Ay Neden Yere Düşmüyor? 1. Giriş

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Ay Neden Yere Düşmüyor? 1. Giriş"

Ufuk Seyfi
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Ay Neden Yere Düşmüyor? Oktay Yılmaz ve Çılga Misli Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi, Fizik Bölümü Bu çalışmada, klasik mekaniğin hareket yasaları tarihsel ve kısa bir şekilde sunulmaya çalışılmıştır. Sade bir matematik ile temel fizik yasalarının ne denli güzel çalıştıklarının ve onları anlama kolaylığının hissedilmesine önem verilmiştir. Eski çağlardan beri klasik mekanik çalışmış olan bilim adamlarının katkıları, Newton için eşsiz bir bilgi hazinesi olmuş ve özellikle Galileo ve Kepler in çalışmalarını çekim yasası ile birleştirmiştir. 1. Giriş Modern anlamda hareket yasalarını çalışan ilk fizikçi ve matematikçi kuşkusuz Galileo Galilei ( ) olmuştur. Galilei hareketle ilgili olarak pek çok deney yapmıştır. Ayrıca teleskopu ilk kez 1610 yılında gökyüzüne çevirerek Jüpiter in etrafında dolanan uyduları ve Venüs ün Ay gibi evreler gösterdiğini gözlemiştir. Gözlemsel sonuçlardan Copernicus un ( ) Güneş merkezli evren modeline sağlam kanıtlar bulmuştur. Sarkaç ile yaptığı deneylerden periyodik hareketi inceleyerek periyodun, sarkacın uzunluğuna bağlı olduğunu gözlemlemiştir. Serbest düşen cisimlerin hareketini incelemiş ve cisimlerin hızını yavaşlatabilmek için deneylerin bir kısmını eğik düzlem üzerinde yapmıştır (Şekil 1). Bu şekilde çekim kuvvetini ve cismin ivmesini azaltabilmiştir. Eylemsizlik ilkesini ve eylemsiz sistemleri tanımlayarak düşük hızlar için özel görelilik teorisinin temelini de atmıştır. Şekil 1. Galileo nun eğik düzlemi (Enstitü ve Bilim Tarihi Müzesi, Floransa, İtalya). Şekil 1 de verilen Galileo nun eğik düzlemi 1,3,5 ve 7 gibi tek sayılarla işaretlenmiştir. Bunun anlamı, düzlemden yuvarlanan bir bilyenin 1. saniyede bir birim,. saniyede üç birim ve 3. saniyede beş birim yol alması demektir. Bu durumda n. saniyede alınan yol; Ay Neden Yere Düşmüyor?, O.Yılmaz, Ç.Misli C1.S.M8. 1

2 (n 1) = n (1) şeklinde tek sayıların toplamı olacaktır. Her bir birim L, genel terim c n = n 1 ve alınan yol s N ile gösterilirse N s N = Lc n = LN n=1 elde edilir ve t = L n değişkeni kullanılarak Riemann toplamı ile integrale geçilebilir. g Buradan Δt = L Δn ve t g 0 = L N dir. Ancak, en küçük zaman aralığı Δt = t 0 = g N L g ardışık terimler Δn = 1 için elde edilir. Böylece, N lim s N = lim Lc n Δn = lim Lc n g N L 0 L 0 L n=1 N n=1 N Δt = lim v L(t)Δt L 0 n=1 () (3) t 0 s(t 0 ) = v(t) dt = 1 gt 0 0 (4) n = g t alındığında, L v L (t) = Lc n g L = gt gl v(t) = lim L 0 v L (t) = gt (5) (6) bulunur. O halde, yerçekimi ivmesi g~10 m/s olmak üzere, alınan yol, s(t) = gt / (7) şeklinde zamanın karesiyle orantılı olarak verilebilir. Buradan, hız v = ds = gt ve yerçekimi ivmesi a = d s dt = g hesaplanabilir [1]. Galileo dan sonra, Sir Isaac Newton ( ) cisimlerin hareketini iki boyutta birleştirerek genelleştirmek istemiştir. Eylemsizlik ilkesine göre Şekil de ABC üçgeninde gösterildiği gibi, v 0 hızıyla hareket eden bir cisim, t zaman sonunda çizgisel AB = v 0 t yolunu almış olacaktır. Şekil den görüldüğü gibi yatay ve düşey uzaklıklar sırayla dt v 0x t = x(t) x 0 v 0y t = s(t) + y(t) y 0 (8) (9) Ay Neden Yere Düşmüyor?, O.Yılmaz, Ç.Misli C1.S.M8.

3 ile verilebilir. (7) numaralı denklem (9) numaralı denklemde yerine yazıldığında v 0y t = 1 gt + y(t) y 0 bulunur. Böylece, hareketi anlatan zamana bağlı olan konumlar x(t) = x 0 + v 0x t y(t) = y 0 + v 0y t gt / (10) (11) (1) şeklinde genel olarak ifade edilir. Burada, y 0 ve v 0y, t = 0 anına karşı gelen başlangıç konum ve hız değerleridir. Bu konu bizlere meşhur maymun ve avcı problemini de hatırlatır. Bu problem klasik ve eski bir problemdir. Avcı ağaçta duran bir maymuna nişan alır, tüfek ateşlendiği anda maymun da kendini aşağıya bırakır. Serbest düşmekte olan maymun, yerçekimi etkisi altında hareket eden mermiden kurtulamaz ve vurulur []. B s y v 0 y 0 A θ v 0x v 0y C x 0 x Şekil. Eylemsizlik ve yerçekimi etkisinde bulunan cisim Newton nun ikinci hareket yasası, bir cismin üzerine etkiyen net kuvvetin, o cismin ivmesi ile doğru orantılı olduğunu söyler ve F = ma (13) şeklinde ifade edilir. Newton ayrıca, r yarıçaplı çembersel yörüngede hareket eden bir cismin ivmesi ile teğetsel hız v arasındaki a = v r r (14) ilişkisini hesaplamış ve kütle çekim yasasını da F = GmM r r (15) Ay Neden Yere Düşmüyor?, O.Yılmaz, Ç.Misli C1.S.M8. 3

4 şeklinde önermiştir. (13) ve (15) den Dünya ve Ay için ma = GmM E R E m m a m = Gm mm E R (16) (17) denklemlerine ulaşılır. Bu denklemlerin oranından da aşağıdaki formüller elde edilir. a = 1/R E a m 1/R ~3600 (18) a m ~ m/s (19) Burada, m cismin kütlesi, a = g = 9.8 m/s yer yüzeyi civarındaki ivmesi, M E ve R E Dünya nın kütle ve yarıçapıdır. Ayrıca Ay ın kütlesi m m, ivmesi a m, G birim sistemi ile uyumlu olması için gerekli olan bir katsayı veya evrensel çekim sabiti, R de Ay a olan uzaklıktır. Hız v = πr/t ifadesinden kolayca hesaplanabilir. Burada Ay ın yörünge periyodu T = 7.3 gün = saniye, R~60R E (bkz. Ekler) ve Ay ın yörüngesel hızı v~10 3 m/s değerleri yerine yazıldığında a m = v R ~ 1 38 m/s hesaplanabilir. Newton un öngördüğü çekim yasası ile hesapladığı (19) eşitliğindeki ivme ile (0) eşitliğindeki ivme değeri kıyaslandığında aralarındaki bağıl hata (0) Δa a = % 4 (1) olarak bulunur. Bu bize Newton un öngörüsel yaklaşımının oldukça sağlam ve güzel olduğunu göstermektedir. (15) numaralı ifade yer yüzeyi civarında r = R E alınarak ve (13) numaralı ifade ile eşitliğinden a = g = GM E R E bütün cisimlerin neden sabit ivme ile yere düştüklerini açıklamıştır. Ayrıca, M Güneş in kütlesi olmak üzere (13), (14) ve (15) den mv R = GmM (3) R eşitliğindeki v = πr/t değeri yerine yazıldığında () Ay Neden Yere Düşmüyor?, O.Yılmaz, Ç.Misli C1.S.M8. 4

5 T a 3 = 4π GM = sabit (4) x a + y b = 1 (5) formüllerine ulaşılır. Böylece Kepler in periyot yasası da sağlanmıştır. Burada (5) numaralı denklem kartezyen koordinatlarda tanımlanmış elips denklemidir. a yarı büyük ve b yarı küçük eksendir. (yaklaşık çembersel yörüngeler için a~b~r alınabilir). Newton, böylece birleşim teorisine ilk adımı atmıştır [3].. Ay ın Hareketi ve Eylemsizlik Acaba Ay neden yer yüzeyindeki diğer cisimler gibi yere düşmüyor? Ya da düşüyor mu? Bu soruya şöyle cevap verebiliriz: Kütle çekim yasasının olmadığını düşünelim. Eylemsizlik yasası gereğince; Ay sabit v hızıyla hareket ederken, bir t zaman sonunda, bir d = vt çizgisel yolunu almış olsun (Şekil 3). d = vt h m R R Şekil 3. Eylemsizlik ve Ay ın yörünge hareketi. Yukarıda çizilen Şekil 3 deki üçgen ve Pythagoras Teoreminden, R + d = (R + h m ) (6) veya R + d = R + Rh m + h m (7) buradaki (7) ifadesi, h m değişkenine göre ikinci dereceden bir denklemdir. Çözümleri Ay Neden Yere Düşmüyor?, O.Yılmaz, Ç.Misli C1.S.M8. 5

6 h m = R ± R 1 + (d/r) (8) ile verilir. Ancak d 0 için h m 0 durumu dikkate alındığında h m = R + R 1 + (d/r) (9) şeklindeki çözüm, iyi bir yaklaşım ile d/r 1 varsayılarak, binom serisine ((1 + x) n = 1 + nx +, x < 1) açılabilir. h m = R + R (1 + 1 (d R ) + ) (30) Böylece, üçüncü ve daha sonraki terimler ihmal edilerek, h m ~ d R (31) ve d = vt yerine yazıldığında h m ~ v t R (3) ve a m = v /R ifadesi burada kullanılarak h m ~ 1 a mt (33) serbest düşen cisimlerin aldığı yol ifadesi bulunmuş olur. Böylece Ay, a m ivmesi ile t zaman sonra, h m yüksekliğinden düşmüş olur. Örneğin, bu her bir saniyede ~ metre (~ 1 inç) yükseklikten yerin merkezine doğru düşmesi demektir Sonuç Görüldüğü gibi Ay gerçekten de yerin merkezine doğru düşmektedir. Ay eylemsizlik yasasına göre çizgisel hareketine v hızı ile devam etmek isteyecektir fakat çekim kuvveti Ay ı Dünya nın merkezine doğru çekmektedir. Böylece, Ay çembersel bir yörünge izlemek zorunda kalır. a = Δv/Δt ivmesi vektörel bir ifadedir ve yönü, yere düşen diğer cisimlerin g ivmesi gibi, yerin merkezine doğrudur. Ay Neden Yere Düşmüyor?, O.Yılmaz, Ç.Misli C1.S.M8. 6

7 Ekler: Dünya ile Ay arasındaki mesafe Yunanlı filozoflar Ay ın Dünya nın gölgesine girmesi yani Ay tutulması olayından, Ay çapının.5 katının, Dünya nın gölge çapına eşit olduğunu hesaplamışlardı. Daha sonra Yunan matematikçi ve gök bilimci olan Aristarchus ( MÖ) geometri bilgilerinden faydalanarak, Dünya ile Ay arasındaki mesafeyi şu şekilde bulmuştur. Yeryüzünden Ay a veya Güneş e bir metal para ile bu gök cisimlerini örtecek şekilde nişan alındığında, para ve Ay (veya Güneş) aynı açı ile ölçülmektedir (Şekil 4). Bunun sonucunda Ay ın (veya Güneş in) çapı Ay (veya Güneş) ile Dünya arasındaki mesafe = 1 inç (.54 cm) 105 inç (66.70 cm) (34) oranı bulunur. Şekil 5 te belirtilen D E = R E Dünya nın çapı, R Dünya ile Ay arasındaki mesafe, l =.5d Dünya nın gölge çapı ve d Ay ın çapı olmak üzere, (34) numaralı ifadeden Ay ve Dünya arasındaki mesafe, eşitliğinden 3.5R = 105D E R = 30D E = 60R E (35) (36) olarak hesaplanabilir. Günümüzde bu değer R = 60.8R E olarak ölçülmektedir. O 105 inç 1 inç Şekil 4. Ay veya Güneş i örten metal para Ay Neden Yere Düşmüyor?, O.Yılmaz, Ç.Misli C1.S.M8. 7

8 105D E d l =.5d D E R = 105d 105l = 105(.5d) =.5(105d) =.5R 3.5R = 3.5(105d) Şekil 5. Ay tutulması ve geometrik oranlar Kaynaklar [1] Cropper, W.H., Great Physicists: the life and times of leading physicists from Galileo to Hawking, Oxford University Press, Inc. (001). [] Kittel, C., Knigth, W.D., Ruderman, M.A., Helmholz, A.C. and Moyer, B.J., Mechanics, Berkeley Physics Course, Vol. 1, Second Edition, McGraw-Hill, Inc. (1973). [3] Frautschi, S.C., Olenick, R.P., Apostol, T.M. and Goodstein, D.L., The Mechanical Universe: Mechanics and Heat, Advanced Edition, Cambridge University Press, (007). Ay Neden Yere Düşmüyor?, O.Yılmaz, Ç.Misli C1.S.M8. 8

Benzer belgeler

Aristarchus Yöntemi ile Ay ve Güneş. 1. Giriş

Aristarchus Yöntemi ile Ay ve Güneş Oktay Yılmaz ve Çılga Misli, Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi-Fizik Bölümü En yakın gökcisimleri arasında yer alan Ay ve Güneş eskiden beri insanoğulunun ilgisini