IARS İSTATİSTİKSEL MEKANİK VE KARMAŞIKLIK SERİSİ BİYOBİLİŞİM VE POLİMERLERİN İSTATİSTİKSEL FİZİĞİ ÇALIŞTAYI DERS NOTLARI 07-18 Temmuz 2008 Marmaris Kuramsal ve Uygulamalı Fizik Araştırma Enstitüsü ( ITAP ) http://www.itap-tthv.org/ Turunç - MARMARİS
ÖNSÖZ i
ii
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ..................................... i İÇİNDEKİLER................................ iii BÖLÜM BİR - POLİMERLERİN İSTATİSTİKSEL ALAN KURAMI 2 1.1 Giriş...................................... 2 1.1.1 Biyolojik Motivasyon......................... 2 1.1.2 Deneysel Avantajlar......................... 3 1.1.3 Anahtar Soru............................. 3 1.1.4 Nihai Amaç.............................. 3 1.2 DNA Yapısına Genel Bakış......................... 4 1.2.1 Nükleotid Dizisi........................... 5 1.2.2 Şematik Yapı............................. 5 1.2.3 Kimyasal Yapı............................ 6 1.3 Serbest DNA nın Şekilce Bozunum Olgusundaki Etkin Enerjiler..... 8 1.3.1 Serbest Durumdaki DNA...................... 8 1.3.2 DNA Üzerindeki Şekilce Bozunumlar................ 10 1.4 DNA Gerilme Deneyleri İçin Bir Kuramın İnşası............. 13 1.4.1 Basitleştirilmiş Biçimde Düşük f Rejimi İçin İnceleme...... 16 1.4.2 Yerel Gerilmelere Karşı Koyan Tepki Kuvvetleri......... 18 1.4.3 WLC Modeli İçin Kuantum Mekaniksel Çözüm.......... 23 1.4.4 f = 0 Durumu İçin WLC Modeli.................. 32 1.4.5 f 0 Durumu İçin WLC Modeli.................. 36 1.5 Protein-DNA Etkileşimlerinin Fiziği.................... 41 1.5.1 Proteinlerce Sarılı DNA....................... 41 1.5.2 Proteinlerce Bükülü DNA...................... 44 1.6 DNA Süpersarımı............................... 46 1.6.1 Geometrik Kıvrım Olgusu...................... 46 1.6.2 White s Kuramı........................... 47 BÖLÜM İKİ - MOLEKÜLER BİYOLOJİ VE PROTEİN KATLAN- MASI.................................... 54 2.1 Moleküler Biyolojinin Temel Kavramları.................. 54 iii
2.1.1 Proteinler............................... 55 2.1.2 Proteinlerin Yapısı.......................... 57 2.1.3 Proteinlerin İkincil Yapıları..................... 59 2.2 Protein Katlanması.............................. 61 2.2.1 Geliştiren Klasik Modeller...................... 62 2.2.2 Monte Carlo Simülasyonu...................... 63 2.2.3 Moleküler Dinamik Simülasyonu.................. 64 BÖLÜM ÜÇ - BİYOBİLİŞİM İLERİ DÜZEY GİRİŞ VE UYGULA- MALAR................................... 68 3.1 Giriş...................................... 68 3.2 Biyobilişim-Uygulamalar........................... 68 3.2.1 Nano Ölçekli Moleküler Dinamik (NAMD)............ 68 3.2.2 Protein Veri Bankası(PDB)..................... 69 3.2.3 Görsel Moleküler Dinamik (VMD)................. 70 3.2.4 Ramachandran Diyagramı...................... 70 BÖLÜM DÖRT - DNA BOZUNUMUNUN FİZİĞİ.......... 73 4.1 DNA Bozunumu Faz Geçişi......................... 73 4.1.1 Giriş.................................. 73 4.1.2 Kuramsal Yaklaşım.......................... 76 4.1.3 Sonuç................................. 89 4.2 İlmek Dinamiği................................ 89 4.2.1 Giriş.................................. 89 4.2.2 Model................................. 90 BÖLÜM BEŞ - YÜKSEK İŞLEM-HACİMLİ BİYOLOJİK VERİ ÇIKARIMSAMASI........................ 94 5.1 Giriş...................................... 94 iv
POLİMERLERİN İSTATİSTİKSEL ALAN KURAMI Michael HINCZEWSKI FEZA GÜRSEY ENSTİTÜSÜ DERS ASİSTANI : Bahadır Ozan Aktaş (Dokuz Eylül Üniversitesi) DERS NOTU ASİSTANI : Bahadır Ozan Aktaş (Dokuz Eylül Üniversitesi) 1
BÖLÜM BİR POLİMERLERİN İSTATİSTİKSEL ALAN KURAMI 1.1 Giriş Deoksiribonükleik asit ya da kısaca DNA, tüm çok hücreli canlıların ve bazı virüslerin biyolojik evrimi için gerekli genetik bilgiyi taşıyan başlıca moleküldür. DNA, canlının özelliklerinin nesilden nesile geçmesini sağladığı için kimi kaynaklar ve araştırmacılar tarafından kalıtım molekülü olarak da isimlendirilir. Bakterilerde ve diğer basit hücreli canlılarda DNA hücrenin içinde dağınık biçimde bulunur. Hayvanları ve bitkileri oluşturan daha karmaşık hücrelerde ise DNA nın çoğu hücre çekirdeğindeki kromozomlarda bulunur. Enerji üreten kloroplast ve mitekondri organellerinde ve pek çok virüste de bir miktar DNA bulunur. 1.1.1 Biyolojik Motivasyon Biyolojik motivasyon açısından maddeler halinde şu saptamalarda bulunulabilir: Kesin olarak, canlılık görünsünde çok büyük önem arz eden yegane moleküldür. Hücre içi karmaşık davranışı ve yapısı, halen tam olarak anlaşılamamış ve halihazırda birçok biliminsanı tarafından araştırılmaya değer görülmektedir. DNA ya dair sözkonusu yapı ve devinimim anlaşılması halinde disiplinlerarası nanoteknolojik çalışmalar açısından da bu ilgili karmaşık yapının pek çok uygulamarının olacağı açıktır. 1 1 Biyosensörlerde olduğu gibi. 2
3 1.1.2 Deneysel Avantajlar DNA yapısının anlaşılması mikrobiyoloji alanında pek çok olgunun analizinde yeni gelişmelere ve yeni açılımlara öncülük etmektedir. İlgili araştırmaların, halihazırda kimi optik cımbızlarda, atomik kuvvet mikroskobisinde ve pek çok optik biyomedikal uygulama alanlarında avantajları şimdiden gözlenmektedir. Ve yine bu tip çalışmaların eldeleri ve uygulmadaki başarıları biliminsanlarını, tek DNA molekülü hakkında daha da ayrıntılı denel araştırmalar yapmak için cesaretlendirmektedir. 1.1.3 Anahtar Soru Bu bilgiler ışığında şu şekilde bir soru sorulabilir: DNA nın fiziksel özelliklerini 2 betimleyebilecek bir kuramsal model nasıl tasarlanabilir? Öyle ki, öncelikli olarak bu model, DNA üzerinde dış kuvvetlerden kaynaklanan gerilme, burulma ve bükülme gibi üç boyutlu şekil bozunumlarını ve bu bozunumlara karşı DNA nın verdiği tepkiyi tasvir etmelidir. 1.1.4 Nihai Amaç Açık olarak kesitirilebiliceği üzere bütün bu uğraşıların nihai amacı, deneysel sonuçlarla tutarlı çıkarımsamalar veren her kuram gibi geliştirelecek kuramın da, deneysel sonuçlarla tutarlı sonucların eldesini mümkün kılması ve bunun yanısıra, bu sonucların nedenlerinin anlaşılmasını mumkun kılarak yukarıda bahsi geçen çeşitli uygulamalara yönelik tasarılara olanak tanımasıdır. Bu amaç doğrultusunda kuramın inşasında izlenecek olan çalışmada oluşturulması 2 En azından büyük ölçüde.
4 kaçınılmaz olan kimi temel matematiksel kavramlar da mevcuttur. Bunlardan başlıcaları, parçacık fiziğinden anımsanabilecek olan, belli bir aralıkta olası tüm yol fonksiyonlarının toplamı formunda patika integrallerinden 3 yola çıkılarak bölüşüm fonksiyonunun oluşturulması ya da sözkonusu patika integrallerinin, sorunsalın çözümünde kullanılmak üzere, kuantum mekaniksel olarak benzeşim 4 yolu ile geliştirilmesidir. 1.2 DNA Yapısına Genel Bakış Bazen kalıtım molekülü olarak adlandırılsa da, DNA aslında tek bir molekül değil, bir çift moleküldür. Bu çift molekül, bir sarmaşığın dalları gibi birbiri çevresinde dönerek bir sarmal oluştururlar. Şematik ve kimyasal yapısının görsel olarak ortaya koyulmasında fayda vardır. 5 Şekil 1.1: İlk kertede DNA nın görsel yapısı ve birkaç önemli ölçü. 3 Path integrals 4 Analogy 5 Kaynak: Michael Ströck (mstroeck), 8 Şubat, 2006. GFDL altında ibra edilmiştir. en-wiki. Bakınız: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f0/dnaoverview.png.
5 1.2.1 Nükleotid Dizisi Bir gen içerisinde DNA ipliği üzerindeki nükleotid dizisi her canlının yaşamı boyunca üretmek ve ifade etmek zorunda olduğu proteinleri tanımlar. Nükleotid dizisi ile proteinlerdeki amino asit dizisi arasındaki ilişki basit kurallarla belirlenir, bu kurallara topluca genetik kod adı verilir. Genetik kod, kodon denilen, üç nükleotidden oluşan, üç harfli sözcüklerden meydana gelir. 6 Bu kodonlar haberci RNA 7 ve taşıyıcı RNA 8 aracılığıyla ribozomlarda her kodon bir amino aside denk gelmek üzere proteinlere çevrilirler. 64 değişik kodon olasılığı ve sadece 20 değişik amino asit olduğundan birçok amino asidin birden fazla belirtici kodonu vardır. DNA üzerindeki nükleotidler mrna ve daha sonra trna üzerine kopyalanırken timin nükleotidi (T) urasil (U) ile değiştirilir. Ayrıca protein sentezinin başlangıcını belirten bir başlatma kodonu (AUG, metionin amino asidini kodlar) ile bitimini belirten üç olası bitiş kodonu (UAA, UAG ve UGA) bulunur. 1.2.2 Şematik Yapı Bu bilgiler ışışnğa şematik yine şematik yapısının ağırrlıklı olarak görsel açıdan incelenmesinde yarar vardır. 6 Örneğin: ACT, CAG, TTT. 7 Messenger RNA: mrna 8 Transporter RNA: trna Şekil 1.2: Nükleotidlerin oluşumu ve sarmaldaki biçimleri.
6 DNA molekülü serbest halde doğada çok yüksek oranda sağlak biçimde 9 sarmal halinde bulunur. Tuz iyonları ve su moleküllerinden oluşmuş akışkan bir ortam olarak kabul edilebilecek hücre içinde, omurga yapılar hidrojen bağları ile birbirine bağlıdırlar. Yine görsel açıdan incelenecek olursa, şekilde serbest durumdaki bir DNA için ilgili sarmal yapının tam bir tur dönü uzunluğu bağlar arası uzunluk gibi önemli ölçüler görülmektedir. 10 Şekil 1.3: Sarmal yapıdaki başlıca ölçüleri gösteren bir başka temsili şekil. Bazlar arası bahsi geçen Hidrojen bağları görece zayıf bağlardır. Oda sıcaklığı yaklaşık olarak T = 294 K değerinde kabul edilirse bu durumda bağlanma enerjisi E = 2 5k B T olur. 1.2.3 Kimyasal Yapı Benzer olarak kimyasal yapısınında daha çok görsel olarak incelenmesinde yarar vardır. Bilindiği gibi DNA dinamik yapıda bir moleküldür. Biyolojik yapısı düşünüldü- 9 Burada yüksek orandadan kasıt, aslen halihazırda solak bir sarmalın gözlenmemiş olmasıdır. 10 Kaynak: Amerika Birleşik Devletleri Ulusal Tıp Kütüphanesi, Genetik Bölümü. Bakınız: http://ghr.nlm.nih.gov/handbook/basics/dna.
7 ğünde, bu yapı daha karmaşık bir hal alır. Kuramın inşası boyunca mezoskopik ölçeğe odaklanılmayacağı belirtilmelidir. Şekil 1.4: Temsili olarak DNA ipliğinin histon proteinlerine sarılmasından kromatin ve beraberinde kromatin fiber oluşum evreleri. Dolayısıyla bu sorunsalı bertaraf etmek amacıyla bir DNA ipliğinin seçiminde dikkat edilecek kabul, ipliğin yarıcapının, boyu yanında ihmal edilebilir olmasıdır. Yani boy L ve kalınlığa ait yarıçap d ise kabul, L d 1bp şeklindedir. Bu, araştırmayı mezoskopik ölçeklerden bağımsız kılar ve belli durumlarda, modelde anahtar rol oynayacak önemli noktalardan biri olan bu kabul gerçekle örtüşür. Şekil 1.5: Şekildeki DNA ipliği gözönüne alınarak yarıçap ve uzunluk arasındaki kabul daha iyi tasvir edilebilir. Sonuç olarak, aslen tüm kimyasal özellikler saptanacak olan birkaç fiziksel değişkenle betimlenebilir. 11 11 Örneğin: Esneklik.
8 1.3 Serbest DNA nın Şekilce Bozunum Olgusundaki Etkin Enerjiler DNA nın serbest durumdaki karalı yapısının incelenmesinin yanısıra, dış etkiler ile DNA üzerindeki şekilce bozunumların kesin şekilde izlenmesi sonucunda özellikle tıp alanında, bu ve benzeri bozunumlardan ileri gelen kimi önemli sorunların büyük ölçüde aşılması öngörülmektedir. Kanser gibi DNA tabanlı farmakoloji dışı hastalıkları tetikleyen unsurlar makroskobik olarak genelde bir takım dış etkenler olsa da, belirtildiği gibi temelde DNA nın şekilce bozunumu olgusu yatar. Dolayısıyla, Örneğin bu şekilce bozunum olgusunun tam olarak incelenmesi ve yaralı sonuçların eldesi sayesinde farklı farklı kanser türlerine sahip herbir hastanın özel durumuna göre uygulanacak tedavilerin belirlenmesi çok daha kolaylaşacaktır. 1.3.1 Serbest Durumdaki DNA Serbest durumdaki bir DNA nın çeşitli dış kuvvetler etkisi altında şekilde bozunumunda 12 etkin enerjiler nelerdir? Bu sorunun yanıtını araştırmadan önce kabaca DNA nın serbest iplik halindeki yapısına bir göz atılacak olursa şekle bakılmalıdır. Şekil 1.6: İncelemede kolaylık açısından kuramsal olarak parçalara ayrılmış bir DNA ipliği. Şekilde görülen DNA ipliğindeki herbir parça 1bp uzunluğunda kabul edilir. Yine görülen teğet vektörleri açıkça, u i = r i a r i 1 = u i û i (1.3.1) 12 Şekilce bozunum temelde üç biçimde gerçekleşir: Gerilme, burulma ve bükülme.
9 olacaktır. Burada tahmin edilebiliceği üzere, u i boyutsuz bir nicelik olarak vektörün büyüklüğü iken û i bu büyüklüğün yönelimini niteleyen birim vektördür. a değeri ise bir şekilde bu vektörü normalize eden uzunluk görüngüsündedir ve serbest uzanım ismiyle anılırken değeri, a = 0.34nm = 1bp dir. Bu ipliğin enine kesitine bakılacak olursa: Şekil 1.7: DNA ipliğinin enine kesiti ve ilgili belirteçler. Şekilde de görüldüğü üzere DNA nın burulma olgusunun bir şekilde matematiksel tasviri φ açısndaki serbest uznaım başına değişimin ta kendisi olacaktır ve herbir parça homojen olarak aynı dönü açısına sahip olacaktır. ω i = φ i φ i 1 a (1.3.2) DNA nın serbest durumu için, r i r i 1 = a = 1bp; i (1.3.3) şeklinde olacağından herbir û i aynı doğrultudadır ve bu durumda, ω i = 2π 10.5a = 1.8nm 1 ω 0 (1.3.4) ve tanımlanan a değişkenine bağlı olarak toplam serbest durum uzunluğu, a L olmak üzere L 0 = Na olur. Zincir boyunca serbest uzunluğun süreklilik betimi, si = ia şeklindedir ve s, 0 ve L 0 arasında süreklilik arz eder. a 0 iken, u i u s olacaktır ve
10 burada u s de sürekli bir fonksiyondur. Bu kabulde ilgili değişkenler de, ω i ω(s) r i r s (1.3.5) a ds = s i s i 1 şeklinde olacaktır. Bunun yanısıra uzunluğun zamana göre değişimi yani hızı, u(s) = d r(s) ds (1.3.6) Belirtildiği üzere u(s) = u(s) hız iken, L = a i u i L 0 0 ds u(s ) (1.3.7) Şeklinde olacaktır. Serbest durumda, u(s) = 1 L = L 0 0 ds = L 0 (1.3.8) 1.3.2 DNA Üzerindeki Şekilce Bozunumlar Bütün bu yaklaşımlar çerçevesinde şekil bozunumları, daha önce de belirtildiği üzere üç biçimde olabilir. Bunlar, gerilme burulma ve bükülmedir. Gerilme türünde bir şekil bozunumunun gerçekleşiyor olması demek, u(s) 1 0 demektir. Öte yandan bükülme türünde bir şekil bozunumunun gerçekleşmesi ise, û i+1 û i dû(s)/ds 0 koşullarının gerçekleşmesi ve dolayısıyla ω(s) = ω 0 0 olması demektir. Burulma tipi şekil bozunumu ise görselleştirilmeye çalışılacak olursa iki biçimde gerçekleşebilir. Bu burulma tiplerine içe dönük burulma 13 ve dışa dönük burulma 14 denilebilir. konumundaki sonsuz küçük bir kesim için bakılacak olursa, serbest durumdaki, yani bütün şekilce bozunum olgularının sıfır olduğu durumda, bir DNA için minimum en- 13 Undertwisting 14 Overtwisting s i
11 erji ilkesi geçerli olacaktır. Bu durumda ise E serbest durum enerjisi için Taylor seri açılımı mümkündür ve dahası, denge konumu etrafında küçük salınımlar için sözkonusu açılımda haliyle ilk birkaç terimin alınması yeterli olacaktır. Çok değişkenli Taylor seri açılımı, F (x 1, x 2, x 3,..., x i ) = F (0, 0, 0,..., 0) + i + 1 2! i,j F (0,0,0,...,0) x i x i F (0,0,0,...,0) x i x j x i x j +... (1.3.9) olacaktır. İlk iki terimden sonraki terimlerin fiziksel olarak bir katkısı yoktur. Bu durumda ise, elverişlilik açısında konulmuş bir k B T/2 terimi ile birlikte DNA nın enerjisi genel biçimde, E DNA = 1 2 k BT L 0 0 ( ds [A ) û(s 2 ) s +B (u(s) 1) 2 + C (ω(s) ω(0)) 2 + 2D (u(s) 1) (ω(s) ω(0))] Bu enerji ifadesi bakılacak olursa ilk kertede, bir sicimdeki herhangibir tip gerilmeye karşılık gelen potansiyel enerji ifadesi olan E = kx 2 /2 ifadesine benzemektedir. ifade de şekilce bozunumdan kaynaklanan enerji ifadesi, şekilce bozunumun ölçüsü olan terimin karesi ile orantılıdır. Bu Yeri gelmişken belirtmekte yarar var ki, enerji ifadesi E DNA [ u(s), ω(s)] şeklinde kendi içinde iki farklı fonksiyona bağlı bir fonksiyoneldir. u(s) ve ω(s) açıkça tayin edilmek istenirse, E DNA hesaplanmalıdır. Yine enerji ifadesindeki çeşitli değişkenlerin birimlerişu şekildedir. A uzunluk B uzunluk 1 C uzunluk D boyutsuz dû x /ds, dû y /ds ve dû z /ds şeklindeki herbir bükülme bileşeni, u 1 (s), ω(s) ω 0 boyunca gerçekleşen bozunum ifadeleridir. Bu durumda akla şu soru gelmektedir: E DNA ifadesinde (u(s) 1) dû x /ds gibi ter-
12 imler niçin bu şekilde yazıldı? Bu soruya verilecek yanıt basittir: DNA nın simetrisinden dolayı... DNA nın simetrisi ile kastedilen birkaç nokta şu ki, aslen bu kuram oluşturulurken gözlemlerden edinilen bilgilere dayanılarak DNA nın yönce bağımsız 15 ya da bir başka deyişle yönce değizmez olduğu kabul edilmiştir. Bu durum da açıkça, x, y, z şeklinde seçilen yön ve/veya doğrultunun, bu tip bir işlem için önemini yitirmesine neden olmuştur. Örneğin, bu kabul ile, seçilen herhangibir yön için değişmez kalacağı için bükülme katsayısı tek bir sabit biçiminde A olarak ifade edilmiştir. Genelde de bu tip bir yaklaşım bir çok katsayı görüngüsündeki terimi teke indirerek incelemeyi kolaylaştırmaktadır. Katsayılar tek tek isimlendirilecek olursa, bu isimlendirme eylemi hiç şüphe yok ki katsayıların işlevlerine göre yapılacaktır. A, uzunlukça bükülmeye karşı koyma katsayısı şeklinde bir niceliktir. Öyle ki, DNA için A l p 50nm değerindedir. Fiziksel olarak bu katsayı incelensin. Şekildeki gibi R yarıçaplı çeyrek bir çember yayı şeklinde bir eğri boyunca bükülmüş DNA parçası düşünülsün. Şekil 1.8: Bükülmüş DNA nın R yarıçaplı çember yayının çeyrek bölümüne oturan bir bölümü. dû = ûdθ = dθ du ds = dθ ds = 1 ds R ds = 1 Dolayısıyla, bükülme için harcanan enerji, E b = 1 2 k BT L 0 ds A ( ) 2 U }{{} s = 1 ( ) 1 2 2 k BT A L. (1.3.10) R 15 Isotropic
13 Burada, L = Rπ/2 ise bu enerjinin tam ifadesi, E b = π 4R k BT A. (1.3.11) Bu enerjinin mertebesine ve termal dalgalanmalardan kaynaklanan k B T kadarlık bir enerji de gözönüne alınarak uyarılma düşünülecek olursa, bükülme olgusunun, R A değerleri için kolayca uyarılabilir olduğu sonucuna varılacaktır. A değeri göstermektedir ki, bükülme olgusunda DNA görece sert bir çubuk gibi davranmaktadır. B katsayısı, germe eylemine karşı koymanın bir ölçüsü olarak karşımıza çıkmaktadır.yay sabiti gibi DNA nın birim germe başına uzama miktarını temsil eder. Yine DNA için bu değer, 250nm 1 dir. C katsayısı, kısaca burulmaya karşı koyma katsayısıdır. DNA için değeri, 100nm dir. D katsayısı aslen daha sonraları tartışılacağı üzere, germe-burulma çiftlenimi için elde edilen bir ölçüdür. Yine aslen germe ve burulma olgularının herhangibir sarmal yapı için birbirinden tamamen bağımsız düşünülmesi, incelemede büyük yanılgılara yol açabilir. Önceleri elde edilen deneysel verilerden bu katsayının değerinin 50, ancak daha sonraları daha ayrıntılı biçimde gerçekleştirilen kontrollü deneylerden elde edilen katsayı değerinin 30 olduğu anlaşılmaktadır. 1.4 DNA Gerilme Deneyleri İçin Bir Kuramın İnşası DNA nın gerilmesine dair yapılan çalışmalar içerisinden en önemlilerinden biri, Smith ve ark. tarafından 1992 de ortaya konulan deneysel çalışmadır. Bu çalışma bir çeşit tek-molekül çalışmasıdır. Öyle ki, DNA manyetik ya da optik kuvvetlerle kontrol edilen nano boyutta bir tür cımbızla gerilmiş ve gözlemler gerçekleştirilmiştir. Temsili olarak, gerçekleştirilen bu deney şekildeki gibidir. Bu olgu için sağlam temellere dayandırılmış bir kuram geliştirilmek isteniyorsa sözko-
14 Şekil 1.9: DNA için kontrollü gerilme deneyinin temsili görünümü. nusu deneysel verilerden yararlanılarak öncelikli olarak bir şekilde normalize z/l 0 niceliğinin, uygulanan germe kuvvetine nasıl bağlı olduğunun bulunması gerekmektedir. Böylesi bir kuvvet uygulanğıdında şüphesiz enerji serbest durumdaki enerjiye şu şekilde bağlı olacaktır, E = E DNA fz. (1.4.1) Burada şunun da bilinmesinde yarar vardır, z = ẑ.( r(l 0 ) r(0) } {{ } ); Ree = r(l 0 ) r(0) İstatistiksel mekanik açısından inceleme yapılacak olursa, ilk kertede DNA ya ait bütün olası durumların tek tek ortaya konulup, olası girilebilir durumlar formunda sıralanması gerekir. s = 0 ve s = L 0 arasındaki bütün zincir boyunca uzanan u(s) ve buna ek olarak burulma eğriliği olan ω(s) değişkenlerini açıkça belirtecek olan herbir girilebilir durum σ ile temsil edilsin. Durumlar = {σ 1, σ 2, σ 3,..., σ N } Enerjiler = {E(σ 1 ), E(σ 2 ), E(σ 3 ),..., E(σ N )}
15 Bu durumda bölüşüm fonksiyonu, z = N i=1 ( exp E(σ ) i) k B T (1.4.2) ve beraberinde herbir σ i durumu için olasılık dağılım fonksiyonu, P (σ i ) = ( exp E(σ i) k B T z ) (1.4.3) olacaktır. Bu ifade normalizedir. Şöyle ki, Q(σ i ) = i N P (σ i ) = z z = 1. i=1 Q(σ i )P (σ i ) = i Q(σ i ) ( exp E(σ i) k B T z ) (1.4.4) Başka bir ifadeyle, z(σi) = E(σ i) f (1.4.5) ise, z, z = k BT z f z = k B T ln z f (1.4.6) şeklinde olacaktır. Bilindiği gibi serbest enerji, F = k B T ln z ise, z = F f (1.4.7) olacaktır. Ve nihayetinde bütün bunlara ek olarak daha önceleri de bahsi geçen enerji ifadesini ise tekrar göstermekte fayda var. E DNA = 1 2 k BT L 0 0 ( ds [A ) û(s 2 ) s +B (u(s) 1) 2 + C (ω(s) ω(0)) 2 + 2D (u(s) 1) (ω(s) ω(0))].
16 1.4.1 Basitleştirilmiş Biçimde Düşük f Rejimi İçin İnceleme Düşünülsün ki, f kabul edilebilir ölçülerde küçük. Burada küçükten kastedilen, bu mertebede bir f değeri için DNA, L 0 uzanımı boyunca doğal yapısını kaybetmemektedir. Bu durumda DNA nın enerjisinde gerilme teriminin başat ve aynı zamanda yaklaşık olarak şu şekilde olacağı kestirilebilir, E DNA k B T B (u(s) 1) 2. (1.4.8) Buradaki değerlere bakılacak olursa, k B T = 4.1pNnm ve B = 250nm 1 ise bu durumda k B T B 1000pN olacaktır. Bu değere bakıldığında da, yine şu şekilde bir çıkarım yapılabilir; Eğer uygulanan germe kuvveti f 1000pN değerinde olursa DNA yanlızca yerel gerilmelere uğrayacaktır. Bu gerilmeler de, her s değeri için u(s) 1 olacaktır. L = L 0 0 ds u(s ) L 0 Bu durumda enerji ifadesindeki tüm u(s) 1 terimleri düşer. Yeni enerji ifadesi, E DNA 1 L 0 ( ) 2 k BT ds û(s 2 ) A + C (ω(s) ω(0)) 2. (1.4.9) s u(s) = 1 iken, û û olacaktır. 0 Şimdi de şu varsayılsın ki, DNA iki bağlantı noktasından rahatça dönebilmekte olsun. Yani, burulma üzerinde herhangibir kısıtlama olmasın. Bu durumda verilen bir u(s) için olası ω(s) değerine bakılacaktır. Farklı farklı u(s) ve ω(s) eğrileri için biçimce 16, 16 Aslen bu biçimce bozunumdan kasıt, bir şekilde bükülme olgusudur.
17 burulmaca ve nihayetinde bileşik en olası girilebilir durumlar, Biçimce Durumlar = {σ1 u, σu 2, σu 3,..., σu N } Burulmaca Durumlar = {σ1 ω, σω 2, σω 3,..., σω N } Bileşik Durumlar = {σ1 uσω 1, σu 2 σω 2, σu 3 σω 3,..., σu N σω N } = {σ 1, σ 2, σ 3,..., σ N } şeklinde olacaktır. Haliyle N durumları da N u ve N ω durumlarının bileşimi şeklindedir ve dolayısıyla bu durumlar üzerinden bölüşüm fonksiyonu, N u N ω z = i=1 j=1 ( exp E(σu i, σω j ) ) k B T (1.4.10) z = [ Nu ( exp E(σu i ) ) ] N ω ( exp E(σω j ) ) = z u z ω (1.4.11) k B T k B T i=1 j=1 Bu ifade de z ω, f den bağımsızdır. Yeri gelmişken enerji ifadesinin de bu koşullara göre, E(σ u i, σ ω j ) = E u (σ u i ) } {{ } E ω(σ ω j ) } {{ } (1.4.12) olacağını belirtmekte yarar var. Daha önceleri de birkaç kez üzerinde durulmaya çalışılan bir nokta olan, sözkonusu şekilce bozunmuların ve özellikle iki tanesinin birbirinden tümüyle bağımsız düşünülemeyeceği gerçeği de gözönüne alınacak olursa, bükülmelerden 17 oluşan potansiyel enerji ifadesi, E u = 1 2 L 0 0 ds [Ak B T ( ) ] u 2 fz; z = ẑ ( r(l 0 ) r(0)) (1.4.13) s L 0 0 ( ) L 0 r ds s = Bölüşüm fonksiyonunun beklenen değeri, 0 ds u(s ) 17 Yani, yer yer biçimce bozunumlar. z = k B T ln z f z = k B T f (ln z u + ln z ω ) z = k B T (ln zu) f
18 Görülüyor ki, burulma gözardı edilebilir ve E u enerjisine odaklanılabilir. z 0 bulunmalıdır. E u enerjisinin tam olarak saptanabilmesi için WLC Modeline 18 ya da Kratky- Parod Modeli ne baş vurulmalıdır. İlk bakışta her nekadar basit gibi görünse de, bir takım çekincelerle incelemenin inşa edilmesinde yarar vardır. 1.4.2 Yerel Gerilmelere Karşı Koyan Tepki Kuvvetleri Zincirde bölgesel olarak herhangibir gerilmenin yaratılamadığı çok çok küçük f değerleri için gerilmeye karşı koyan tepki kuvvetleri nelerdir? Bu aşamada anahtar soru hiç süphe yok ki, budur. Bu biçimdeki tepki kuvvetlerinin doğasının anlaşılması için, ister istemez Crude Model ine girilecektir. 19 A olduğu durumda oldukça sert bir DNA zinciri için, sondan itibaren serbestçe dönebilen, bükülmez çubuklar şeklinde bölümlerden oluşan ve uzunluğu b Ó(A) olan bir polimer gözönüne alınsın. Şekil 1.10: Crude modeli için bir polimer zinciri. M yerdeğiştirme vektörü olduğuna göre, L 0 = L = Mb V i = R i R i 1 ; V i = b olacaktır ve bu durumda, E = E DNA fz = fẑ( R M R 0 ); E DNA = 0. (1.4.14) Serbest enerji, F = U T S; U = E = fẑ Rm R 0 (1.4.15) 18 Worm-Like Chain Model (WLC) : Solucan-tipi zincir modeli. 19 Freely-Jointed Chain Model (FJC) : Serbest-eklemli bir zinciri betimleyen model.
19 f > 0 koşulunda, zincir uzatılmış ve dolayısıyla U azalmış olacaktır ancak T S artacaktır. Çünkü bu durumdaki bölüşüm fonksiyonunda daha az girilebilir durum mevcut olacaktır. 20 Haliyle serbest enerjinin bağlı olduğu iki terim arasında bir tür rekabet doğar. U > Rm R 0 T S < Rm R 0 Sonuç olarak tepki kuvveti gerilmeye entropik biçimde direnmektedir. Bütün bu açıklamalardan sonra, bu başlık altında incelemeler sırasında karşılaşılan ayrıntılara bakılsın. f = 0 durumunda, eş özellikler her V i için eş olasılıkla herhanbigir doğrultuda olabilir. Vi = 0 ; V 2 i = b 2 = b 2 Vi Vj = 0 ; i j RM R M M 0 = Ree = V i = Vi = 0 (1.4.16) R 2 ee = = = = i=1 Ree Ree i=1 M V M i V j i=1 j=1 M M Vi Vj i=1 j=1 M i=1 V 2 i Bu durumda ise uçtan-uca vektörünün 21 karesi için beklenen değer, 20 Entropiyi azaltma doğası. 21 End-to-end vector : Ree. R 2 ee = Mb 2 = L 0 b (1.4.17)
20 Bu da, şekilde de görüldüğü gibi heliks yapıdaki sarımın ortalama kare boyutuna 22 karşılık gelmektedir. R 2 ee = bm 1/2 = L 0 b (1.4.18) Şekil 1.11: Büyük M değerleri için bm 1/2 L 0 = Mb. f 0 durumunda ise, E = fẑr ee = M fẑ V i i=1 M = fb cos θ i i=1 Şekil 1.12: İzlek için ilgili koordinat sistemi. z = i ( exp E ) k B T (1.4.19) 22 Root mean square
21 z = 2π dφ i 0 π 0 dθ isinθ i z = dω 2... M i=1 dω M; 2π dφ i ( ) fb dω i exp k B T cos θ i 0 π 0 dθ isinθ i = dω 1 z = 2π 1 dφ i 0 z = 2πk BT fb Sonuç olarak bölüşüm fonksiyonu, 1 ( fb d(cos θ i) exp k B T cos θ i ) [ ( ) ( fb exp exp fb )]. k B T k B T } {{ } [ 4πkB T z = fb ( )] fb M sinh (1.4.20) k B T şeklinde olacaktır. fb k B T koşuluna bakılacak olursa, x = fb/k B T olsun ve bu durumda da x 1 olacaktır ve sinh x ve sinh x/x ifadeleri rahatlıkla seriye açılabilir. sinh x x + x3 3! +... sinh x x 1 + x2 3! +... Bu açılımdan yararlanılarak bölüşüm fonksiyonu tekrar yazılacak olursa, z = 4π ( 1 + 1 ( ) ) fb 2 6 k B T } {{ } M exp [ ( ) ] 1 fb 2 6 k B T (1.4.21) Serbest enerji, F = k B T ln z = k B T M ( ln 4π + 1 6 ( ) ) 2 fb k B T. (1.4.22)
22 Bölüşüm fonksiyonunun beklenen değeri, ve buna bağlı olarak f kuvveti, z = F f = Mb2 3k B T f z = bf L 0 3k B T ; f = 3k BT L 0 b L 0 = Mb z (1.4.23) bulunacaktır. Hooke s yasası davranışı ile biçimsel olarak benzerlik göstermektedir. fb k B T koşuluna bakılacak olursa, yine benzer olarak x = fb/k B T olsun ve bu durumda bir önceki koşuldakinden farklı olarak x 1 olacaktır ve sinh x şu şekilde seriye açılacaktır, Haliyle bölüşüm fonksiyonu, sinh x exp(x). 2 z = [ 2π ( ) fb 1 ( ) ] M fb exp k B T k B T (1.4.24) olur. Buradan serbest enerjiye ve beraberinde kuvvetin davranışının saptanması için bölüşüm fonksiyonunun beklenen değerine geçilecek olursa, F = k B T ln z z = F f = Mb k BT M ; L 0 = Mb f z = 1 k BT L 0 fb Sonuç olarak ilgili koşul için kuvvet, f = k BT b ( 1 L ) 0 z (1.4.25) şeklindedir. Bu eşitliğe göre f iken z /L 0 1 olur.
23 Tüm bu incelemelerden sonra FJC modelinin deneysel sonuçlarla uyumuna bakacak olursak, öncelikle açıkça görülmektedir ki, b 100nm 2Å verileri kullanıldığında küçük f değerleri için FJC eğrisiyle elde edilen veriler tümüyle çakışmaktadır. Öte yandan büyük f değerleri için abartılı bir biçimde eğri açılmaktadır. Acaba bunun nedeni ne olabilir? Bu soruya yanıt verilebilmesi için, deneysel verilerden sözkonusu sapmaların şuradan ileri geldiğinin bilinmesi gerekmektedir, f 2 10 2 k BT nm = k BT 50nm = k BT A. Dolayısıyla niteliği bilinen f k B T/A bu sözkonusu büyük kuvvetler için, bahsi geçen polimerin bükülmesi olgusunda, bu çoklu yapıyı oluşturan herbir bükülmez çubuk biçimindeki parçalarında hesaba katılması gerekmektedir. Öyle görünüyor ki, deneysel veriler ile kuramsal hesaplardan elde edilen verilerin, aynı zamanda büyük f değerleri için de açıkça çakışmasını sağlamak ancak WLC modelinin tam çözümüyle mümkün. 1.4.3 WLC Modeli İçin Kuantum Mekaniksel Çözüm Kuantum mekaniksel benzeşim ile yol integrallerinin WLC modelinin çözümünde kullanımı, çözümü büyük oranda kolaylaştıracaktır. Verilen herhangibir u(s) eğrisi için, s = 0 L 0 iken WLC modeli için enerji ifadesi, E( u) = 1 2 k BT A L 0 0 ( ) u 2 ds s fz. (1.4.26) Burada teğer vektörü ve karesi, u(s) = r s u 2 (s) = 1; s şeklindedir. Dolayısıyla bölüşüm fonksiyonu, z = ẑ ( r (L 0 ) r (0)) } {{ } (1.4.27)
24 ( r (L 0 ) r (0)) = Enerji ifadesine tekrar bakılacak olursa, E( u) = L 0 0 ds [ 1 2 k BT A ( u s L 0 0 ) 2 fẑ u(s) } {{ } ds r L 0 s = ] 0 ds u(s ). ; fẑ u(s) = V ( u(s)). (1.4.28) Bir an için, basitlik açısından u 2 (s) = 1 şeklindeki bağ koşulu ihmal edilsin. z = ( ) E ( u(s)) exp = k B T u(s) d 3 u i ( ) d 3 u E ( u(s)) f exp k B T u(s) z d 3 u i d 3 u f ( ) E ( u) I ( u) exp k B T u(0)= u i u(l 0 )=u f (1.4.29) Bu ifadenin en sağındaki terim patika integrali gösterimine bir örnektir. Bu integral, u uzayında s = 0 anında u i konumunda bulunan fonksiyonun, yine bu uzayda olası tüm patikalar üzerinden s = L 0 anında u f konumuna ulaşımını ifade betimler. Şekil 1.13: u uzayında olası tüm patikaların temsili gösterimi. Genel olarak, s f s i olacağından, G (s i, u i ; s f, u f ) C u(s f )=u f u(s i )= u i I ( s f u ) exp ds s i [ 1 2 A ( u s ) ] 2 + V ( u(s )) k B T şeklinde bir G fonksiyonu tanımlansın. Öyle ki, burada C normalizasyon katsayısıdır. z = d 3 u i d 3 u f G (s i = 0, u i ; s f = L 0, u f ) (1.4.30)
25 Bu da demek oluyor ki G fonksiyonunun bulunması demek bölüşüm fonksiyonunun bulunması demek oluyor. Bu G (s i, u i ; s f, u f ) fonksiyonun tefsiri 23 şu şekilde olabilir: Bir zincirin u i teğetinden ve s i konumundan, daha sonraki bir durum için u f teğetinde ve s f konumunda bulunma olasılığıdır. Şekil 1.14: gösterim. İlgili tefsir için temsili G fonksiyonunun özelliklerine bakılacak olursa, akla gelen ilk şey, s i = s f koşulunda patikalar için şüphesiz şu durum geçerli olacaktır u f = u i. r = (x, y, z) δ (3) (r) = δ(x)δ(y)δ(z) G (s i, u i ; s f, u f ) = δ (3) ( u f u i ) (1.4.31) Özelliklerin derlenmesine yönelik olarak, s M değeri s i ve s f arasında rastgele bir konum olsun. G (s i, u i ; s f, u f ) = s i < s M s f d 3 u MG ( s i, u i ; s M, u ) ( M G sm, u ) M; s f, u f (1.4.32) Bunu takiben G nin formu, s f s M s f exp ds [...] = exp ds [...] exp ds [...]. s i s i s M 23 Interpretation