Heat and Mass Transfer: Fundamentals & Applications Fourth Edition Yunus A. Cengel, Afshin J. Ghajar McGraw-Hill, 2011 Bölüm 2 Isı İletimi Denklemi Copyright 2011 The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Türkçe sunumu hazırlayan Yrd.Doç.Dr. Nezaket Parlak
Bu bölümün amacı Isı transferinin çok boyutluluğunu, zamana bağımlılığını ve bir ısı transfer problemine hangi şartlar altında tek boyutlu olarak yaklaşılabildiğini anlamış olmak, Çeşitli koordinat sistemlerinde ısı iletimi diferansiyel denlmei türetilebilmeli ve denklem sürekli tek boyutlu duruma sadeleştirilebilmeli, Yüzeylerde ısıl şartlar belirlenebilmeli ve bunlar matematik sınır ve başlangıç şartları olarak ifade edilebilmeli, Tek boyutlu ısı iletim problemleri çözülebilmeli ve bir ortamda sıcaklık dağılımı ile ısı akısı elde edilebilmeli, Isı üretimi içeren katılarda tek boyutlu ısı iletimi çözümlenebilmeli, Katılarda ısıl iletkenliğinin sıcaklığa bağı olması durumunda ısı iletimi hesaplanabilmelidir. 2
Giriş Isı iletimi, ısıl enerjinin bir ortamdaki yüksek enerjili parçacıklardan bitişiklerindeki daha az enerjili parçacıklara geçişidir. Isı geçişi ve sıcaklık ilişkili kavramlar olmasına rağmen nitelikleri farklıdır. Sıcaklık skaler bir büyüklüktür. Isı geçişi hem büyüklüğe hem de bir yöne sahiptir. Vektörel bir büyüklüktür. Eğer bir yüzeydeki ısı geçişi, iç tarafa doğru ise ısı kazancı, dışa doğru ise ısı kaybı olarak adlandırılır. Esas kural, ısı geçişi koordinat düzleminin pozitif yönüne doğru ise pozitif, negatif koordinat yönüne doğru ise negatif kabul edilir. 3
Isı geçişinin herhangi bir türü için itici güç sıcaklık farkıdır. Sıcaklık farkı ne kadar büyük olursa ısı geçişi de o kadar büyük olur. Isı transfer problemlerinde bazı kritik bölgelerde yerel ısı geçiş hızının hesabı için bir ortam boyunca sıcaklık dağılımının belirlenmesi gerekir. Bir ortamdaki bir noktadaki sıcaklığın tanımlanabilmesi için öncelikle bu noktanın yeri tanımlanmalıdır. Üç temel koordinat sistemi mevcuttur. Kartezyen T(x, y, z, t) Silindirik T(r,, z, t) Küresel T(r,,, t). 4
Sürekli ve Zamana Bağlı Isı Geçişi Sürekli (a) ortam içinde herhangi bir noktada zamanla değişimin olmadığını gösterir. Zamana bağlı (geçici) (b) zamanla değişimi, zamana bağlılığı ifade eder. Bazı durumlarda zamana göre değişimin olduğu, fakat konuma göre değişimin olmadığı ortamın sıcaklığı üniform olarak değişir. Bu sistemlere yığık sistemler denilir. Örneğin; bir ısıl çift (termokupl) ölçme ucu. 5
Çok Boyutlu Isı Geçişi Isı geçişi problemlerinin sınıflandırılması Tek boyutlu İki boyutlu Üç boyutlu Bir ortamdaki ısı geçişi üç boyutludur, yani sıcaklık üç ana doğrultuda değişir. Fakat, bazı problemler iki yada bir boyuta indirgenebilir. Tek boyutlu ısı geçişi; eğer sıcaklık yalnız bir doğrultuda değişiyor, dolayısıyla ısı bir doğrultuda geçiyorsa, diğer doğrultulardaki sıcaklık değişimleri ve ısı geçişi ihmal edilebilir. Bu durumda ısı transfer problemi tek boyutlu olarak adlandırılır. 6
İki boyutlu ısı geçişi; eğer bir ortamdaki sıcaklık iki esas doğrultuda değişebilir ve üçüncü boyuttaki ısı geçişi ihmal edilebilir. Bu durumda ısı geçişi problemi iki boyutludur. 7
Bir ortamda belirli bir doğrultuda (mesela x-doğrultusunda) iletimle olan ısı transfer hızı, ortam içindeki sıcaklık farkı ve ısı geçişine dik alan ile doğru orantılı, o doğrultudaki mesafe ile ters orantılıdır. Bu durum; Fourier in ısı iletimi denklemi ile aşağıdaki gibi ifade edilir. Burada k, ısıl iletkenlik ve dt/dx, T-x diyagramındaki sıcaklık eğrisinin eğimi olan sıcaklık gradyenidir. Malzemelerin ısıl iletkenlikleri sıcaklığa göre değişir, fakat hesaplamalarda ortalama sıcaklığa göre alınarak hassas sonuçlar elde edilebilir. Denklemdeki negatif işaret, pozitif x yönündeki ısı geçişinin pozitif bir nicelik olmasını sağlar. 8
Isı iletim denkleminin genel hali için üç boyutlu bir problem ele alalım (Şekil 2-8). Ortamın sabit sıcaklıklı bir yüzeyinde P noktası olsun. Yüzeyin normali n olmak üzere, ısı geçişi yüzeyin normali yönünde Fourier kanunu; Kartezyen koordinatlarda, ısı iletimi vektör bileşenleri cinsinden; x,y ve z yönlerindeki ısı geçiş hızları; 9
Isı Üretimi Örnekler: Elektrik enerjisinin, I 2 R oranında ısı enerjisine dönüşmesi Nükleer reaktörlerin yakıt elemanlarında fisyon ile ısı açığa çıkması, Ekzotermik kimyasal reaksiyon ortamında ısı açığa çıkması. Isı üretimi hacimsel bir olaydır. Birimi W/m 3 yada Btu/h ft 3. Bir ortamdaki ısı üretim hızı hem zamanla hem de konumla değişebilir. 10
Örnek; Isı Üretimi 11
TEK BOYUTLU ISI İLETİM DENKLEMİ Tek camlı bir pencere, bir presli ütünün altındaki metal plaka, dökme demir bir buhar borusu, silindirik bir nükleer yakıt elemanı, bir elektrik direnç teli, temperlenen küresel bir tankın duvarı, bir evin düzlem duvarda ısı iletimi göz önüne alınsın. Bu örnekler gibi birçok geometrideki ısı iletimi tek boyutlu olarak ele alınabilir. Çünkü ısı iletimi tek yönde daha etkin olup diğer yönlerdeki ısı iletimleri ihmal edilebilir. Kartezyen, silindirik, ve küresel koordinatlarda tek boyutlu ısı iletimi denklemleri türetilecektir. 12
Geniş Bir Düzlem Duvarda Isı İletimi Denklemi Geniş bir düzlem duvardaki bir hacim elemanından tek boyutlu ısı iletimi (Volume element= hacim elemanı) (Generation= Üretim) 13
Isı üretimi olmayan, sürekli ısı iletimi ve sabit iletkenlik durumlarında düzlem bir duvarda tek boyutlu ısı iletim denkleminin basitleştirilmesi 14
Uzun Bir Silindirde Isı İletim Denklemi 15
İçerisinde ısı üretimi olmayan bir silindirde tek boyutlu sürekli ısı iletimi için diferansiyel denklemin iki eşdeğer durumu 16
Bir Kürede Isı İletim Denklemi 17
Birleşik Tek Boyutlu Isı İletim Denklemi Düzlem duvar, silindir ve küre için, tek boyutlu, zamana bağlı ısı iletim denkleminin her üç koordinat için genel hali; n = 0 düzlem duvar için n = 1 silindir için, n = 2 küre için, Düzlem duvar durumunda r değişkeni yerine alışılmış şekliyle x alınır. Bu denklem benzer şekilde, sürekli veya ısı üretimi olmayan durumlar içinde basitleştirilebilir. 18
Örnek: 19
GENEL ISI İLETİMİ DENKLEMİ Isı geçişi uygulamalarında çoğunlukla ısı iletimi tek boyutlu olarak alınmakta, diğer boyutlardaki ısı iletimleri ihmal edilmektedir. Ancak her zaman durum böyle değildir, diğer doğrultulardaki ısı geçişinin de göz önüne alınması gerekmektedir. Bu durumda ısı geçişi çok boyutlu olarak adlandırılmaktadır. Tek boyutlu ısı geçişi denklemi kartezyen, silindirik ve küresel koordinatlar için geliştirilmişti. Bu bölümde her üç koordinat için çok boyutlu ana diferansiyel denklemler türetilecektir. 20
Kartezyen koordinatlar 21
Değişken iletkenlik Sabit iletkenlik 22
Sıcaklık yalnız bir doğrultuda değiştiği zaman, üç boyutlu ısı iletim denklemi tek boyutlu ısı iletim denklemine indirgenir. 23
Silindirik Koordinatlar Kartezyen ve silindirik koordinat sistemleri arasında aşağıdaki ilişkiler kullanılarak dönüşüm yapılır; 24
Küresel Koordinatlar Kartezyen ve küresel koordinat sistemleri arasında aşağıdaki ilişkiler kullanılarak dönüşüm yapılır; 25
Ana Denklemlerdeki Isı Akıları Q = A q Q r = A r q r = 2πrLq r Q r = A r q r = 4πr 2 q r 26
BAŞLANGIÇ VE SINIR ŞARTLARI Bir ortamdaki ısı akısının ve sıcaklık dağılımının ortamı sınırlayan yüzeylerdeki şartlara bağlıdır ve ısı geçişinin belirlenebilmesi için yüzeydeki ısıl şartlar tam olarak tarif edilmelidir. Sınır Şartları: sınırlardaki ısıl şartların matematiksel ifadelerine denir. Bir düzlem duvarda herhangi bir noktada ve andaki sıcaklık ısı iletiminin başlangıcındaki duvar şartına bağlıdır. Genellikle t = 0 anında tanımlı şart ortamın başlangıçtaki sıcaklık dağılımının matematiksel ifadesidir ve başlangıç şartı olarak adlandırılır. Burada f fonksiyonu t=0 anında ortam boyunca sıcaklık dağılımını gösterir. Tipik bir diferansiyel denklemin genel çözümü gelişigüzel sabitler ve dolayısıyla sonsuz sayıda çözüm içerir. Bir ısı geçişi problemini tanımlanması için, her bir ısı geçişi doğrultusu için iki sınır şartı verilmelidir. 27
Uygulamada En Çok Karşılaşılan Sınır Şartları Tanımlı sıcaklık Tanımlı ısı akısı Taşınım Işınım sınır şartlarıdır. 28
1 Tanımlı sıcaklık sınır şartı The temperature of an exposed surface can usually be measured directly and easily. Therefore, one of the easiest ways to specify the thermal conditions on a surface is to specify the temperature. For one-dimensional heat transfer through a plane wall of thickness L, for example, the specified temperature boundary conditions can be expressed as where T 1 and T 2 are the specified temperatures at surfaces at x = 0 and x = L, respectively. The specified temperatures can be constant, which is the case for steady heat conduction, or may vary with time. 29
2 Tanımlı ısı akısı sınır şartı The heat flux in the positive x-direction anywhere in the medium, including the boundaries, can be expressed by For a plate of thickness L subjected to heat flux of 50 W/m 2 into the medium from both sides, for example, the specified heat flux boundary conditions can be expressed as 30
Özel durum: Yalıtımlı Sınır A well-insulated surface can be modeled as a surface with a specified heat flux of zero. Then the boundary condition on a perfectly insulated surface (at x = 0, for example) can be expressed as On an insulated surface, the first derivative of temperature with respect to the space variable (the temperature gradient) in the direction normal to the insulated surface is zero. 31
Özel durum: Isıl Simetri Some heat transfer problems possess thermal symmetry as a result of the symmetry in imposed thermal conditions. For example, the two surfaces of a large hot plate of thickness L suspended vertically in air is subjected to the same thermal conditions, and thus the temperature distribution in one half of the plate is the same as that in the other half. That is, the heat transfer problem in this plate possesses thermal symmetry about the center plane at x = L/2. Therefore, the center plane can be viewed as an insulated surface, and the thermal condition at this plane of symmetry can be expressed as which resembles the insulation or zero heat flux boundary condition. 32
3 Taşınım sınır şartı For one-dimensional heat transfer in the x-direction in a plate of thickness L, the convection boundary conditions on both surfaces: 33
4 Işınım sınır şartı Radiation boundary condition on a surface: For one-dimensional heat transfer in the x-direction in a plate of thickness L, the radiation boundary conditions on both surfaces can be expressed as 34
5 Arayüzey sınır şartı The boundary conditions at an interface are based on the requirements that (1) two bodies in contact must have the same temperature at the area of contact and (2) an interface (which is a surface) cannot store any energy, and thus the heat flux on the two sides of an interface must be the same. The boundary conditions at the interface of two bodies A and B in perfect contact at x = x 0 can be expressed as 35
6 Genelleşmiş sınır şartı In general, however, a surface may involve convection, radiation, and specified heat flux simultaneously. The boundary condition in such cases is again obtained from a surface energy balance, expressed as 36
SÜREKLİ TEK BOYUTLU ISI İLETİM PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ In this section we will solve a wide range of heat conduction problems in rectangular, cylindrical, and spherical geometries. We will limit our attention to problems that result in ordinary differential equations such as the steady one-dimensional heat conduction problems. We will also assume constant thermal conductivity. The solution procedure for solving heat conduction problems can be summarized as (1) formulate the problem by obtaining the applicable differential equation in its simplest form and specifying the boundary conditions, (2) Obtain the general solution of the differential equation, and (3) apply the boundary conditions and determine the arbitrary constants in the general solution. 37
38
39
40
41
42
43
44
45
KATILARDA ISI ÜRETİMİ Many practical heat transfer applications involve the conversion of some form of energy into thermal energy in the medium. Such mediums are said to involve internal heat generation, which manifests itself as a rise in temperature throughout the medium. Some examples of heat generation are - resistance heating in wires, - exothermic chemical reactions in a solid, and - nuclear reactions in nuclear fuel rods where electrical, chemical, and nuclear energies are converted to heat, respectively. Heat generation in an electrical wire of outer radius r o and length L can be expressed as 46
The quantities of major interest in a medium with heat generation are the surface temperature T s and the maximum temperature T max that occurs in the medium in steady operation. 47
48
DEĞİŞKEN ISIL İLETKENLİK, k(t) When the variation of thermal conductivity with temperature in a specified temperature interval is large, it may be necessary to account for this variation to minimize the error. When the variation of thermal conductivity with temperature k(t) is known, the average value of the thermal conductivity in the temperature range between T 1 and T 2 can be determined from 49
The variation in thermal conductivity of a material with temperature in the temperature range of interest can often be approximated as a linear function and expressed as temperature coefficient of thermal conductivity. The average value of thermal conductivity in the temperature range T 1 to T 2 in this case can be determined from The average thermal conductivity in this case is equal to the thermal conductivity value at the average temperature. 50
ÖZET Giriş Sürekli ve geçici rejimde ısı geçişi Çok Boyutlu Isı Geçişi Isı Üretimi Tek Boyutlu Isı İletim Denklemi Geniş Bir Düzlemde Isı İletim Denklemi Uzun Bir Silindirde Isı İletim Denklemi Bir Kürede Isı İletim Denklemi Birleşik Tek Boyutlu Isı İletim Denklemi Genel Isı İletim Denklemi Kartezyen Koordinatlar Silindirik Koordinatlar Küresel Koordinatlar Başlangıç ve Sınır Şartları Tek Boyutlu Isı İletim Problemlerinin Çözümü Katılarda Isı Üretimi Değişken Isıl İletkenlik k (T ) 51