I E eğrisi boyunca oluşan involüt B -scroll'un şekil operatörüne karşılık gelen matris S ile gösterilirse bu matris sec sec sec v sec W W W sec sec v 1 v 1 W S W sec W 0 sec v 1 W.1 İspat: Involüt eğri boyunca oluşan involüt B -scroll'un şekil operatörüne karşılık gelen matris S ile gösterilirse olur..8 ve S S S,, S S,,.11 ifadelerinden s s s v v s v v s s v v T v N B v 1, 67

10 İnvolüt B-Scroll Üzerine Yeni Bir Bakış v v T v v v N v B s S s v 1 S v 1 v T v N v, v v 1 s v s S, s s s v S, v 1 s v s v S, 0 s v bulunur. Burada.4 bağıntısı dikkate alınırsa ispat tamamlanmış olur. Sonuç.1: : I E eğrisi boyunca oluşan involüt B -scroll'un Gauss eğriliği ve ortalama eğriliği ile gösterilirse bu eğrilikler sırasıyla sec W det S sec v W

11 S. Şenyurt sec sec sec v W W İzS.15 sec v 1 W olur. Teorem.7: : I E eğrisi boyunca oluşan involut B -scroll'un 1. ve II. temel formları sırasıyla I ve II ile gösterilirse I sec v 1 0 W sec sec sec v sec W W W sec sec v 1 v 1 W W II sec W 0 sec v 1 W.17 İspat: Involüt eğri boyunca oluşan involut B -scroll'un 1. ve II. temel formları sırasıyla I ve II ile gösterilirse I, dsds, dsdv, dvdv, s s s v v v I v 1 dsds 0dsdv 1 dvdv, 69

12 İnvolüt B-Scroll Üzerine Yeni Bir Bakış s s s s v s v v v II S, dsds S, dsdv, dvdv, v v II dsds dsdv 0dvdv 1 1 v v olur. Bu ifadeler matris formunda yazılırsa I v II v v v v v bulunur. Burada.4 bağıntısı dikkate alınırsa ispat tamamlanmış olur. s s bs Örnek.1: s a cos(), sin(), a d d d, d a b helis eğrisinin ( Şekil ) Frenet vektörleri, eğrilikleri, I. ve II.temel formları sırasıyla a s a s b T s sin(), cos(), d d d d d, s s N s cos(),sin(),0 d d b s b s a B s sin(), cos(), d d d d d, a b () s () s a b a b, 70

13 S. Şenyurt 0 I a b 0 1 ub a b II u b u 1 u b a b b u b a b 0. Şekil helis eğrisi 71

14 İnvolüt B-Scroll Üzerine Yeni Bir Bakış s Şekil helis eğrisinin involütü helis eğrisine ait involüt eğrisinin ( Şekil ) denklemi, Frenet vektörleri, eğrilikleri, I. ve II.temel formları sırasıyla s s s s b() s s acos() sin(), sin() a cos(), d d d d d d d, c s, c sabit s s T s N cos(),sin(),0 d d, a b s s N s T B sin(), cos(),0 d d d d b a B s T B 0,0,1, d d s a b, () s 0 a Helis eğrisi boyunca B - scroll'un denklemi (Şekil 4) s ub s s ub s bs ua s, u a cos() sin(), sin() a cos(), d d d d d d d 7

S. Şenyurt Şekil 4 B -scroll Şekil 5 involüt B

denklemi (Şekil 5) s s s s b() s s, v acos()

B- scrollun denklemi (şekil 6,Şekil 7) s a s s

d d d d db Şekil 6 B -scroll İnvolüt B -scroll

15 S. Şenyurt Şekil 4 B -scroll Şekil 5 involüt B - scroll Involüt eğri boyunca B - scrollun denklemi (Şekil 5) s s s s b() s s, v acos() sin(), sin() a cos(), v d d d d d d d Arakesit B- scrollun denklemi (şekil 6,Şekil 7) s a s s a s () b s a s acos() sin(), sin() a cos(), d d d d d d db Şekil 6 B -scroll İnvolüt B -scroll Şekil 7 B -scroll ile involüt B -scroll un arakesit eğrisi 7

16 İnvolüt B-Scroll Üzerine Yeni Bir Bakış REFERENCES 1 Gray Alfred, Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 01-0, Graves L.K., Codimension one isometric immersion between lorentz space, Trans. Amer. Soc. 5,67-9, Hacısalihoğlu H. Hilmi, Diferensiyel Geometri,Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Yayınları,.Baskı, Kılıçoğlu Şeyda, On the Involute B-scrolls in the Euclidean -space IE,XIII.International Conference Geometry, Integrability and Quantization, June , Varna, Bulgaria. 5Kılıçoğlu Şeyda, n-boyutlu Lorentz uzayında B- scrollar, Doktora Tezi, Ankara Üniversitesi Fen bilimleri Enstitüsü,006. 6Sabuncuoğlu Arif, Diferensiyel Geometri, Nobel Yayınları,

Benzer belgeler

SMARANDACHE EĞRİLERİNE AİT BİR UYGULAMA. Süleyman ŞENYURT 1* Selin SİVAS 1

SMARANDACHE EĞRİLERİNE AİT BİR UYGULAMA. Süleyman ŞENYURT 1* Selin SİVAS 1 Ordu Üniv. il. Tek. Derg. Cilt: Sayı: 046-60/Ordu Univ. J. Sci. Tech. Vol: No:046-60 SMARANDACHE EĞRİLERİNE AİT İR UYGULAMA Süleyman ŞENYURT * Selin SİVAS Ordu Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik