İSTATİSTİK İSTATİSTİK. Şimdi de aynı verileri sütun grafiği ile gösterelim. TANIM

Transkript

1

2 İSTATİSTİK Şimdi de aynı verileri sütun grafiği ile gösterelim. TANIM Araştırma yapılarak verilerin toplanması, toplanan verilerin analiz edilmesi ile ilgili yöntem ve teknikleri inceleyen bilim dalına istatistik denir. İstatistik çalışmaları sonucunda elde edilen bilgiler tablo ya da grafik üzerinde gösterilebilir. Böylece bilgileri görsel biçimde görüp daha kolay yorumlayabiliriz ciro B A C A B C A B C y l ÖRNEK 1 Afla daki tabloda A, B ve C flirketlerinin yıllara göre cirolar gösterilmifltir. YIL ŞİRKET A B C Yıllara göre, A ve C şirketlerinin ciroları artmış, B şirketinin cirosu ise azalmıştır. Üç yıllık sürede en yüksek ciroyu C şirketi yapmıştır.... Yukarıdaki tablodan daha birçok yorum da çıkartılabilir. Yukarıda tabloda gösterilen verileri çizgi grafik ile gösterelim ciro C A B Yukarıdaki çizgisel grafikte, bir önceki tabloda verilen yorumlar yapılabilir. y l ÖRNEK Aşağıda bir mağazanın bir günlük sürede sattığı ürünler ve miktarları sütun grafiğiyle gösterilmiştir adet Gömlek Kazak Pantolon ürünler Yukarıda sütun grafik ile gösterilen verileri dairesel grafik ile gösterelim. Dairesel grafik ile göstermek için, gömlek, kazak ve pantolon miktarlarının dairesel grafikte hangi açıya karşılık geldiğini bulalım. Toplam ürün = = 180 adettir. 60 Gömlek oranı: Kazak oranı : Pantolon oranı : = (10 ile gösterilir) = (80 ile gösterilir) = (160 ile gösterilir)

3 Bu durumda dairesel grafik D) En az kitab = 80 sayfa ile Zeynep okumuştur. Gömlek Kazak Pantolon artm 80 artm E) 'ta 40 artm fl = = % 100 artm fl Cevap : E şeklinde gösterilebilir. ÖRNEK 3 Aşağıdaki tabloda Miray, Büşra ve Zeynep isimli öğrencilerin üç günlük sürede okudukları kitapların sayfa sayıları gösterilmiştir. ÖRNEK 4 Aşağıda Ürgüp ve Antalya'ya beş farklı ülkeden 010 yılında gelen turist sayıları (bin) gösterilmiştir. Günler İsimler P.tesi Salı Çarşamba Miray Büşra Zeynep Almanya Rusya İngiltere İtalya Arabistan Yunanistan Ürgüp Antalya Bu kişilerle ilgili aşağıda verilen bilgilerden hangisi yanlıştır? A) Miray toplam 950 sayfa kitap okumuştur. B) Miray hergün bir önceki güne göre %50 oranında daha fazla kitap okumuştur. C) Büşra toplam 370 sayfa kitap okumuştur. D) Toplam olarak en az kitabı Zeynep okumuştur. E) Zeynep hergün bir önceki güne göre, %50 oranında daha fazla kitap okumuştur. A) Miray toplam : = 950 sayfa kitap okumuştur. 100 artm 150 artm B) Miray de 100 artm fl = = % 50 artm fl de 150 artm fl = = % 50 artm C) Büflra toplam : = 370 sayfa kitap okumufltur. Yukarıdaki tabloda gösterilen verileri serpilme grafiği ile gösterelim Ürgüp e gelen turist say s (bin) Antalya ya gelen turist say s (bin) Yukarıdaki serpilme grafiğinden "Antalya'ya gelen turist arttığında Ürgüp'e gelen turist nda da artış olmaktadır." şeklinde yorum yapılabilir. "Yapılan araştırmalar sonunda, Antalya'ya deniz turizmi için gelen turistler deniz turizmi haricinde doğal güzellikleri olan Ürgüp'ü de gezip gördükleri tespit edilmiştir." 183

4 ÖRNEK 5 Afla daki çizgisel grafikte, bir sat c n n bir hafta boyunca satt ürünlerin say lar gösterilmifltir. ÖRNEK 6 Afla daki sütun grafikte bir okuldaki öğrencilerin tercih ettikleri derslere göre sayıları gösterilmiştir. ürün say s ö renci say s P.tesi Sal Çarflamba Perflembe Cuma Cumartesi Pazar Günler Tarih Felsefe Co rafya Türkçe Matematik dersler Buna göre, afla dakilerden hangisi yanl flt r? A) Satıcı bir haftal k sürede toplam 750 tane ürün satm flt r. B) Satıcının cumartesi günü satt ürün bir haftada satt ürünün %0'si kadard r. C) Satıcının sal ve çarflamba günü satt ürün say lar ayn d r. D) Satıcı en az ürünü pazartesi günü satm flt r. E) Satıcı en fazla ürünü pazar günü satm flt r. A) Sattığı toplam ürün = = 750 B) Cumartesi günü 150 ürün satmıştır. Toplam 750 ürün sattığından oranı : = = = % 0 oranındadır C) Salı ve çarşamba günü 100'er tane ürün satmıştır. D) En az ürünü perşembe günü (40 tane) satmıştır. E) En fazla ürünü pazar günü (160 tane) satmıştır. Cevap : D Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) En az tercih edilen ders felsefedir. B) Matematik dersini tercih edenler, bu dersleri tercih edenlerin toplamının 3 1 ü kadardır. C) Tarih ve coğrafya dersini tercih edenlerin sayıları birbirine eşittir. D) Türkçe dersini tercih edenlerin felsefe dersini tercih edenlerin ndan 100 fazladır. E) En fazla matematik dersi tercih edilmiştir. A) 100 öğrenciyle en az tercih felsefeye yapılmıştır. B) Toplam tercih = 100 matematiği tercih edenlerin = = 3 oranındadır. C) Tarih ve coğrafya dersini 00'er kişi tercih etmiştir. D) Türkçe dersini 300, felsefe dersini 100 kişi tercih etmiştir = 00 kişi yapar. E) En fazla tercih 400 kişiyle matematik dersindedir. Cevap : D 184

5 ÖRNEK 7 HİSTOGRAM Aşağıda, dört çeşit ürünün toprağa ekilme oranları daire grafiğiyle gösterilmiştir. Pamuk TANIM Bir dağılımda değişikliklerin sınıflandırlması ve bu verilerin dağılımının sütun grafikleri ile gösterilmesidir. M s r Ayçiçe i Bu day Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) En çok ekili alan buğdaya aittir. B) Ayçiçeği ekili alan mısır ekili alandan fazladır. C) Pamuk ekili alan ekili alanların tamamının 4 1 ü kadardır. D) Buğday ekili alan ayçiçeği ekili alandan %50 oranında fazladır. E) Pamuk ekili alan buğday ekili alanın %80'ine eşittir. Grafik incelendiğinde, A) 10 ile en çok ekili alan buğdaya aittir. B) Ayçiçeği 80 ile, mısır 70 ile gösterildiğinden doğrudur. 90c 1 5 C) = = = % 5 360c D) Buğday = 10 Ayçiçeği = 80 40c 1 50 = = = % 50 80c 100 E) Pamuk ekili alan = 90 Buğday ekili alan = 10 olup ÖRNEK 8 Bir topluluktaki 0 kişinin yaşları, 3, 4, 4, 4, 7, 10, 1, 13, 14, 15, 0, 1,, 3, 8, 30, 34, 36, 41 dir. Verileri gruplayalım. Veri grubunun açıklığı = En büyük veri En küçük veri = 41 = 39 Veri grup keyfi olarak belirlenebilir. Veri grup nı 10 alalım ve veri genişliğini bulalım. 39 Veri grubunun genişliği = = 39, " 4 kabul 10 edelim. Veri genişliği 4 olduğundan, 3, 4, 5 puan alanların aralığı : -5 6, 7, 8, 9 puan alanların aralığı : , 39, 40, 41 puan alanların aralığı : Şeklinde 10 tane grup oluşturalım. Tabloyu oluşturalım oran = = = = % 75 ine eşittir Cevap : E 185

6 yafl aral kifli say s ÖRNEK 9 Bir okuldaki öğrencilerin okudukları kitap sayılarının aralığı aşağıda verilmiştir. okunan kitap say lar aral ö renci say s Tablodaki verilerle histogram oluşturunuz ö renci say s kifli say s okunan kitap aral yafl grubu Grafikte yatay eksende 1- aralığında hiç veri olmadığından yanlış yorumlara yol açmamak için zik zak kullanılır. Histogramda veri grubunun en fazla olduğu yaş aralığı -5, en az olduğu yaş aralıkları, 6-9, 6-9, 30-33, aralıklarıdır. "Mihrican solaktı ancak ilkokula başladığında öğretmeni bu duruma karşı çıkmış ve Mihrican ın annesini okula çağırarak, birlikte kesin ve ödün vermez bir tutum takınırlarsa Mihrican ın sağ elle yazı yazmayı öğrenebileceğine inandığını söylemiş. Anne kabul etmiş ve kızıyla konuşmuş. Mihrican karşı çıkmamış ama bir koşul ileri sürmüş: Mihrican sağ elle yazı yazmayı öğrenmeye çalışacak ama bu esnada evdeki herkes de onun tersine sol elle yazı yazmayı ve sol elle yemek yemeyi, kısacası sol elini kullanmayı öğreneceklermiş. Onlar denemeyi sürdürdüğü sürece Mihrican da sürdürecekmiş. " 186

7 ÖLÇME SONUÇLARI ÜZERİNDEKİ İSTATİSTİK İŞLEMLER Yapılan sınavlardaki puanlar verildikten sonra, önce puanlar sıraya konur. Daha sonra merkezi eğilim ölçüleri aritmetik ortalama, mod (tepe değer), medyan(ortanca) bulunur. Daha sonra ranj (açıklık), standart sapmayı bulup yorumlar yapabiliriz. Test İstatistikleri ¾ Verilerin tamamı dikkate alınarak hesaplanan aritmetik ortalama, verilerin bir ya da birkaçı hesaplanarak elde edilen mod ve medyana göre daha fazla bilgi taşır. ÖRNEK 9 Türkçe dersine giren befl ö rencinin alm fl oldu u puanlar 3, 5, 8, 10, 4 oldu una göre, bu da l m n aritmetik ortalamas kaçt r? Merkezi Eğilim (yığılma) Ölçüleri Merkezi Dağılım (yayılma) Ölçüleri 1. Aritmetik ortalama 1. Ranj (açıklık). Ağırlıklı ortalama. Alt çeyrek, üst çeyrek, 3. Mod (tepe değer) çeyrekler açıklığı 3. Standart sapma 4. Medyan(ortanca) MERKEZİ EĞİLİM (YIĞILIM) ÖLÇÜLERİ Merkezi eğilim ölçüleri, dağılımdaki verilerin hangi puan etrafında toplandığı hakkında bilgi verir. 1. Aritmetik ortalama: Ölçümlerin toplamının ölçüm na bölünmesiyle elde edilir. Aritmetik ortalama bir dizideki ölçülerin ağırlık merkezidir. Öçü l mlerintoplam Aritmetik ortalama = Öçü l msays Puanlarntoplam Aritmetik ortalama = Ö rencisay s. Ağırlıklı ortalama: = = 6 5 Puanlara farklı ağırlıklar (krediler) verilerek hesaplanır. Ağırlıklı ortalama bulunurken herbir dersten alınan puan kredisiyle çarpılarak elde edilen çarpımlar toplanır ve bulunan sonuç bütün derslerin kredileri toplamına bölünür. ÖRNEK 10 Bengü'nün okuldaki ald dersler ve haftal k ders saatleri(kredileri) afla da verilmifltir. ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ Aritmetik ortalamayı veren formül: x : Aritmetik ortalama / x : Ölçümlerin toplamı n : Ölçüm Aritmetik ortalama ile x = /x n Grubun ortalama baflar düzeyi Grubun genel baflar düzeyi Grubun a rl k merkezi Testin ortalama güçlük düzeyi Uygulanan program ve ö retmenin etkinli i hakk nda yorumlar yapabiliriz. Dersler Haftal k Ders Saati (kredi) Puan Türkçe 4 4 Matematik 5 3 Fen Bilgisi 3 Sosyal Bilgiler 3 5 Yabanc Dil 4 Resim 1 5 Müzik 1 5 Beden Eğitimi 1 4 Buna göre, Bengü'nün a rl kl puan ortalamas kaçt r? A),8 B) 3 C) 3, D) 3,5 E) 3,7 187

8 A rl kl not ortalamas bulunurken, herbir dersin notu haftal k ders saati ile çarp larak bu çarp mlar n sonuçlar toplan r ve ders saatleri toplam na bölünür = = 3,7 Cevap : E Ortalama= = 50 olur. 10 puan alan 3 bir öğrenci daha gruba eklensin Ortalama= = 40 oldu. 4 yani gelen öğrenci ortalamayı değiştirdi. Gelen öğrencinin puanı 50 olsaydı Ortalama= = 50 ortalama değişmezdi. Yani gruba sonradan gelen bir öğrenci 4 grubun ortalamasını değiştirebilir de değiştirmeyebilir de. E) Örneğin on kişilik bir grubun puan ortalaması 40 olsun. Yalnız bu bilgiyle bu grupta en yüksek ve en düşük puan alanı bulamayız. Cevap : E ÖRNEK 11 Aritmetik ortalama ile ilgili aşağıdaki yargılardan hangisi yanlıştır? Frekans: Bir ölçme işleminde bir puanın kaç öğrenci tarafından ya da bir ölçümün kaç tane olduğunu gösteren sayıdır.örneğin bir sınavda 80 puan alan 5 öğrenci, 70 puan alan 3 öğrenci varsa, 80'in frekansı 5 ve 70'in frekansı 3'tür. A) Öğrencilerin öğrenme düzeyinin önemli bir göstergesidir. B) Testin zorluğu ya da kolaylığı hakkında bilgi verir. C) Ölçümlerin toplamının ölçüm na bölünmesiyle bulunur. D) Dağılıma yeni bir veri eklenmesi ortalamayı değiştirmeyebilir. E) Gruptaki en başarılı ve en başarısız öğrenci hakkında bilgi verir. A) Aritmetik ortalama grubun ortalama başarısını ölçtüğünden dolayı öğrencilerin öğrenme düzeyini ortalama olarak ölçüp bilgi vermiş olur. B) Aritmetik ortalamanın değeri küçük ise test zor, aritmetik ortalamanın değeri büyük ise test kolaydır. C) Aritmetik ortalama, ölçümlerin toplamının ölçümlerin na bölünmesiyle elde edilir. D) Örneğin üç öğrenci sınavlardan 40, 50 ve 60 alsın. 3. Mod (Tepe de er): Ölçümlerde en çok tekrarlanan değerdir. Başka bir ifadeyle frekansı en yüksek olan değerdir. ÖRNEK 1 Coğrafya dersine giren on öğrencinin almış olduğu puanlar 5, 30, 30, 40, 90, 10, 90, 15, 100, 90 olduğuna göre, bu dağılımın modu kaçtır? A) 10 B) 5 C) 30 C) 90 E) 100 Önce puanları küçükten büyüğe doğru sıralayalım. 10, 15, 5, 30, 30, 40, 90, 90, 90, 100 En çok tekrar eden, yani frekansı 3 olan değer 90'dır. 188

9 Bu dağılımın modunu frekans-puan grafiği çizerek gösterelim. frekans 3 1 frekans Mod(tepe de er) puan puan Grafikten fleklin tepe de erinin oluflmad ı görülebilir. Cevap : E Grafikte en yüksek noktada 90 puan alanların 3 tane olduğu görülmektedir. Bu durumda grafikten en yüksek frekansa sahip değerin 90 olduğu görülmektedir. Cevap : D ÖRNEK 14 Geometri dersine giren on ö rencinin alm fl oldu u puanlar 30, 40, 40, 40, 50, 50, 60, 60, 60, 70 oldu una göre, bu da l m n modu kaçt r? Frekans Da l m na Göre Mod Bulma Bir da l mda bütün puanların frekans ayn ise bu da l m n modu yoktur. A) 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 40 ve 60 ÖRNEK 13 Matematik dersine giren alt ö rencinin alm fl oldu u puanlar 40, 40, 60, 60, 70, 70 oldu una göre, bu da l m n modu kaçt r? A) 0 B) 40 C) 60 D) 70 E) Yoktur. 40 ve 60 n frekans üç oldu undan bu da l m çift modludur. 3 1 frekans puan 40' n frekans 60' n frekans 70'in frekans Grafikte iki tane tepe de er görülmektedir. 40 ve 60 puanlar n n frekans 3 oldu undan da l m çift modludur. Cevap : E Bütün puanlar n frekans eflit oldu undan grafikte tepe de er oluflmayaca ndan mod yoktur. Bu da l m n modunun olmayaca n frekanspuan grafi i çizerek gösterelim. 189

10 4. Medyan(Ortanca): Küçükten büyü e veya büyükten küçü e do ru s ralanm fl bir da l m tam ortadan ikiye bölen de erdir.ölçümlerin yar s bu de erin üstünde, di er yar s bu de erin alt nda yer al r. ÖRNEK 17 Felsefe dersine giren sekiz ö rencinin alm fl oldu u puanlar 15, 5, 30, 40, 50, 60, 70, 70 oldu una göre, bu da l mda medyan (ortanca) kaçt r? A) 15 B) 0 C) 30 D) 45 E) 50 ÖRNEK 16 Tarih dersine giren yedi ö rencinin alm fl oldu u puanlar 30, 80, 80, 40, 50, 5, 10 oldu una göre, bu da l mda medyan (ortanca) kaçt r? A) 10 B) 5 C) 30 D) 40 E) 50 Puanlar küçükten büyü e do ru s ralayal m. ortadaki terim 10, 5, 30, 40, 50, 80, 80 3 terim 3 terim Çift say da ö renci oldu undan ortanca terim ortada yer alan iki terimin toplam n n yar s olur. 10, 5, 30, 40, 50, 60, 70, 70 3 terim 45 8 sekiz terim oldu undan = 4 3 terim Bafltan ve sondan 4. terim bulunarak toplan p ikiye bölünür. Bafltan 4. terim = 40 Sondan 4. terim = 50 n öğrenci olmak üzere, tek say da ö renci oldu undan ortanca terim n + 1 formülüyle bulunabilir = 45 bulunur. ÖRNEK 18 Cevap : D = = 4 ortanca terim 4. terim yani 40't r. Cevap : D Kimya dersine giren onbefl ö rencinin alm fl oldu u puanlar 10, 0, 5, 30, 30, 30, 30, 35, 40, 40, 50, 50, 60, 70, 80 oldu una göre, bu da l mdaki merkezi e ilim ölçülerini bulal m. Ortanca bir puan dağılımındaki uç değerden ve bu değerlerin büyüklük ve küçüklüklerinden etkilenmez. Örneğin, 10, 0, 40 şeklinde olan bir dağılımda ortanca 0'dir. 5, 0, 90 şeklinde olan bir dağılımın da ortancası 0 'dir. İkisinde de ortanca 0 ama uç değerler farklıdır. Ortanca bir dağılımdaki ölçme ndan etkilenir. Örneğin, 1,, 3 olan dağılımda ortanca, bu dağılıma 8, 15, 17, 19 olan dört tane eleman eklendiğinde 1,, 3, 8, 15, 17, 19 şeklinde olan dağılımın ortancası 8 olur. Puanlar n Toplam Aritmetik ortalama= Veri says 600 = = Frekans en yüksek olan yani en çok tekrar eden puan 30'dur. 30'un frekans 4'tür. Bu da l mda mod 30'dur. 10, 0, 5, 30, 30, 30, 30, 30, 35, 40, 40, 50, 50, 60, 70, 80 7 tane ortanca terim Medyan (ortanca) 30 dur. 7 tane 190

11 Aritmetik ortalama, medyan ve moda göre, bize grup hakk nda daha çok bilgi verir. Çünkü ortalama bulunurken verilerin tamam iflleme kat l r, medyan bulunurken verilerin yar s, mod bulunurken verilerin bir veya birkaç iflleme kat l r. Grup hakk nda bize en çok bilgi verenden en az bilgi verene do ru s ras yla; aritmetik ortalama, medyan ve mod diyebiliriz. Ortalama uç (en büyük - en küçük) de erlerden etkilenir. Medyan uç de erlerden etkilenmez. Uç de erler çok büyük ya da çok küçük olsa da medyan yine ortanca terimdir. Mod en çok tekrar eden de er oldu undan uç de erlerden etkilenmez. MERKEZ DAĞILIM (YAYILMA) ÖLÇÜLER Yay lma ölçüleri, ölçümlerin homojenli ini ya da heterojenli ini veya ölçümlerin ortalamadan ne kadar uzaklara yay ld ölçme sonuçlarının merkezi eğilim ölçüleri etrafında nasıl bir dağılım gösterdiği hakkında bilgi verir. 1. Ranj (Açıklık): Da l mdaki en büyük de er ile en küçük de er aras ndaki farkt r. Ranj (aç kl k de eri) bir puan dağılımındaki en küçük ve en büyük ölçme sonucu, yani uç değerler tarafından belirlendiği için kabaca bir hesaplama olduğundan kullanışsız bir ölçüdür. ÖRNEK 19 Biyoloji dersine giren yedi ö rencinin alm fl oldu u puanlar 0, 30, 40, 45, 50, 5, 95 oldu una göre, bu da l m n ranj kaçt r? A) 0 B) 30 C) 40 D) 45 E) 75 En büyük de er : 95 En küçük de er : = 75 bulunur. Cevap : E Ranj (açıklık) değeri dikkate alınarak yapılacak yorumlar yüzeyseldir. Elimizde sadece ranj değeri varsa aşağıdaki yorumları yapabiliriz. Ranj n büyük ç kmas genel olarak; grubun hete- rojen oldu unu yani ö renme düzeyleri aras ndaki farkl l klar n yüksek oldu unu, testin bilenle bilmeyen ö renciyi ay rt etti ini gösterir. Ranj n küçük ç kmas grubun homojen oldu unu ö renme düzeyleri aras ndaki farkl l klar n az oldu unu, testin bilenle bilmeyen ö renciyi ay rt etmedi ini gösterir. Alt çeyrek, üst çeyrek, çeyrekler açıklığı: Verilerin ortanca değeri bulunur ve ortanca değer verileri eşit iki gruba ayırır. Ortanca değerin altında kalan değerlerin bulun- duğu grup alt grup, ortanca değerin üstünde kalan değerlerin bulunduğu grup üst gruptur. Alt grubun ortanca değeri alt çeyrek, üst grubun ortanca değeri üst çeyrektir. Üst çeyrek ile alt çeyreğin farkı çeyrekler açıklı- ğıdır. ÖRNEK 0 Matematik dersine giren 13 ö rencinin alm fl oldu u puanlar 10, 0, 0, 5, 30, 40, 45, 60, 70, 70, 80, 80, 90 oldu una göre, bu da l m n aç kl, alt çeyre i, üst çeyre i, çeyrekler aç kl n bulal m. Veri tek olduğunda medyan veri grubundan çıkarılır. 10, 0, 0, 5, 30, 40, 45, 60, 70, 70, 80, 80, 90 ortanca de er Açıklık = = 80 bulunur. {10, 0, 0, 5, 30, 40} veri grubundaki ortanca değer alt çeyreği verir. Alt çeyrek = =,5 {60, 70, 70, 80, 80, 90} veri grubundaki ortanca değer üst çeyreği verir. Üst çeyrek = = 75 bulunur. Çeyrekler açıklığı = 75,5 = 5,5 bulunur. 191

12 ÖRNEK 1 Mustafa'n n baz günlerde kazand paralar n miktarlar 10, 0, 30, 15, 45, 70, 80, 85, 95, 15, 5 lira fleklindedir. Buna göre, bu grubun aç kl nı, alt ve üst çeyre ini ve çeyrekler aç kl n bulal m. 10, 15, 15, 0, 5, 30, 45, 70, 80, 85, 95 Çeyrekler aç kl uç de erlerden az etkilen- di inden grubun verilerin yay lmas hakk nda ranj (açıklık) göre daha iyi sonuç verir. Kutu Grafiği (5 sayılı Özet) Kutu grafiği bir veri grubundan elde edilen en küçük değer, en büyük değer, alt çeyrek, üst çeyrek ve ortanca değerlerini içeren bir grafiktir. Bu istatistiki bilgiler aşağıdaki gibi gösterilir. ortanca de er En küçük değer Alt çeyrek Ortanca Üst çeyrek En büyük değer Açıklık = = 85 bulunur. {10, 15, 15, 0, 5} veri grubundaki ortanca değer alt çeyreği verir. Alt çeyrek =15 bulunur. {45, 70, 80, 85, 95} veri grubundaki ortanca değer üst çeyreği verir. Üst çeyrek =80 bulunur. Çeyrekler açıklığı = = 65 bulunur. ÖRNEK Matematik dersine giren 10 ö rencinin alm fl oldu u puanlar 10, 0, 0, 5, 30, 40, 45, 60, 70, 70 oldu una göre, bu da l m n aç kl, alt çeyre i, üst çeyre i, çeyrekler aç kl n bulal m. Veri çift olduğunda veri aşağıdaki gibi iki gruba ayrılır. ÖRNEK 3 Bir toplulukta bulunan dokuz erkeğin yaşları 0, 3, 5, 8, 9, 30, 38, 48, 50 ve sekiz kızın yaşları 10, 1, 14, 16, 0, 4, 30, 34 olarak veriliyor. Buna göre, bu toplulukta bulunan erkek ve kızların yaşları için en büyük değer, en küçük değer, alt çeyrek, ortanca, üst çeyrek değerlerini tabloda gösterelim. Erkekler için en küçük de er 0, 3, 5, 8, 9, 30, 38, 48, = 4 ortanca de er = 43 en büyük üst de er Alt çeyrek Üst çeyrek Kızlar için 10, 1, 14, 16, 0, 4, 30, 34 10, 0, 0, 5, 30, 40, 45, 60, 70, 70 Alt grup Üst grup en küçük de er = 13 alt çeyrek = 18 ortanca de er = 7 üst çeyrek en büyük üst de er Açıklık = = 60 bulunur. Alt grubun ortanca değeri alt çeyreği verir. Alt çeyrek = 0 bulunur. Üst grubun ortanca değeri alt çeyreği verir. Üst çeyrek = 60 bulunur. Çeyrekler açıklığı = 60 0 = 40 bulunur. En küçük değer Alt çeyrek Ortanca Üst çeyrek En büyük değer Erkek Kız Hazırlanan bu tablodaki bilgileri kutu grafiğine aktaralım. 19

13 Erkek Kız Cinsiyet ÖRNEK 4 Cebir dersine giren dört ö rencinin alm fl oldu u puanlar 10, 40, 60, 90 oldu una göre bu da l m n standart sapmas kaçt r? A) 0 B) 4 C) 8 D) 30,4 E) 33, öğrenci yaşları. Standart Sapma ve Varyans: Grup içindeki farkl laflma düzeyini gösteren de erlerdir. Verilerin aritmetik ortalamadan uzakl klar nın bir ölçüsüdür. Standart sapman n büyük ç kmas ö renciler aras nda de iflkenli in fazla oldu unu, uygulanan testin, bilen ve bilmeyen ö renciyi ay rt etme gücünün yüksek olduğu anlamına gelir. Bir grubun başarısını sacede aritmetik ortalamayla belirleyemeyiz. Aritmetik ortalama öğrencilerin başarısı hakkında bilgi verir ama öğrencilerin puanlarının aritmetik ortalama etrafındaki yayılmaları farklı olabilir. Standart sapma öğrencilerin aritmetik ortalamadan ne kadar uzaklaştığını belirler. Standart sapma flu flekilde bulunur. 1. Puanlar n aritmetik ortalamas bulunur.. Herbir puan n aritmetik ortalamadan fark bulunup bu farklar n karesi al n r ve bulunan de erler toplan r. 3. Bulunan de er ö renci say s n n 1 eksi ine bölünüp karekökü al n r. Standart Sapmayı veren formül: S x = standart sapma 10, 40, 60, Aritmetik ortalama = 00 = 4 = (10 50) + (40 50) + (60 50) + (90 50) = = = 1133, 3 33, Şimdi bu çözümü tablo ile gösterelim. Ö renciler x ham puan 4 x x _ x xi 1. ö renci = 40 ( 40) =1600. ö renci = 10 ( 10) = ö renci =10 10 = ö renci =40 40 =1600 Toplam n = öğrenci n / bx xl : Bütün puanların aritmetik ortalama i = 1 i dan farklar n n kareleri toplamı, Sx = n / bx xl i = 1 i n 1 Sx = n / bx xl i = 1 i n 1 NOT: Varyans=(Standart sapma) = = = 1133, 3, 336, bulunur. Cevap : E oldu undan standart sapma için yap lan yorumlar, varyans içinde geçerlidir. 193

14 ÖRNEK 5 Cebir dersine giren dört ö rencinin alm fl oldu u puanlar 48, 49, 50, 53 oldu una göre, bu da l m n standart sapmas kaçt r? A) 1,9 B),14 C),6 D) 3 E) 3,1 Standart sapma de eri küçük ç kan gruplarda, 1) Grup homojendir. ) Ö renciler aras farkl laflma azd r. 3) Yap lan test bilen ile bilmeyen ö renciyi ay rt etmemifltir. Ö renciler x ham puan x x _ x xi 1. ö renci = ( ) = 4. ö renci = 1 ( 1) = 1 3. ö renci = 0 0 = 0 4. ö renci = 3 3 = 9 Toplam ÖRNEK 6 Bir okuldaki befl flubede uygulanan bir Türkçe testi ile ilgili afla daki istatistikteki bilgiler hesaplanm flt r. n / bx x i l i = 1 14 Sx = = = n ,, 14, Cevap : B fiubeler Aritmetik ortalama Standart sapma A 60 3 B C 59 8 D 60,5 10 E 59,5 7 Standart sapmayla ilgili son iki örne i inceleyelim. I. örnekte puanlar 10, 40, 60, 90 verildi inde aritmetik ortalama = 50, standart sapma = 33,6 ç kt. II. örnekte puanlar 48, 49, 50, 53 verildi inde aritmetik ortalama = 50, standart sapma =,14 ç kt. I. örnekte ve II. örnekte aritmetik ortalama ayn olmas na karfl n I. grupta puanlar aritmetik ortalamadan uzak, II. örnekte puanlar aritmetik ortalamaya yak n oldu undan I. örnekteki standart sapma II. örnekteki standart sapmadan çok daha büyük ç kt. O halde standart sapmayla ilgili afla daki yorumlar yapabiliriz. Buna göre, di er de iflkenler sabit tutuldu unda bu flubelerde derse girecek bir Türkçe ö retmeninin hangi flubede en az ve en çok zorlanmas beklenir? Befl flubeninde aritmetik ortalamas birbirlerine yak n oldu undan standart sapmaya bakal m. Standart sapman n yüksek oldu u flubede ö renciler aras nda farkl laflma yani seviye farkl l klar olaca ndan en yüksek standart sapmaya sahip B s n fında ö retmen en çok zorlan r. Tersinde ise standart sapman n en az oldu u A sınıfında ö retmen en az zorlan r. Standart sapma de eri büyük ç kan gruplarda, 1) Grup heterojendir. ) Ö renciler aras farkl laflma fazlad r. 3) Yap lan test bilen ile bilmeyen ö renciyi ay rt etmifltir. 194

15 ÖRNEK 7 Bir s n ftaki ö rencilerin befl farkl testteki yan tlar 100 üzerinden puanlanm fl ve bu puanlardan afla daki tabloda gösterilen istatistikler hesaplanm flt r. ÖRNEK 8 Bir s n ftaki ö rencilerin befl farkl testteki yan tlar 100 üzerinden puanlanm fl ve bu puanlardan afla daki tabloda gösterilen istatistikler hesaplanm flt r. Testler Aritmetik ortalama Mod Medyan Standart sapma I. test II. test III. test IV. test V. test Bu bilgilere göre, a) En yüksek ve en düflük baflar hangi testten elde edildiğini bulalım. b) Ö renciler aras ndaki farkl laflma en çok hangi testten elde edildiğini bulalım. a) Baflar düzeyi için aritmetik ortalamaya bak l r. En yüksek ortalama 80 olan V. test oldu undan en yüksek baflar V. testten elde edilmifltir. En düflük ortalama 50 olan II. test oldu undan en düflük baflar II. testten elde edilmifltir. b) Standart sapma artt kça ö renciler aras ndaki farkl laflma artar. Standart sapmas en yüksek olan test II. testtir. Mod ve medyan de erleri bu sorular için bir anlam ifade etmez. Testler Aritmetik ortalama Mod Medyan Standart sapma I. test II. test III. test IV. test V. test Bu bilgilere göre, a) En yüksek ve en düflük baflar hangi testten elde edilmifltir? b) Ö renciler aras ndaki farkl laflma en az hangi testten elde edilmifltir? c) Hangi testte bilen ile bilmeyen öğrenci ayırt edilmiştir? Baflar düzeyi için aritmetik ortalamaya bak l r. Aritmetik ortalaman n eflit oldu u yerlerde standart sapmaya bak l r. Standart sapman n küçük oldu u test daha baflar l d r. a) IV.testin standart sapmas 1 oldu undan en yüksek baflar IV. testten, III. testin standart sapmas 6 oldu undan en düflük baflar III. testten elde edilmifltir. b) Standart sapmas en düflük olan test IV. test oldu undan IV. testte ö renciler aras ndaki farkl laflma en azd r. c) Aritmetik ortalamalar eflit oldu undan standart sapma artt kça s n fta testten zay f ve yüksek not alan ö renciler aras ndaki fark artaca ndan uygulanan test bilen ile bilmeyen ö renciyi ay rt eder. Bu durumda standart sapmas en yüksek olan III. test bilenle bilmeyen ö renciyi ay rt eder. 195

16 ÖRNEK 9 Bir sınıftaki öğrencilerin beş dersten almış oldukları puanlara ilişkin istatistiki değerler tabloda gösterilmiştir. Dersler Soru Aritmetik ortalama Standart sapma Mod Medyan Türkçe Matematik Fizik Kimya Biyoloji Buna göre, bu sınıftaki öğrencilerin en başarılı ve en başarısız oldukları dersleri bulalım. Bir dağılımda grup düzeyini ya da öğrencilerin en başarılı olduğu dersi gösteren temel gösterge aritmetik ortalamadır. Fakat bu durum soru sayılarının eşit olduğu durumlarda geçerlidir. Derslerle ilgili soru sayıları yukarıdaki tabloda verildiği gibi farklı olduğu durumlarda bu kez karşılaştırmayı aritmetik ortalamayı soru na bölerek yapmak gerekmektedir. 30 Türkçe dersindeki başarı oranı = = 0, Matematik dersindeki başarı oranı = = 0,4 50 Fizik dersindeki başarı oranı = 3 50 = 0,64 5 Kimya dersindeki başarı oranı = = 0, Biyoloji dersindeki başarı oranı = = 0,7 30 Bu durumda bu sınıftaki öğrencilerin en başarılı olduğu ders biyoloji, en başarısız olduğu ders matematiktir. Elinizde bir pinpon topu var. Bu pinpon topunu 1 metre yükseklikten yere bırakıyorsunuz. Top yerden 33 cm yükseliyor. Sonra elinize başka büyük bir top alıyorsunuz. Bu topu da aynı yükseklikten bırakıyorsunuz; bu top da 33 cm yükseliyor. Ancak amacınız bu toplardan en az birini 4 metre yükseltmek. Bunu nasıl yapabileceğinizi düşünüyorsu nuz. Toplardan birini hızla yere çarpmayı dü şünüyorsunuz. Ama oyunun kuralı şiddet kul lanmayı içermiyor. Yine de siz hızlı bir hare ketle pinpon topunu olanca gücünüzle yere çarpıyorsunuz ama top sadece 90 cm yükseliyor. Size verilmiş olan bir süre var. 4 dakika içinde bu sorunu çözmeniz gerekiyor. Birkaç defa daha de niyorsunuz; ama her iki top da aynı ölçüde yükseliyor. Eğer top lar 1/3 oranında yükseliyorsa 1 metre yüksek likten bırakılan top 4 metre yükselir diyorsu nuz. Ancak içinde bulunduğunuz odanın tava nı 4 metre. Oyunu kuran kişi, üstelik bu oyu nun kurallarından birinin, topu 1 metre yük seklikten yere bırakmak olduğunu belirtiyor. Hızla düşünüyorsunuz, neler yapabileceğinizi ama bir türlü çözümü bulamıyorsunuz. Sürenin sonuna doğru, oyunu size oynatan ki şi, "Toplar birbirine yardım edebilir mi?" diye soruyor. Siz bu soruyu dahi anlayamıyorsunuz. Top birbirine nasıl yardım etsin ki! Sürenin so nunda oyunu oynatan kişi, iki topu alıyor. Pin pon topunu büyük topun üstüne eliyle koyu yor ve iki topu ayna anda bırakıyor. İki top bir metre yükseklikten yere düşüyor ve pinpon to pu 4 değil, 5 metre yükseliyor. Bu yaşamda büyük sonuçlara ulaşmak isti yorsak, daha önce denenmemiş yöntemleri de nememiz gerekiyor. Yepyeni bir bakış açısıyla problemlere ve hatta çözümlere yaklaşmak ge rekiyor. Bu problemin çözümünde büyük top küçük topa yardım ediyor. Büyük top yere dü şerken önce yere çarparak küçük topu tavana kadar sıçratıyor. Biz de kendi yaşamımızda ilerlemek istiyorsak yardım etmeye ve yardım almaya açık olmalıyız. Dünyadaki büyük başa-rılarıh-hemen hepsinin arkasında birilerinin yardımı ya da işbirliği vardır. İşbirliğine kapalı olan insanların bu dünya da alabileceği sonuçlar oldukça kısıtlı. Örneğin, kolye satan iki sokak tezgahı düşünün. İkisi de rakip ve diğerinin daha az kolye satmasını isti yor. Sonuçta ikisi de diğerinin işini baltalamaya çalışıyor ve her ikisi de daha az kolye satıyor. Çocuklannı girişimci yapmak isteyen baba, iki çocuğuna iki kasa elma alıyor. Çocuklar bir sokağın kenarında elma satmaya çalışıyorlar; ama işler iyi gitmiyor. Her ikisi de birinci günü pek para kazanamadan bitiriyor. Geceleyin ne yapabiliriz, diye düşünüyorlar ve bir formül buluyorlar. İkisi de elmalara farklı fiyat koyu yor. Bir tanesinde elmanın kilosu 4 tttej Türk Lirası, diğerinde ise 3 $TTL. Böylece oradan ge çenler, elmalann aynı olduğunu görünce ucuz olan 3 ftl'lik elmalardan alıyor. 3İTL'den el ma satanın elmalan bitince 4 İTL'lik elmalar dan takviye yapıyorlar ve akşama kadar bu modelle elmaları bitiriyorlar. Günün sonunda da kazandıkları parayı paylaşıyorlar. Halbuki iki kardeş, işbirliği yapmasa ikisi de belki de hiç elma satamayacak ya da çok az satacak. Büyük başarıların sırrı, işbirliği, uyum ve yeni fikirleri uygulamak gibi görünüyor. 196

17 STANDART SAPMA KÜÇÜK İSE STANDART SAPMA BÜYÜK İSE Öğrenci Grubu Homojen Heterojen Öğrencilerin Öğrenme Düzeyleri Benzer Farklı Elde Edilen Puanlar Birbirlerine Yakın Uzak Öğrenciler Arası Farklılaşma Az Çok Puanlar Aritmetik Ortalamaya Yakın Uzak Uygulanan Testin Ayırt Ediciliği Düşük Yüksek Bilen Öğrenciler İle Bilmeyen Öğrencileri Birbirinden Ayırmamış Ayırmış 197

18 İSTATİSTİK Bize en çok öğrencilerin grup başarısı hakkında bilgi verir. Verilerin tamamı dikkate alınır. Grubun homojen ya da heterojen olduğu hakkında bilgi vermez. Uç değerlerden etkilenir. Uygulanan testin ayırt ediciliği hakkında bilgi vermez. Öğrencilerin aritmetik ortalamadan ne kadar uzaklaştığını belirler. Verilerin tamamı dikkate alınır. Grubun homojen ya da heterojen olduğu hakkında bilgi verir. Uç değerlerden etkilenir. Uygulanan testten ayırt ediciliği hakkında bilgi verir. 198

19 Temel üniversite s nav na girmifl. Her soruda yaz tura atarak cevaplar vermifl. ki saat sonra ö rencilerin ço u s nav ka d n verip salonu terk etmifl. Temel hala yaz tura at yor. Ö retmen gelip bafl na dikilmifl. Temel hepsini yaz tura atarak cevapladın hala bitmedi mi? Temel : Hocam bir saat önce bitirdim ama cevaplar m kontrol ediyorum. Aşağıdaki cümleleri Doğru (D) - Yanl fl (Y) olarak de erlendiriniz. 1. Aritmetik ortalama verilerin toplam n n veri say s n n 1 eksi inin bölünmesiyle elde edilir.. Bir testte bütün ö renciler ayn puan ald nda bu testin standart sapmas 0 ç kar. 3. Bir veri grubuna, puan grubun ortalamas ile ayn olan bir veri eklendi inde standart sapman n de eri kesinlikle de iflmez. 4. Aritmetik ortalama ve standart sapma bulunurken verilerin tamam iflleme al n r. 5. Ranj(aç kl k), mod ve medyan bulunurken verilerin bir yada birkaç iflleme girer. 6. Tüm ö rencilerin ayn puan ald bir testte mod yoktur. 7. Tüm ö rencilerin farkl puan ald bir testte mod yoktur. 8. Standart sapman n büyük ç kmas ö renciler aras farkl laflman n az oldu unu gösterir. 9. Ranj(aç kl k) de erinin 0 (s f r) ç kmas veri grubundaki bütün puanlar n ayn oldu unu gösterir. 10. Alt çeyrek en küçük veri ile ortanca verinin tam ortas ndaki de erdir. Cevaplar : 1. Y -. D - 3. Y - 4. D - 5. D - 6. D - 7. D - 8. Y - 9. D D 199

20 Merkezi Eğilim ve Yayılma Ölçüleri İSTATİSTİK Aritmetik ortalama Mod Medyan Standart sapma Ranj (açıklık) Uç değerlerden hangileri etkilenir. Dağılıma en büyük veriden daha büyük bir veri eklenmesi hangisini kesinlikle arttırır. Merkezi Eğilim Ölçüleri Merkezi Dağılım Ölçüleri Dağılımdaki verilerin hangi puanlar etrafında toplandığı hakkında bilgi verir. Grubun homojen veya heterojenliği, ortalamadan ne kadar uzaklaşarak yayıldığı hakkında bilgi verir. Dağılımdaki verilerin tamamı hangilerinde işleme katılır. Öğrenciler arasındaki farklılaşmanın çok fazla olması hangilerinin değerini kesinlikle yükseltir. Bir dağılıma en çok frekansa sahip yani en çok tekrar eden değerlerdeki puanlardan bir puan daha eklenirse hangilerinin değeri kesinlikle artar. Bir veri grubuna grup ortalamasının altında bir puan daha eklenirse hangilerinin değeri kesinlikle azalır. 00