Onüçüncü Bölüm Zaman Serisi Analizi

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Onüçüncü Bölüm Zaman Serisi Analizi"

Erdem Eren Erkan
6 yıl önce
İzleme sayısı:

1 OnüçüncüBölüm ZamanSerisiAnalizi Hedefler Buüniteyiçalktansonra; Zaman serisine en uygun tahmin denklemini belirler, Tahmin denklemini kullanarak projeksiyon yapar, Tahminler için yaplan hatay ölçer, Belli bir olask düzeyinde tahmin aral belirler, Bulduu sonuçlar yorumlar. Anahtar Kavramlar Zamanserisi Zamanserisigrafi Hareketliortalama Enküçükkareleryöntemi Trend çindekiler 13.ZamanSerisiAnalizi 13.1ZamanSerisiAnalizi 1)Artan Zaman Serisi )Azalan Zaman Serisi 3)Durgun ve Dalgal Zaman Serileri 13.ZamanSerileriniEtkileyenFaktörler 13.3HareketliOrtalamalar 13.4EnKüçükKareleröntemi 1)Doru Denklemi (l Say Tek) ) Doru Denklemi (l Say Çift)

2 Zaman Serisi Analizi 13. ZAMAN SER 13.1 ZAMAN SER ANAL Gözlem sonuçlarn yl, hafta ve gün gibi bir zaman vasfn klarna göre ralanmasyla zaman serisi elde edilir. Zaman serisinde, zaman vasfn karnda gözlem deerleri yer almakta, bu ekilde istatistik ararmasna konu olan olayn zaman içinde sergiledii dekenlik gözlenmektedir. 1) Artan Zaman Serisi Serideki deerler zamanla artma eilimi tayorsa, bu serilere artan zaman serisi denir. Tablo 1 Bir firmann Üretimi llar Üretim (Adet)

3 statistik 3 ekil 1 Bir firmann üretimi Artan zaman serisine örnek olarak yllar itibariyle ülke nüfusu, bir ülkedeki isizlerin say, otomobil üretimi, kii bana düen çelik tüketimi vs gibi olaylar gösterilebilir. ) Azalan Zaman Serisi Deerler zaman içinde düme eilimi tayorsa azalan zaman serilerinden bahsedilir. Okuma yazma bilmeyen say, doal ipek üretimi gibi olaylar azalan zaman serilerine konu olabilir. Grafikte bir firmann birim maliyetleri azalan bir seri halinde gösterilmitir. Tablo Bir firmann birim maliyetleri llar Birim Maliyet (TL/Adet) , , , ,4 01 3

4 4 Zaman Serisi Analizi ekil Bir firmann birim maliyetleri 3) Durgun ve Dalgal Zaman Serileri Üretim, fiyat, sat, içi say gibi ekonomik olaylar çou kez dalgal bir yapda görülür. iyecek, içecek ve giyecek talebinde mevsime ba olarak art ve azallar meydana gelebilir. Örnein dondurma satlar mevsimin etkisiyle yaz aylarnda artarken, havalarn soumasyla satlar azalmaya balar. Durgun zaman serilerinde olay, hiçbir deme göstermez, hep ayn kalr. Baz gelimi ülkelerde nüfus art buna örnek olarak gösterilebilir. Tablo 3 Aylara göre iten ayrlan içilerin da Ocak 15 Temmuz 8 ubat 10 ustos 0 Mart 8 Eylül 10 Nisan 18 Ekim 5 Mays 30 Kasm 10 Haziran 34 Aralk 18

5 statistik 5 ekil 3 Aylara göre iten ayrlan içilerin da 13. ZAMAN SERLER ETKLEEN FAKTÖRLER Zaman serileri incelendiinde, bu serilerin çeitli hareketler gösterdii izlenir. Bu hareketler düzensiz ini çlar eklinde olabilecei gibi vadeye göre uzun veya ksa dalgalanmalar eklinde de görülebilir. Bir zaman serisinde ile gösterilen fiili gözlem deerleri, Genel eilim (Trend), Konjonktür, Mevsim ve arzi faktörlerin etkisi ile meydana gelir ve u ekilde gösterilir: T K M A

6 6 Zaman Serisi Analizi ekil 4 irmi yllk zaman sürecinde konjonktür Pek çok zaman serisi uzun dönemde kararl bir ekilde yükselme ya da düme eilimi gösterir. Bu görüntüye genel eilim veya "trend" ad verilir HAREKETL ORTALAMALAR öntemin esas, zaman serisini kümelere ayrmak ve her kümenin aritmetik ortalamas hesaplayarak kümenin ortasna isabet eden yn üzerinde bir nokta aretlemektir. Daha sonra bu noktalar birletirerek hareketli ortalamalar eilim (trend) çizgisini çizmektir. Kümeler oluturulurken zaman serisindeki fiili gözlem deerleri her seferinde bir yl aya kaydlarak ortalamalar hesapland için bu yönteme "hareketli ortalamalar" ad verilir. Zaman serisindeki kümelere ayrlan fiili gözlem sayna göre hareketli ortalamalar ikierli, üçerli, dörderli,, on ikierli gibi isimler alr. Hareketli Ortalama çin Kümelerdeki Gözlem Sayn Belirlenmesi: Hareketli ortalamalarn dalga uzunluuna eit olacak ekilde hesaplanmas gerekir. Bunun için zaman serisinin grafii çizilerek iki maksimum ya da iki minimum deer arasndaki zaman periyodu yl baznda belirlenir.

7 statistik 7 ekilde görüldüü gibi, bu zaman serisi için iki minimum arasndaki dalga uzunluu dikkate alrsa, beerli hareketli ortalama kullanlmas uygun olur. Baz durumlarda birden fazla dalga ortaya çkabilir ve bunlarn da uzunluklar farkl farkl olabilir. Örnein dalga uzunluklar 3, 4,6 ve 3 olan bir zaman serisinde hareketli ortalamalarn kaçarl olaca hesaplamak için bunlarn ortalamas alrsa 4 bulunur. Hesaplanan ortalamann ondalkl çkmas durumunda en yakn tamsay alr. Tablo 4 Tek say hareketli ortalamalar Fiili Deerler Üçerli Hareketli Ortalamalar Beerli Hareketli Ortalamalar n1 n n1 n n 1-3 n - -

8 8 Zaman Serisi Analizi Üçerli hareketli ortalama hesaplanrken ilk üç deerin ortalamas alnmakta, ortadaki ikinci deerin yerine geçmektedir. Üçerli ortalamalar hesaplanrken batan ve sondan birer olmak üzere toplam iki deer eksilirken, beerli hareketli ortalamalarda ise toplam dört terim eksilmektedir. Tablo 5 Üçerli hareketli ortalamalar llar Üretim Üçerli hareketli ortalamalar Dalga uzunluklar üçer yl olduundan üçerli hareketli ortalamalar hesaplanr ve grafik üzerinde gösterilirse trend belirlenmi olur. ekil 13-6 Üçerli hareketli ortalamalarla trend

9 statistik EN KÜÇÜK KARELER ÖNTEM En küçük kareler yöntemi (EKK), regresyon ve korelasyon konusunda ayrnt biçimde açkland. Zaman serisinin grafii çizildiinde, fiili gözlem deerlerini temsil eden noktalar arasndan en uygun erinin geçirilmesi, en küçük kareler yönteminin temel konusudur. ekil 5 X firmasn dönemi satlar ukardaki ekilde görüldüü gibi zaman serisinin uzun dönemli eilimini temsil etmesi için fiili noktalar arasndan geçebilecek çok sayda fonksiyon olup, bunlardan bazlar unlardr: 1) a bx (doru denklemi) ) a bx cx (ikinci dereceden eri - Parabol) 3) X ab (üstel eri) 1) Doru Denklemi (l Say Tek) Grafikteki noktalarn konumuna göre, doru denkleminin uygun olduunu kabul ederek, X firmasn yllar arasndaki sat deerleri için en küçük kareler yöntemi ile trend dorusu ve deerlerini hesaplayalm:

10 10 Zaman Serisi Analizi Tablo 6 EKK ile trend dorusu (uzun yoldan) llar X X X (1) 3, () 3, (3) 4, (4) 4, (5) 5, (6) 6, (7) 6, (8) 7, (9) 7, (10) 8, (11 9, 0 01 Toplam Doru denkleminde a ve b gibi iki parametre olduundan bunlar EKK ile ve uzun yolla hesaplayabilmek için adaki normal denklemler kullanr. na + b X X a X + b X ' a bx ukardaki örnekte gözlem say n 11 dir. Denklemlerde dekenlere ait deerleri yazr ve gerekli ilemler yaprsa; 66 11a 66 b a 506 b Birinci normal denklemin her iki taraf ( - 6 ) ile çarpr ve gerekli sadeletirmeler yaprsa;

11 statistik a b a 506 b b b ,6 Trend dorusunun b katsay b 0, 6 hesaplanm olur. ekil 6 EKK ile doru trend denklemi Bulunan bu b deeri, normal denklemlerden herhangi birinde yerine yazr ve gerekli lemler yaprsa a,4 bulunur. Tahmin dorusu denklemi uzun metotla u ekilde elde edilir. ' X Bu denklemde, X yerine deerleri koyulursa yllar arasndaki tahmini ' deerleri hesaplanabilir: Zaman serisinde bamsz deken konumundaki yllar yerine X deerlerini aritmetik bir dizi eklinde ve toplamlar sr olacak ekilde düzenlenir, ilemler buna göre yapr.

12 1 Zaman Serisi Analizi Tablo 7 EKK ile trend dorusu (ksa yoldan) llar X X X ' ,6( 5) 3, ,6( 4) 3, ,6( 3) 4, ,6( ) 4, ,6( 1) 5, ,6(0) 6, ,6( 1) 6, ,6( ) 7, ,6( 3) 7, ,6( 4) 8, ,6( 5) 9, 0 01 Toplam ' a bx Doru denkleminde a ve b gibi iki parametre olduundan bunlar hesaplayabilmek için iki denklem gerekir. na + b X X a X + b X X 0 olduundan normal denklemler na X b X eklinde sadeleir ve a ve b kolayca hesaplanabilir a b n X X yukardaki tabloda elde edilen, X ve X denklemindeki a ve b parametreleri u ekilde hesaplanr: deerleri yardyla doru

13 statistik X 66 a 6 b 0. 6 n 11 X 110 a ve b parametreleri denklemde u ekilde gösterilir: ' X denklemde X yerine deerleri koyarak yllar arasndaki tahmini ' deerleri hesaplanabilir: ekil 7 EKK ile ksa yoldan doru trend denklemi ) Doru Denklemi (l Say Çift) l say çift olursa, X deerleri için ortaya düen bir deer bulunmaz. Bu durumda serinin ortasndaki iki yn ortasna düen tarih orijin kabul edilir aralndaki 10 yllk zaman serisinde ortadaki iki yl 007 ile 008 dr. 007 y için X deeri ( 1) 008 y için (+ 1) alr. 007 den önceki yllar ikier ikier azalrken, 008 dan sonraki yllar ise ikier ikier artr. Bu ekilde elde edilen X deerleri hem aritmetik bir dizi oluturur, hem de toplamlar sr çkar.

14 14 Zaman Serisi Analizi llar X X X ' ,9 0,3( 9) 4, ,9 0,3( 7) 4, ,9 0,3( 5) 5, ,9 0,3( 3) ,9 0,3( 1) 6, ,9 0,3( 1) 7, ,9 0,3( 3) 7, ,9 0,3( 5) 8, ,9 0,3( 7) ,9 0,3( 9) 9, a b n X X ,9 0.1 Doru denkleminin a ve b parametreleri hesaplandktan sonra; ' 6,6 0. 1X ekilde bulunur.

15 statistik 15 DeerlendirmeSorular 1. = 10.5 X denkleminde bamsz deken 4 olursa baml deken ne olur? (a) (b).5 (c) 5 (d) 7.5 (e) X dorusu eksenini hangi noktada keser? (a) 0 (b) 0,5 (c) 1 (d) 5 (e) 5, X dorusu eksenini hangi noktada keser? (a) 0 (b) 0,5 (c) 1 (d) 5 (e) 5,5 4. daki grafikte noktalar en iyi temsil eden dorusal fonksiyon hangisidir? (a) = 4X (b) = X- 4 (c) = 4 + X (d) = X + (e) = + X

16 16 Zaman Serisi Analizi 5. daki zaman serisinde dalga uzunluu kaç yldr? (a) (b) 4 (c) 5 (d) 6 (e) 8 6. dakilerden hangisi trend hesabnda kullanlan yöntemlerden biridir? (a) Serbest çizim yöntemi (b) ar ortalamalar yöntemi (c) Hareketli ortalamalar yöntemi (d) En küçük kareler yöntemi (e) Hepsi 7. daki doruyu en iyi temsil eden fonksiyon hangisidir? (a) = (b) = X- (c) = - + X (d) = X + (e) = X 8. Bir zaman serisini meydana getiren faktör adakilerden hangisidir? (a) Trend, (b) Mevsim, (c) Konjonktür, (d) Düzensiz hareketler, (e) Hepsi

17 statistik Ekonomideki uzun vadeli dalgalanmalara ne denir? (a) Trend, (b) Mevsim, (c) Konjonktür, (d) Düzensiz hareketler, (e) Hiçbiri 10. En küçük kareler yöntemi ile ne hesaplanr? (a) Trend denklemi, (b) Olask, (c) Fiyat indeksi, (d) Miktar indeksi, (e) Standart sapma Kaynakça Özkan, lmaz (008), Uygulamalstatistik II, Sakarya aynck, Sakarya.

Benzer belgeler

3 1 x 2 ( ) 2 = E) f( x) ... Bir sigorta portföyünde, t poliçe yln göstermek üzere, sigortal saysnn

3 1 x 2 ( ) 2 = E) f( x) ... Bir sigorta portföyünde, t poliçe yln göstermek üzere, sigortal saysnn SORU : Aada tanm verilen f fonksiyonlarndan hangisi denklemini her R için salar? f + = f t dt integral e A) f = e B) f = e C) f D) f = E) f = e ( ) = e ( ) SORU : Bir sigorta portföyünde, t poliçe yln