Sonlu Aralıkta Coulomb Potansiyele Sahip Sturm-Liouville Diferansiyel Denklemlerin Çözümleri İçin Bir Gösterilim

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Sonlu Aralıkta Coulomb Potansiyele Sahip Sturm-Liouville Diferansiyel Denklemlerin Çözümleri İçin Bir Gösterilim"

Gülistan Güven
5 yıl önce
İzleme sayısı:

1 C.Ü. Fe-Eeia Faülei Fe Bilimleri Dergii (7Cil 8 Saı Sol Aralıa Colom Poaiele Sahip Srm-Lioville Diferaiel Delemleri Çözümleri İçi Bir Göerilim R. h. AMİROV N. TOPSAAL Cmhrie Üiveriei Fe-Eeia Faülei Maemai Bölümü SİVAS emirov@cmhrie.e.r opaal@cmhrie.e.r Receive: 6..7 Accepe:..7 Öze: B çalışmaa ol aralıa Colom poaiele ahip Srm-Lioville operaörleri içi çevirme operaörü ipie göerilimler ele eilmişir. Aahar elimeler: Çevirme operaörü İegral Delemi Srm-Lioville operaörü Colom poaieli. A Iegral Repreeaio for Solio of Srm-Lioville Differeial Eaio wih Colom Poeial o a Fiie Ierval Arac: I hi repreeaio wih raformaio operaor ha ee oaie for Srm- Lioville operaor wih Colom poeial o a fiie ierval. ewor: Traformaio operaor Iegral Eaio Srm-Lioville operaor Colom Poeial.. Giriş ( a ol aralığıa : = '' l iferaiel ifaeii üreiği Srm-Lioville operaörler eoriie foio L ( a oşl

2 ağlaığıa l iferaiel ifaei regüler ( a aralığı oz a a foio verile aralığı iç oalarıa vea ıırıa iegralleemee igüleriee ahip ie igüler iferaiel ifae olara alaırılır. [6] çalışmaıa olma üzere geelleşirilmiş ürev llaılara L = şelie ir poaiele ahip igüler Srm-Lioville operaörü aımlamışır. Arıca çalışmaa olma üzere L = poaielie ahip l iferaiel ifaei arafıa iferaiel operaörleri elf-ajoi geişlemeleri olşrlmşr. Geelleşirilmiş foiolar [5] e aoi regülarizao meo llaılara ig a 6... rmlarıa elirilmişir. a 3 a < rma olla ele eile geelleşirilmiş foiolar L zaıai foioları geelleşirilmiş ürevleri şelie göerileilir. Bölece l iferaiel ifaei ve a ig = şelie ir poaiele ahip Srm-Lioville operaörü = C ve a aımlaailir. [] çalışmaıa 3 a < C R R olmaı rma ip poaiele ahip Srm-Lioville elemi içi ıır-eğer prolemie ir regülarizao verilmişir. a [] çalışmaıa ie = C ve [ oşllarıa göre ip poaiele ahip a olmaı rma ıır-eğer l iferaiel ifaei arafıa üreile operaörleri üm elf-ajoi geişlemeleri ve olaııla ip poaiele ahip Srm-Lioville elemi içi ıır-eğer prolemii aıl olacağı o icelemişir. Arıca [] ve [6] çalışmalarıa i regülarizaolar aece rm içi çaışmaaır. 3 a < C l : = '' a < < π (I iferaiel ifaeii ele alalım. Braa R foior. [ π ] C D = C ( π ümeie L : L L zaıa - gerçel eğerli ıırlı ir =l operaörüü aımlaalım. Açıır i L operaörü imeriir. L ı apaışı ola L operaörü (I

3 iferaiel ifaeii üreiği miimal operaörür L operaörüü eşleiği ola operaörüe (I iferaiel ifaeii üreiği maimal operaör olara alaırılır. [] çalışmaıa üm maimal iipaive ve accmlaive ve arıca L operaörüü elf-ajoi geişlemeleri; (I iferaiel ifaeii üreiği maimal ve miimal operaörleri ıır oşlları ve aım ümeie göre çalışılmışır. a = C a * [] e olma üzere = Γ alalım. D L ie rma limie ahip olğ göerilmişir. Yai lim a ( Γ = ( Γ ir. Dolaııla (I iferaiel ifaeii üreiği * aım ümei aece D L ( = ( π = ( Γ = ( π = a ie a * L Γ foio ir L miimal operaörüü D foiolarıa olşr öle i a oşllarıı ağlar. B çalışmaa ve ( Γ = i L foio a = rm icelemişir. Dolaııla = C L [ π ] l olara alımışır. Arıca çalışmaa [] çalışmaıa ( = ( ( çevirme operaörüe ezer ir göerilim ele eilmişir. e i. İegral elemi olşrlmaı iferaiel elemi ıır oşlları ve C l : = '' = λ ( π λ = < < π ( = = ( ( = ( '( = '( i (3 3

4 üreizli oşllarıı üreiği L prolemii ele alalım. Braa λ -peral paramere π C R > π ir. - gerçel eğerli ıırlı ve ( π ( iferaiel elemie C L ( π ( Γ = ele eilir. Şimi alııra L = l olma üzere l: = = = l ' = Γ Γ = = = ( Γ ' ' = alııra = = π = (5 prolemi ele eilir. vea ( = ( ( = ( i ( ( iemii mari göerilimi = A= = - olma üzere elemaları iegralleeilir olğa [] e = A f f L ( π ( (6 (7 = A mariii iemleri içi aşlagıç-eğer prolemi çözümüü varlığı ile ilgili eorem gereği her [ π ] ν = ( ν ν T C içi (7 iemii ( = ν ( = ν ağlaa aece ir e çözümü varır. Özel olara = = i aşlagıç oşllarıı alıailir. Taım: ( iferaiel elemler iemii ( = ( = ν ( = ( Γ( = ν aşlagıç oşllarıı ağlaa çözümüü irici ileşeie ( elemii aı oşlları ağlaa çözümü eir.

5 5 ( iferaiel elemler iemii ( = i aşlagıç oşllarıı ve (6 üreizli oşllarıı ağlaa çözümü = = olma üzere < ie ( ( ( ( [ ] ( ( ( ( [ ] = i i ie e co i i co (8 > ie [ ] [ ] ( ( ( ( [ ] [ ] [ ]( ( ( ( [ ] [ ] ( ( ( ( [ ] = o i i i i i i e e e e i co co co i i i i co co _ (9

6 = i i i [ e e ] ( i i [ i ( i ( ] ( _ [ ( ( ( ] co( co( i i [ co( co( ]( [ ] [ ( ( ( ][ i ( i ( ] ( i ( [ ( ( ( ] co( e o i iegral elemler iemii ele eilir. e i ( Şimi ( iferaiel elemler iemii ( = i ve (6 üreizli oşllarıı ağlaa her çözümüü < ie aşlagıç oşllarıı > ie i e = i ie ( e i i i i e ( e i ( e ( = e i i e i i e i ( e e ( e i ( i i ( e i ( e e i i i i [ e e ( e e ] ( i i ( i i i e i e şelie ir iegral göerilime ahip olğ ipalaalım. Braa ( i j = ve ij ve ( çözümüe erie azılıra ( reel eğerli ıırlı foiolarır. ( ve ( ifaeleri (9 6

7 i i i ( e = ( co( co( e ( e _ i i i ( i( i( ie ( e ( e i e ( i ( ( ( _ i i i i( e ( e i i i( i( i( e ( e o i i i i ( co( co ( ie ( e ( e i e ( i i e e i i ( ( ( co ( co ( i( i( ( co e i e e i e e i ( i i { } i i i i e i e i e e ( ( i i i( i i( e e e e i i ( ( e i ( e i ( i( i( ( ( ( i e i e e i e e i ve 7

8 ( ( i( i( i i i i e e e e e i e = e e i i ( i ( i ( ( _ i i i ( co( co( ie ( e ( e i e ( i i e e ( ( ( _ i co co ( ( i i i( co( co( e ( e o i i i i ( i i( ie ( e ( e ( i( i( i e ( i e i e e i e e i i { } co i i( i i( ( i e i e i e e ( ( co i i( i i( e e e e i i ( ( e i ( e co i( i( ( ( ( co e i e e i e e i iegral elemleri ele eilir. Gereli heaplamalara ora 8

9 i i i ( = e e e i i i e e e i i e e i i e e i e i e i e i i ( e ( e i i - ( e ( e i ( e i e i ( e ( ( 9

10 i ( e i i ( e ( e i i ( e - ( ( e i - ( ( e i ( e i ( e i ( e i i ( e ( e i ( e i ( e i i ( e ( e i ( e

11 i ( e i e i e i i ( ( e ( ( e i ( ( ( e i ( ( ( e i i ( ( e ( ( e ( ( e i (3 ( e i = e i e i e i e i e i

12 i e i ( e i ( e i ( ( e i ( ( e i i ( ( e e i i ( ( e e i i ( ( e e i i ( ( e e i i ( e ( e i ( ( e

13 i ( ( e ( ( e i = e i - e i e i i i i e e e i i e ( ( e i i ( ( e ( ( e i i ( e ( e i ( e i ( e i ( e i ( e i ( e 3

14 i ( e i i ( e ( e i i ( e ( e i i ( e ( e i i ( e ( ( e i i ( e ( e i i ( e ( e i i ( ( e ( e i e ( ( (5 eşilileri ele eilir. (3 ( ve (5 eşililerie ( i j = içi aşağıai iegral elem iemleri lr. ij foioları

15 5 = ( (( ( [ ] ( (( ( [ ] ( (( ( [ ] ( (( ( [ ] ( ( ( ( - ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (

16 6 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( = ( ( ( ( ( ( ( (

17 7 = ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (

18 8 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( - < < < < < ölgeie ve ifaelerie arışı alaşımlar öemi glaıra; = ( (( ( [ ] ( (( ( [ ] ( (( ( [ ] ( (( ( [ ] ( ( = ( ( - ( ( (

19 9 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( =

20 3 = ( ( ( ( ( (

21 3 = ( ( = ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (

22 ( ( ( ( ( ( ( ( iegral elemleri ele eilir. O hale ( ( = ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( [ ] [ ( ( ( ( ] ( ( = ( ( ( ( [ ( ( ( ( ] ( ( ( ( [ ] ( ( = ( ( ( ( olaııla [ ] 6 ( ( [ ] ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( [ ] [ ] ( ( [ ] ( ( ( ( ( 3

23 33 eşiizlileri lr. [ ] [ ] = 6 ma c ve ( ( ( ( [ ] = σ olara alııra her = j i içi c ij σ olr. Arıca ( ( ( ( π ( ( ( [ ] π ( ( ( ( π ( ( ( ( ( ( π π

24 ( ( π π ( ( ( ( ( ( ( π ( ( ( ( π ( ( = ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 3

25 35 ( ( = ( ( π ( ( ( ( ( ( ( ( π π ( ( ( ( arıai eşiizliler llaılıra = içi; (! c σ π ( [ ]! 5 - c σ ( [ ]! 3 6 c σ π π

26 eşiizlileri ele eilir. 7 c= ma 6 3 π 5 c} 6 3 π olara alııra; her i j = içi Arıca = içi i j = olma üzere σ! ( ij ( c Tümevarım öemi glaıra her i j = içi eşiizliği geçerli olr. Bezer işlemler iğer eşiizlileri ele eilir. 3 σ 3! ( 3 ij ( c ( ( c ele eilir. ij σ (! - < < < 3- < < < < - < < < 5- < < < 6- < < < < ölgelerie e apılailir. içi [ ] σ olma üzere her i j = Dolaııla = ( ( ( ( ( eşiizliği ağlaır. ij cσ ( e B rma aşağıai eorem ipalamış olr. Teorem: L prolemii ( = i < ie aşlagıç oşllarıı ağlaa çözümü içi > ie i e = i ie ( e i i i i e ( e i ( e 36

27 i i i i e e e e ( e i i i i i i e i e i e e = i i( i i( ( e e e e i i ( e i ( e göerilimleri mevcr. [ ] Braa = ( ( ( ( = e ( [ ] ( ( = ' ( ( ve ( [ ] = [ ] ( ( i j (. şelieir. i j (. L [ π ] ( i j = aalar [] F. Aleverio Geez R. Hegh-roh H. Hole Solvale Moel i Qam Mechaic New Yor Spriger (988. [] R. h. Amirov Ivere Prolem for he Srm-Lioville Eaio wih Colom Siglari i Specra a. Dieraia Ba (985. [3] R. h. Amirov Traformaio operaor for a cla of he iffereial operaor wih a iglari Proc. Of Iie of Mah. a Mech. Of Azerajia ( [] R. h. Amirov I. M. Geiov Boar vale prolem for a cla of Srm- Lioville operaor wih oiegrale poeial Diff. Eaio 38 No:8 ( [5] I. M. Gelfa G. E. Shilov Geeralize Fcio Volme I Acaemic Pre New Yor-Loo (96. [6] A. M. Savch A.A.Shaliov Srm-Lioville operaor wih Siglar poeial Mah. Zamei 66 ( I Ria. 37

28 [7] V.V. Sahevaa O ıvere prolem for pecral aali for he oe cla iffereial eaio Dol. AN SSSR 93 No:3 (953. [8] B.Ya. Vol O ivere formlae for he iffereial eaio wih he iglari Srve Sovie Mahemaic 8 No: ( [9] R. h. Amirov Traformaio operaor for Srm-Lioville operaor wih iglar poeial Joral of Pre a Appl. Mah. No:3 ( [] R. h. Amirov O Srm-Lioville operaor wih icoii coiio iie a ierval J. Mah. Aal. Appl. 37 ( [] R. h. Amirov Y. Çama a S. Gülaz Boar Vale Prolem For Seco Orer Differeial Eaio wih Colom Siglari o a Fiie Ierval Iia J. Pre appl. Mah. 37(3; 5-6. [] M. A. Naimar Liear Differeial Operaor Mocow Naa 967 (i Ria. 38

Benzer belgeler

Bessel Potansiyelli Sturm-Liouville Diferensiyel Denklemlerin Çözümleri İçin İntegral Gösterilimleri

Bessel Potansiyelli Sturm-Liouville Diferensiyel Denklemlerin Çözümleri İçin İntegral Gösterilimleri C.Ü. Fen-Eebiya Faülesi Fen Bilimleri Dergisi (6)Cil 7 Sayı Bessel Poansiyelli Surm-Liouville Diferensiyel Denlemlerin Çözümleri İçin İnegral Göserilimleri R. Kh. AMİROV ve B. KESKİN Cumhuriye Üniversiesi