Bölüm 3: Basınç ve Akışkan Statiği

Transkript

1

2 Basınç Basınç, bir akışkan tarafından birim alana uygulanan normal kuvvettir. Basıncın birimi pascal (Pa) olarak adlandırılan N/m 2 dir. Basınç birimi Pa,uygulamada çok küçük olduğundan daha çok kilopascal (1 kpa = 10 3 Pa) ve megapascal (1 MPa = 10 6 Pa) kullanılır kg 135 kg Basıncın diğer birimleri bar, atm, kgf/cm 2, lbf/in 2 =psi. 2

3 Basınç 3

4 Basınç 1 bar = 10 5 Pa 1 atm = Pa = kpa = bar 1 atm 1 bar 1 kgf/cm 2 = N/cm 2 = x 10 4 N/m 2 = x 10 4 Pa 1 kgf/cm 2 = bar 1 kgf/cm 2 = atm 1 kgf/cm 2 = psi 1 psi = atm 32 Hava 32 psi 2.2 bar 2.2 atm 1 psi = bar 4

5 Mutlak, etkin ve Vakum Basınçları Verilen bir konumdaki gerçek basınca mutlak basınç denir. Çoğu basınç ölçme cihazları atmosferde sıfıra kalibre edilir ve bundan dolayı etkin basınç olarak adlandırılır, P etk =P mut - P atm. Basınç atmosferik basıncın altındaysa vakum basıncı olarak adlandırılır, P vak =P atm - P mut. 5

6 Mutlak, etkin ve Vakum Basınçları 6

7 Mutlak, etkin ve Vakum Basınçları 7

8 Bir Noktadaki Basınç Akışkan içersindeki herhangi bir noktadaki basınç tüm yönlerde aynıdır. Basınç belirli bir büyüklüğe sahiptir ancak belirli bir yönü yoktur. Basınç vektörel bir büyüklük değildir, skaler bir büyüklüktür. 8

9 Bir Noktadaki Basınç Akışkan içersindeki herhangi bir noktadaki basınç tüm yönlerde aynıdır. 9

10 Basıncın Derinlikle Değişimi Durgun bir akışkan içerisinde basınç yatay yönde değişmez. Basınç derinlikle artar. Bunun temel nedeni, derinliklerdeki akışkan tabakalarının üzerlerinde daha fazla akışkan yani daha fazla ağırlık bulunmasıdır. Basınç ile derinlik arasındaki bu ilişkiyi elde etmek üzere, şekildeki dikdörtgen akış elemanını göz önüne alalım: z- yönündeki kuvvet dengesi F z ma 2 1 z 0 P x P x g x z 0 x P P P g z z 2 1 s 10

11 Basıncın Derinlikle Değişimi Durgun bir akışkan içersindeki basınç,kabın şeklinden ve kesitinden bağımsızdır. Bir akışkan içersinde yatay bir düzlemde her noktadaki basınç aynıdır. 11

12 Scuba Diving ve Hidrostatik Basınç 12

13 Scuba Diving ve Hidrostatik Basınç 100 ft ft derinlikte yüzücü üzerindeki basınç nedir? kg m 1m Pgage,2 gz ft m s 3.28 ft 1atm 298.5kPa 2.95atm kPa P P P 2.95atm 1atm 3.95atm abs,2 gage,2 atm 13

14 Ani Çıkışın Tehlikesi: Vurgun Hastalığı Vurgun (Dekompresyon) hastalığı: kanda çözünmüş halde bulunan solunum gazlarının (azot gibi), ortam basıncındaki ani düşüş ile birlikte gaz kabarcıkları haline dönüşmesi ile oluşur. Özellikle dalgıçlar, pilotlar veya su altı inşaat işçileri gibi basınç değişimine maruz kalan kimselerde rastlanır. 14 Boyle un kuralı 100 ft derinlikte yüzücü üzerindeki basınç nedir? kg m 1m Pgage,2 gz ft m s 3.28 ft 1atm 298.5kPa 2.95atm kPa P P P 2.95atm 1atm 3.95atm abs,2 gage,2 atm Ani çıkışın tehlikesi nedir? PV V1 P2 3.95atm 4 V P 1atm 2 1 PV

15 Pascal Yasası Akışkana bir tarafından uygulanan basınç diğer tarafına da aynı oranda etkir. Resimde,pistonlar aynı yüksekliktedir: F1 F2 F2 A2 P1 P2 A A F A A 2 /A 1 oranı hidrolik kaldıracın ideal mekanik faydası olarak adlandırılır. 15

16 Manometre P P 1 2 P P gh 2 atm Durgun bir akışkan içersindeki z lik bir yükseklik değişimi P/ g ye karşılık gelmektedir. Bu ilkeye göre çalışan düzeneklere manometre denir. Bir manometre temelde içersinde civa,su,alkol veya yağ gibi içerisinde bir veya daha fazla akışkan bulunan cam yada plastik bir U- borusundan oluşur. Eğer yüksek basınç farkları öngörülüyorsa civa gibi ağır akışkanlar kullanılır. 16

17 Manometre 17

18 Çok-Akışkanlı Manometre Çok-akışkanlı sistemler için: H yüksekliğindeki akışkan sütununun bir ucundan diğer ucuna basınç değişimi P = gh dır. Akışkan içersinde aşağı inildikçe basınç artarken,yukarı doğru çıkıldıkça azalır. Durgun akışkan içersindeki aynı yükseklikteki iki noktanın basınçları eşittir. Basınç gh terimlerini ekleyerek veya çıkararak belirlenebilir. 18

19 Çok-Akışkanlı Manometre 19

20 Basınç Düşüşlerinin Ölçülmesi Manometreler, vanalar, borular, ısı değiştiricileri boyunca olan basınç düşüşlerini ölçmek için oldukça uygundur. P 1 -P 2 basınç düşüşü, 1 noktasındaki P 1 den başlayarak 2 noktasına ulaşıncaya kadar gh terimlerini ekleyerek veya çıkararak ve sonucu P 2 ye eşitleyerek bulunur. Eğer boru içersindeki akışkan bir gaz ise, 2 >> 1 ve P 1 -P 2 = gh 20

21 Barometre P gh P P C atm gh atm Atmosferik basınç barometre,denilen bir alet tarafından ölçülür ve bu yüzden atmosferik basınca barometrik basınç denir. P C basıncı bu noktanın üzerinde sadece civa buharının bulunması ve buradaki basıncın P atm ye oranla çok düşük olmasından dolayı ihmal edilebilir. Yükseklikten dolayı atmosferik basıncın değişiminin birçok etkisi vardır: yemek pişirme, burun kanamaları, motor performansı, uçak performansı. 21

22 Örnek 3.1: Barometre ile bina yüksekliği ölçümü ρ hava = 1.18 kg/m 3 22

23 Örnek 3.2 Bir tanktaki su, hava ile basınçlandırılmış olup Şekildeki çok akışkanlı manometre kullanılarak ölçülmektedir: h1 = 0.2 m, h2=0.3 m ve h3 = 0.46 m olması halinde, tanktaki havanın etkin basıncını hesaplayınız. ρ su = 1000 kg/m 3, ρ yağ = 850 kg/m 3, ρ civa = kg/m 3. 23

24 Örnek 3.3 Yatay ve paralel iki boruda tatlı ve tuzlu su şekilde gösterildiği gibi U-tipi bir manometre ile bağlanmıştır. Her iki boru hattı arasındaki basınç farkını belirleyiniz. ρ su = 1000 kg/m 3, ρ tuzlu su = 1035 kg/m 3, ρ civa = kg/m 3. 24

25 Örnek Şekildeki sürtünmesiz piston-silindir düzeneği içerisinde gaz bulunmaktadır. Pistonun kütlesi 4 kg olup kesit alanı 35 cm2 dir. Piston üzerinde bulunan sıkışmış haldeki yay pistona 60 N luk kuvvet uygulamaktadır. Atmosferik basıncın 95 kpa olduğu bir yerde bulunan sistemin içerisindeki gazın basıncını bulunuz. 100 kpa lık etkin basınçta çalışan bir düdüklü tencerenin kapağında bulunan 4 mm2 lik açıklığa yerleştirilmiş olan metal parçanın kütlesini bulunuz. 25

26 Örnek ρ sıvı =? h=? ρ yağ = 780 kg/m 3 26

27 Örnek 3.8 P A,etkin =? P B,etkin =? 27

28 Örnek 3.9 P A =? h 3 = h 2 = = h 4 h 1 = 28

29 Örnek 3.10 Şekildeki hidrolik kaldıraç yağ ile doludur. Pistonların ağırlıkları ihmal edilerek, bu tasarımın, 8896 N ağırlığı desteklemek için gerekli olan basma kolu kuvvetini hesaplayınız. γ yağ = N/m N d 1 = 7.62 cm 2.54 cm 38.1 cm F =? d 1 = 2.54 cm 29

30 Örnek 3.11 a) L = 120 cm ise P A =? b) P A = 135 kpa ise L=? h 2 = h 1 = h 3 = 30

31 Akışkan Statiği Akışkan Statiği durgun haldeki akışkanlarla ilgili problemleri ele alır. Akışkan statiğinde, bitişik akışkan tabakaları arasında bağıl bir hareket söz konusu değildir. Bu yüzden akışkan içersinde onun şeklini değiştirmeye çalışan kayma gerilmeleri yoktur. Akışkan statiğinde tek inceleyeceğimize normal gerilmedir Normal gerilmenin nedeni basınçtır. Basıncın değişimi yalnızca akışkanın ağırlığından ötürüdür akışkan statiği yalnızca çekim alanlarında önem kazanır. Uygulamalar: Barajlar, sıvı depolama tankları, hidrolik presler vs. 31

32 Hoover Barajı 32

33 Borçka Barajı Z yüksekliğindeki suyun potansiyel enerjisi,kinetik enerjiye dönüşür V 2 /2g. Bu bölümde daha çok 5. bölümü detaylandıracağız (Bernoulli denklemi). 33

34 Dalmış Düz Yüzeyler Üzerindeki Hidrostatik Kuvvetler Düz bir yüzeydeki hidrostatik kuvvetler bir paralel kuvvetler sistemi oluşturur. Uygulamada genellikle bu kuvvetin büyüklüğünü ve basınç merkezi, denilen uygulama noktasını belirleme gereği duyarız. Atmosferik basınç P atm plakanın her iki yüzeyine etkidiğinde ihmal edilebilir. 34

35 Basınç Merkezi Düz bir yüzey üzerine etki eden bileşke kuvvet, yüzeyin kütle merkezindeki basınç ile yüzey alanının çarpımına eşittir: ve bu kuvvetin etki çizgisi basınç merkezinden geçer. Basınç merkezinin düşey konumu bileşke kuvvetin momenti ile yayılı basınç kuvvetinin x-eksenine göre momentinin eşitlenmesiyle belirlenir. I xx,c basit geometriler için tablo halinde verilmiştir. Kütlem merkezine göre atalet momenti 35

36 Basınç Merkezi 36

37 Örnek 1 Bir araba kaza sonucu göle uçarak tekerlekleri üzerinde göle çökmüştür. Arabanın kapısı 1.2 m yüksekliğinde ve 1 m genişliğinde olup üst kenarı suyun serbest yüzeyinden 8 m derindedir. Kapı üzerindeki hidrostatik kuvveti ve basınç merkezinin konumunu belirleyerek, sürücünün kapıyı açıp açamayacağını tartışınız. Kabuller: Göl tabanı yatay Arabanın kapısı düşey bir dikdörtgen plaka olarak düşünülebilir. Yolcu kabini içerisi su sızdırmayacak şekilde iyi yalıtılmıştır. 37

38 Örnek 1 Bir araba kaza sonucu göle uçarak tekerlekleri üzerinde göle çökmüştür. Arabanın kapısı 1.2 m yüksekliğinde ve 1 m genişliğinde olup üst kenarı suyun serbest yüzeyinden 8 m derindedir. Kapı üzerindeki hidrostatik kuvveti ve basınç merkezinin konumunu belirleyerek, sürücünün kapıyı açıp açamayacağını tartışınız. 38

39 Örnek m Bir su deposundan olan şu akışı şekilde gösterildiği gibi cm genişliğinde, A noktasından mafsallı ve L şekilli bir kapak ile kontrol edilmektedir. Su yüksekliği 3.66 m ye ulaştığında kapağın açılması istendiğine göre, gerekli ağırlığın kütlesini hesaplayınız m 4.57 m 2.44 m s h = 3.66 m 39

40 Örnek 3 AB kapağı 180 kg kütlesinde ve homojendir. Kapağın kağıt düzlemine dik genişliği 1.2 m dir. Kapak, A noktasından mafsallaşmıştır ve B noktasında ise düz tabana dayanmaktadır. Hangi h mesafesinde B noktasındaki kuvvet sıfır olur. γ su = 9790 N/m 3, γ Gliserin = N/m 3 40

41 Dalmış Eğrisel Yüzeyler Üzerindeki Hidrostatik Kuvvetler Dalmış bir eğrisel yüzey için hidrostatik kuvvetin F R bulunması normal olarak eğrisel bir yüzey boyunca yönleri değişen basınç kuvvetlerinin integre edilmesini gerektirir. En basit yaklaşım: yatay ve düşey bileşenler F H ve F V yi ayırmaktır. 41

42 Dalmış Eğrisel Yüzeyler Üzerindeki Hidrostatik Kuvvetler Eğrisel yüzeydeki yatay kuvvet bileşeni: F H =F x Yüzeyin düşey izdüşümüne etki eden hidrostatik kuvvete eşittir. Eğrisel yüzeydeki dikey kuvvet bileşeni: F V =F y +W V hacmindeki sınırlandırılmış bir sıvı bloğunun ağırlığı W= gv dir ve bu hacmin kütle merkezi boyunca aşağı doğru etkir.f V yüzeyin yatay izdüşümüne etki eden hidrostatik kuvvet ile akışkan bloğun ağırlığının toplamına eşittir. Kuvvetin büyüklüğü F R =(F H2 +F V2 ) 1/2 Kuvvetin açısı a = tan -1 (F V /F H ) 42

43 Örnek 4 A noktasından mafsallı 0.8 metre yarıçapında uzun bir silindir otomatik kapak olarak kullanılmakta olup su 5 m yi ulaştığında kapak A noktasındaki mafsal etrafında açılmaktadır. a) Kapak açıldığı andaki silindir üzerine etkiyen hidrostatik kuvveti ve etki çizgisini b) silindirin 1 m uzunluğunun ağırlığını hesaplayın. 43

44 Örnek 5 4 m boyuna ve 3 m yarıçapına sahip daire şeklindeki ağırlıksız kapak üst kenarındaki A noktasından mafsallanmıştır. Kapak B noktasında bir yay vasıtasıyla bastırılarak su akışı kontrol edilmektedir. Su seviyesi A noktasına ulaşması halinde kapağı kapalı tutacak minimum yay kuvvetini hesaplayınız. F H F R F V 44

45 Örnek 6 4 cm çapındaki tıpa 25 N luk bir hidrostatik kuvvete maruz kaldığında açılacak şekilde tasarlanmıştır. Bu durumda civalı manometreden okunacak h yüksekliğini bulunuz. ρ su = 1000 kg/m 3, ρ civa = kg/m 3 45

46 Örnek 7 AB kapağı yarım daire şeklindedir ve B noktasından mafsallaşmıştır. Kapak A noktasındaki yatay P kuvvet ile tutulmaktadır. Denge için gerekli P kuvveti nedir? 46

47 Kaldırma Kuvveti 47

48 Archimedes Prensibi Archimedes prensibi : Bir akışkan içersine daldırılan bir cisme etkiyen kaldırma kuvveti,bu cisim tarafından yer değiştirilen akışkanın ağırlığına eşittir ve bu kuvvet, yer değiştiren hacmin kütle merkezi boyunca yukarıya doğru etkir. F B ρ f W ys F B = W ys = ρ f g V ys = ρ f g V batan 48

49 Kaldırma Kuvveti F B F B = f g V batan W body W body F B Üç tür durum vardır 1. cis < akş. : Yüzme (F B =W body ) 2. cis = akş : Asılı kalma (F B =W body ) 3. cis > akş : Batma (F B < W body ) 49

50 Kararlılık 50

51 Kararlılık Kaldırma kuvvetinin en önemli uygulamalarından dalmış ve yüzen cisimlerin kararlılığına olan etkisidir. Dalmış ve yüzen cisimlerin kararlılığı gemi deniz altı tasarımlarında büyük öneme sahiptir. Kararlılık cisimlerin denge halindeki ilk konumuna dönebilme kabiliyetidir. Zeminde top benzetmesi Düşey ve dönel kararlılık. 51

52 Dalmış ve Yüzen Cisimlerin (Düşey) Kararlılığı Zeminde top benzetmesi 52

53 Dalmış Cisimlerin (Dönel) Kararlılığı 53

54 Dalmış Cisimlerin (Dönel) Kararlılığı Dalmış cismin dönel kararlılığı,cismin ağırlık merkezi G ile yer değiştiren hacmin kütle merkezi olan kaldırma merkezi B nin birbirlerine göre konumlarına bağlıdır. G,B nin aşağısında: kararlı G,B nin üstünde: kararsız G ile B nin rastlaşması: nötr kararlılık. 54

55 Dalmış Cisimlerin (Dönel) Kararlılığı 55

56 Yüzen Cisimlerin (Dönel) Kararlılığı 56

57 Yüzen Cisimlerin Kararlılığı Öte-merkez Geri çağırıcı moment Devirici moment Eğer yüzey ağırlığın üstündeyse (G,B den düşükse), daima kararlıdır. Yüzme merkezinin yerini değiştirmesinden ve geri çağrıcı momentten dolayı G,B den büyük olduğu zaman yüzen cisimler kararlı olabilir. Kararlılığın ölçütü metasentretik ağırlıktır GM. Eğer GM > 0 ise gemi kararlıdır. 57

58 Rijit Cisim Hareketi Sıvının yüzeyinin rijit cisim hareketine uğradığı özel durumlar vardır: doğrusal yörüngede sabit ivmelenme ve silindirik bir kapta dönme. Bu durumlarda, kayma gerilmesi keşfedilmemiştir. Newton un 2. yasası, rijit bir cisim olarak hareket eden bir akışkanın hareket denklemini türetmek için kullanılabilir. Kartezyen Koordinatlarda: P gk a P, P a a, P g a x y z x y x 58

59 Rijit Cisim Hareketi ΣF = m a 59

60 Rijit Cisim Hareketi Sıvının yüzeyinin rijit cisim hareketine uğradığı özel durumlar vardır: doğrusal ivmelenme ve silindirik bir kapta dönme. Bu durumlarda, kayma gerilmesi keşfedilmemiştir. Newton un 2. yasası, rijit bir cisim olarak hareket eden bir akışkanın hareket denklemini türetmek için kullanılabilir. Kartezyen Koordinatlarda: P gk a 60

61 Özel Durumlar : 61

62 Doğrusal Yörüngede (Sabit) İvmelenme İvmelenen akışkana ait hareket denklemi a 0, a a 0 x y z P P P ax, 0, g x y z P nin toplam diferansiyeli dp a dx gdz x 2 nokta arasındaki basınç farkı P P a x x g z z 2 1 x ve 2 noktalarının serbest yüzeyde seçilmesi halinde P 2 = P 1 yüzeydeki düşey yükselme ax zs zs2 zs 1 x2 x1 g 62

63 Doğrusal Yörüngede (Sabit) İvmelenme 1 h 2 80 cm yüksekliğinde 2 m x 0.6 m kesit alanına sahip ve kısmen su ile dolu olan bir balık tankı bir kamyonun arkasında taşınacaktır. Kamyon 0 km/h hızdan 90 km/h hıza 10 saniyede sabit bir ivme ile ulaşmaktadır. Bu ivmelenme sırasında tanktan su boşalması istenmiyor ise başlangıçta tanktaki maksimum su yüksekliğini hesaplayınız. Tankın uzun veya kısa kenarının hangisinin hareket doğrultusuna paralel olarak konulmasının önerirsiniz? a z z z x x g x s s2 s