Ayrık Fourier Dönüşümü

Transkript

1 Ayrık Fourier Dönüşümü Tanım: 0 n N 1 aralığında tanımlı N uzunluklu bir dizi x[n] nin AYRIK FOURIER DÖNÜŞÜMÜ (DFT), ayrık zaman Fourier dönüşümü (DTFT) X(e jω ) nın0 ω < 2π aralığında ω k = 2πk/N, k = 0,1,, N 1 noktalarında örneklenmesiyle elde edilir. DTFT nin tanımından DTFT ile DFT arasındaki ilişki şeklinde olacaktır. W N = e j 2πN notasyonu kullanılarak DFT genelde olarak ifade edilir. Ters DFT formülü :

2 Ayrık Fourier Dönüşümü Ters DFT formülünün doğruluğunu göstermek için eşitliğin her iki yanı W N ln ile çarpılıptüm n değerleri üzerinden toplanırsa bulunur. ilişkisinden toplamındaki sıfırdan farklı tek terim k= l iken elde edilir. O halde

3 Ayrık Fourier Dönüşümü Örnek: Aşağıda verilen dizinin DFT sini hesaplayalım. Örnek: Aşağıda verilen N uzunluklu dizinin DFT sini hesaplayalım.

4 Ayrık Fourier Dönüşümü Örnek: Aşağıda verilen 0 n N 1 aralığında tanımlı N uzunluklu dizinin DFT sini hesaplayalım. (0 r N 1) Euler ilişkisi kullanılarakg[n] aşağıdaki şekilde yeniden yazılabilir: O halde, g[n] nin N nokta DFT si olur. ilişkisini kullanırsak

5 DFT nin Vektör Matris Notasyonunda Gösterilmesi DFT, vektör matris notasyonunda aşağıdaki şekilde ifade edilebilir: D N matrisine, NxN DFT MATRİSİ denir.

6 DFT nin Vektör Matris Notasyonunda Gösterilmesi Benzer şekilde, ters DFT vektör matrisnotasyonunda aşağıdaki şekilde ifade edilebilir: D N 1 matrisine, TERS DFT MATRİSİ denir. İki matris arasında aşağıda verilen ilişki vardır:

7 MATLAB Kullanılarak DFT Hesaplanması MATLAB de DFT ve ters DFT hesaplamak için mevcut komutlar: fft, ifft Bu fonksiyonlar, doğrudan hesaplama yerine etkin hesap yükünü oldukça azaltan FFT algoritmasını kullanmaktadır. Aşağıda x[n] = cos(6πn/16), 0 n 15 dizisinin DFT ve DTFT sinin genliği çizilmiştir.

8 DTFT nin DFT den Aradeğerlemeyle Hesaplanması N uzunluklu x[n] dizinin DFT si X[k], dizinin DTFT si X(e jω ) nın düzgün aralıklı ω k = 2πk/N, k = 0,1,, N 1 noktalarındaki frekans örnekleridir. O halde, N uzunluklu x[n] dizinin DFT si X[k] verildiğinde dizinin DTFT si X(e jω ) X[k] dan belirlenebilir. r aşağıdaki şekilde tanımlansın. S, r cinsinden şeklinde yazılabilir.

9 Yukarıdaki tanımları kullanarak DTFT nin DFT den Aradeğerlemeyle Hesaplanması veya eşdeğer olarak yazabiliriz. O halde, Sonuç olarak DTFT ile DFT arasındaki ilişki şöyledir:

10 DTFT nin Örneklenmesi DTFT si X(e jω ) olan x[n] dizisini ele alalım. X(e jω ) yı düzgün aralıklı ω k = 2πk/N, k = 0,1,, N 1 noktalarında örnekleyerek N adet X(e jωk ) frekans örneği elde ederiz. Bu N adet frekans örneği N nokta ters DFT si N uzunluklu y[n] dizisi olan N nokta DFT Y[k] gibi düşünülebilir. Aşağıda X(e jω ) ve Y[k] verilmiştir. Amacımız, y[n] ile x[n] arasındaki ilişkiye hesaplamaktır. Y[k] ya ters DFT uyglanarak y[n] elde edilir:

11 DTFT nin Örneklenmesi y[n] ile x[n] arasındaki ilişkiyi bulmak için aşağıda eşitlikten yaralacağız: Bu sonuç, önceki saydaki köşeli parantez içindeki terim yerine konulursa gerekli sonuç şöyle bulunur: Sonuç: y[n] dizisi x[n] dizisinin sonsuz sayıda ötelenmiş kopylarının toplamıdır. Kopyalar x[n] dizisinin N nin tamsayı katları kadar ötelenmesiyle elde edilir ve toplam sadece 0 n N 1 aralığında dikkate alınır. Formülü sonlu uzunluklu dizilere uygulamak için, belirtilen aralık dışındaki örneklerin sıfır olduğunu varsayarız. O halde, M N olacak şekilde x[n] M uzunluklu bir dizi ise 0 n N 1 aralığında y[n] = x[n]

12 DTFT nin Örneklenmesi Ancak, M > N olduğunda, örtüşme meydana gelir ve x[n] y[n] den elde edilemez. Örnek: Aşağıda verilen diziyi ele alalım: Dizinin DTFT si X(e jω ) yı ω k = 2πk/4, k = 0,1,2,3 noktalarında örnekleyerek ve daha sonra bu diziye 4 nokta ders DFT uygulayarak buluruz. Yani, {x[n]} {y[n]} den hesaplanamaz.

13 DFT Kullanılarak DTFT Hesaplanması M >> N olmak üzere, X(e jω ) yı ω k = 2πk/M, k = 0,1,,M 1 frekanslarında hesaplamak istiyoruz. x e [n] dizisi şöyle tanımlansın: X(e jω ) yı x e [n] dizisi cinsinden yazmak mümkündür: O halde, X(e jω ) M uzunluklu x e [n] dizisinin M nokta DFT si X e [k] dır. M, 2 nin bir tamsayı katı ise X e [k] FFT ile etkin bir şekilde hesaplanabilir.

14 DFT Özellikleri

15 DFT Özellikleri

16 DFT Özellikleri

17 Bir Dizinin Dairesel Ötelemesi 0 n N 1 aralığında tanımlı N uzunluklu bir diziyi ele alalım. x[n] böyle bir dizi ise, ötelenmiş dizi x 1 [n] = x[n n 0 ] 0 n N 1 aralığında tanımlı olmayacaktır. O halde, ötelenmiş dizi daima 0 n N 1 aralığında tanımlı olacak şekilde bir öteleme tanımlamamız gereklidir. DAİRESEL ÖTELEME olarak adlandırılan bu öteleme mod operatörü kullanılarak şeklinde tanımlanır. n 0 >0ise(sağ tarafa dairesel öteleme), yukarıdaki denklem anlamına gelir. N uzunluklu dizi bir daire üzerinde eşit aralıklı N nokta olarak gösterilirse, dairesel öteleme operatörü dizinin saat yönünde veya saat yönünün tersinde n 0 örnek döndürülmesi gibi düşünülebilir.

18 Bir Dizinin Dairesel Ötelemesi

19 Dairesel Konvolüsyon N uzunluklu g[n] ve h[n] dizilerini ele alalım. İki dizinin doğrusal konvolüsyonu (2N 1) uzunluklu y L [n] dizisini verir: y L [n] dizisi hesaplanırken iki dizinin uzunlukları (2N 1) olacak şekilde sonlarına sıfır eklendiği varsayılmıştır. y L [n] dizisi, h[n] dizisinin ters çevrilmesi ve sağa ötelenmesinden oluşturlur. N uzunluklu bir dizi veren konvolüsyona benzer bir işlem tanımlamak için dairesel öteleme kullanmak gereklidir. Sonuçlanan işleme DAİRESEL KONVOLÜSYON denir aşağıdaki eşitlikle tanımlanır: İşleme, N uzunluklu iki dizi içerdiğinden N nokta dairsel konvolüsyon da denir ve notasyonu ile gösterilir.

20 Dairesel Konvolüsyon Örnek: 4 uzunluklu aşağıdaki iki dizinin dairesel konvolüsyonunu hesaplayalım. 0 n 3

21 Dairesel Konvolüsyon

22 Dairesel Konvolüsyon Dairesel konvolüsyon DFT kullanılarak da hesaplanabilir. Yukarıda verilen örneği DFT kullanarak çözelim.

23 Dairesel Konvolüsyon

24 Dairesel Konvolüsyon

25 Dairesel Konvolüsyon

26 Dairesel Konvolüsyon Örnek: Yukarıda verilen iki diziyi sonlarına sıfır ekleyerek 7 uzunluklu genişletilmiş diziler g e [n] ve h e [n] oluşturalım ve genişletilmiş dizilerin 7 uzunluklu dairesel konvolüsyonunu hesaplayalım.

27 Dairesel Konvolüsyon Not: Sonuç y[n], g[n] ve h[n] dizilerinin doğrusal konvolüsyonundan elde edilen y L [n] dizisine eşittir.

28 DFT ile Doğrusal Konvolüsyonun Hesaplanması N ve M uzunluklu g[n] veh[n] dizilerini ele alalım. L = M+N 1 olsun. İki dizinin sonlarına sıfır ekleyerek L uzunluklu genişletilmiş diziler g e [n]veh e [n]oluşturalım: Ohalde, Blok diyagram gösterilimi aşağıda verilmiştir:

29 Dairesel Konvolüsyon N nokta dairesel konvolüsyon vektör matris notasyonunda aşağıdaki gibi yazılabilir. Matrisin herhangi bir köşegenindeki tüm elemanların eşit olduğuna dikkat ediniz. Böyle matrislere DAİRSEL MATRİS denir.

30 Dairesel Konvolüsyon Tablo Yöntemiyle Hesaplanması Yöntem, 4 uzunluklu iki dizinin dairesel konvolüsyonu için bir örnekle gösterilecektir. İlk önce dizilerin örnekleri aşağıda gösterildiği gibi çarpılır. İkinci, üçüncü ve dördüncü satırlardaki kısmi çarpımlar şekilde gösterildiği gibi sola dairesel ötelemeyle elde edilir.

31 Dairesel Konvolüsyon Tablo Yöntemiyle Hesaplanması Dairesel ötelemeden sonra değiştirilmiş tablo şu şekilde olur: {y c [n]} dizisinin elemanları, örneğe karşılık gelen sütundaki 4 çarpım toplanarak bulunur:

32 Gerçel Dizilerin DFT sinin Hesaplanması Pratik çoğu uygulamada, ilgilenilen işaretler gerçeldir. Böyle işaretler için DFT nin simetri özelliklerinden yararlanılarak DFT nin hesaplanması kolaylaştırılabilir. Örneğin, N uzunluklu g[n] veh[n] dizilerinin N nokta DFT si aşağıda gösterildiği gibitekbirn nokta DFT ile hesaplanabilir. İlk önce karmaşık x[n]= g[n]+ j h[n] dizisini tanımlayalım. g[n] = Re{x[n]}, h[n] = Im{x[n]} DFT nin karmaşık işaretler için simetri özelliklerinden gerekli DFT ler G[k] veh[k] şöyle hesaplanabilir: 0 k N 1 için olduğuna dikkat ediniz.

33 Gerçel Dizilerin DFT sinin Hesaplanması Örnek: Aşağıdaki dizilerin 4 nokta DFT lerini hesaplayalım.

34 Gerçel Bir Dizinin 2N nokta DFT sinin N nokta DFT ile Hesaplanması 2N uzunluklu v[n] dizisinin 2N nokta DFT sini hesaplamak istiyoruz. N uunluklu aşağıda verilen iki dizi tanımlayalım: g[n] = v[2n], h[n] = v[2n+1], 0 n N O halde,

35 Gerçel Bir Dizinin 2N nokta DFT sinin N nokta DFT ile Hesaplanması Örnek: Aşağıda verilen 8 uzunluklu dizinin 8 nokta DFT sini iki adet 4 uunluklu DFT cinsinden hesaplayalım. İlk önce, 4 uzunluklu iki dizi oluştururuz: Daha sonra, gerekli DFT yi hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanırız:

36 Gerçel Bir Dizinin 2N nokta DFT sinin N nokta DFT ile Hesaplanması