Normal Dağılımlı Bir Yığın a İlişkin İstatistiksel Çıkarım

Transkript

1 Normal Dağılımlı Bir Yığı a İlişi İstatistisel Çıarım Bir üretici edi ürüleride, piyasadai 3,5 cm li vidalarda yalıca boyları 3,4 cm ile 3,7 cm aralığıda olaları ullaabilmetedir. Üretici, piyasadai bu vidalarda N= adet satı aldığıda aç taesii edi üretimide ullaabileceğii belirleme amacıyla, 3,5 cm li vidalar yığııda rasgele seçtiği =5 vidaı boylarıı ölçere aşağıdai değerleri elde etmiştir. Çielge. Bir Fabriaı Üretimide Rasgele Seçile 5 Vidaı Boyları.(cm) No Boy(cm) No Boy(cm) No Boy(cm) No Boy(cm) No Boy(cm) Piyasadai tüm 3,5cm stadardıdai vidaları oluşturduğu yığıı içide boyları 3,4 cm ile 3,7 cm aralığıda olaları oraı, vidaları boylarıa ilişi rasgele bir değişei gösterme üere, O= O (3, 4 < < 3,7) () ise, N tae vidada üreticii edi üretimide ullaabilecelerii sayısıı, S = O N () olacağı açıtır. O oraıı bulabilme içi rasgele değişeii olasılı dağılımıı belirlemesi gereir. Ham Verileri Sııfladırılması ve Histogramı yığııı olasılı dağılımıı 5 birimli bu öreğe ilişi verilerde ögörebilme içi, öre verileri Çielge. de olduğu gibi sııfladırılara Şeil. dei histogram oluşturulabilir.

2 Çielge. 5 vidaı boylarıa göre çolu çielgesi. Çivi Boyu (cm) Çetele Çivi Sayısı 3, < 3, 3 3, < 3,4 6 3,4 < 3,6 7 3,6 < 3,8 5 3,8 < 4, 4 Çivileri Oraı. Toplam 5. Şeil 5 vidaı boylarıa ilişi histogram. f, Çolu , Boy(cm) Normal Dağılım Şeil. dei histogram, 5 vidaı boylarıa göre dağılımı simetri ve uçlara doğru heme heme ayı orada aaldığıı göstermetedir. Bua göre, tüm 3,5cm li stadart boydai vidalarda oluşa yığıdai vidaları boy öelliğii simgeleye i, olasılı yoğulu fosiyou, f( ) = e, < < π (3)

3 ola, ormal dağılımlı rassal bir değişe olduğu varsayılabilir. Şeil. de gösterile alaa de gele, ortalamalı ve değişeli, ormal bir ~ N (, ) değişeii, [a,b] aralığıda olma olasılığıı, b O ( a< < b) = e d (4) π a olacağı açıtır. Dolayısıyla, vida boylarıı ormal dağıldığı varsayımıa dayaara, () dei ora, (4) dei taımlamaya göre, 3,7 3,4 O= O (3, 4 < < 3,7) = e d π (5) biçimide hesaplaabilir. Şeil. a baralığıdai ormal eğri altıda O ( a< < b) gele ala. değerie arşılı ( < < ) O a b a b

4 Aritmeti Ortalama ve Değişe Aca, (5) dei tümlevi sayısal değerii bulabilme içi, rastsal değişeie ilişi ormal dağılımı, ve öteölçüm değerlerie de gere olduğu açıtır. Sırasıyla yığı ortalaması ve değişesie arşılı gele ve öteölçüm değerleri, yığıı temsil ede birimli { },,, öre verileride, ˆ = i (6) i= ˆ s = ( ) i (7a) i= veya ortalamada farlar yerie doğruda gölem değerlerii areleri alıara, ˆ s = i i i i + = i= i= + i= i= = i i + = i= i= (7b) biçimide tahmi edilebilir. Veri sayısı a olduğuda, ortalama ve değişe doğruda (6) ve (7) ye göre hesaplaabilir. Veri sayısı ço olduğuda, ardışı olara alt ve üst sıırları esişmeye K tae aralıta sııfladırılara, ıcı sııftai verileri sılı sayısı olma üere, aritmeti ortalama ve değişe, f ˆ = f = K K = = f ve orta değeri ve (8) K ˆ s = f ( ) (9) = formüllerie göre hesaplaır. Aritmeti ortalama ve değişe hesabıda, sııfladırılmamış verilere uygulaa (6) ve (7) ile, sııfladırılmış verilere uygulaa (8) ve (9) formüllerii verdiği değerler arasıdai far ço adır. Sııf aralılarıdai veriler e adar baışımlı ise, bu far o adar aalır. Verileri sııfladırılmasıda bilgi aybıı e aa idirece urallara uyma oşuluyla uygulamada, bir veri ümesii betimleyici aritmeti ortalama, değişe ve beeri ölçütleri sııfladırılmış verilerde hesaplaması yeğleir.

5 Çielge. dei verileri ortalama ve değişesii, sııfladırılmamış ve sııfladırılmış verilere göre asıl hesaplaacağı Çielge.3 ve Çielge.4 de gösterilmiştir. Çielge.3 Sııfladırılmamış verileri ortalama ve stadart sapmasıı hesaplaması.. i i i ( ) 3, -,4976, ,6 3, -,3976, ,67 3 3,7 -,3376,397376, ,5 -,576, , ,3 -,76,439776,89 6 3,3 -,876,359376,4 7 3,33 -,776,35476, ,36 -,476,78576, ,37 -,376,893376,3569 3,4 -,976,95576,68 3,43 -,776,676,7649 3,48 -,76,7676,4 3 3,49 -,76,3976,8 4 3,5,4,576,3 5 3,53,4,576, ,57,64,389376, ,6,94,853776,96 8 3,66,54,3576 3, ,69,84, ,66 3,7,4, ,8384 3,78,74,7476 4,884 3,8,34, ,56 3 3,89,384, ,3 4 3,9,44, ,88 5 3,99,484, ,9 Toplam 87,69, ,557 Ortalama = 87,69 = 3,576 5 Değişe ( )( ) ˆ s = 39,557-(5 3,576 ) =,57456=, i i

6 Çielge 4 5 vidaı boylarıa ilişi aritmeti ortalama ve stadart ayrılışı sııfladırılmış verilerde hesaplaması. f f f ( ) f ( ) 3, < 3, 3. 3, < 3, ,4 < 3, ,6 < 3, ,8 < 4, 4.6 3, 9,3 -,48,66464, ,3 9,8 -,8,4364, ,5 4,5 -,8,64,448 3,7 8,5,9,36864,843 3,9 5,6,39,53664,64656 Toplam 5. 87,7,5584 K = = = 3,58 5 Ortalama ˆ f ( 87,7) Değişe i i= = ˆ s = i f i= = = (,5584) =, K ( ) ( )

7 Stadart Normal Eğri Altıdai Alalar Uygulamada ço sı arşılaşıla (5) deie beer belirli tümlevleri hesaplamasıda, her hagi bir ormal değişei Z = () biçimide, ortalaması ve varyası ola stadart ormal bir Z ~ N (,) değişeie döüştürülere, EK dei Stadart Normal Eğri Altıdai Alalar Çielgesi de yararlaılır. Bua göre, Şeil.3 tei stadart ormal eğri altıdai alaa de gele (5) dei ora, 3,4 3,58 3,7 3,58,8,9 O= O (3,4 < < 3,7) O ( < Z < = O,65,65 < Z <, 55, 55 = O (, 4 < Z <,8 ) = O ( < Z <, 435) + O ( < Z <,759) biçimide taımlaabilir ve Stadart Normal Eğri Altıdai Alalar Çielgesi de O ( < Z <, 435),68 O ( < Z <, 759), 734 değerleri yerie oara, sö ousu olasılı, O= O (3, 4 < < 3, 7) =,68 +, 734 =, 436, 44 olara elde edilir. Şeil.3 Z ~ N(;) dağılımıa ilişi stadart ormal eğri altıdai O (, 4,8) değerie arşılı gele alaa de ola, ~ N (3,58;,65) dağılımıa ilişi ormal eğri altıda O ( 3, 4 3,7 ) değerie arşılı gele alaı hesaplaması. -,4,8 3,4 3,58 3,7 Bu bilgileri ışığıda artı, üreticii piyasadai bu vidalarda N= adet satı alması durumuda, S, 44 = 44 adetii edi üretimide ullaabileceği soucua varılır.

8 Bir Yığıı Belee Değerie İlişi İstatistisel Çıarım Tür Stadartlar Estitüsü(TSE) stadartlarıa göre üretilece ürüleri her hagi bir öelliğie ilişi stadart; α, stadart ormal eğrii sağ uyru altıdai α olasılığıa de gele stadart ormal değer olma üere, yığııdai birimleri %( α) adarıı, ± () α aralığıda olması biçimidedir. Sö ousu stadarda uygu olduğu öe sürüle bir ürüü, belirli aralılarla, belirlee stadardı sağlayıp sağlamadığı TSE tarafıda deetleir. Bu deetimlerde, sö ousu stadarda uygu olduğu öe sürüle yığıı temsil ede birimli rasgele bir öreği betimleye aritmeti ortalama ve değişe, alıa öreği, TSE i belirlediği stadarda uygu bir yığıda gelip gelmediği yoluda verilece istatistisel arar içi aıt olara ullaılır. Bu tür istatistisel bir arar içi, yığıı belee değerie ilişi %( α) li güve aralığı belirleere, yığıı belee değerii tahmii ola öre ortalamasıı bu aralı içie düşüp düşmediğie baılır. Öre ortalaması belirlee güve sıırları arasıda ise, %( α) güvele ürüü stadardı sağladığı ; değilse, sağlamadığı ararıa varılır. Böyle bir istatistisel arar, gerçete ürü stadardı sağladığı halde, eldei aıtlara göre, stadardı sağlamadığı yoluda yalış bir arar verme risi %α düeyide tutulara alımış olur. Bir Yığıı Belee Değerie İlişi Güve Aralığı Bir yığııda birimli rasgele alıaca öreleri ortalamaları da, örete öreğe değişi değerler alabilece bir rasgele değişe olup, Mere Erey Teoremi e göre olasılı dağılımı, ~ N, (3) biçimide taımlıdır. birimli öre ortalaması i, ( α ) olasılıla, Şeil.4 tei gibi, e göre baışımlı olara alabileceği değerlere ilişi aralığı alt ve üst sıırları, stadart ormal

9 Z = (4) değişeii α olasılıla daha büyü yada daha üçü olacağı stadart ormal değer α olma üere, O < Z < = O < < ( ) α α α α bağıtısıa göre taımlaır. = O + < + < + α α = O α < < + α = α (5) (5) e göre, ortalaması ve değişesi ola bir yığııda rasgele seçile birimli bir öreği ortalamasıı, ( α ) olasılıla ± α (6) aralığıda olması beleir. Şeil.4 Ortalaması ve değişesi ve ola bir yığıda rasgele seçilece birimli öre ortalaması α lı güve aralığı. i ( ) α α α - α α α + α

10 Çielge. dei verileri, %99 oraıda 3,5±,5cm aralığıda olma stadardıı sağlaya vidalara mı ilişi olduğu, öre ortalaması = 3,58 değerii, = 3,5,5,5 =, 5 =,9 ve,58 = 5 değerleri, (6) da yerlerie oara buluaca %99 lu güve aralığıı alt ve üst sıırları arasıda olup olmadığıa baılara belirleir. = 3,58,,9 3,5 ±,58 3,5 ±, 5 verileri sö ousu stadardı sağladığı söyleebilir. Soru: Güve düeyi %95 olsaydı, verilece arar e olurdu? aralığıda olduğuda, %99 güvele, Çielge. dei Diat edilirse, buraya adar %( α) lı güve aralığı oluşturulure, yığıı belee değeri ve değişesie ilişi değerleri doğru olduğu varsayılara, { },,, öreğii yığııda mı geldiği sorusuu yaıtladırılmasıda ullaıldı. Eğer amacımı, yalıca yığııı belee değerii tahmi etme ise, (5) dei güve aralığı (7) dei biçimde taımlaara, örete hesaplaa aritmeti ortalamaya göre yığıı belee değeri içi bir tahmi aralığı belirleebilir. O < Z < = O < < ( ) α α α α = O < < α α = O ( ) α > ( )( ) > ( ) α = O α < < + α = α (7)

11 Aca (7) ye göre oluşturulaca tahmi aralığıı yorumuda diatli olma gereir. (7) dei aralığı alt ve üst sıırları rassal olduğuda, -α olasılığı; yığıı belee değerii belirlee tahmi sıırları içide olma olasılığı değil, öre çapı ayı ola örelerde beer biçimde oluşturulaca tahmi aralılarıda yığıı belee değerii içerece olaları oraıı, oluşturula tahmi aralığı sayısı sosua gidere yaısayacağı oradır. Bua göre, yuarıda verile öre içi,,9 3,58 ±,58 3,58 ±, 5 tahmi aralığıı, yığıı gerçe belee değerii içerme şası %99 dur deir. Bir Yığıı Belee Değerie İlişi Deece Sıaması Yuarıdai örete olduğu gibi, bir yığıı belee değerie ilişi güve aralığı oluşturara verdiğimi arar, yığıı belee değeri üerie urulu D : = * D : * (8) biçimide birbirii tümleyei ola ii öermede birii doğru abul edileceği istatistisel bir arardır. Bu tür ararlarda, arar vericii arşılaşabileceği dört olası durum, ve bu durumları gerçeleşme olasılıları aşağıda öetlediği gibidir. Gerçete D öermesi Karar verici D öermesii Doğru olabilir Yalış olabilir Kabul edebilir Red edebilir Güve düeyi α I.Tür Hata α, Alamlılı düeyi II.Tür Hata β Sıamaı gücü β α olasılığı, gerçete D öermesi doğruye, eldei aıtlara göre D ı red etme (I.Tür Hata) risi; β olasılığı ise, gerçete D öermesi yalışe, eldei aıtlara göre D ı abul etme (II.Tür Hata) risidir. (8) dei gibi bir deecei sıamasıda, D öermesii gerçete doğru olduğu varsayımı altıda, I.Tür Hata risi, α göe alıara, yığııda rasgele

12 birimli öre verileride elde edile aıta göre arar verilir. Dolayısıyla, (8) dei gibi bir istatistisel bir deece sıaması souda, D öermesii abul edilmiş olması, β olasılıla; red edilmiş olması da, α olasılıla yalış bir arar olabilir. İstatistisel itelili olmaya ararları ise, esel olara arar hata rislerii bilere alımış olmaları sö ousu değildir. Bir yığıı belee değerie ilişi (8) dei gibi bir deecei sıamasıda, (6) dai güve aralığıı alt ve üst sıırlarıı hesaplama yerie, öre ortalamasıı h * = (9) biçimide hesaplaaca stadart değerii, Şeil.4 dei, düşmediğie baılır. α α aralığıa düşüp Alıa vida öreğii, stadart yığıda gelip gelmediğie arar verme, α =, alamlılı düeyide, D : = 3,5 D : 3,5 deecesii, = 5, =, 9, = 3,58 bilgileri doğrultusuda sıamatır. Stadartlaştırılmış h * 3,58 3,5 = = =,,9 5 öre ortalamasıı mutla değeri, etei Stadart Normal Eğri Altıdai Alalar çielgesii alalar bölümüdei,,,5 =, 495 değerie arşılı gele,,5 =,58 değeride üçü olduğu içi, %99 güvele, alıa öreği stadart yığıda geldiği ararıa varılır.

13 EKLER Stadart Normal Eğri Altıdai Alalar Stadart Normal Eğri Altıdai Alalar φ( ) = e d π