Çatlak Bulunan AlaĢımlı Çelik Levhanın Gerilme Analizi B. ĠĢcan 1*, H. Adin 2 and A. Turgut 3

Transkript

1 6 th International Advanced Technologies Symposium (IATS 11), May 211, lazığ, Turkey Çatlak Bulunan AlaĢımlı Çelik Levhanın Gerilme Analizi B. ĠĢcan 1*, H. Adin 2 and A. Turgut 3 1* University of Batman, Batman Turkey, bahattini@yahoo.com 2 University of Batman, Batman, Turkey, hamit.adin@batman.edu.tr 3 University of Fırat, lazığ, Turkey, aydinturgut@firat.edu.tr Stress Analysis of Alloy Steel Plate Abstract In this study, stress analysis was done on a plate of alloy steel that has a crack in its middle and subjected to axial load. Numerical solutions were made by using the Finite lement Method(FM). In the solution, program of ANSYS(1.) was used. For sensitiveness of stress distributions, small dimensions were taken for plate. This small plate was divided into finite small pieces. The applying tension load on the plate was taken as point load and disturbed load in different magnitudes. In this analysis finally, stress distributions were given as a diagram. In diagrams observed that, when load is applied as vertical and parallel along axis of crack, the distribution of stresses are decreased. Keywords Fracture analysis, stress analysis, Finite lement Method(FM). I. GĠRĠġ Makine ve yapı elemanları çalıģtıkları ortam ve göreve uygunluk açısından farklı biçimlerde üretilirler. Özellikle Ģekillendirme esnasında birçok malzeme elasto-plastik davranıģ göstermektedir. Plastik Ģekil değiģtirme nedeniyle makine parçalarında artık gerilmelerin ortaya çıktığı bilinmekle birlikte; artık gerilmeler, genellikle elemanın mukavemetini artırıcı yönde önemli rol oynamaktadır[1]. Bilindiği üzere, makine parçalarına yapılan yüklemenin belirli bir değerin üzerine çıkması halinde oluģan gerilmeler, malzemenin akma gerilmesi üzerine çıkması halinde, plastik deformasyon baģlamaktadır. Bu noktadan sonra yükün kaldırılması halinde malzemede kalıcı Ģekil değiģimleri görülecektir. Plastik deformasyon baģlangıcı ile artık gerilmeler oluģur. Bu artık gerilmeler yardımıyla daha uygun makine parçalarının üretimi gerçekleģtirilebilir. Mühendislik açısından büyük önem taģıyan çatlak problemleri için birçok çözüm yöntemi geliģtirilmiģ ve çok sayıda çözüm verilmiģtir. Birçok mühendislik probleminin elemanter mukavemette verilen formüller ile çözümü yeteri kadar istenilen hassasiyet ve doğrulukta olmayabilir veya bazen imkânsız olabilir [2]. Teorik olarak çözümü çok zor veya bazen mümkün olmayan problemler sayısal yöntemlerle çok kolay bir Ģekilde çözülebilir. Son yıllarda karmaģık mühendislik problemleri sayısal yöntemlerin en çok aranan ve beğenilen tipi olan Sonlu lemanlar Metodu ile çözülebilmektedir. Malzeme üzerinde istenilmeden oluģan veya istenilerek yaratılan delik, çatlak, çentik gibi gerilmelerde süreksizlik gösteren bölgeler civarında gerilmelerin yüklemenin tipine, Ģiddetine ve geometrisine bağlı olarak değiģtiği ve çok küçük bölgelerde çok büyük değerlere ulaģtığı bilinmektedir [3]. Gerilme yığılması olarak tanımlanan bu yüksek gerilmeler böyle süreksiz bölgeler içeren konstrüksiyonlarda tehlikeli durumlar meydana getirebilir ve yapıyı tehlikeli duruma sokabilir. Yapının dıģa karģı gösterdiği davranıģlarından sorumlu olan bu yüksek gerilmelerin tanzim edilmesi ve dolayısıyla konstrüksiyonun boyutlandırılması gerekmektedir. Geometrik süreksizlik içeren bu tip yapılarda oluģan gerilmelerin ve gerilme yığılma katsayılarının elemanter mukavemet formülleri ile doğru ve sağlıklı olarak hesaplanması mümkün olmamaktadır. Bu tip problemler analitik veya daha çok tercih edilen sayısal metotlarla daha kolay ve istenilen hassasiyetle çözülebilir[4]. KarmaĢık geometriye ve karıģık malzeme yapısına sahip olan delik, çatlak, çentik içeren mühendislik yapılarına ait problemleri teorik elastisite ile çözmek hem çok zor hem de zaman alıcı olabilir. Bu tip problemlerin çözümü için yaklaģık çözüm teknikleri adı verilen sayısal çözüm metotları (Sonlu lemanlar, Sonlu Farklar, Kuvvet Serileri vs.) kullanılabilir[5]. Sonuçların deneysel çözüm metotları ile kontrol edilmesi mümkündür. Sayısal çözüm yöntemi olarak son yıllarda oldukça geniģ uygulama alanı bulan özellikle güçlü bilgisayarların bilimsel çalıģmalara girmesiyle problemlerin çözülmesinde büyük kolaylıklar sağlayan Sonlu lemanlar Metodu kullanılmaktadır[6]. Sonlu Farklar Metodu daha eski ve güvenilir olduğu halde, Sonlu lemanlar Metodunun tercih edilmesinin sebepleri aģağıdaki Ģekilde sıralanabilir; Sonlu elemanlar, boyutları ve Ģekillerinin esnekliği nedeniyle verilen bir cismi temsil edebilirler, hatta karmaģık Ģekilli bir cisim daha güvenilir olabilir. Çok bağıntılı bölgeler veya köģeleri olan bölgeler kolaylıkla incelenebilir. DeğiĢik malzeme veya geometrik özellikler bulunan problemler ek bir zorluk göstermez. Sebep sonuç bağıntılarına ait problemler tümel direngenlik matrisi ile birbirine bağlanan genelleģtirilmiģ kuvvetler ve yer değiģtirmeler cinsinden formüle edilebilir [7]. Ġçinde çatlak, çentik gibi gerilmelerde süreksizlikler meydana getiren boģluk ve kusurlar bulunan mühendislik yapılarının yük altındaki davranıģlarının bilinmesi 259

2 B. İşcan, H. Adin, A. Turgut önemlidir. Kullanıldıkları yere göre yapının boyutlandırılmasının ve malzemenin özelliklerinin belirlenmesi için süreksiz bölgeler(delik, çatlak, çentik) civarında meydana gelen gerilmelerin ve gerilme yığılma katsayısının analizinin yapılması gerekli olmaktadır. Problemin teorik olarak elastisite teorisi ile çözülebilmesi mümkündür. Fakat bilgisayar kapasitesinin ve iģlem hızının çok yüksek olması nedeniyle teorik olarak çözümlenmesi çok zor olan bu tip problemlerin sayısal yöntemlerle çözülmesi ve sonuçların deneysel metotlarla kontrol edilmesi mümkün olmaktadır. ÇalıĢmamızda çatlak bulunan alaģımlı çelik levhaya hem tekil yük hem de yayılı yük çatlak eksenine paralel ve dik uygulanmıģ ve sonuçlar ANSYS(1.) programıyla elde edilmiģtir. II. KIRILMA MKANĠĞĠ Ġnsanın kırılma kavramıyla tarihin baģlangıcından beri yakından ilgili olduğu bilinmektedir. Sanatçılar çanakçömlek ve mozaik yapımında çatlaklardan süsleme unsuru olarak yararlanmıģlardır. Ancak, kırılmanın mühendislik açısından önem kazanması uzun zaman almakla birlikte, hemen tüm malzemelerin kritik bir düzeyin üzerinde yüklenince kırılmaya eğilimli oldukları gerçeği mukavemet bilim dalının ilk araģtırmacıları tarafından fark edilmiģ ve kırılma mukavemetinin bir malzeme özelliği olması gerektiği onlara son derece mantıklı görünmüģtür. Böylece ilk kırılma teorilerine temel olan kritik gerilme kavramı ortaya çıkmıģtır. Bu fikir özellikle mühendisler için çok çekici görünmüģtür. Bir yapı elemanında yüklemeden doğacak gerilme, kullanılan malzeme için saptanmıģ olan kritik gerilme sınırını geçmeyecek biçimde yapılan boyutlandırma yeterli olacaktır. Ancak, zamanla çok sayıda köprü, uçak, gemi gibi mühendislik yapısının, hesaplarında hata olmamasına karģın, yıkılıp parçalanması kritik gerilme kriterinin geçerliliği konusunda ciddi kuģkulara yol açmıģtır. Malzemelerin kırılma mukavemetinin sabit olmayıp bazı durumlarda çok büyük farklılıklar gösterdiği araģtırmalar sonucu anlaģılmıģtır. Sıcaklık, kimyasal çevre, yükleme hızı gibi koģulların malzemelerin mukavemetinde sistemli değiģimlere yol açtığı gözlenmiģtir. Bundan baģka, farklı tip malzemeler tümüyle farklı biçimlerde kırılmaya uğradılar. Örneğin, çekme uygulanan cam kritik bir noktaya kadar elastik davranıģ gösterip aniden koparken, birçok metallerde yırtılmadan önce büyük ölçüde plastik akma gözlenmiģtir. Bir malzemenin karakteristik bir gerilme düzeyinde kırılması gerektiği tezi fiziksel prensiplere dayanmaktadır. Deney numunesi küçüldükçe kırılma mukavemetinin belirli bir artıģ göstermesi bunu kanıtlamaktadır. Kırılma, katı malzemede yeni yüzeyler oluģması anlamına geldiği için bu olayın en temel düzeydeki görünümü, malzeme içindeki atomlar arası bağların kopması biçimindedir. Atom boyutundaki kusurlar veya boģluklar giderek büyür ve çatlakları oluģturur. Bunun sonucunda kırılma oluģur. Yani kırılma, atom düzeyinde baģlayıp, yapı elemanı düzeyine kadar giden karmaģık bir olaydır[7]. III. GVRK ve SÜNK MALZMLRD ÇATLAK OLUġUMU Çatlak oluģum mekanizmalarının gevrek, yarı gevrek ve sünek malzemeler için farklıklar göstermektedir. Gevrek malzemelerde dislakasyonlar hareketsizdir, yarı gevrek malzemelerde belirli sayıda kayma düzleminde hareketlidir, sünek malzemelerde ise tümüyle hareketlidir. Gevrek malzemelerdeki kusurların önemli özelliği malzemenin mukavemetini büyük ölçüde etkilemeleridir. Bu kusurlardan önem arz edeni genel olarak malzemenin yüzeye yakın kesiminde görülmesi Ģeklinde ele alınabilir. Diğer kusur ise, gevrek malzemelerin boy ve doğrultu bakımından çok farklılık göstermeleridir. n yaygın çatlak oluģum mekanizması cisim yüzeyinin sürtünme ile çizilmesidir. Böylece çizilen kısmın çevresinde çekme etkisinde olan bir yüzey tabakası oluģur. Kritik yükleme sonucu bu bölgede hertz koni çatlakları oluģur [8]. Yarı gevrek malzemelerde çatlak oluģmasından önce belirli ölçüde plastik akma olmaktadır. Bu tip malzemelerin mukavemeti kusur dağılımına değil, akma özelliklerine bağlıdır. Akma düzlemlerindeki kayma gerilmesi, çatlak düzlemindeki normal gerilmeden daha önemlidir. Çatlak, çekmeyle olduğu kadar basınçla da oluģabilir. Kristaller plastik Ģekil değiģtirmelere uğrayamadıkları için bir rahatlama mekanizması olarak çatlak oluģur. Bir kristal, akma sınırını geçen bir yükle yüklenince dislakasyon kaynakları çalıģmaya baģlar ve kayma gerilmesinin büyük olduğu belirli düzlemlerde kaymaya neden olur. Dislakasyonlar engellerle karģılaģınca gerilme yığılmalarına yol açan dislakasyon kümeleri oluģur. Bu kümeler ya malzemenin plastik akmaya uğraması veya dislakasyon kümelerinin etkileģerek çatlak oluģması sonucunu doğurur. Sünek malzemeler için plastisite en önemli etkendir. Dislakasyonlar çok sayıda düzlemde kayabildikleri gibi, bir kayma düzleminden bir baģkasına da geçebilirler. Tek bir kristal alınıp iki ucuna basit çekme uygulansa, kristal, atom düzlemleri kayıp tamamen ayrılana kadar plastik Ģekil değiģtirmeye uğrar ve hiçbir çatlak oluģmaz [9]. Pratikte bu kayma ve kopma, boyun adı verilen bölgede yoğunluk kazanır. Malzeme içerisinde çok küçük kusurlar olduğunda, büyük gerilme yığılmaları olan kısımlarda boģluklar oluģturur. Ancak, sünek malzemede boģluklardan çatlaklar oluģmaz; boģluklar arasındaki kısımlar çekme altındaki minyatür, plastik elemanlar gibi davranarak uzar. Böylece kayma ile baģlayan kopma, sünek bir yırtılma oluģturur. Malzemelerin sınıflandırılmaları çatlak oluģum mekanizmalarına bağlı olarak kopmadan önce önemli ölçüde plastik Ģekil değiģtirme yapıp yapmamalarına göre olmaktadır. Pratikte basit çekme deneyinde, kopma sırasında uzama oranı %5 den fazla olan malzeme sünek, az olanda gevrek olarak adlandırılır [1]. Mühendislik yapılarında sünek halden gevrek hale geçiģ çatlak oluģma enerjisinde azalmayla birlikte ani kopmaya yol açmanın nedeni sıcaklık azalmasıdır. Dislakasyonların hareketliliği sıcaklılığa karģı çok duyarlıdır ve sıcaklılığın azalması kayma serbestliliğini büyük ölçüde azaltmaktadır. Bu nedenle çoğu katı maddeler erime noktasının hemen 26

3 Çatlak Bulunan Alaşımlı Çelik Levhanın Gerilme Analizi altında sünek olmalarına karģın, düģük sıcaklıklarda gevrek davranıģ gösterirler. Metallerin gevrek kırılması ise atomik bağların kopması sonucu kristal yapı düzlemlerinde doğrudan doğruya ayrılma yoluyla olur[7]. Çatlak problemlerinin çözümünde gerilme Ģiddet faktörü(ki) önemli bir yer almaktadır. Bu değeri etkileyen faktörlerden biri plaka kalınlığıdır(burada kalınlık 1 mm alınmıģtır.). Bu değer levha kalınlığı(d) ve malzeme cinsine bağlı olarak d 2.5(KI/σ a ) 2 eģitliği ile bulunmuģtur. Değerler ASTM 399 ve BS 5447 e göre standartlaģtırılmıģtır. Bu nedenle KI/σ a = 4 alınmıģtır[11]. IV. GRĠFFĠTH NRJĠ KRĠTRĠ Malzeme bilimindeki yeni geliģmeler kırılma olayının aģamaları hakkındaki bilgimizin artmasını sağlamıģtır. Bununla birlikte temel prensiplere dayanan gerçek bir bilimsel disiplin olarak, kırılma teorisinin ortaya çıkıģı ĢaĢırtıcı bir biçimde yavaģ olmaktadır. Problemlerin pratik çözümlerinin çok ivedi olarak bulunması gereği araģtırmacıları dar çerçevelere sokmuģ, yalnızca kendi problemlerine çözüm aramıģ ve çoğu baģka problemlere uygulanamaz, çok sayıda deneye dayalı kırılma teorileri ortaya atılmasına neden olmuģtur. Bunlar malzeme tipine ve kırılma modeli düzeyine bağlı olarak kendi doğrultularında ilerlemiģlerdir. Bu karıģıklık içinde temel düzeyde bir bağ kurulmuģ bulunmaktadır. Bu bağ Griffith in 192 yılında yayınlanan makalesinde ortaya attığı, kırılmada enerji dengesi prensibidir. Griffith in fikri son derece basittir: Bir çatlak sisteminde küçük bir değiģim sırasında değiģen tüm enerji terimleri hesaba katılarak çatlak uzaması için gerilme koģulları tanımlayan bir temel baģlangıç denklemi yazılmaktadır [12]. Prensip, mekanik ve termodinamiğin enerji korunumu prensibinden farklı değildir. Bu doğal olarak çatlak sistemlerinin dengede veya dinamik, karalı veya karasız gibi sınıflandırılmalarını sağlar. Griffith, gerilme uygulanan lineer elastik ve izotrop bir malzeme içindeki bir çatlağı ele alıp, klasik mekanik ve termodinamiğin temel enerji teoremlerini kullanarak çatlağın uzaması için bir kriter elde etmiģtir. Griffith in baģlangıç noktası Inglish in üniform çekme uygulanan bir levhada bulunan eliptik bir delik için yaptığı gerilme analizidir. Ġçinde eksenleri 2a ve 2b uzunluğunda (a>b) eliptik bir delikte bulunan bir levhaya elipsin uzun eksenine dik yönde üniform bir çekme gerilmesi uygulanmaktadır. Bu durumda gerilme, en büyük değerini, 1 2 a / b (3.1) olarak elipsin tepesinde alır. düģünülürse b<<a olan bir elips / 2 a / b (3.2) olarak elde edilir. Delik inceldikçe büyüyen bu oran elastik gerilme yığılım katsayısı olarak bilinmektedir. Bu analiz keskin bir çentik veya köģede oluģan yerel gerilmelerin, uygulanan gerilmelerin birkaç katı yüksekliğinde düzeylere kadar çıkabileceğini göstermiģtir. Böylece malzeme içindeki çok küçük kusurların bile malzemenin mukavemetini büyük ölçüde etkileyeceği açıkça görülebilmektedir. Ancak, gerilme yığılımı deliğin büyüklüğüne değil, biçimine bağlı olarak değiģmektedir. Bu çatlaklar için geçerli değildir: Pratikte büyük çatlaklar küçüklerden daha kolay ilerler. Ġçinde 2a boyunda denge durumunda bir çatlak bulunan ve dıģ yüzüne yükler uygulanan bir elastik cisim olsun. Bu statik çatlak sistemi için toplam enerji, U wl U U (3.4) S olarak yazılabilir. Burada W dıģ yüklerin yaptığı iģi, L U Ģekil değiģtirme enerjisini U serbest yüzey S enerjisini göstermektedir. Parantez içindeki terimler sistemin mekanik enerjisidir. Çatlak iki ucundan da a kadar uzasın. Termodinamik denge, mekanik enerji ve yüzey enerjisi terimlerinin dengelenmesiyle elde edilir. Çatlak uzamasıyla mekanik enerji azalır. Buna karģılık yüzey enerjisi artar. Yani (3) ifadesinde birinci terim çatlak uzamasına yardım ederken ikinci terim karģı koyar. Bu, Griffith enerji dengesi kriteridir ve denge durumu, du (3.4) da olarak verilebilir. (4) denkleminin sol tarafının negatif veya pozitif olmasına göre baģlangıçta denge durumunda olan çatlak uzar veya kapanır. Griffifth, Inglis in analizinden yararlanabilmek amacıyla üniform çekme altındaki bir alanda ince, eliptik bir çatlak ele almıģtır. Griffith kopmaya kadar hep Hooke yasasının geçerli olduğu bir malzeme olarak da camı seçmiģtir. Ayrıca mekanik enerji terimini hesaplayabilmek için sabit yükleme durumunda geçerli olan, WL 2U (3.5) bağıntısı kullanılmıģtır. ġekil değiģtirme enerjisini Inglis in çözümünden yararlanarak, U 2 2 a (3.6) * olarak hesaplanmıģtır. Burada çatlak düzlemine dik yönde uygulanan çekme gerilmesi, a yarı çatlak uzunluğu ve ile sırasıyla lastisite modülü ve Poisson oranı olmak üzere * 2 /(1 ) (3.7) biçiminde tanımlanır [13]. Birim alan için serbest yüzey enerjisi ile gösterilip yüzey enerjisi 261

4 B. İşcan, H. Adin, A. Turgut U S 4a (3.8) olarak yazılırsa, birim çatlak geniģliği için toplam enerji 2 2 a U 4a (3.9) * olarak bulunur [14]. (9) ifadesi (4) Griffith denge koģullunda yerine konursa sabit yükleme durumu için, * 2 a elde edilir [15]. 1/ 2 (3.1) 2 d U negatif olduğu için sistemin 2 da enerjisi denge durumunda en büyüktür ve çatlak dengesi karasızdır. Uygulanan gerilme denklem(1) daki kritik düzeyi geçerse, çatlak hiç durmaksızın ilerler. Griffith in ele aldığı çatlak sisteminin çok basit ve dengede olmasına karģın, enerji dengesi prensibi, genel olması nedeniyle yaygın olarak kullanılmaktadır. Daha karıģık sistemler için toplam enerji ifadesine yeni terimler eklemek veya terimlerin tanımında değiģiklik yapmak yeterli olmaktadır. Tüm güvenilebilir kırılma teorileri ya doğrudan Griffith in kullandığı prensipten veya onun eģdeğeri olan baģka bir noktadan hareket edilerek geliģtirilmiģtir. Griffith kriterinin genelliğine iliģkin olarak Obreimoff un deneyi önemli bir kanıttır. YarılmıĢ mikanın arasına bir cam takoz yerleģtirerek çatlak dengesinin kararlılığını gözlemiģtir[16]. V. MATRYAL ve MTOT Bu çalıģmamızda malzeme olarak ASTM A 231 alaģımlı çelik levha alınmıģtır. Bu çeliğin alaģım oranları(%) Ģöyledir; C: , Cr:.8-1.1, V:.15. Levhanın boyutları 3 mm x 18 mm, çatlak boyu 8 mm ve çatlak geniģliği ise,5 mm olarak alınmıģtır. AlaĢımlı çelik levhanın mekanik özellikleri tablo 1 de verilmiģtir. ġekil 1: Ortasında merkezi çatlak bulunan levha Levhanın bir tarafı sabitlenerek diğer tarafa tekil ve yayılı çekme yükleri uygulanmıģtır. Çatlağa dik olarak 15 ve 6 Newton luk tekil yükler, yayılı yük olarak 5 N/mm ve 2 N/mm lik yükler çatlağa dik ve paralel olarak uygulanmıģtır. Tablo 1: AlaĢımlı çeliğin mekanik özellikleri Poisson Oranı Çekme mukavemeti (MPa) lastisite Modülü (MPa) Sertlik (HRC) V.I. SONLU LMANLAR MTODU Birçok mühendislik problemi için kapalı matematiksel çözüm elde etmek mümkün olmamaktadır. Böyle bir çözüm, bir sistemde bulunması gereken bilinmeyenlerin değerlerini sistemin herhangi bir noktasında veren matematiksel bir ifadedir. Ancak, değiģik malzeme özellikleri, sınır Ģartları ve geometrileri içeren karmaģık problemler için yaklaģık fakat yeterli sonuçlar veren sayısal çözümlere baģvurmak gerekmektedir. Sayısal yöntemlerin çoğunda çözüm, sistemin düğüm noktaları olarak adlandırılan belirli noktalarında elde edilmektedir. Yapı mekaniğinde matris yöntemleri yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu tür yapılarda düğüm noktalarının yerlerini seçmek kolaydır. Örneğin, kiriģlerin birleģme noktaları ile tekil yüklerin etkidiği noktalar düğüm noktaları olarak kabul edilirler. Fakat sürekli ortamdan oluģan yapılarda (plâk, uçak gövdesi, kabuk vb.), bir çerçeve iskeleti söz konusu olmadığından, kolayca saptanacak düğüm noktaları da bulunmamaktadır. Bu tür yapılarda yapay düğüm noktaları yerleģtirilerek yapının belirli sayıda elemandan meydana geldiği kabulü yapılabilir. Bu sonlu elemanlar iki veya üç boyutlu olabilirlerse de, genellikle iki boyutlu üçgen veya dikdörtgen elemanlar kullanılmaktadır. Sonuç olarak, tek bir iģlemde tüm yapıyı çözmek yerine, çözümler yapıyı meydana getiren her ayrı eleman için formüle edilmekte ve bir araya getirildiğinde tüm yapının davranıģı elde edilmektedir. Böylelikle analiz yönteminin oldukça basitleģtirilmesine karģın yapılacak iģlem sayısı, esas yapıyı oluģturan Sonlu leman Sayısına bağlı olarak artmakta olup iģlemler bilgisayar yardımıyla gerçekleģtirilebilmektedir. ÇalıĢmamızdaki analizlerde, Sonlu lemanlar Metodu olan ANSYS(1.) programı kullanılmıģtır. Kullanılan levhanın meshlenmiģ hali Ģekil 2 de gösterilmiģtir. leman olarak Solid 96 seçilmiģ olup maksimum node ve element sayıları sırasıyla 1778 ve 5876 dır. Gerilme dağılımları açısından kritik olan çatlak bölgesi daha küçük elemanlara bölünmüģtür. 262

5 (N/mm 2 ) ) (N/mm 2 )) Çatlak Bulunan Alaşımlı Çelik Levhanın Gerilme Analizi ġekil 2: Levhanın sonlu elemana bölünmüģ hali V.II. MTODUN GNL BĠR TANIMI Bu metotta Ģekil 1 de görülen levha, her birine eleman adı verilen sonlu sayıda parçalara bölünür. Bu elemanlar birbirine düğüm noktaları ile bağlanır. Her elemanın düğüm noktalarında bazı serbestlik dereceleri tanınır. leman davranıģı bu bilinmeyen serbestlik derecelerini içeren denklemlerle ifade edilmektedir. Gerek düğüm noktalarında gerekse eleman sınır yüzeylerinde bazı süreklilik Ģartları sağlandığında cismin veya yapının matematiksel bir modeli elde edilir. Böylece sonsuz serbestlik derecesi olan bir sürekli ortam sonlu serbestlik derecesi olan bir modele dönüģtürülmektedir. Bu elde edilen modele yapının sonlu eleman ağı adı verilir ,27 sonsuz sayıda nokta ile bağlıdır, fakat sonlu elemanlar yönteminde her elemanın sadece düğüm noktaları vasıtası ile komģu elemanlara bağlı olduğu varsayılır. Böylece deplasmanların uygunluğunun sadece bu noktalarda sağlanması yeterli olacaktır. Sonlu elemanlar metodunda her eleman için bir deplasman modeli seçilir. Bu model, komģu kenarlar boyunca gerekli uygunluk Ģartlarının, hepsini olmasa bile bir kısmını sağlar. Burada amaç matris yöntemi ile çözüme ulaģmak olduğundan, ilk olarak düğüm noktalarındaki kuvvetler ve deplasmanlar bulunacaktır. Bunun için de sisteme etkiyen yükler yerine eģdeğer düğüm noktası yüklerinin konulması gereklidir. Yüklerin çok olduğu kısımlarda her yükün etkidiği noktada bir düğüm noktası olarak seçilir. ÇeĢitli kuvvetlerle çatlak eksenine paralel ve dik olan tekil yük uygulamalarına iliģkin gerilme dağılımları Ģekil 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1 da gösterilmiģtir: Grafiklerde düģey eksenler gerilme dağılımlarını, yatay eksenler çatlağın baģlangıçtan bitiģe kadar olan mesafesini, mm ise çatlak ucunu göstermektedir , , , ,92 14,63 9,72 38,67 25,47 15,94 8,99 3, ,35 4,9 2,27, ġekil 5: Çatlağa dik 6 N luk tekil yük uygulanması durumunda çatlak eksenine paralel gerilme dağılımı ġekil 3: Çatlağa dik 15 N luk tekil yük uygulanması durumunda çatlak eksenine paralel gerilme dağılımı , , ,15 16,71 12,67 1 9,88 7,18 4,68 2, ġekil 4: Çatlağa dik 15 N luk tekil yük uygulanması durumunda çatlak eksenine dik gerilme dağılımı Yapının sonlu elemanlara bölünmesinde değiģik yollar kullanılır ki bu daha ziyade problemin türüne, çözümde istenilen hassasiyet derecesine ve yapılabilecek masraflara bağlıdır. Yapı az sayıda ve büyük elemanlara bölünecek olursa çözüm az zaman alır, fakat sonuçlar yaklaģık olur. Çok sayıda, küçük elemanlar kullanılacak olursa daha doğru sonuçlar alınır, fakat daha fazla bilgisayar masrafları gerekmektedir. Çoğunlukla, gerilmelerin büyük olduğu kısımlarda daha küçük elemanların, diğer kısımlarda ise daha büyük elemanların kullanılmasıdır. Her eleman komģusu olan diğer elemanlara gerçekte ,37 67,1 5,37 39,53 28,84 18,82 1, ġekil 6: Çatlağa dik 6 N luk tekil yük uygulandığında çatlak eksenine dik gerilme dağılımı ,48 1,56 8,53 7,16 6,25 5,56 4,93 4, ġekil 7: Çatlağa dik 5 N/mm lik yayılı yük uygulandığında çatlak eksenine paralel gerilme dağılımı 263

6 B. İşcan, H. Adin, A. Turgut ,48 4) Uygulanan tekil ve düzgün yayılı yükler artırıldığında çatlak eksenine dik ve paralel gerilme değerleri artmıģtır ,24 7,64 6,41 5,76 5,43 5,23 5,11 ġekil 8: Çatlağa dik 5 N/mm lik yayılı yük uygulandığında çatlak eksenine dik gerilme dağılımı ,23 42,73 34,21 28,68 25,2 22,24 19,76 17, ġekil 9: Çatlağa dik 2 N/mm lik yayılı yük uygulandığında çatlak eksenine paralel gerilme dağılımı ,23 36,59 3,58 25,64 23,9 21,71 2,92 2, ġekil 1: Çatlağa dik 2 N/mm lik yayılı yük uygulandığında çatlak eksenine dik gerilme dağılımı KAYNAKLAR [1] Zienkiewicz, D.C., The Finite lement Method. Mc. Graw Hill Book Company, New York, 54, [2] Turgut, A. Rijit bir mesnede yapıģtırılmıģ çekmeye maruz sonlu bir Ģerit problemin çözümü. Doktora tezi, Fırat Üniversitesi Fen Bilimleri nstitüsü, 11-18s, [3] Rao, S.S., The Finite lement Method in ngineering. Printed in Great Britain, ngland, 79, [4] Turgut, A., Sonlu elemanlar metodunun temelleri. Fırat Ü. Müh. Fak. Makine Müh. Böl. Yüksek lisans programı ders notları, lazığ, [5] Geçit, M.R., and Turgut, A. xtension of a finite strip bonded to a rigitsupport. Computational Mechanics, 2 (2), 85-96, [6] Tian, Z.S., A study of stress concentrations in solids with circular holes by three dimensional special hybrid stress finite elements. Journal of Strain Analysis 12 (3), 45-59, 199 [ [7] ĠĢcan, B. ksenel Yüke Maruz ve Ġçinde Yüke Dik Çatlak Bulunan Ġzotropik Bir Levhada Gerilme Analizinin Ġncelenmesi. Yüksek Lisans Tezi, Fırat Üniversitesi Fen Bilimleri nstitüsü, 46, 21. [8] Lawn,B. R., Wilshow,T.R. Fracture of Brittle Solid. Cambridge University Press, London, 259, [9] Inglis, C.. Stresses in a plate due to the presence of cracks and sharp corners. Trans. Inst. Naval Archit., (55), 219, [1] Peterson, R.., Stress Concentration Factors. Wiley, New York, 296, [11] Aran, A., Kırılma Mekaniğine GiriĢ, Tübitak Marmara AraĢtırma Merkezi, 6-16, [12] Griffith, A.A. The phenomena of rupture and flow in solids. Phil. Trans. Roy. Soc. London A, (221), 163, 192. [13] Griffith, A.A. The theory of rupture. Proc. 1st Int. Cong. Appl. Mech., Delft, 55, [14] Sih, G.C., Liebowitz, H. On the griffith energy criterion for brittle fracture. Int. J. Solids Structure, (3),1, [15] Sih, G.C., Liebowitz, H. Mathematical Theroies of Brittle Fracture. Fracture, Vol.2, H. Liebowitz, ed., Academic Press, New York, 125, [16] Obreimoff, J.W. The splitting strength of mica. Proc. Roy. Soc. London, Series A, (127), 29, 193. VI. SONUÇLAR ÇalıĢmamızda, yapılan analizler yardımıyla Ģu sonuçlara ulaģılmıģtır; 1) 15 N luk yük uygulandığında çatlak eksenine paralel ve dik olan gerilmelerde maksimum gerilmeler çatlak ucunda oluģmakta, hemen sonraki bölgede aģırı düģtüğü ve diğer bölgelerde düzgün olarak yayıldığı görülmüģtür (ġekil 3-4). Çatlak eksenine paralel doğrultudaki gerilme dağılımının, çatlak eksenine dik dağılımına göre daha çabuk sıfıra yaklaģtığı gözlenmiģtir(ġekil 9-1). 2) AlaĢımlı çelik levhada çatlak geniģliği sabit tutulup, 15 N luk tekil yük ve 5 N/mm lik düzgün yayılı yük uygulanmıģtır. 15 N luk tekil yük uygulandığında çatlak ucunda oluģan gerilme, 5 N/mm lik düzgün yayılı yük uygulandığında çatlak ucunda oluģan gerilmenin yaklaģık olarak 2 katı kadar meydana geldiği görülmüģtür. 3) Tekil yük uygulandığında gerilmenin çatlak ucundan uzaklaģtıkça, düzgün yayılı yükün uygulandığı durumdan daha fazla azaldığı görülmüģtür. 264