Olasılık ve İstatistik Hatırlatma

Transkript

1 Olasılık ve İstatistik Hatırlatma BSM 445 Kuyruk Teorisi Güz 014 Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık

2 Bir olayın olasılığı bize ne anlatır? Verilen bir olasılığın manası nedir? Örnek: Tavlada düşeş atma olasılığı %,8 dir. Ne demektir 0,08 daha doğrusu 1/36?

3 Örnek Uzay Sample Space Deney: Biri mavi ve biri beyaz iki zar atıyoruz. ve Y sırasıyla mavi ve beyaz zarı attığımızda üste kalan yüzdeki nokta sayısı olsun. Bu durumda P+Y=6=5/36 ne demektir? Bu deneyin, Y çıktılarının örnek uzayı 1, 1, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6, 1 1,, 3, 4, 5, 6, 1, 3, 3 3, 3 4, 3 5, 3 6, 3 1, 4, 4 3, 4 4, 4 5, 4 6, 4 1, 5, 5 3, 5 4, 5 5, 5 6, 5 1, 6, 6 3, 6 4, 6 5, 6 6, 6 Matematiksel olasılık teorisinde örnek uzay sample space kavramı vardır. Teorik olarak her bir çıktı eşit olasılığa ağırlığa sahiptir. Bu deney için her çıktı 1/36 olasılığa sahitir. Bu nedenle +Y=6 olan 5 durum olduğundan P+Y=6=5/36 olur. 3

4 Tekrarlanabilir Deney Repeatable Eperiment Maalesef, karmaşık problemler için örnek uzay çıkartıp istenen olayı gerçekleyen her sonucu sayamayız. Bir olayın olasılığını anlamak için deney defteri örneğini kullanacağız. 4

5 Tekrarlanabilir Deney Repeatable Eperiment Deney Defteri Deney no Sonuç Mavi, Beyaz Mavi+Beyaz=6? 1, 6 Hayır 3, 1 Hayır 3 1, 1 Hayır 4 4, Evet 5 1, 1 Hayır 6 3, 4 Hayır 7 5, 1 Evet 8 3, 6 Hayır 9, 5 Hayır Bu deney defterine göre yapılan ilk 9 deneyden ikisi /9 sorduğumuz soruya +Y=6? Evet sonucunu veriyor. Olasılık basitçe şöyle ifade edilebilir: İlgilendiğiniz olayın deney defterinde gerçekleştiği satırların oranı. Fakat eğer bu deneyi çok çok fazla sayıda tekrarlasa idik sonucunda Evet yazan satırların toplam deney sayısını oranı 5/36 olacaktı. Örneğin bu deneyi 70 kere tekrar etseydik eğer, yaklaşık olarak 70*5/36=100 satırda Evet yazacaktı. 5

6 Tanımlar Deney defteri örneğinden yola çıkarak olasılığın bazı genel kavramlarını rahatlıkla tanımlayabiliriz. Olay: Eğer A deneyin muhtemel boolean evet yada hayır çıktılarından biri ise biz A ya olay diyebiliriz. Bir önceki deneyimizde bazı olay örnekleri +Y=6 =1 Y=3 -Y=4 Rastgele Değişken: Bir rastgele değişken bir deneyin sayısal çıktılarından biridir. Örneğimizdeki ve Y gibi. +Y, Y, ya da siny de birer rastgele değişkendir. 6

7 Tanımlar Deney defteri örneğinden yola çıkarak olasılığın bazı genel kavramlarını rahatlıkla tanımlayabiliriz. İlgilendiğimiz bir A olayını deney defterinde yeni bir sütün gibi düşünebiliriz. k. satırda k=1,,3, bu sütün için, A olayının deneyin k. tekrarında oluşup oluşmamasına göre Evet yada Hayır yazacaktır. İlgilendiğimiz bir A olayı için PA bir çok deney sonucunda uzun-koşumlu Evet yazan satırların oranı olacaktır. A ve B iki ayrı olay olsun B bu durumda yeni bir sütun oluyor deney defterinde. Deney defterine bir sütün daha ekleyelim, bu yeni olay da A ve B olsun ve sadece hem A hem de B olayı için Evet yazdığında bu sütunda Evet yazsın. Bu durumda PA ve B bu son sütundaki Evet yazan satırların uzun-koşumlu sonucu olacaktır. 7

8 Tanımlar Deney defteri örneğinden yola çıkarak olasılığın bazı genel kavramlarını rahatlıkla tanımlayabiliriz. Verilen A ve B olayları için, deney defterinde A veya B adında başka bir sütun daha düşünelim. Her satırda bu sütün için A ve B olaylarından en az biri için Evet yazdığında Evet yazacaktır. Bu durumda PA veya B bu son sütundaki Evet yazan satırların uzun-koşumlu sonucu olacaktır. Verilen A ve B olayları için, deney defterinde A B adında başka bir sütun daha düşünelim. Bu sütundaki her bir satırda: Eğer B olayı Hayır ise Uygulanmaz yazacaktır. Eğer bu satırda B olayı için Evet diyorsa, bu durumda bu sütun için A olayının Evet yada Hayır olmasına göre Evet yada Hayır yazacaktır. Bu durumda PA B bu son sütundaki Evet yazan satırların B sütununa evet yazan satırlara uzun-koşumlu oranı olacaktır, yani B olayı olduğunda A nın olma olasılığı. Hafta daha fazla bahsedeceğiz. 8

9 Olasılığın bazı özellikleri Her hangi bir olayın olasılığı 0 ile 1 arasındadır. Bir olayın olmama olasılığı 1 den olma olasılığı çıkarılarak bulunur. Eğer A olayı B olayını kapsıyorsa, A olayının olma olasılığı B olayından daha büyüktür. PA veya B=PA+PB-PA ve B 9

10 Değişik gösterimler PA, P[A] yada P{A} olarak da gösterilebilir. Eğer bir rastgele değişken ise P bir şey ifade etmez, ama P=3 rastgele değişkenin 3 e eşit olma olasılığını anlatır. PA ve B, PA PA veya B, PA B yada PAB olarak da gösterilebilir. B olarak da gösterilebilir. A olayın olmama durumu A, A veya A c olarak gösterilebilir ve PA=1-PA. 10

11 Hatırlatmalar Permütasyon Birbirinden farklı n sayıda element için n! sayıda sıralama yapılabilir. n sayıda elementten n1 tanesi birbirinin aynı, n tanesi birbirinin aynı,, ve nr tanesi birbirinin aynı ise n!/n1! n!... nr! tane farklı sıralama yapılabilir. Kombinasyon n tane elementten seçilecek içerisinde r element içeren grup sayısı n n! r n r! r! 11

12 Koşullu Olasılık Verilen A ve B olayları için, deney defterinde A B adında başka bir sütun daha düşünelim. Bu sütundaki her bir satırda: Eğer B olayı Hayır ise Uygulanmaz yazacaktır. Eğer bu satırda B olayı için Evet diyorsa, bu durumda bu sütun için A olayının Evet yada Hayır olmasına göre Evet yada Hayır yazacaktır. Bu durumda PA B bu son sütundaki Evet yazan satırların B sütununa evet yazan satırlara uzun-koşumlu oranı olacaktır, yani B olayı olduğunda A nın olma olasılığı. 1

13 PAB ve PA B Genelde PAB ve PA B karıştırılır. İki zar atma örneğimizde ilk zarda gelen nokta sayısını ve Y ikinci zarda gelen nokta sayısını ifade ediyordu. A olayı =1 ve B olayı +Y=6 olsun Bu örnek için PAB =1/36 iken PA B=1/5 olacaktır. Yani; Deneyin birçok tekrarından sonra yaklaşık olarak deney defterindeki satırların 1/36 sında A yani =1 ve B yani +Y=6 olayı için Evet yazacaktır. Deneyin birçok tekrarından sonra, eğer sadece B nin Evet yazdığı satırlara bakarsak, bu satırların 1/5 inde A olayı için Evet yazacaktır. PA B, B olayı olduğunda A nın koşullu olasılığıdır. 13

14 Koşullu Olasılık Formülü A ve B nin aynı anda olma olasılı, ama ne zaman? P A B P AB P B B olayı olduğunda!!! 14

15 Formüle başka bir açı P A B P AB P B Yani iki olayın aynı anda olma olasılığı, birinin diğeri verildiğinde koşullu olasılığı ile diğer olayın olma olasılığının çarpımıdır. P AB P B P A B P AB P A P B A 15

16 Baye s Formülü 16 1 B P A B P B P A B P B P A B P B P A B P AB P AB P A P

17 Baye s Formülü 17 A P B A P A P B A P A P B A P B P AB P A B P

18 Ayrık olaylar Disjoint Events Eğer iki olay aynı anda oluşamıyorsa bunlara ayrık olaylar denir. Deney defteri örneğimizde bu durum şöyle ifade edilebilir. Eğer iki olay A olayı ve B olayı için deney defterinin hiçbir satırında aynı anda Evet yazması mümkün değilse bu olaylar ayrık olaylardır. Diğer bir deyişle A ve B olayı için bütün satırlarda hayır yazacaktır PAB=0. Eğer A ve B ayrık olaylarsa PA veya B=PA+PB. Normalde PA veya B=PA+PB PAB. Ayrık olaylar için PAB=0 olduğundan 18

19 Bağımsız olaylar Independent Events İki olay A ve B olayları eğer şu koşulu sağlıyorlarsa bağımsız olaylar olarak adlandırılır; PAB=PAPB. Bağımsız olmayan olaylar bağımlı olaylar olarak adlandırılır. Bu durumda genel kural geçerlidir; PAB=PAPB A. PAB yi hesaplarken, olayların bağımsız olup olmadığını nereden bileceğiz? Eğer PB A=PB ise bu olaylar bağımsızdır. Yani B olayı A nin gerçekleşip gerçekleşmemesinden etkilenmiyorsa bağımsızdır. Örnek: İki zar atma örneğimizde mavi zarda gelen sayının olması = ile beyaz zarda gelen sayının 3 olması Y=3 birbirinden bağımsızdır. Peki = ile +Y=5 olayları bağımsız mıdır? 19

20 Bağımsız olayların özellikleri Eğer A ve B bağımsız olaylar ise o zaman A ve B de bağımsız olaylardır. Üç olay A, B ve C, aşağıdaki koşulları sağlıyorlarsa birbirlerinden bağımsız olaylardır. PABC=PAPBPC PAB=PAPB PAC=PAPC PBC=PBPC 0

21 Rastgele Değişkenler, Beklenti ve Varyans

22 Rastgele Değişkenler Random Variables Bir deney gerçeklendiğinde çoğunlukla deneyin tüm sonuçlarından ziyade deneyin çıktılarının bazı fonksiyonları ile ilgileniriz. Örneğin zar deneyinde iki zar toplamının 7 olup olmadığı ile ilgileniriz ve 7 toplamının nasıl olduğu ile ilgilenmeyiz. İlgilendiğimiz bu numerik sayısal değeri olan fonksiyonlara bağımsız değişken denir. Mavi zar-beyaz zar deneyinde mavi zarın gösterdiği sayı ve beyaz zarın gösterdiği sayı Y ise aşağıdakiler birer rastgele değişken örneğidir. Y +Y siny Y -Y Y Y

23 Kesikli Rastgele Değişkenler Bir rastgele değişkenin alabileceği değerler sınırlı sayıda countable ise, bu değişken kesikli rastgele değişken olarak tanımlanır. Bir kesikli değişkenin muhtemel değerlerden birini alma ihtimalini gösteren fonksiyona olasılık kütle fonksiyonu denir. p a P{ a} 3

24 Olasılık Kütle Fonksiyonu Probability Mass Function Olasılık kütle fonksiyonu pmf sayılabilir miktarda a değeri için pozitiftir. Bir diğer deyişle, eğer 1,, değerleri rastgele değişkenin mevcut değerleri ise, p p i 0 0 i 1,, tumdiger degerler icin rastgele değişkeni i değerlerinden birini alacağından, i1 p i 1 4

25 Olasılık Kütle Fonksiyonu İki zar deneyi İki zar deneyimizde mavi zar üstündeki ve Y de beyaz zar üzerindeki noktaları ifade ediyordu. Yeni bir rastgele değişken tanımlayalım. Z = + Y pzz 1/36 1/18 1/1 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/1 1/18 1/ z 5

26 Yığılmalı Kümülatif Dağılım Fonksiyonu Cumulative Distribution Function Bazen bir rastgele değişkenin aldığı bir değeri değil de herhangi bir değerden küçük olma yada bir değer aralığı içince olma ihtimali ile ilgileniriz. Bunun için yığılmalı dağılım fonksiyonunu cdf kullanırız. F a P{ a} F a her a p Yani a değerine kadar olan a dahil in tüm muhtemel değerlerine eşit olma olasılıkları toplamı. 6

27 Yığılmalı Dağılım Fonksiyonu İki Zar Deneyi FZz Örneğin iki zarda gelen sayılar toplamının 8 veya daha düşük olma ihtimali 13/18 dir. 13/18-1/6=10/18 Peki 5 ile 8 arasında olma ihtimali nedir? 1/36 1/1 1/6 5/18 5/1 7/1 13/18 5/6 11/1 35/ /18=5/18 Peki 9 veya daha büyük olma ihtimali nedir? z 7

28 Ortak Dağılımlı Jointly Distributed Rastgele Değişkenler Bir deneyde bazen teker teker rastgele değişkenler yerine birden fazla rastgele değişken arasındaki ilişki ile ilgileniriz. Örneğin bilgisayar ağlarındaki internet trafiği ile ilgili bir deneyde, özel bir gündem sebebi ile artan tweet, FB post sayısı ile demografik istatistikler örneğin bu sosyal ağ trafiğini oluşturan kişilerin yaş ortalaması arasında ilişki ile ilgileniyor olabiliriz. Ortak yığılmalı dağılım fonksiyonu iki rastgele değişken arasındaki ilişkiyi tanımlar: F Y,, y P{, Y y} 8

29 Ortak Dağılımlı Rastgele Değişkenler İki rastgele değişkenin ortak cdf i verildiğinde birine ait cdf en azından teoride elde edilebilir. Aynı şekilde: 9, }, { } {, F Y P P F Y,, y F y F Y Y

30 Ortak Dağılımlı Rastgele Değişkenler İki rastgele değişkenin ortak pmf i şöyle tanımlanır. Aynı şekilde ortak pmf bilindiğinde, rastgele değişkenlerden birinin pmf i bulunabilir. 30 }, {,, j i j i Y y Y P y p j j i Y j j i j j i i i y p y Y P y Y P P p, }, {, } {, i j i Y j Y y p y p,, Aynı şekilde

31 Bağımsız Rastgele Değişkenler Eğer iki rastgele değişken birbirinden bağımsızsa Yani değişkeninin a dan düşük olması ve Y değişkeninin b den düşük olması birbirinden bağımsız olaylardır. Bu durumda; Aynı şekilde pmf için 31 } { } { }, { b P Y a P b Y a P,, b F a F b a F Y Y,, b p a p b a p Y Y

32 Dağılım Fonksiyonun Özellikleri Bu özelliklerde F ve F ifadeleri şu limitleri ifade etmektedir. 1.. Azalmayan bir fonksiyondur Eğer 1 ise F 1 F. 3. Eğer F 0 0 ise her 0 için F lim F F lim F 0 0 F 1 F 5. Sağdan devamlıdır. 6. P{ 1 } F F 1 ve P{ } 1 F 7. P{ } F F F 0 F F P{ 1 } F F 1 3

33 Beklenti Epectation yada Beklenen Değer Epected Value Olasılık teorisinde çok önemli konseptlerinden biri bir rastgele değişkenin beklenen değeridir. Ayrık bir rastgele değişkenin beklenen değeri E[ ] i i P{ } 0 Diğer bir deyişle, in beklenen değeri in alabileceği olası değerlerin ağırlıklı ortalamasıdır her muhtemel değerin ağırlığı o in o değere eşit olma olasılığıdır. i : p p 33

34 Beklenti yada Beklenen Değer Örnek: 1 p 0, p E[ ] Beklenen değer İki muhtemel değerden 1 e daha yakın

35 Bir Rastgele Değişkenin Fonksiyonun Beklentisi Diyelim ki bir rastgele değişkenin pmf ve cdf fonksiyonları verilmiş olsun. Ama bazen bir bu rastgele değişkenin bir fonksiyonu ile ilgileniriz g. g in kendisi de bir rastgele değişken olduğu için, bir pmf ve cdf vardır ve in fonksiyonlarından üretilebilir. Örnek; p Y p 0 0., Y 1 E[ ], P{ Y p E[ Y] p1 0.5, Y 0 1 } P{ Y 0.5, p 0.3. E[ 0 p } Y 0., P{ Y ] nedir? }

36 Bir Rastgele Değişkenin Fonksiyonun Beklentisi Her ne kadar bu yöntem teoride işe yarasa da, bu işin daha kolay bir yolu var. Bir önceki örnek için; E [ g ] g p E[ ] Lineer fonksiyonlar için bu özelliğin doğal bir sonucu; E[ a b] ae[ ] b 36

37 Beklenti = Ortalama = İlk Moment Beklentiye aynı zamanda ortalama mean yada ilk moment n de denir. Bir rastgele değişkenin n. momenti E[ ] şeklinde gösterilir ve ayrık rastgele değişkenler için aşağıdaki şekilde hesaplanır. n n E [ ] p 37

38 Varyans Verilen bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunu özetleyen ölçütler oldukça fayda sağlamaktadır. Bu anlamda beklenen değer değişkenin ağırlıklı ortalamasını vererek bir fikir verir. Fakat beklenen değer değişkenin varyasyonu, diğer bir deyişle yayılımı hakkında bir bilgi vermez. Şu üç değişkene bir göz atalım; W = 0, 1 olasılıkla Y = -1, ½ olasılıkla ve Y = 1, ½ olasılıkla Z = -100, ½ olasılıkla ve Z = 100, ½ olasılıkla Bu 3 değişken için de beklenti 0 dır. Ama yayılımları farklıdır. 38

39 Varyans Varyans rastgele değişkenin beklenen değerinden E[]= ne kadar uzağa yayılım yaptığını gösterir ve şu şekilde ölçülür; Alternatif bir varyans hesaplama tekniği; 39 ] [ Var E ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ Var E E E E E E E E ] [ ] [ Var E E

40 Kesikli Rastgele Değişkenler ve Özellikleri

41 Kesikli Rastgele Değişken Bir rastgele değişkenin alabileceği değerler sınırlı sayıda countable ise, bu değişken kesikli rastgele değişken olarak tanımlanır. 41 } { } { P F P p

42 Kesikli Rastgele Değişken Dağılımları Bernoulli ve Binomial Rastgele Değişkenler Poisson Rastgele Değikenler 4

43 Bernoulli Rastgele Değişkeni Bir deneyin sonucu «başarılı» yada «başarısız» olarak sınıflandırabildiğini varsayalım. rastgele değişkeni için deney başarılı olduğunda 1 değerini, başarısız olduğunda da 0 değerini alsın. Eğer p deneyin başarılı olma ihtimali ise, Bu şekilde tanımlanmış rastgele değişkene Bernoulli rastgele değişkeni denir 0 p 1. 43

44 Binomial Rastgele Değişkeni Şimdi de, benzer bir şekilde, her birinin başarılı olma ihtimali p olan n adet deney düşünelim. Eğer rastgele değişkeni başarılı deney sayısı ise bu değişkene Binomial rastgele değişken denir ve bu değişkenin parametreleri n, p ile gösterilir. Örneğin Bernoulli rastgele değişkeni, 1, p Binomial rastgele değişkenidir. 44

45 Binomial Rastgele Değişken Olasılık Kütle Fonksiyonu n adet bağımsız deneyden i tanesinin başarılı olma ihtimali? i tanesinin başarılı olma ihtimali? n-i tanesinin başarısız olma ihtimali? Kaç farklı i deney kombinasyonu oluşturabiliriz? 45

46 Binomial Rastgele Değişkenin Beklentisi ve Varyansı E[ ] np Var np1 p 46

47 Binomial Rastgele Değişkenin cdf hesaplama 47

48 Poisson Rastgele Değişken Çok fazla bağımsız değişken için deneyin başarılı olma sayısı yaklaşık olarak Poisson rastgele değişken ile bulunur. Parametresi λ ile ifade edilir. p i e i i! E[ ] Var 48

49 Sürekli Rastgele Değişkenler ve Özellikleri

50 Sürekli Rastgele Değişkenler Bir rastgele değişken, sayısız miktarda muhtemel değerler alabilir. Örneğin bir trenin belirli bir istasyona varış zamanı veya bir transistorun yaşam süresi gibi. Bu tür rastgele değişkenler sürekli rastgele değişken olarak adlandırılır sürekli rastgele değişkeninin bir reel sayılar kümesi B içinde olma olasılığı şöyle ifade edilir. P { B} f d B f olasılık yoğunluk fonksiyonu probability distribution function - pdf olarak adlandırılır. 50

51 Sürekli Rastgele Değişkenlerin Özellikleri rastgele değişkeni, mutlaka -, arasında bir değere eşit olacağından 1 P {, } f d B = [a, b] olarak tanımlarsak, P{ [ a, b]} P{ a b} f d a Eğer a=b olursa P{ [ a, a]} P{ a} f d 0 a a b P{ a} P{ a} F a a f d 51

52 cdf ve pdf Yani sürekli rastgele değişkenin sabit değere eşit olma ihtimali sıfırdır. Bu durumda; P{ a} P{ a} F a a f d Eşitliğin iki tarafının da türevini alırsak; F a a f a fa bize rastgele değişkenin a değerinin etrafında olma ihtimalini verir. 5

53 Beklenti Bir sürekli rastgele değişkenin beklentisi şöyle ifade edilir. E [ ] f d rastgele değişkenin bir fonksiyonun beklentisi ise E [ g ] g f d Eğer bu fonksiyon lineer ise E[ a b] ae[ ] b 53

54 Varyans Varyans sürekli rastgele değişkenlerde de aynıdır. Yani; Var E[ ] ya da alternatif olarak; Var E[ ] E[ ] 54

55 Uniform Tekdüze dağılım Bir rastgele değişkeni [α, β] aralığında uniform bir şekilde dağıtılmış ise, bu rastgele değişkene ait pdf: f 1 0 veya 1/β-α α β 55

56 Uniform Tekdüze dağılım pdf in altında kalan alan 1 olması gerekir. [α, β] aralığında olan bir [a, b] alt aralığı için d d d f a b d d f b a P b a b a 1 } {

57 Uniform Tekdüze dağılım Beklenti 57 ] [ d d f E

60 Uniform Tekdüze dağılım. Moment ve Varyans ] [ 3 3 d d f E ] [ ] [ E E Var

61 Normal Gaussian Dağılım Bir rastgele değişkeni, aşağıdaki pdf e sahipse, bu rastgele değişken için, μ ve σ parametreleri ile normal olarak dağılmıştır deriz ve şu şekilde gösteririz: ~ N, f 1 e / Bu fonksiyon μ nün etrafında simetrik olan ve maksimum değeri = μ olduğunda 1/σ π olarak gerçekleşen çan şeklinde bir eğridir. 61

62 Normal Gaussian Dağılım 6 Image courtesy: wikipedia.org

63 Normal Gaussian Dağılım Normal dağılım 1773 de Fransız matematikçi Abraham DeMoivre tarafından, Binomial rastgele değişkenleri n çok büyük olduğunda yakınsamak için geliştirilmiştir. Bu yakınsama daha sonra Laplace tarafından daha da geliştirilmiş ve Merkezi Limit Teoremi oluşturulmuştur. Pratikte bir çok rastgele olayın, en azından yaklaşık olarak, normal dağılımı izlediği görülmüştür. Bir insanın boyu, bir gaz içerisindeki bir molekülün herhangi bir doğrultudaki hızı, fiziksel bir ölçümde hata sayısı, veri iletiminde sinyal bozulma miktarı, vb. 63

64 Normal Gaussian Dağılım Beklenti 64 1 / 0 / / / / ] [ d f y y e ye e e e f E

65 Normal Gaussian Dağılım Varyans 65 1 / kıısm integral / / / / / 1 1 ] [ dy e dy e ye dy e y e E Var y y y y y

66 Normal Gaussian Dağılım Lineer fonksiyon Y=A+B ise E[Y]=Aμ+B VarY=A σ 66

67 Üssel Eponential Rastgele Değişken Bir rastgele değişken, aşağıdaki pdf e sahipse bu rastgele değişkene üssel rastgele değişken denir. f Bu durumda cdf; e F 1 e 67

68 Üssel Eponential Rastgele Değişken Üssel rastgele değişken pratikte genelde bazı spesifik olaylar oluşana kadar geçen süreyi ifade etmek için kullanılır. Örneğin; şimdiden başlayarak Bir deprem oluşuncaya kadar geçen süre, Yeni bir savaş başlayıncaya kadar geçen süre, Size gelen ilk yanlış aramaya kadar geçen süre, vb. Üssel rastgele değişken hafızasızdır memoryless. 68

69 Üssel Eponential Rastgele Değişken: Beklenti ve Varyans E[ ] 1/ Var 1/ 69