Gama Dağılışıı Poisso Sürci il ilişisi: Bazı rmlara W şas ğişi a ola oraa çııcaa aar gç ölçği aımlar. ğr sabi olara abl ils W ağılım fosio G P W P W W zlğa a ola oraa çııorsa W rm içi fazla a ola oraa çıar. Başa bir işl aralığıa a ola mvcr:! P W v G! olp şas ğişii olasılı oğl fosio ' g G ;!!!!! 3!.....!!!!!!! 3 g
Braa v! alıığıa; g blr i b a gama şas ğişi içi olasılı oğl fosior. 4..4 Üsl Dağılım Üsl ağılım aşam sürlrii mollşmsi llaılabilir v sili rmlara llaıla gomri ağılışı bzriir. Gama ağılışıa olması rma oraa çıar. Taım: Bir şas ğişii olasılı oğlğ aşağıai aıma orsa üsl ağılış gösrir v üsl şas ğişi aıı alır. f Braa olp ölç paramrsiir. Torm: ğr şas ğişi üsl ağılış gösriorsa i bl ğri varası v mom ür fosio ş şilir: a. b. V c. M İspa: a.üsl ağılımı bl ğri ısmi igrasoa v v alıara
blr. b. Üsl ağılımı varası is braa v v alıara v ısmi igraso bir z aha glaara v v il v V olara l ilir. c.üsl ağılımı mom ür fosio a
braa öüşümü glaara M blr. Üsl ağılımı ömli bir özlliği hafızasızlı özlliğiir. Torm: ğr şas ğişi paramrli üsl ağılıma sahip is s olma üzr P s P s ir. İspa: P s P s P P s P s s s P s s olğa
bir mai parçasıı çalışma ömrü olara abl ilsi. B parçaı a birim zamaa bozlmaması şarıla a b birim zamaa bozlmama şarlı olasılığı b birim zamaa bozlmama olasılığıa şiir. Diğr bir işl si çalışa bir parçaı çalışma ömrüü ağılışı il i çalışa parçaı çalışma ömrüü ağılımı aıır. NOT: Üsl ağılım ii oaa ormal ağılıma arılır: Yalız arı ğr alabil ğişlrl sıırlıır. Olasılı oğl fosio oralamasıa gör simri ğilir. Üsl Dağılımı Poisso Sürci il ilişisi: İl ola olşcaa aar gç rasgl zlğ W olğ abl ilsi. W zlğ ağılım fosio: G P W P W İl olaı oraa çımasıı zlğ W zlğa büü olması zlğa hiç ola olşmaması alamıa glir. Başa bir işl b olasılı P ğri şiir. B rma G P g Üsl ağılım olasılı oğl fosio l ilir. Braa a gör bir sabiir v G g G G a a P h lim h h olara aımlaır. Güvilirli aalizi haa oraı failr ra olara biliir.
Braa il arasıai ilişi baılaca olrsa / bir ola maa glir gç sürlri ağılımıı gösrir. Yai braa = / olacaır. Şüphsiz p ço rm içi ipmaları a a isaları haa oraı a bağımsız ğilir. şili i solai basi ifrasil lm G G sıır oşl içi; içi v l G G içi çözülüğü p G W i o..f. g p blr. Üsl ağılım oşllar arası blm sürlri glaabilir. Örği blm rğ problmlri üsl ağılım olça llaışlı olmaaır. Müşri hizm sürsii blirsiz olğ rmlara b blirsizli çoğ zama aı bir biçim üsl ağılım gösrbilir. 4..5 Wibll Dağılımı Wibll ağılımı özl bir rm olara üsl ağılımı içrir v baz üsl ağılımı gl bir hali olara üşüülür. Üsl mol 95 lr aha giş çapa glişirili v glaı. 96 lara raip bir mol olara Wibll il cii bir şil ilgililm başlaı. Özllil başarısızlı zamaı il ilgili mollr llaılı.
Wibll ağılımı giş bir glama alaıa sahipir. Özllil ürü aşamı içi bir mol olara glamalara ararlıır. Aı zamaa a blirli marallri gücüü ağılımı içi llaılır. B ağılım mühislr arafıa popülr bir şil llaılmışır. B popülarii i ağılımı sliği aalamaaır. Dağılım zaıf bağlaılı ürü iplri içi g olabilir. Aı ağılıma başarısızlı zamaı il bir birim birço parçaa ibars v birici parça başarısızlı il başarısız olrsa böl birimlr içi Wibll ağılımı g olabilir. Bazı apı lmalarıı aşamları rasgl ğiş olara üşüülüğü ağılımlarıı Wibll ağılımıa g olğ görülmüşür. c içi f c c Wibll ağılımıı aımlar. Haa oraı içi i ara bir fosior içi is azala bir fosior. rasgl ğişii Wibll ağılımıa gör biriimli olasılı fosio F p a b a b c c Kümülaif ağılım b şil olğa rasgl ğişi 3 paramrli Wibll ağılımıır v W a b c şli gösrilir. a v b paramrlri r v s paramrlri c is ğim paramrsiir. a içi olasılı oğl fosio aşağıai şil olacaır. c f c b a b p a b Wibll ağılımıı bl ğri; c z z z z z z z z z z z Wibll ağılışıı varası;
z z z z z z z z z z z z z V 4..6 Gomprz Dağılımı Bc içi g Bc B c l c 4..7 Maham Dağılımı A Bc içi g A Bc B l c c A z z 4..8 Ki-Kar Dağılımı Gama ağılımıı ömli özl rmlarıa biri Ki-Kar ağılımıır. ğr v alıırsa gama ağılımıı olasılı oğl fosio olp srbsli rcli iar ağılımıı olasılı oğl fosio aımlar. Taım: Bir şas ğişii olasılı oğlğ aşağıai gibis i-ar ağılımıa ar v i-ar şas ğişi aıı alır:
f / / f.. v asaısıa srbsli rcsi saısı a a ısaca srbsli rcsi ir. Ki-ar ağılımı isaisi sı sı llaılmaaır v örlm ramıa ömli bir rol oamaaır. Torm: ğr bir şas ğişi i-ar ağılımı gösriorsa b ğiş içi aşağıai şililr gçrliir. a. v b. V v c. M v B ağılımı oralama varas v M si gama ağılımıa l ilbilir. Bla birli i-ar olasılı oğl fosio llaılara bl ğr olara blr. Bzr şil varas V l ilir. Dağılışı mom ür fosio
braa öüşümü glaığıa braa z öüşümü il z z z içi l ilir. Ki-ar ağılışı il ilgili bilgilr şas ğişlrii fosiolarıı ağılışı v örlm ağılışları ısmıa aımlaacaır. 4..9 Ba Dağılımı v Fosio 895 ılıa Karl Parso arafıa aııla ba ağılımıı açılama içi bir ba fosio aımlaır v b fosio sasi ba ağılımı blr.ba ağılımı laria igralii birici ipiir. ab aralığıa aımlaa f C a b. B fosioai C sabi v amsaı olara ifa riz. > olma üzr v ab aım aralığıı ba ağılımıı olasılı ogl fosio olara aımlaabilcğimiz aralığı alırsa; B ba fosio l riz.b fosio ğri Gamma fosio r ifasi;
B ğr bir sürç Gamma ağılışı gösr ğişlri oralarıı göz öü ala ip is Ba ağılımı ço ararlı bir ağılışır. Ba ağılımıı olasılı oğl fosio aralığıa blirlmiş olğa birço sl ağılış Ba ağılışıa abilir. Ba Fosio.. Ba fosio aımlama içi ii gama fosio çarpımıa faalaılır: Braa öüşümü glaara. v. v ğişii sıırları olacaır. B igral v öüşümü il v v braa v ğişii sıırları v olacaır
. v v v v v v v v v v v v v... şiliğii solai ifa Ba fosior:.. ; Gama v Ba fosioları arasıai ilişi is;. ; Ba Dağılımı Yarıa l il Ba fosio llaılara....... şiliği blabilir. B soca aaara şas ğişi bir Ba ağılımıa sahip is... ; f Torm: şas ğişi Ba ağılımıa sahip is a
b V İspa: Bir ba ağılımıı -ıcı momi:. olara blr. a ğr alıır is!!!! blr. b ğr alıır is!!!! v soç olara varas
V blr. B ağılımı mom ür fosio basi bir apıa olmaığı içi llaışlı ğilir. Ba Dağılımıı Özl Drm: ğr v is Ba ağılımı sürli üiform ağılımı aımlar. F ;; Ba ağılımı içi oasıa simri olp oralaması a şiir. 4.. Cach Dağılımı Cach ağılımı isaisi orilri içrisi özl bir rol oar. Tahmilr içi aşırı bir rm simglr. Faa Cach ağılımıı alızca paoloji bir rm olara abl m haasıa üşülmmliir. Örği gözlmlri oralarıı hsaplamaa alışılmış bir glamaır i blar saüfiir. İlgiç ola bir rm a ii saar ormali bir Cach ağılımıa sahip olmasıır. Cach ağılımı simri bir ağılımır v aralığıa ça biçimi bir ağılış gösrirlr. Cach ağılımı ormal ağılıma ço farlı görümmsi rağm ormal ağılıma gör büü farlar içrir. Blara biri Cach ağılımıı oralamasıı mvc olmamasıır. Cach ağılımı aralığıa simri ça biçimli bir ağılımır. T paramrli r paramrsi Cach olasılı oğl fosio: F ;
v ii paramrli r v ölç Cach olasılı oğl fosio: f ; ; olara aımlamışır. Cach ağılımı rafıa simri olmasıa rağm oralaması v aha büü momlri mvc ğilir. Diğr bir işl mom ür fosio mvc ğilir. Torm: şas ğişi Cach ağılımıa sahip is a b V İspa: Saariz Cach v ağılımıı olasılı oğl fosio f ; ; a ğr is
Lim Lim l blr. f fosio bir olasılı oğl fosior; f Lim Braa arca olğa f Lim arca blr. Cach ağılımıa paramrsi ağılımı mrzi ölçümüü aımlar v ağılımı maıır. P olğ içi Ma ır. İi saar ormal şas ğişii oraı Cach ağılımıa sahipir.ispa içi bz 4.. Laplac Çif Üsl Dağılımı
B ağılım ii üsl ağılışlı bağımsız ğişi aralarıai farları ağılımıır. Taım: Bir şas ğişii olasılı oğl fosio aşağıai gibi is ğişi laplac şas ğişi aıı alır. f f ; f.. Şil: Laplac Dağılımı Torm: Laplac ağılışıı oralaması v varası ş şilir. a. b. V LOGNORMAL DAĞILIM ğr logariması ormal ağılım gösr [log ~ N ] bir şas ğişi is şas ğişi bir logormal ağılıma sahipir. i olasılı oğl fosio ormal ağılımı olasılı oğl fosioa rasformaso bz glaara l ilbilir. f ; log Torm: ğr bir logormal ağılıma sahip is /
V İspa: şas ğişlrii momlri ~ log N Y ilişisi il ormal ağılıma ] [ ] [ log Y il blabilir. Bla birli i momlri olasılı oğl fosio il blabiliir. log log Braa Log öüşümü il / Braa olr. Çüü Z is z v z Z ir. Soç olara blr. log log öüşümü il
log 4 4 4 blr. V blr. Logormal ağılım sağa çarpı bir ağılımır. Wibll Dağılışı Güvilirli fosio; p c R a b a Başarısızlı oraı olara a bili şas fosio; c c h c a b a az ola c ğrlri içi şas fosio azala şi c ğrlri içi sabi v büü c ğrlri içi i ara fosior. Bölc c i ğrlri ğim paramrsi olğ içi ömliir v çalışıla problmi sas apısıa bağlı olara ararisi a a ahmil ğrlr sahipir. Yr paramrsi a ı biliiğii v gl sıfıra şi olğ varsama olça bimsmişir.
a a a a irs hrs arafıa bili ii paramrli Wibll ağılımıa laşılır v W b c il gösrilir. c f c b a b p a b a bc> f.. c a a b a b b b a b b b b b b b b f ; f ;.. Wibll ağılışıı biriimli olasılı fosio; F z z z z z z z z z
F z z z z F F F B fosioa ğim paramrsiir. ğr is Wibll ağılışı üsl ağılışa ar. is Wibll ağılışı ormal ağılışa ar. Raip Mollr Gllil Wibll il aımlaa mollr üsl logormal a a gammaır. H : Bir paramrli üsl ağılım H : W b c A gibi hipozlrii si içi basi bir s olara H : c HA : c şli c içi ço bzrli ahmii a a Thoma arafıa vril ablolar llaılara çözülür. H : İi paramrli üsl ağılım H : W3 a b c A
slri içi hm Al hm glhar mo llaılmalıır. Logormal v Wibll arasıa sçim apma içi ço bzrli oraı si ii bir sir. Logormal v Wibll ağılımıı aır m ço zorr v 5 a a aha büü örlr içi oğr sçim apma şası aha fazlaır. Wibll-Üsl Dağılım Zacs 3 paramrli Wibll-Üsll ağılışı aşağıai şil gösrmişir; ; p F Y ma Y s Paramrsi Dğişm Noası Paramrsi Başarısızlı oraı fosio is; h ; h ; içi ağılım paramrli üsl ağılıma alaşır. Blar zamaı si bir zlğa sora sismi parçalarıı ara şas oraıa sahip olğ sim sürci giriş sismlrii mollmsi gr. Zacs ba başa i öci ümülaif ağılım fosio aşağıai gibi olğa içi bas ahmicisi glişiri. p p p içi p olğa v grç ğişm oası öci olasılığı il aşması içi zama oası sçilir.
Wibll-Poisso Sürci B aşağıai fosiola gösril homoj olmaa poisso sürciir. a sııı vr bir paramr olara baılığıa ı ğri üzri glişiril hipozlr özl bir ilgi varır. ğr is basi homoj olmaa poisso sürci sahipir. Wibll Dağılımlarıı Uglama Alaları Wibll ağılımıı llaımı vam üplri v apasiörlri ar-ımcı baara v maral güçlri aar giş çşilili glama alalarıa aılmaaır. Wibll llaımıı halı çıara o giş açıai olaları birlşirm ğiş bir ğ sahip olmasıır. Poliomial va Wibll şas fosio arafıa alamlı bir zama izilişi üzri rli olara aımlaamaa az miara iclmiş başarısızlı oraı blmaaır. Kapasiör izolaso bozlması gibi bazı glamalar g bir şil öü bağlaıa va birici başarısızlığı l m birço sili ç ğr orisi maaır. Yalıa malri hpsi başarısızlı oraları v birço sr içrmirlr. Birço ör başarısızlılar aşamı ö safhalarıa maa glm v şil paramrsi az ola Wibll ii şil çalışmaaır. Diğr arafa başarısızlı imasal bir rasioa va çürüm göç va aılma gibi işlmlr olaı is Wibll ı glamaı blm içi aha az sbp varır. Haa braa birço rab ici bölg arışmalarıı hala glamasıı mümü olğ rma bil. Böl glamalara logormal ağılımı popülr bir ağılım olara Wibll ı rii alığı görülmir. Wibll ı blirli bir form özl olara vrglama ri olacaır. i ağılım Raligh ağılımı olara alaırılır. Başarısızlı oraı
h il oğrsal olara armaaır v biriimli olasılı fosio CDF aşağıai şilir; F Aı biriimli olasılı fosioa sahip ola bir ölçü haa problmi blmaaır. Uçaa bir oaı blmaa çalışılığı va ölçülüğü üşüülsü. Ug sılıa llaıla bir mol v Y bağımsız oorialarıı ölçmir. Hr ölçüm gl ormal ağılıma olğ gibi moll sıraa başarısızlı oraıa sahipir. Hr başarısızlı ağılımıı sıfır oralamaa v aı saar sapmaa sahip olğ varsaılsı. oğra haası saüfi bir ğişi v oğra haası saüfi bir Y ğişi is oplam mrz çıa haa; üzlm bölgsi çıa zalı R Y olr. Saar hsaplama ömlrii llaara R i biriimli olasılı fosio blabilmir. B a; F r r halii almaaır. il Raligh ağılışı olmaaır. Paro Dağılımı Paro ağılımı sosooomii ço giş alaıı ahmilm v mol rmaa ararlı bir ağılımır. Araşırıla blirli bir ala üzrii görüşlri bir oaa oplama içi bir avaaj sağlar. B ağılım glir ağılımıır. Paro ağılımı v grç C lr glirlr içi C il ahmii olara vril svisii aşa glirlr sahip opll içii birlri olşrğ popülaso gözlr. B ağılım soraa aha ola alaşılır bir hal almışır.
Paro ağılımı üsl ağılışı v gamma ağılımıı bir arışımıı ifa mir. P P P P P P P P Pr a a p a p P : Gliri şi v a aha büü olma olasılığı p : Blli bir miimm glir P ifasii bir soc olara gliri msil i ağılım fosio; p F a a p a şli azılabilir. Paro Dağılımıı Olasılı Yoğl Fosio; p p f ; a p pa p a f ; a p i Olasılı Yoğl Fosio Olğ Gösrimi; p p p p p p pa pa pa p a
Paro Dağılımıı Bl Dğri; p p pa pa p p p p pa p p p pa p a a ap p p Paro Dağılımıı Varası; p p p p pa pa p p pa p a p p V a p p a p p p a p p a p p p a p p p p p p İi Dğişli Normal Dağılım İi ğişli ormal ağılım ço ğişli ormal ağılımı basi şliir. Ço ğişli ormal ağılımı açılama içi maris cbiri llama griği sac ii ğişli ormal ağılım aa halarıla alaılacaır. Taım: v Y rassal ğiş çifii ora olasılı oğlları aşağıai gibis ii ğişli ormal ağılıma arlar v ora ormal ağılmış şas ğişlri olara alaırılırlar.
NOT: p ; saısıı üssü alamıa llaılmışır. v içi; ρ π p ρ f p Braa v ρ ir. Braa p orlaso asaısıır. Yarıai olasılı oğl fosioa p olğa olasılı oğlları f v g ola bağımsız v Y saüfi ğişlrii olasılı oğl fosiolarıı çarpımı l ilir. B ora ağılımı iclbilm içi öc asaılarıı v Y şas ğişlrii oralamalarıla saar sapmaları olğ gösrilmliir. Yoğl fosioa harl gör igral alıırsa i marjial oğlğ l ilir: p ρ ρ π ρ g p p Gösrimi basilşirm içi v v şli ğiş öüşümü apılığıa aşağıai ifa laşılır:
p ρ g p v pv π ρ ρ Aşağıai şili llaılara; v v ρv v ρ ρ v rimlr oplaara ş aşamaa gliir: p g π π ρ p v ρ ρ v Braa öşli paraz içii ifa ormal oğlğ aralığıai igraliir. Dolaısıla b ifai şilrs içi ş blrz: p g π π B ifa görülüğü gibi; i marjial oğlğ oralaması v saar sapması ola bir ormal ağılışır. Simri olaı a Y i marjial oğlğ oralaması saar sapması ola bir ormal ağılış olacaır. v Torm: v Y ii ğişli ormal ağılıma orsa oşll oğlğ oralaması; vrilmiş Y i Y varası
Y ola bir ormal ağılımır. Ba gör olasılı ş şil azılabilir: z / % olasılıla sıırlar b şil olacaır. Y vrilmiş i oşll oğlğ oralaması varası ola bir ormal ağılımır. B rma is sıırlar ş şil olşrlr: z / İspa: f olğa gör; ifai basilşirm içi g v v azılığıa ş ifa blr:
p v v p v v p B soç il ğişlri cisi azılırsa ş l ilir: p Görülüğü gibi b ifa; oralaması Y v varası Y ola bir ormal oğlr. Y blglar simri olla blabilir. vrilmiş i oşll oğlğa arşılı gl Ör : vli çiflr üzri bir araşırma apılmışır. r v baaları bo zllarıı ağılımıı ii ğişli ormal ağılım gösriği sapamışır. Ba gör; rlri bo zlğ v soçlara laşılmışır: baaları bo zlğ olma üzr; aşağıai rlri bo oralaması 58 f Baaları bo oralaması 53 f r v baa bolarıı saar sapması Baaları bo gör oşll olasılığıı blz.
Çözüm: gör bir baaı bo oralaması v saar sapması ş şil blr: 53 6 63 58 56 / \ 36 6 Ba gör şii bo 63 f ola bir baaı bo olabilc mhml bo aralığı v olasılığı aşağıai gibiir: z / Pr58 59 \ 63 N N 477 477 954 Soç iibaril baaı bo 58 v 59 f arasıa olma olasılığı alaşı %95 ir. Torm: İi şas ğişi ii ğişli ormal ağılıma orlarsa v is bağımsızırlar. İspa: içi; f π p soca laşılır i blar f v g olasılı oğl fosiolarıır. İsiği air arı bir şil parçalaara a azılabilir. Torm: İi ğişli ormal ağılımı mom ür fosio ş şilir:
p ρ M B fosioa harl v Y i bl ğr varas v ovarasları blabilir. B içi apılması gr is ğişi ğri gör ürv alıp sıfıra şilmir. A ols. ρ M A ρ M Y A ρ M A A ρ M Y A A V ] [ Y Y Y V ] [ Y Y Cov ] [ ρ M Y ri olğa;
ρ ρ Y Cov ir. Biom Dağılımıı Poisso Dağılımıa Yalaşımı Simri bir biom ağılımı ör çapı büüüç ormal bir ağılıma aısamaaır. Aca bil olsa ğr p a a q a biri sıfıra iğri alaşırsa asimri ço şilcği ormal ağılıma ararlaılamaz. B rma biom ağılımı bir poisso ağılımıa alaşır. Biom ağılımıı paramrsi sosza v p paramrsi sıfıra alaşıor is p sabi alıor is biom ağılımı poisso ağılımıa alaşır. B rma p olğ abl ilir. p p p f!...!...!...!!! ; p f!... lim ; lim Braa Lim... ir. Lim } { Lim ollarıa! ; lim p f! blr.
Biom Dağılımıı Normal Dağılıma Yalaşımı: saüfi ğişi biom ağılım gösr bir sili ğiş ols. ğişii olasılı fosio f=pr{=}= p p ir. v i sirlig formülüü glamasıa ima vrc aar büü olğ varsaalım:!=!= b rma;! Pr{=}= p!! = = p p p p p hr ii arafı p p il çarpalım. p p Pr{=}= p p öüşümü arımıla p p = olara blr. Braa = p p p =p+ p p -=-p- p p l ilir. B ğrlri arıai şili rlri oalım v -p=q olara azalım. pq Pr = p p q / p p pq/ pq p pq/ p / q q q q pq/ pq q pq/ l ilir. p pq/ q pq/ A= q / p p / q ilim. loga= p pq / log q / p q pq / log p / q
Braa hr ii logarimi fosio srilr hali glişirirs olğ a ia alıığıa loga= p pq / q / p q / p... q pq / p / q p / q... = p q / p q / q / p q p / q p / q p / q = p q / p q p / q q p q / p / =[ /]p+q = / l ilir. loga= / A / blr. Şimi b ğrlri ia alara pq Pr A / p = pq olğa = p pq Pr{=}= pq p pq Biom ağılımıa =p =pq olğa Pr{=}=f= olara l ilir. Ş hal biom ağılım oralaması p varası pq olma üzr bir ormal ağılıma alaşır. i büü olğ rma Biom olasılı fosio aracılığıla ilgilil olasılıları hsaplaması olça güçlşir. Dolaısıla biom bir ağılım gösr sili saüfi ğişi içi p=q is ağılımı simri olğ biliorz. Ş hal i büü olğ rma p il q birbirlri aı islr biom ağılımı alaşı olara ormal ağılıma bzcir. B rma saüfi ğişii sürli bir ğiş halii alığıı üşür ilgilil olasılıları hsaplamasıa ormal ağılıma ararlaırız.