ELASTİK DALGA TEORİSİ

Transkript

1 ELASTİK DALGA TEORİSİ ( ders ) Pro.Dr. Eşre YALÇINKAYA

2 Geçtiğimiz hata; Dalga hareketi ve türleri Yayılan dalga Yayılan dalga enerjisi ve sönümlenme Bu derste; Süperpozisyon prensibi Fourier analizi Dalgaların girişimi

3 Tsn v00m/sn Geçtiğimiz hatanın ödevleri λ 00 v 00m / T sn λ00m 3

4 Süperpozisyon prensibi Verilen bir zamanda dalga proili üzerindeki herhangi bir taneciğin yerdeğiştirmesi birbirinden bağımsız olarak yayılan dalgaların yerdeğiştirmelerinin toplamıdır. Bu bir vektörel toplama işlemi olup süperpozisyon diye adlandırılır. Süperpozisyon prensibinin iziksel önemi, karmaşık bir dalgayı basit dalgaların birleşimi olarak inceleyebilme imkanı sağlamasıdır. 4

5 Aynı ortam içinde yayılan iki veya daha azla dalganın neden olduğu net genlik, her bir dalganın ayrı ayrı neden olduğu genliklerinin toplamına eşittir. Örneğin, birbirine doğru seyahat eden iki dalga, birbirinin içinden geçerek herhangi bir bozulmaya uğramadan diğer taraa devam eder. 5

6 Dalgaların Girişimi Girişim; iki veya daha azla dalga dizisinin toplanmasının (süperpozisyonunun) iziksel etkilerini iade eden teknik bir terimdir. y y y Sin( kx ωt φ) Poziti x yönünde y m m Sin( kx ωt) yayılan iki dalga Frekansları aynı Genlikleri aynı Aralarında φ kadar az arkı var İki dalganın toplamı; y y y + y ym[ Sin( kx ωt φ) φ φ (ymcos ) Sin( kx ωt ) + Sin( kx ωt)] dalga genliği yayılan dalga 6

7 y φ (ymcos ) Sin( kx ωt φ ) φ y m Cos φ çok küçük veya sıır ise genlik yaklaşık ym dir φ az arkı 80 dereceye yakın ise genlik yaklaşık 0 dır y y y Yapıcı girişim Bozucu girişim y m 7

8 Frekansları ve azları aynı, akat genlikleri arklı olan iki dalganın girişimi Frekansları aynı, akat genlikleri ve azları arklı olan basit harmonik dalgaların toplamları yine bir basit harmonik dalga oluşturur. Yeni dalganın genliği dalgalar arasındaki az arkına bağlıdır. Faz arkı sıır (veya sııra yakın) olduğu zaman yapıcı girişim, az arkı 80 derece (veya 80 dereceye yakın) olduğu zaman bozucu girişim meydana gelir. 8

9 Karmaşık Dalgalar Farklı rekanslara sahip harmonik dalgalar toplanırsa, toplanan dalgalardan arklı karmaşık bir dalga elde edilir. Böyle bir dalganın şekli bir sinüs veya kosinüs eğrisi olmadığı gibi taneciklerin hareketi de basit harmonik hareket değildir Fazları ve genlikleri aynı, akat rekansları arklı olan iki dalganın girişimi -4 9

10 Genlikleri aynı, akat rekansları biri diğerinin üç katı olan iki dalganın süperpozisyonu Toplanan dalgaların azlarının arklı olması durumunda toplam dalga 0

11 Yüksek rekanslı bir dalganın düşük rekanslı bir dalga üzerine bindirilmesi Frekansları birbirine çok yakın iki dalganın grup oluşturması

12 Durağan dalgalar y y y y m m Sin( kx Sin( kx y y ωt) + ωt) İki dalganın toplamı; + y y m Frekansları, hızları ve genlikleri aynı olan ve bir tel boyunca birbirine ters yönde ilerleyen iki dalga [ Sin( kx ωt) + Sin( kx + ωt)] y y m SinkxCosωt durağan dalga denklemi

13 y ymsinkxcosωt Dalga genliği kx π,π,3π,... veya Değerleri için sıır λ 3λ yani minimum x, λ,,λ,... v. b. (düğüm noktaları) π 3π 5π kx,,,... veya λ 3λ 5λ x,,,... v. b Değerleri için ym yani maksimum (anti düğüm noktaları) Enerji tel boyunca herhangi bir yönde taşınmaz, tel üzerinde durağan kalır. Bu hareket her noktada genlikleri arklı olan w açısal rekanslı bir basit harmonik harekettir. 3

14 Durağan dalga modelleri En basit durum iki ucu sabitlenmiş uzunluğu L olan telin titreşimini düşünelim ; Bu durumda tel her iki ucunda bir düğüm noktasına ve ortada bir anti-düğüm noktasına sahiptir: L λ L λ v v λ L Birinci mod (Temel mod) L λ v L İkinci mod (İkinci harmonik) 4

15 λ n n L nv n L n; Mod (harmonik) numarası L; Tel uzunluğu n 3 Üçüncü mod λ 3 L 3 3 3v L

16 Durağan dalga modelleri Bir ucu serbest tel üzerinde durağan dalga modları : λ n 4L n n λ 4L 4L λ 3 4L λ3 5 v λ 3v 4L 5v 4L v (n ) 4L 3 v 4L

17 Durağan dalga modelleri Her iki ucu serbest tel üzerinde durağan dalga modları : λ n n L nv n L 7

18 BİNA nın temel titreşim modu; vs 4H!!!Dikkat!!! Yüksek modlara doğru titreşimin genliği azalır. Çünkü sönüm etkisi yüksek rekanslar için daha büyüktür. 8

19 Surace SOIL ROCK Acos(kx-wt) Acos(kx+wt) V S H SOIL in (zemin tabakasının) temel titreşim modu; vs 4H YERKÜRE nin temel titreşim modları; 9

20 Fourier Serileri Fransız matematikçi J. Fourier, periyodik dalga şeklinin tanımı yapmış ve harmoniklere sahip sinüsoidin, yani tüm rekansları temel rekansının (ilk harmonik) katları olarak bulunabilen, bir serisi olarak açıklamıştır. Örneğin, Hz, Hz, 3 Hz ve devamı şeklinde bir sinüsoid serisinin Hz temel rekansı, Hz ikinci harmoniği ve devamı şeklinde rekansları içerir. Genelde herhangi bir periyodik dalga şekli (t); veya a0 ( t) + asinwt + asinwt + a3sin3wt + b Coswt + b Coswt + b Cos3wt +... ( t) a ( ansinnwt + bncosnwt) n +... Fourier serisi şeklinde yazılabilir. Burada a 0 / sabittir ve (t) nin ortalama değeridir. 0

21 ( t) a 0 + ( ansinnwt + bncosnwt) n a ve b katsayıları ω nın temel rekans bileşenlerini gösterir. Benzer şekilde, a ve b katsayıları ω nın ikinci harmonik bileşenlerini gösterir ve diğer katsayılarda öncekilere benzerdir. Genelde, arklı rekansta birden azla sinüsoidin toplamı yaklaşık dalga şeklini verir.

22 + + π π π π π π π π π dt nt t b dt nt t a dt t a nt b nt a a t n n n n n ) )sin( ( ) )cos( ( ) ( ) sin cos ( ) ( 0 0

23 3

24 The Doppler Eect Sabit bir ses kaynağı, sabit bir rekansta ses dalgaları üretiyor ve dalga cepheleri kaynaktan itibaren simetrik olarak ortam içinde ses dalgası hızında yayılıyor. Dalga cepheleri arasındaki uzaklık dalga boyu olup her yönde eşittir. Her yöndeki dinleyici aynı rekansı işitir. 4

25 Source moving with Vsource < Vsound Kaynak ses hızından daha düşük bir hızda (Vk0.7Vs) sağa doğru hareket ederken aynı özellikte ses dalgaları yaymaya devam ediyor. Kaynağın hareketi nedeniyle sağdaki dalga cepheleri sıklaşırken soldaki dalga cepheleri açılıyor. Sağdaki bir dinleyici daha yüksek rekansları işitirken, soldaki dinleyici daha düşük rekansları duyuyor. 5

26 Source moving with Vsource Vsound Şimdi kaynak ortam içinde ses dalgası (Vs340 m/sn) ile aynı hızda hareket ediyor. Sonuç olarak sağdaki bir dinleyici kaynak kendisine erişinceye kadar hiç bir şey duymuyor. Kaynak eriştiğinde ise, dalga cephelerinin birbiri üzerine eklenmesi nedeniyle şiddetli bir şok dalgasıyla karşılaşıyor. 6

27 Source moving with Vsource > Vsound Ses kaynağı, ses duvarını delip ondan daha yüksek bir hızda hareket ediyor ve ilerleyen dalga cephelerine neden oluyor. Sağdaki bir gözlemci kaynak yanından geçtikten sonra sesini duyuyor. Oluşan dalga cepheleri konisinin kenarları ses bombası olarak adlandırılan şok dalgalarını oluşturur. 7

28 8

29 9

30 30