Kitap analizi için yönlendirici sorular
|
|
- Coskun Kurtoğlu
- 8 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Çalıştay 2 : Sınıfta klasik materyallerle bireysel öğrenme Kitap analizi için yönlendirici sorular 1) İlk izlenim - MEB tarafından ücretsiz okullara dağıtılan 12. sınıf Matematik ders kitabını incelediniz mi? - İncelediğinizde bu kitap ile ilgili ilk düşünceleriniz nelerdi? -Bu kitaplardan faydalanıyor musunuz? Ne ölçüde? 2) Kitap analizi İki ülkede okutulan ders kitaplarından Türev kısmı analiz edilecektir. Bunu yaparken aşağıda verilen sorulara cevap verilmesi amaçlanmaktadır: -Her iki kitapta konunun işlenişini ve aktarım şeklini incelediğinizde kalıcı öğrenme ( yapılandırıcı öğrenme ) adına olumlu veya olumsuz öğretim şeklini gerekçelendirerek açıklamaya çalışın. Her iki ülkedeki ders kitaplarında öğretimde aktarım problemleri benzerlik taşıyor mu? -Her iki kitapta işlenen konu aynı olmasına rağmen kitabın üzerinde durduğu, önem verdiği kısımlar var mı? Bunu açıklarken nasıl bir yöntem veya yaklaşıma ihtiyaç duyulmuştur? - Kitabın incelenmesi sonucunda; bireysel, yapılandırmacı, işbirlikli öğrenme açısından tekrar bir ders kitabı düzenlenmesi gerekseydi nasıl olması gerekirdi? Kitaptan seçtiğiniz bir kısmı yeniden düzenleyin. 3) Analiz bilgileri - Almanya da Nordrhein-Westfalen eyaletinin bir Gymnasiumunda 11. Sınıf öğrencileri için okutulan bir konu kesiti ve M.E.B. tarafından onaylanıp okullarda dağıtılmış olan bir 12. Sınıf kitabından konu kesiti verilmiştir. - Her iki kesit Türev konusunu içermekte ve yaklaşık 10 ar sayfadan oluşmakta. Almanca olanında ek olarak Türkçe tercümesi bulunmakta. 4) Kaynakça 1. M. Baum, W. Riemer, H. Schermuly, J. Stark, I. Weidig, P. Zimmermann, D. Lind, G. Taetz, Mathematisches Unterricht für das Gymnasium, Ausgabe Nordrhein-Westfalen, Ernst Klett Verlag. 2. M. Bağrıaçık, M. Lökçü, Z. Sağlam, Ö. Çolak, T. Yurtseven, T. Oğuz, A. N. Elçi, Y.Yıldırım, Ortaöğretim Matematik 12. Sınıf Ders Kitabı, M.E.B. Devlet Kitapları, IMPRESS, Ankara, 2008.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19 V Türev Konusuna Giriş 1 Fark oranı, Değişim oranı 1 Verilen Tablo ve belirtilmiş olan değerler Almanya daki nüfus gelişimini göstermektedir (Fig.1). Renkli alan tahmini değerleri vermektedir. a) Belirtilen zaman aralıklarından hangisinde en güçlü nüfus sayısı değişimi gözlemlenmektedir? b)hepsi farklı uzunluklarda olmasına rağmen, bu zaman aralıklarındaki nüfus değişimi nasıl mukayese edilebilir? Aralıkların hangisinde en hızlı nüfus sayısı değişimi görülmektedir? c) 1960 ve 2010 yıllarındaki nüfus sayısının tahmini yaklaşımı nasıl yapılabilir? 10. sınıfta, büyüme oranı, daha doğrusu büyüme çarpanı ile ilgili bilgilerle gelişim süreçleri tarif edilmişti. Bundan sonra ise fonksiyonların değişim davranışları hakkında daha genel araştırmalar yapılacaktır. Farklı f fonksiyonları için aşağıdakiler geçerlidir: f(b)-f(a) aynı kalıp, b-a farklı olabilir. a dan I aralığında tanımlı bir f fonksiyonu tanımlanmış ve a<b olmak üzere verilmiş olsun. f(b)-f(a) farkı, b ye f fonksiyon değerinin ne kadar güçlü değiştiğini göstermektedir. f(b)-f(a) farkı ile I aralığının b-a uzunluğu mukayese edildiğinde a ile b arasındaki fonksiyon değerlerinin ne kadar hızlı değiştiği ile ilgili oran elde edilmektedir. Tanım: f, [a;b] aralığında tanımlı olmak üzere ifadesine [a;b] aralığında f fonksiyonun fark oranı veya değişim oranı denir. [a;b] aralığında f in fark oranı, ve noktalarından geçen g doğrusunun m eğimidir. Bu küçük [a,b] aralığına P ve Q noktalarından geçen f fonksiyonun grafiği yerleştirilirse bu taktirde verilen bu doğru denklemleri ile her için f(u) nun yaklaşım değerleri hesaplanabilir (Fig.3). P ve Q noktalarından geçen doğrunun grafiği lineer g fonksiyonu olduğuna göre g(u) değerleri f(u) için yaklaşım değerleri olarak hizmet edebilir. [a;b] aralığı ne kadar küçük olursa, oldukça düzgün seyir gösteren f fonksiyonlarında g(u) nun f(u) ya yaklaşım
20 değeri daha da iyi olur. g fonksiyonuna [a;b] aralığında f fonksiyonun lineer yaklaşım fonksiyonu denir. [a;b] aralığındaki değişim oranı farklı olmasına rağmen grafiklerin bu aralıklardaki seyri Örnek 1. ( Değişim oranının hesaplanması) fonksiyonu verilmiş olsun. [2;4] aralığı için f in m değişim oranını hesplayınız. Çözüm: farklı olabilir. [2;4] aralığı için f in m değişim oranı Örnek 2. (Lineer yaklaşım fonksiyonun belirlenmesi) dir. için fonksiyonu verilmiş olsun. g(1)=f(1) ve g(4)=f(4) olacak şekilde lineer g fonksiyonunu belirleyiniz. Çözüm: f fonksiyonun [1;4] aralığındaki değişim oranı Lineer g fonksiyonu bu durumda olmalıdır. dir. g(1)=f(1)=2 olduğundan eşitliğinde c= elde edilir. Bu durumda dir. Birim metrekareye oturma alanının fiyatı neden küçük dairelerde büyük dairelere kıyasla daha fazladır? Örnek 3. (Fonksiyon değerlerin yaklaşım usulünün belirlenmesi) Oldukça güzel olan daireler için bir inşaat firması yanda verilmiş olan satış fiyatlarını belirlemiştir. Uygun bir lineer yaklaşım fonksiyonu oluşturarak 88 metrekare büyüklüğündeki bir dairenin yaklaşık satış fiyatını belirlemeye çalışın. Çözüm: p(x), x büyüklüğündeki bir dairenin satış fiyatı olsun. Burada x metrekare cinsinden ve p(x) de bin avro fiyatı. [80;100] aralığındaki p fonksiyonun değişim oranı dir.
21 g(80)= 420 ve g(100)=500 olacak şekildeki lineer fonksiyon g(x)=4x+100 olarak elde edilir. Bu durumda g(88)= =452 dir. O halde yaklaşık satış fiyatı avrodur. Alıştırmalar 2 ve aralıklarında aşağıda verilen f fonksiyonları için sırasıyla, ve değişim oranlarını hesaplayınız. a) b) c) d) 3 I=[1;4] aralığı ve fonksiyonu verilmiş olsun. a) f(1) ve f(4) ü tespit edin ve böylece I aralığında f fonksiyonun m değişim oranını belirleyiniz. b)g(1)=f(1) ve g(4)=f(4) olacak şekilde I aralığında f fonksiyonun g lineer yaklaşım fonksiyonu için bir fonksiyon terimi oluşturunuz. c) Aynı koordinat sistemine f ve g fonksiyonlarının grafiklerini çiziniz. 4 Alıştırma 3 ü f fonksiyonu yerine aşağıda belirtilmiş olunan h fonksiyonları için gözden geçirin. a) b) c) 5 için fonksiyonu verilmiş olsun. a) g(6)=f(6) ve g(11)=f(11) olmak üzere lineer g fonksiyonunu belirleyiniz. b) f(7), f(8), f(9) ve f(10) için g fonksiyonu ile yaklaşım değerlerini belirleyiniz. 6 a) [t-1;t], [t;t+1] ve [t-1;t+1] aralıkları için fonksiyonunun değişim oranını belirleyiniz. b)a dan elde edilen üç değişim oranı arasında nasıl bir ilişki var? 7 x>0 için fonksiyonu verilmiş olsun. a) [a;2a] aralığında f fonksiyonun değişim oranının olduğunu bulunuz. b) a dakiler ile f in, [1;2] ve [4;8] aralıklarındaki değişim oranlarını bulunuz. c)g(4)=f(4) ve g(8)=f(8) olacak şekilde g fonksiyonu ile ve için üç basamağa kadar yuvarlanmış yaklaşım değerlerini bulunuz. 8 f: fonksiyonu verilmiş olsun.
22 a)[a;a+1] aralığında f fonksiyonun değişim oranının olduğunu bulunuz. b) a daki bilgilerle f in [-2,-1], [0;1] ve [2;3] aralıklarındaki değişim oranını bulunuz. c) 7c deki alıştırmada olduğu gibi burada f(0,4) ve f(2,8) için yaklaşım değerlini bulunuz. yardımıyla iki 9 Her n>0 doğal sayısı için n!= dir. olacak şekilde f fonksiyonları vardır öyle ki dir. Yanda verilmiş olunan tablo basamağa kadar yuvarlayarak a) n=105, 115,, 145 b) n=121, 122,, 129 için f(n) İn yaklaşım değerlerini bulunuz. 10 Almanya da emeklilik pirimi ödemesi zamanla artmıştır. a) 1987 yılında işverenlerde b) 1983 yılında işçilerde c) 1965 yılında iş verenlerde d) 1988 yılında işçilerde belirtilen yıllarda ortalama emeklilik pirimi ödemeleri için yaklaşım değerlerini bulunuz. 11 Batı Almanya metrekare alana sahiptir. Alan yapısı ( yani, toplam alanda farklı sebeplerle kullanılan kısımlar) 1950 yıllarından sonra çok değişmiştir ( yerleşim alanları ). a) 1950 den 1960 a, 1960 dan 1970 e, 1970 den 1981 e kadar geçen zaman dilimlerinde Orman, Tarım alanı ve yerleşim ve trafik şeklindeki gruplandırmaların değişim oranlarını belirleyiniz. b) Verilen değerler yardımıyla 1980 ve 1987 yıllarındaki yaklaşık alan yapısını belirleyiniz. Bunun için a da hesaplanan zaman dilimleri ile ilgili kısımların lineer değiştiğini farz edin. 2 Anlık değişim oranı 1 Galilei eğik bir düzlemde bir topun aşağı doğru yuvarlanmasını araştırmıştır. Bunun için t zamanda topun aldığı s yolu ölçmüştü. nerdeyse yüze yakın tekrarlarımızda sürekli yolun zamanın karesi gibi davrandığını gördük ki bunu her eğimli düzlemde gözlemleyebilmiştik. a)o zamanların mesafe ve zaman birimleri ile Galilei aşağıdaki tabloyu oluşturabilmişti. Galilei nin verdiği bilgilere göre 2,5 ve 3,5; 2,8 ve 3,2 2,9 ve 3,1 zamanları için tabloyu tamamlayınız. b)galilei 3 zamanındaki yaklaşık hızı nasıl belirleyebilmiştir? Eğik bir düzlemde yuvarlanan bir top gittikçe hızlanmaktadır. anında topun içindeki hızölçerin gösterebileceği hız aranmaktadır. Burada t anında katedilen yol s(t) olarak kabul edilmektedir. Buna göre; dir. ( s metre, t ise saniyedir)
23 Galileo Galilei ( ) Fiziksel kanunları keşfeden ilk bilimsel deneyleri yapmıştır. Bu şekilde eğik Pisa kulesinden düşme hareketleri ile ilgili deneyler yapıştır. ve herhangi bir t zamanı için [ ] veya [ ] aralığındaki topun ortalama hızı s nin değişim oranıdır. Tablolarda ( Fig.3) [1,5;t] ve [t;1,5] aralıklar için ortalama hız hesaplanmıştır. Burada sürekli ve =0,45 dir. kadar yakın terimi oldukça dikkat çekici davranışlar göstermektedir. t anı ne kadar 1,5 değerine yaklaşırsa o Bu sebeple da ve farkları sıfıra yaklaşmaktadır. oranı ise 0,6 değerine yaklaşmaktadır. anındaki anlık hızın değerini ( m/s olarak) 0,6 olarak görmek daha anlamlı olur. Galilei nin temel eseri İki yeni bilim dalı, Bu durumda, t anı a yaklaştıkça oranı da 0,6 değerine Mekanik ve serbest düşme kanunları üzerine müzakereler ve matematiksel gösterimler yaklaşmaktadır. Bunun için aşağıdaki yazılım şekli uygundur: 1638 yılında Hollanda da yayınlanmıştır için geçerlidir; ya da kısaca dır. Herhangi bir anı için ise :
24 için ) geçerlidir; ya da kısaca İfadesi uygun düşer. taktirde Tanım: Eğer için ortalama hız bir değerine yöneliyor ise bu değerine anındaki anlık hızdır denir. uygulanabileceği Bir anındaki anlık hız ile ilgili tanım düşünüldüğünde başka büyüklüklere de görülebilir: yarıçapındaki bir daire büyütülebilir (r> ) veya küçültülebilir (r> ) ( Fig. 1) Bu durumda A alanı ( ), A( den A( ye değişmektedir. Böylece, [5;r] veya [r;5] aralıklarında A nın değişim oranı dir. Tabloda bazı r yarıçap değerleri için değişim oranları verilmiştir. A nın anlık Tablodan için sonucuna ulaşılır. Buna, noktasında değişim oranı denir. değerine Tanım: Eğer için g büyüklüğünün değişim oranı bir yöneliyor ise bu taktirde yerinde g nin anlık değişim oranıdır denir. Örnek 1: ( Anlık hızın belirlenmesi) Bir serbest düşme hareketinde her t zamanı için mesafesi geçerlidir( t saniye, s metre). anı için düşen bir cismin anlık hızını bulunuz. 3 değerine yakın Çözüm: dir. Böylece elde edilir. olan t değerleri için aşağıdaki tablo elde edilir.
25 hız (m/s Tablodan anlaşıldığı üzere için dur. Bu durumda için anlık cinsinden) v(3)=30 dur. Örnek 2 ( Anlık değişim oranının belirlenmesi) olacak şekildeki A fonksiyonu, a>0 olmak üzere kenar uzunluğu a olan bir karenin alanını vermektedir. a) için A fonksiyonun anlık değişim oranını belirleyiniz. b) ın somut anlamı nedir? Çözüm: kenar a) [4;a] veya [a;4] aralıklarında A fonksiyonun ortalama değişim oranı dir. Bazı a uzunlukları için aşağıdaki tablo elde edilir: m(4)=8 dir. Tablo, için olduğunu verir. Böylece, 4 değerinde A nın m(4) anlık değişim oranı b) Anlık değişim oranı karenin çevre uzunluğunun yarısıdır. Alıştırmalar Anlık değişim 2 Bir cisim, t zamanda olacak şekilde yol kat etmektedir. için anlık hızları belirleyiniz. oranını belirlemek için tablo kullanılabilir 3 Bir araç frenlenmektedir. Geçen t zamanı için, (t saniye, s metre) belirlenmiştir. t=0;1; ;9;10 için s(t) yi hesaplayınız. (bakınız s.129, Alıştırma21) olmak üzere aracın anlık hızını bulunuz ( m/s ve km/h cinsinden). 4 A fonksiyonu sırasıyla I, II ve III üçgenlerin A(a) alanlarını vermektedir. Burada a ise çizilmiş olan şekildeki açıklayınız. uzunluktur. için A nın anlık değişim oranını belirleyiniz ve somutlaştırarak 5 a kenar uzunluğuna sahip bir küp O(a) yüzeye ve V(a) hacme sahiptir. için V ve O anlık değişim oranlarını belirleyiniz ve somutlaştırarak açıklayınız.
26 6 a) yerinde r yarıçapına bağlı bir kürenin O yüzeyinin anlık değişim oranını belirleyiniz. b) yerinde a kenar uzunluğuna sahip bir tetraederin V hacminin anlık değişim oranını belirleyiniz. 3. yerinde türetilme Çevreden kaynaklanan ölçüm hatalarına sebep olabilecek olumsuz etkenleri askari düzeye indirgemek amacıyla hız bir çok mesafe içinde ölçülmektedir. Eğer hız sonucu 3% den fazla fark Gösterirse fotoğraf çekilmez. 1 Hız kontrollerinde, ışık kutusu 1 ile ışık kutusu 2, daha doğrusu ışık kutusu 1 ile ışık kutusu3 arasında geçen zaman ölçümüne ihtiyaç duyulur. Bu ışık kutuları arasındaki mesafeler 25 cm, kutu 1 ve 3 arası 50 cm dir. Bir sürücü bu kutuları fark eder ve frene basar.onda 0,030 saniye ve 0,0615 saniye ölçülmüştür. Sürücü; Her iki ölçüm mesafesi arasında hızım 30 km/h dan üzeri değildi. Bu durumda ölçüm mesafesi boyunca hiçbir zaman 30km/h üzeri sürmemiştim şeklinde iddiada bulunuyor. Bu iddia doğru mu? yerinde g büyüklüğünün anlık değişim oranı civarında g nin artışını ve azalışını tarif etmektedir. Bundan sonra şimdiye kadarki düşünceler fonksiyonlara aktarılacaktır. Burada ise sınır değerin gerçek tespiti yaklaşım değerleri yardımıyla tablolaştırma ile değil yürütülecektir. terim dönüşümü ile Örnek: Genel: verilmiş olsun. ve verilmiş olsun. ve I aralığında tanımlı bir f fonksiyonu a) Fark oranı a yakın keyfi bir x yeri seçilir ve [ ;x] veya [x; ] aralığında f fonksiyonun m(x) fark oranı oluşturulur: Türevin kaşifi olarak için için kabul edilmektedir m harfi, Fig.2 ve Fig. 3 de mavi renkte çizilmiş olan s doğruların m(x) eğimidir.iki farklı ve secare (Latince) noktalarından geçen s doğrusuna f in grafiğinin sekantı denir.
27 kesen Çizimlerde her ne kadar x> ise de yine de her düşünce için x< olması Halide araştırılmalıdır. m(x) öyle dönüştürülüyor ki b) için fark oranının araştırılması, daha doğrusu m(x) in dönüştürülmesi: Bunun için aşağıdaki özelliklere sahip bir sıfırdan farklı bir değere yönelmektedir. için x değeri a yeterince yakın olduğunda m(x) de keyfi yakındır. Sürekli dikkat ediniz ki Bu terimden şunlar anlaşılır: Şayet öyle bir sayısı varsa bu durumda; x> ve x< x, 0,5 değerine yeterince yakın olduğunda m(x) de 1 için dır. olabilir değerine keyfi yakındır. Bunun anlamı; için dır. m fonksiyonun davranışı kısaca aşağıdaki şekilde tarif edilir: sahiptir. için m(x), 1 sınır değerine sahiptir. Kısaca için, sınır değerine dir. Kısaca: dır. m(x) fark oranının paydası= için sıfırdır. Bu yüzden m(x), = için tanımlı değildir. Bunun dışında, = için payı sıfır değerini alır. Yine de, x değeri a yeterince yakın olduğunda m(x) de keyfi yakın
28 olabilir. Bu ise için in sınır değerinin olduğu anlamına gelir. Leibniz 1677 yılında yeni metodunu Tanım: f fonksiyonu I aralığında tanımlanmış olsun ve alalım. için fark calculus differentiales şeklinde oranı bir sınır değere sahipse bu taktirde yerinde f fonksiyonuna türevlenebilir adlandırmıştır. Buradan türevlenebilirlik (türetebilinmekte)denir. Sınır değerine ise yerinde f fonksiyonunun türetilişi denir ve ve türev hesabı kelimeleri oluşmuştur. ile gösterilir. Türetilebilme kavramı ve notasyonu İse Lagrange den ( ) gelmedir. Eğer bir f fonksiyonu her için türevlenebilir ise bu taktirde f ye I da türevlenebilir bir fonksiyon denir. Bazı durumlarda başka yazılış şekilleri amaca daha uygun düşmektedir. alınırsa yazılabilir. manayı Bu durumda m(x)= ifadesi olur. ile aynı şekilde türetiliş, yerinde taşımaktadır. Buna göre bir f fonksiyonu yerinde türevlenebilir ise için aşağıdaki f üzeri çizgi şeklinde okunur formüle ediliş şekli aynı anlamı taşımaktadır: Örnek 1: (x- Metodu ile türevinin belirlenmesi) fonksiyonunun için türevini bulunuz. Çözüm: a) m(x) fark oranı: için f(2)= ve böylece için m(x)=. için m(x) in sınır değerleri: dir. Rasyonel fonksiyonlarda Örnek 2: (h- Metodu ile türevinin belirlenmesi)
29 fark oranı dönüşümlerde fonksiyonunun için türevini bulunuz. x-metodu yerine h metodunun kullanımı daha elverişlidir. Çözüm: a)m(h) fark oranı: için f(3)=-3 ve böylece m(h)= dir. için m(h) sınır değeri: dir. Örnek 3: (Sınır değersiz fark oranı) için in türevlenemez olduğunu gösteriniz. Çözüm: x>0 için olup dir. x<0 için olup dir. Bu durumda m(x) fark oranı için yerine sağdan ve soldan yaklaşıldığında iki farklı değer elde edilmiş olunuyor. Fakat f fonksiyonuna yerinde türevlenebilirdir denir eğer her bir yaklaşımda aynı sayı elde edilebiliyorsa. Bu durumda, sıfır yerinde f fonksiyonu türevlenemezdir. Alıştırmalar 2 ve için aşağıdakileri hesaplayınız. a) f(3), b), c) f(a), d) f(r+2), e)f( f) f(x)- f( g) f( h) i) 3 Alıştırma 1 de olduğu gibi verilen f fonksiyonların belirtilen değerlerindeki hesaplamaları yapın a) b) c) f d) e) f) 4 Alıştırma 2 de olduğu gibi ı hesaplayınız.
30 a) b) c ) d) e), f), 5 Aşağıda belirtilen fonksiyonların yerindeki türevlenebilirliklerini inceleyiniz. a) b) c) d) Türevlenebilirlik ve türevlenememezlik nasıl tasvir edilebilir?
GEOGEBRA KULLANILARAK HAZIRLANAN ÇALIŞMA SAYFALARI. 2. Gruplardan enbuyukhacimlikutu.ggb isimli dosyayı açmalarını isteyiniz.
GEOGEBRA KULLANILARAK HAZIRLANAN ÇALIŞMA SAYFALARI Sınıf Düzeyi : 12 Öğrenme Alanı Alt Öğrenme Alanı : Temel Matematik : Türevin Uygulamaları Kazanımlar : ÇALIŞMA SAYFASI 1 2. Bir fonksiyonun yerel maksimum,
DetaylıBölüm 2. Bir boyutta hareket
Bölüm 2 Bir boyutta hareket Kinematik Dış etkenlere maruz kalması durumunda bir cismin hareketindeki değişimleri tanımlar Bir boyutta hareketten kasıt, cismin bir doğru boyunca hareket ettiği durumların
DetaylıMühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 7- SAYISAL TÜREV Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ İntegral işlemi gibi türev işlemi de mühendislikte çok fazla kullanılan bir işlemdir. Basit olarak bir fonksiyonun bir noktadaki
DetaylıNewton un ikinci yasası: Bir cisim ivmesi cisim üzerine etki eden toplam kuvvet ile doğru orantılı cismin kütlesi ile ters orantılıdır.
Bölüm 5: Hareket Yasaları(Özet) Önceki bölümde hareketin temel kavramları olan yerdeğiştirme, hız ve ivme tanımlanmıştır. Bu bölümde ise hareketli cisimlerin farklı hareketlerine sebep olan etkilerin hareketi
Detaylı18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıDİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ
DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için
DetaylıÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV
- 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını
Detaylı1. Hafta Uygulama Soruları
. Hafta Uygulama Soruları ) x ekseni, x = doğrusu, y = x ve y = x + eğrileri arasında kalan alan nedir? ) y = x 3 ve y = 4 x 3 parabolleri arasında kalan alan nedir? 3) y = x, x y = 4 eğrileri arasında
Detaylı1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30
İçindekiler 1. ÜNİTE Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8 Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18 Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 Bölüm 4 :- Çarpanlar ve Katlar, Bölünebilme... 40 Bölüm 5 : Asal Sayılar, Ortak Bölenler,
DetaylıEğer piramidin tabanı düzgün çokgense bu tip piramitlere düzgün piramit denir.
PİRAMİTLER Bir düzlemde kapalı bir bölge ile bu düzlemin dışında bir T noktası alalım. Kapalı bölgenin tüm noktalarının T noktası ile birleştirilmesi sonucunda oluşan cisme piramit denir. T noktası piramidin
DetaylıT.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi
T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının
DetaylıTÜREVİN GEOMETRİK YORUMU
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU f :R R, =f ( fonksionuna düzlemde A karşılık gelen f( +h eğri anda ki =f( P gibi olsun. f( Eğrinin P(,f( noktasındaki teğetlerini +h araştıralım. Bunun için P(,f( noktasının sağıda
DetaylıÇalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x
Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: a) 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: a) 4x > 9 b) x 4
DetaylıT.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi
T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının
DetaylıElipsoid Üçgenlerinin Hesaplanması Yedek Hesap Yüzeyi olarak Küre
Jeodezi 7 1 Elipsoid Üçgenlerinin Hesaplanması Yedek Hesap Yüzeyi olarak Küre Elipsoid yüzeyinin küçük parçalarında oluşan küçük üçgenlerin (kenarları 50-60 km den küçük) hesaplanmasında klasik jeodezide
DetaylıAlles logo! 2 Çevrilecek metinler
Alles logo! 2 Çevrilecek metinler Sayın Veliler! Alles logo! 2 içindeki ödevlere ilişkin bilgilendirmelerin çevirileri, henüz iyi Almanca konuşmamanıza rağmen çocuğunuzun çalışmasını desteklemenize yardımcı
DetaylıDers 06. a) Anlık hız fonksiyonunu bulunuz b) x=2 ve x = 5 anında hızı bulunuz. c) Hızın 0 olduğu anları bulunuz. Çözüm:
42 Bölüm 6 Ders 06 147 /6 y-ekseni üzerinde hareket eden bir nesnenin x anında (zaman sn, uzaklık cm cinsinden olsun) bulunduğu noktanın ordinatı f (x) = 2x 4 8x 3 7 olarak veriliyor. a) Anlık hız fonksiyonunu
DetaylıMat Matematik II / Calculus II
Mat - Matematik II / Calculus II Çalışma Soruları Çok Değişkenli Fonksiyonlar: Seviye eğri ve yüzeyler, Limit ve süreklilik wolframalpha.com uygulamasında bir fonksiyonun tanım kümesini bulmak için: x
DetaylıDENEY 1. İncelenmesi. Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi
DENEY 1 Düzgün Doğrusal Hareketin İncelenmesi Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Fizik Bölümü Isparta - 2018 Amaçlar 1. Tek boyutta hareket kavramının incelenmesi. 2. Yer değiştirme ve
Detaylı12.Konu Rasyonel sayılar
12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama
Detaylıa) Çıkarma işleminin; eksilen ile çıkanın ters işaretlisinin toplamı anlamına geldiğini kavrar.
7. SINIF KAZANIM VE AÇIKLAMALARI M.7.1. SAYILAR VE İŞLEMLER M.7.1.1. Tam Sayılarla Toplama, Çıkarma, Çarpma ve Bölme İşlemleri M.7.1.1.1. Tam sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerini yapar; ilgili problemleri
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıÇalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x
Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: 4x > 9 b) x 4 < - c)
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık KORELASYON ve REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Bir değişkenin değerinin diğer değişkendeki veya değişkenlerdeki değişimlere bağlı olarak nasıl etkilendiğinin istatistiksel
DetaylıKOÜ. Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği ( 1. ve 2. Öğretim ) Bölümü Dinamik Dersi (Türkçe Dilinde) 1. Çalişma Soruları / 24 Eylül 2017
SORU-1) Dirençli bir ortamda doğrusal hareket yapan bir parçacığın ivmesi a=k V 3 olarak tanımlanmıştır. Burada k bir sabiti, V hızı, x konumu ve t zamanı sembolize etmektedir. Başlangıç koşulları x o
DetaylıKarabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta)
AĞIRLIK MERKEZİ STATİK (2. Hafta) Ağırlık merkezi: Bir cismi oluşturan herbir parçaya etki eden yerçeki kuvvetlerinin bileşkesinin cismin üzerinden geçtiği noktaya Ağırlık Merkezi denir. Şekil. Ağırlık
Detaylı2 TEK BOYUTTA HAREKET
2 TEK BOYUTTA HAREKET 2.1 Konum, hız ve sürat 2.2 Anlık hız ve sürat 2.3 İvme 2.4 Hareket diyagramları 2.5 Tek boyutta sabit ivmeli hareket 2.6 Serbest düşen cisimler 2.7 Kinematik denklemlerin türetilmesi
DetaylıMATEMATİK ÜSLÜ SAYILAR. Tam Sayıların Tam Sayı Kuvveti. Üslü sayı, bir sayının kendisi ile tekrarlı çarpımıdır.
Kazanım Tam sayıların tam sayı kuvvetlerini belirler. MATEMATİK KAZANIM FÖYÜ- Tam Sayıların Tam Sayı Kuvveti.Adım..Adım...Adım Yanda verilen örüntünüyü 6.Adıma kadar ilerletiniz. HATIRLA Üslü sayı, bir
DetaylıANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600
DetaylıParametrik doğru denklemleri 1
Parametrik doğru denklemleri 1 A noktasından geçen, doğrultman (doğrultu) vektörü w olan d doğrusunun, k parametresine göre parametrik denklemi: AP k w P A k w P A k w P A k W (P değişken nokta) A w P
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıBÖLÜM 9 ÇÖZÜLMESİ ÖNERİLEN ÖRNEK VE PROBLEMLER
BÖLÜM 9 ÇÖZÜLMESİ ÖNERİLEN ÖRNEK VE PROBLEMLER b) İkinci süreç eğik atış hareketine karşılık geliyor. Orada örendiğin problem çözüm adımlarını kullanarak topun sopadan ayrıldığı andaki hızını bağıntı olarak
DetaylıİNS1101 MÜHENDİSLİK ÇİZİMİ. Bingöl Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 2018
İNS1101 MÜHENDİSLİK ÇİZİMİ Bingöl Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 2018 TEKNİK RESİM Teknik resim, teknik elemanların üretim yapabilmeleri için anlatmak istedikleri teknik özelliklerin biçim ve
DetaylıBÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ
BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini
DetaylıDers Materyali. Öneri. Fermat prensibine giriş
Ders Materyali Öneri Fermat prensibine giriş Koruma problemi, bir cankurtaranın sahilde bulunduğu yerden ve olayı gördüğü yöne bağlı, suda yardıma ihtiyacı olan kişiye giden en çabuk yolu bulmasidir. Sahil
DetaylıBÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM
BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini
Detaylı18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıDENEY 1 - SABİT HIZLA DÜZGÜN DOĞRUSAL HAREKET
AMAÇ: DENEY 1 - SABİT HIZLA DÜZGÜN DOĞRUSAL HAREKET Bir nesnenin sabit hızda, net kuvvetin etkisi altında olmadan, düzgün bir hat üzerinde hareket etmesini doğrulamak ve bu hızı hesaplamaktır. GENEL BİLGİLER:
DetaylıARAZİ ÖLÇMELERİ. Temel Ödev I: Koordinatları belirli iki nokta arasında ki yatay mesafenin
Temel ödevler Temel ödevler, konum değerlerinin bulunması ve aplikasyon işlemlerine dair matematiksel ve geometrik hesaplamaları içeren yöntemlerdir. öntemlerin isimleri genelde temel ödev olarak isimlendirilir.
DetaylıVERİLER. Yer çekimi ivmesi : g=10 m/s 2
VERİLER Yer çekimi ivmesi : g=10 m/s 2 Metrik Ön Takılar sin 45 = cos 45 = 0,7 Numara Ön Takı Simge sin 37 = cos 53 = 0,6 sin 53 = cos 37 = 0,8 10 9 giga G tan 37 = 0,75 10 6 mega M tan 53 = 1,33 10 3
DetaylıMühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 9 Ağırlık Merkezi ve Geometrik Merkez Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C. Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 9. Ağırlık
DetaylıMAT101 MATEMATİK I BÖLÜM 3 FONKSİYONLAR
MAT101 MATEMATİK I BÖLÜM 3 FONKSİYONLAR Yrd. Doç. Dr. Furkan BAŞER Ankara Üniversitesi Uygulamalı Bilimler Fakültesi GİRİŞ Fonksiyon kavramı, matematikte en önemli kavramlardan biridir. Temel düzeyin ötesinde
Detaylı8. SINIF LGS MATEMATİK ÖRNEK DENEMELER. 1. DENEME 20 Soru - 1. Dönem kazanımlarını kapsamaktadır. (İlk Dönem Tekrarı)
8. SINIF MATEMATİK ÖRNEK DENEMELER. DENEME 2 Soru -. Dönem kazanımlarını kapsamaktadır. (İlk Dönem Tekrarı) 2. DENEME 2 Soru -. Dönem kazanımlarını kapsamaktadır. (İlk Dönem Tekrarı) 3. DENEME 2 Soru -.
DetaylıT.C. GAZİ ÜNİVERSİTESİ ENERJİ SİSTEMLERİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ISI TRANSFER LABORATUVARI ISIL IŞINIM ÜNİTESİ
T.C. GAZİ ÜNİVERSİTESİ ENERJİ SİSTEMLERİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ISI TRANSFER LABORATUVARI ISIL IŞINIM ÜNİTESİ DENEY 1: ISI IÇIN TERS KARE KANUNU 1. DENEYİN AMACI: Bir yüzeydeki ışınım şiddetinin, yüzeyin
DetaylıDik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.
ANALĐTĐK GEOMETRĐ 1. Analitik Düzlem Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da
DetaylıELEKTRİKSEL POTANSİYEL
ELEKTRİKSEL POTANSİYEL Elektriksel Potansiyel Enerji Elektriksel potansiyel enerji kavramına geçmeden önce Fizik-1 dersinizde görmüş olduğunuz iş, potansiyel enerji ve enerjinin korunumu kavramları ile
DetaylıCEVAP ANAHTARI 1-B 2-C 3-C 4-C 5-B 6-E 7-D 8-E 9-C 10-E 11-E 12-A 13-A 1-A 2-D 3-C 4-D 5-D 6-B 7-D 8-B 9-D 10-E 11-D 12-C
1. BÖLÜM: AÇISAL KAVRAMLAR VE DOĞRUDA AÇILAR 1-B 2-C 3-C 4-C 5-B 6-E 7-D 8-E 9-C 10-E 11-E 12-A 13-A 1-E 2-A 3-E 4-C 5-C 6-C 7-D 8-D 9-D 10-E 11-B 12-C 2. BÖLÜM: ÜÇGENDE AÇILAR 1-A 2-D 3-C 4-D 5-D 6-B
DetaylıARAZİ ÖLÇMELERİ. Koordinat sistemleri. Kartezyen koordinat sistemi
Koordinat sistemleri Coğrafik objelerin haritaya aktarılması, objelerin detaylarına ait koordinatların düzleme aktarılması ile oluşur. Koordinat sistemleri kendi içlerinde kartezyen koordinat sistemi,
DetaylıSİDRE 2000 ORTAOKULU EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 7. SINIFLAR MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLAN
SİDRE 000 ORTAOKULU 06-07 EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 7. SINIFLAR MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLAN ÜNİTE ÖĞRENME ALANI ALT ÖĞRENME ALANI Ders Saati 9.09.06/.09.06 Tam Sayılarla Çarpma ve Bölme i 7...
DetaylıYTÜ Makine Mühendisliği Bölümü Mekanik Anabilim Dalı Genel Laboratuvar Dersi Eğilme Deneyi Çalışma Notu
YTÜ Makine Mühendisliği Bölümü Mekanik Anabilim Dalı Genel Laboratuvar Dersi Eğilme Deneyi Çalışma Notu Laboratuar Yeri: B Blok en alt kat Mekanik Laboratuarı Laboratuar Adı: Eğilme Deneyi Konu: Elastik
Detaylı2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK
2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 1. 2,31 0,33 0,65 0,13 + 3,6 0,6 işleminin sonucu kaçtır? A)0,5 B) 0,8 C)0,9 D)5 E)8 4. Üç basamaklı ABB doğal sayısı 4 e ve 9 a kalansız bölünmektedir. Buna göre, A+B toplamının
DetaylıDers 05. Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler. 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay
48 Bölüm 5 Ders 05 Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 1. Soru 1 Aşağıda verilen soru işaretlerinin yerine gelmesi gereken değerleri
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık Rastgele Değişkenlerin Dağılımları I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Ders konusu Bu derste; Rastgele değişkenlerin tanımı ve sınıflandırılması Olasılık kütle fonksiyonu Olasılık yoğunluk
DetaylıÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER
HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI
Detaylı5. SINIF MATEMATİK YILLIK PLANI
5. SINIF MATEMATİK YILLIK PLANI 2018-2019 DOĞAL SAYILAR VE İŞLEMLER 1.hafta 17-23 Eylül Milyonlar 5.1.1.1 5.1.1.2 6 01 1-2 2.hafta 24-30 Eylül Örüntüler 5.1.1.3 11 02 3-4 3.hafta 01-07 Ekim Doğal Sayılarda
DetaylıŞekil 6.1 Basit sarkaç
Deney No : M5 Deney Adı : BASİT SARKAÇ Deneyin Amacı yer çekimi ivmesinin belirlenmesi Teorik Bilgi : Sabit bir noktadan iple sarkıtılan bir cisim basit sarkaç olarak isimlendirilir. : Basit sarkaçta uzunluk
DetaylıLYS Y ĞRU MTMTİK TSTİ. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.., y reel sayılar
DetaylıPİRAMİTLER ENFORMATİK BİLGİSAYAR DERSİ
2011 PİRAMİTLER ENFORMATİK BİLGİSAYAR DERSİ 15.12.2011 ĠÇĠNDEKĠLER ÜNİTE HAKKINDA GENEL BİLGİ... 3 KONULAR... 4 PİRAMİTLER... 4 KARE PİRAMİT... 5 EŞKENAR ÜÇGEN PİRAMİT... 6 DÜZGÜN DÖRTYÜZLÜ... 6 DÜZGÜN
DetaylıELEKTRİK-ELEKTRONİK ÖLÇME TESİSAT GRUBU TEMRİN-1-Mikrometre ve Kumpas Kullanarak Kesit ve Çap Ölçmek
ELEKTRİK-ELEKTRONİK ÖLÇME TESİSAT GRUBU TEMRİN-1-Mikrometre ve Kumpas Kullanarak Kesit ve Çap Ölçmek Amaç: Mikrometre ve kumpas kullanarak kesit ve çap ölçümünü yapabilir. Kullanılacak Malzemeler: 1. Yankeski
DetaylıFinal sınavı konularına aşağıdaki sorular dahil değildir: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 19, 20, 21, 25, 27, 28, 29, 30, 33-b.
Final sınavı konularına aşağıdaki sorular dahil değildir:,,,, 5, 6, 7, 9,,, 5, 7, 8, 9,, -b. MAT -MATEMATİK (- GÜZ DÖNEMİ) FİNAL ÇALIŞMA SORULARI. Tabanı a büyük eksenli, b küçük eksenli elips ile sınırlanan
DetaylıMATEMATÝK TEMEL SEVÝYE DEVLET OLGUNLUK SINAVI. Testin Çözme Süresi: 180 dakika ADAY ÝÇÝN AÇIKLAMALAR - YÖNERGE DEVLET SINAV MERKEZÝ ADAYIN ÞÝFRESÝ
ADAYIN ÞÝFRESÝ BURAYA YAPIÞTIR DEVLET OLGUNLUK SINAVI DEVLET SINAV MERKEZÝ MATEMATÝK - TEMEL SEVÝYE MATEMATÝK TEMEL SEVÝYE Testin Çözme Süresi: 180 dakika Haziran, 2009 yýlý BÝRÝNCÝ deðerlendiricinin þifresi
DetaylıOkut. Yüksel YURTAY. İletişim : (264) Sayısal Analiz. Giriş.
Okut. Yüksel YURTAY İletişim : Sayısal Analiz yyurtay@sakarya.edu.tr www.cs.sakarya.edu.tr/yyurtay (264) 295 58 99 Giriş 1 Amaç : Mühendislik problemlerinin bilgisayar ortamında çözümünü mümkün kılacak
DetaylıMühendislik Mekaniği Dinamik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Dinamik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 13 Parçacık Kinetiği: Kuvvet ve İvme Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Dinamik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 13 Parçacık
DetaylıDOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI
DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI BİREYSEL YARIŞMA SORULARI CEVAPLARI CEVAP KAĞIDI ÜZERİNE YAZINIZ. SORU KİTAPÇIĞINI KARALAMA MAKSATLI KULLANABİLİRSİNİZ 1
Detaylı2 SABİT HIZLI DOĞRUSAL HAREKET
2 SABİT HIZLI DOĞRUSAL HAREKET Bu deneyin amacı, hava masası deney düzeneği kullanarak, hiç bir net kuvvetin etkisi altında olmaksızın hareket eden bir cismin düz bir çizgi üzerinde ve sabit hızla hareket
DetaylıBÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES)
BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES) Lagrange ve Neville yöntemlerinin bazı olumsuz yanları vardır: İşlem sayısı çok fazladır (bazı başka yöntemlere kıyasla) Data setinde bir nokta ilavesi veya çıkartılması
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan
DetaylıARAZİ ÖLÇMELERİ. Koordinat sistemleri. Kartezyen koordinat sistemi
Koordinat sistemleri Coğrafik objelerin haritaya aktarılması, objelerin detaylarına ait koordinatların düzleme aktarılması ile oluşur. Koordinat sistemleri kendi içlerinde kartezyen koordinat sistemi,
DetaylıPROJE GÖREVİ BEKLENEN BECERİLER. Problem çözme Akıl yürütme İletişim İlişkilendirme Araştırma
Doğadaki Matematik Bu görevde sizden: Arılar ve hayvanlardaki matematiksel beceriler hakkında araştırma yapmanız, peteklerin hangi geometrik şekle benzediklerinin ve bu şeklin sağladığı avantajların araştırılması,
DetaylıTrigonometrik Fonksiyonlar
Trigonometrik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 6 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; açı kavramını hatırlayacak, açıların derece ölçümünü radyan ölçümüne ve tersine çevirebilecek, trigonometrik
DetaylıDENEY 1 SABİT HIZLA DÜZGÜN DOĞRUSAL HAREKET
DENEY 1 SABİT HIZLA DÜZGÜN DOĞRUSAL HAREKET AMAÇ: Bir nesnenin sabit hızda, net gücün etkisi altında olmadan düzgün bir hat üzerinde hareket etmesini doğrulamak ve bu hızı hesaplanmaktır. GENEL BİLGİLER:
DetaylıRİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ
RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ MUTLAK GENEL DÜZLEMSEL HAREKET: Genel düzlemsel hareket yapan bir karı cisim öteleme ve dönme hareketini eşzamanlı yapar. Eğer cisim ince bir levha olarak gösterilirse,
DetaylıÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF TEST SORULARI A) 80 B) 84 C) 88 D) 102 E) 106
1. n bir doğal sayı olmak üzere, n! sayısının sondan k basamağı 0 dır. Buna göre, k tamsayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz? 3. (x+y+z+t ) 6 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? A) 80 B) 84 C) 88 D)
Detaylı1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol
ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.
DetaylıTEMEL HARİTACILIK BİLGİLERİ. Erkan GÜLER Haziran 2018
TEMEL HARİTACILIK BİLGİLERİ Erkan GÜLER Haziran 2018 1 HARİTA Yeryüzündeki bir noktanın ya da tamamının çeşitli özelliklere göre bir ölçeğe ve amaca göre çizilerek, düzlem üzerine aktarılmasına harita
DetaylıÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI. MATEMATİK YARIŞMASI 0. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 5. sayısının virgülden sonra 9 99 999 5. basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) C) 3 D) E) 8!.!.3!...4! 4. A= aşağıdaki hangi
DetaylıCebirsel Fonksiyonlar
Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş
Detaylı6. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN
6. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM Yazan SAYIN SAN SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 2 A.5. Doğrusal olmayan fonksiyonların eğimi Doğrusal fonksiyonlarda eğim her noktada sabittir
Detaylı7. SINIF ÖĞRETİM PROGRAMI
7. SINIF ÖĞRETİM PROGRAMI Öğrenme Alanları ve Alt Öğrenme Alanları 7.1. Sayılar ve İşlemler 7.1.1. Tam Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemleri 7.1.2. Rasyonel Sayılar 7.1.3. Rasyonel Sayılarla İşlemler 7.1.4.
DetaylıUZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR
UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR Cisimlerin kapladığı yer ve içinde bulundukları mekan uzaydır. Doğruda sadece uzunluk, düzlemde uzunluk ve genişlik söz konusudur. Uzayda ise uzunluk ve genişliğin yanında
Detaylı5. ÜNİTE İZDÜŞÜMÜ VE GÖRÜNÜŞ ÇIKARMA
5. ÜNİTE İZDÜŞÜMÜ VE GÖRÜNÜŞ ÇIKARMA KONULAR 1. İzdüşüm Metodları 2. Temel İzdüşüm Düzlemleri 3. Cisimlerin İzdüşümleri 4. Görünüş Çıkarma BU ÜNİTEYE NEDEN ÇALIŞMALIYIZ? İz düşümü yöntemlerini, Görünüş
DetaylıTürev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV
Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm
DetaylıPARÇA MEKANİĞİ UYGULAMA 1 ŞEKİL FAKTÖRÜ TAYİNİ
PARÇA MEKANİĞİ UYGULAMA 1 ŞEKİL FAKTÖRÜ TAYİNİ TANIM VE AMAÇ: Bireyselliklerini koruyan birbirlerinden farklı özelliklere sahip çok sayıda parçadan (tane) oluşan sistemlere parçalı malzeme denilmektedir.
Detaylı1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500
984 ÖYS. + + a a + a + a işleminin sonucu nedir? a A) +a B) a C) +a D) a E) +a a b ab. ifadesinin kısaltılmış biçimi a b + a b + ab a + b A) a b a b D) a b B) a b a + b E) ab(a-b) C) a b a + b A) 87 B)
DetaylıT.C. SAKARYA ÜNİVERSİTESİ FİZİK-1 LABORATUVARI DENEY RAPORU
Adı-Soyadı : ÖĞRENCİNİN Numarası : İmza :. Bölümü : Deney No Deney Adı Bir Boyutta Hareket: Konum, Hız ve İvme Deneyin Amacı Deneyin Teorisi (Kendi cümleleriniz ile yazınız) (0 P) T.C. SAKARYA ÜNİVERSİTESİ
Detaylı10. SINIF MATEMATİK FONKSİYONLARDA İŞLEMLER-2
. SINIF MTEMTİK FONKSİYONLRD İŞLEMLER- ÇKEY NDOLU LİSESİ MTEMTİK ÖLÜMÜ . ÜNİTE.. FONKSİYONLRD DÖRT İŞLEM Neler öğreneceksiniz? Fonksiyonlarda dört işlem yani toplama çıkarma, çarpma ve bölmeyi öğreneceksiniz.
Detaylı4.1 denklemine yakından bakalım. Tanımdan α = dω/dt olduğu bilinmektedir (ω açısal hız). O hâlde eğer cisme etki eden tork sıfır ise;
Deney No : M3 Deneyin Adı : EYLEMSİZLİK MOMENTİ VE AÇISAL İVMELENME Deneyin Amacı : Dönme hareketinde eylemsizlik momentinin ne demek olduğunu ve nelere bağlı olduğunu deneysel olarak gözlemlemek. Teorik
DetaylıLYS YE DOĞRU MATEMATİK TESTİ
MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 75 dakikadır.. a, b ve c birer rakam
DetaylıBölüm: Matlab e Giriş.
1.Bölüm: Matlab e Giriş. Aşağıdaki problemleri MATLAB komut penceresinde komut yazarak çözünüz. Aşağıdaki formüllerde (.) ondalıklı sayı için, ( ) çarpma işlemi için kullanılmıştır. 1.. 8.5 3 3 1500 7
DetaylıEKSTREMUM PROBLEMLERİ. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm:
EKSTREMUM PROBLEMLERİ Ekstremum Problemleri Bu tür problemlerde bir büyüklüğün (çokluğun alabileceği en büyük (maksimum değer ya da en küçük (minimum değer bulunmak istenir. İstenen çokluk bir değişkenin
Detaylı8.04 Kuantum Fiziği Ders IV. Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi. ise, parçacığın dalga fonksiyonu,
Geçen Derste Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi ΔxΔp x 2 Fourier ayrışımı Bugün φ(k) yı nasıl hesaplarız ψ(x) ve φ(k) ın yorumu: olasılık genliği ve olasılık yoğunluğu ölçüm φ ( k)veyahut
DetaylıT.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI ÖLÇME, DEĞERLENDİRME VE SINAV HİZMETLERİ GENEL MÜDÜRLÜĞÜ SINIF DEĞERLENDİRME SINAVI - 4
T.. MİLLÎ EĞİTİM AKANLIĞI 015-016 8.SINIF DEĞERLENDİRME SINAVI - 4 015-016 8.SINIF DEĞERLENDİRME SINAVI - 4 MATEMATİK Adı ve Soyadı :... Sınıfı :... Öğrenci Numarası :... SORU SAYISI : 0 SINAV SÜRESİ :
DetaylıAkademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 13 Mayıs Matematik Sorularının Çözümleri
Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 1 Mayıs 01 Matematik Sorularının Çözümleri 1. 9! 8! 7! 9! + 8! + 7! 7!.(9.8 8 1) 7!.(9.8+ 8+ 1) 6 81 9 7. 4, π, π π,14
DetaylıYAVAŞ DEĞİŞEN ÜNİFORM OLMAYAN AKIM
YAVAŞ DEĞİŞEN ÜNİFORM OLMAYAN AKIM Yavaş değişen akımların analizinde kullanılacak genel denklem bir kanal kesitindeki toplam enerji yüksekliği: H = V g + h + z x e göre türevi alınırsa: dh d V = dx dx
DetaylıFONKSİYONLAR ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT
FONKSİYONLAR ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT. Kazanım : Gerçek saılar üzerinde tanımlanmış fonksion kavramını açıklar. Tanım kümesi, değer kümesi, görüntü kümesi kavramlarını açıklar.. Kazanım : Fonksionların
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıYıldız Teknik Üniversitesi İnşaat Fakültesi Harita Mühendisliği Bölümü TOPOGRAFYA (HRT3350)
Yıldız Teknik Üniversitesi İnşaat Fakültesi Harita Mühendisliği Bölümü Ders Adı Kodu Yerel Kredi ECTS Ders (saat/hafta) Uygulama (saat/hafta) Laboratuvar (saat/hafta) Topografya HRT3350 3 4 3 0 0 DERSİN
Detaylı8.04 Kuantum Fiziği Ders XII
Enerji ölçümünden sonra Sonucu E i olan enerji ölçümünden sonra parçacık enerji özdurumu u i de olacak ve daha sonraki ardışık tüm enerji ölçümleri E i enerjisini verecektir. Ölçüm yapılmadan önce enerji
Detaylı