6. Uygulama. dx < olduğunda ( )

Transkript

1 . Uygulama Hatırlatma: Rasgele Değşelerde Belee Değer Kavramı br rasgele değşe ve g : R R br osyo olma üzere, ) esl ve g ) ) < olduğuda D ) sürel ve g ) ) d < olduğuda g belee değer der. c R ve br doğal sayı olma üzere: * * E g g sayısıa, D E g g d sayısıa E c değere c ye göre c momet der. E değere c momet der. * E ( ) değere belee değer der. E E( ) değere varyası der. * Alışagelmş olara br rasgele değşe belee değer µ veya sadece µ, varyası se Var ( ), σ veya sadece σ le de gösterlmetedr. Varyası areöüe stadart sapma der ve br rasgele değşe stadart sapması σ veya sadece σ le gösterlmetedr. değere c çarpımsal momet der. * Var olması halde, M ( t E e ), h < t < h ( h > ) osyoua momet ürete osyou veya momet çıara osyou der. * E ( )( ) ( + ) t * ϕ ( t ) E ( e ), t < R osyoua momet araterst osyou der. Ragele Vetörlerde Belee Değer Kavramı (,..., ) br rasgele vetör ve g : R R ye br osyo olma üzere, esl dağılımlarda,... g,,...,,,..., ) < ve sürel dağılımlarda,,,...,

2 ... g,,...,,,..., d d... d,,..., olması halde,... g,,..., ),,...,,,..., ) E g (,,..., )... g,,..., ),,..., ) d d... d sayısıa g (,,..., ) belee değer der. <,,..., * (,..., ) br rasgele vetör olma üzere,,,..., ç E( )......,,..., ) +,,...,...,,..., d... d d... d,,..., + ) sayısı belee değer olma üzere, d ( ) Cov(, ) E E( ) ( E( )),,,,..., sayısıa le ovaryası ve Cov(, ) Cov(, ) Cov(, ) Cov(, ) Cov(, ) Cov(, ) Σ Cov(, ) Cov(, ) Cov(, ) rasgele değşeler varyas-ovaryas matrs der. matrse,...,. Cov(, ) sayısı σ ( σ Cov(, ) ) le de gösterlmetedr.,,..., ç σ Cov(, ) Var( ) (,..., ) br rasgele vetör ve Cov(, ) ρ,,,,,..., Var( ) Var( ) le arasıda orelasyo atsayısı olma üzere,

3 ρ, ρ, ρ, ρ, R ρ,, ρ matrse,..., rasgele değşeler orelasyo matrs der. * (,..., ) br rasgele vetör olma üzere (var olması halde), t+ t t ) M ( t, t..., t ) E e, h< t, t..., t < h,..., osyoua (,..., ) vetörüü momet çıara osyou veya,..., rasgele değşeler orta dağılımıı momet çıara osyou der. * ϕ (,..., ) br rasgele vetör olma üzere, ( t + t t ) ( t, t..., t ) E e, t, t..., t R,..., osyoua (,..., ) rasgele vetörüü araterst osyou der. Alıştırmalar:. a) a, b R olma üzere, ( a+ b) ) a ) + b ) a+ be( ) E( ) E( a+ b ) ( a+ b) ) d a ) d+ b ) d a+ be( ) E( ) ae + b b) Var( a+ b) E( a+ b E( a+ b) ) E( a+ b ae( ) b) ( ) ( ) E a ae a E E a Var

4 c) Var ( ) E ( E( )) E E( ) + ( E( )) ( E( )) + E E E E E d) Cov(, Y) E[ ( E( ))( Y E( Y ))] E[ Y E( ) Y E( Y ) + E( ) E( Y )] E( Y ) E( E( ) Y) E( E( Y )) + E( E( ) E( Y )) E( Y ) E( ) E( Y) E( Y ) E + E( ) E( Y ) E( Y ) E( ) E( Y) le Y bağımsız olduğuda, Cov(, Y) E( Y ) E( ) E Y E( ) E Y E( ) E Y e) Orta dağılıma sahp ola, Y gb rasgele değşe ç taımlaa, ρ, Y Cov(, Y ) Var( ) Var( Y ) orelasyo atsayısıa, Pearso orelasyo atsayısı der. ρ, Y orelasyo atsayısı le Y rasgele değşeler arasıda leer lş br ölçüsüdür. Şmd, ρ, Y olduğuu spatlayalım. E( ty ) E( ) te Y + t E Y, t R Bua göre, delem dsrmatı E Y t E Y t+ E( ) ( ) E Y E Y E 4 4 ( ) E Y E Y E( ) dır (Schwartz Eştszlğ). Burada, (( )( )) E E Y E Y E Y E (( )( )) E E Y E Y E Y E

5 (( )( )) E E Y E Y E Y E( ) ρ, Y elde edlr. Eştl olması ç gere ve yeter şart cy ( c R ) olması ρ, Y olduğuda le Y rasgele değşelere doğrusal lşszdr veya ısaca ρ orelasyo atsayısı yaı olduğuda lşszdr der., Y lş, - e yaı olduğuda güçlü egat lş vardır der. le Y arasıda güçlü pozt ley bağımsız ρ, Y ( ley doğrusal lşsz) ) a, b, c, d R olma üzere, Cov( a + b, c + d) E a b c d + + E a + b E c + d ace( ) + ade( ) + bce( ) + bd ace( ) E( ) ade( ) bce( ) bd ace( ) ace( ) E( ) accov(, ) g) ρ a+ b, c + b Cov( a + b, c + b) Var( a + b) Var( c + b) accov(, ) a Var( ) c Var( ) ac a c ρ, h),..., rasgele değşeler belee değerler ve ovaryasları mevcut olsu. a, a,..., a R olma üzere, E a a E( )

6 Var a a a Cov a Var + a a Cov (, ) ( ) (, ) +,..., rasgele değşeler bağımsız olduğuda ovaryaslar sıır olacağıda, Var a a Var( ) Var Var( ) Var( ± ) Var( ) + Var( ) ve a,,,..., ç Var Var( ),..., rasgele değşeler ayı ( µ ) ortalamalı, ayı ( σ ) varyaslı ve bağımsız oldularıda, σ E( ) E µ, Var( ) Var. Br rasgele değşe momet ürete osyou varsa, d M t E,, dt t

7 Belee değer şlec (operatörü) E, sürel rasgele değşelerde tegral, esl rasgele değşelerde toplam olma üzere, aşağıda E le d dt türev alma şlemler yer değştrebleceğ varsayılsı. d d t d t t M ( t) E( e ) E e E ( e ),,,,... dt dt dt olma üzere, Bezer yolda, elde edlr. d t M t E e E,,,,... dt t t M ( t, t..., t ),..., t M ( t, t..., t ),..., t t t, t,..., t t, t,..., t E ( ) E,..., rasgele değşeler bağımsız olduğuda,,..., t t ( t ) t t t ) M ( t, t..., t ) E e e... e E e E e... E e M ( t ) M ( t )... M ( t ),..., rasgele değşeler bağımsız ve ayı dağılımlı (ayı ortalamalı ve ayı varyaslı) olursa, olduça olay olmata soucuda ve ( ) M ( t) M ( t) M ( t) dağılımı ve rasgele değşeler dağılımlarıı elde etme t t t M ( t) M ( t) M M M soucuda dağılımı buluablr.

8 . rasgele değşe olasılı osyou, e λ λ,,,, ( λ > )! e λ λ olsu.,,,.. ç < olduğuda bütü mometler var! belee değer, λ λ e λ e λ E( )!! λ λ λ λ λe λe )!! λ + adesde aydalaara, elde edlr. Burada, buluur. λ ( ) e λ E E + E + λ! ( ) λ e λ + λ! λ + λ e λ + λ λ! ) λ Var E E λ rasgele değşe momet ürete osyou, λ λ t t t e λ e ( e λ) λ ( e λ) λ M ( t) e e e e!!! e t λ t λ ( e ) e, t R belee değer, dm ( t) t λ( t ) E( ) t λe e t λ dt c momet,

9 ve varyası, E d M ( t) t dt [ λete + ( λe ) e ] λ+ λ λ( e t ) ( t t λ e ) t Var( ) E( ) ( E ) λ + λ ( λ ) λ olara elde edlr. Öreğ, br rasgele değşe momet ürete osyou, t ( et ) e M ( t) e! se olasılı osyou, e ),,,,! 4. Br güde parça şleye br tora maası ç usursuz olara şledğ parçaları sayısı olsu. olasılı osyouu 4 ) 4,,,,,, ) olduğu bls. Br güde üretle usursuz parça sayısıı belee değer (ortalaması), 4 4 E( ) ) varyası, Var( ) E ( 4) 4) ) 4 4 ( 4) + ( 4) + ( 4) + ( 4) + (4 4) + ( 4) 4. Đşlememş parçaı alış değer a, şleme masraı b, usurlu şlemş parçaı hurda değer c ve usursuz şlemş parçaı satış değer d olma üzere gülü azacı belee değer edr? K rasgele değşe gülü azacı gösterme üzere, olara ade edleblr. K a + b + c + d ( c a b) + ( d c)

10 E( K) E ( c a b) + ( d c) ( c a b) + ( d c) E( ) Var( ) Var ( c a b) + ( d c) ( d c) Var( ) olma üzere, öreğ şlememş parçaı alış değer a TL, şleme masraı b TL, usurlu şlemş parçaı hurda değer c TL ve usursuz şlemş parçaı satış değer d TL olduğuda, K ( c a b) + ( d c) 9 + E( K) 9 + E( ) Var 4 Var( ) 7 σ 7. Gülü azacı belee değer, başa br ade le ortalama gülü azaç TL dr. Gülü azacı olasılı dağılımı, P( ) P( K ) olma üzere, bazı gülerde TL azaç olduğu gb, 9, ya da TL ayıp söz ousu olablr..,, rasgele değşeler orta olasılı osyou,,,,,, ) + ), 4,,, olsu. E( ),, ) + ),, 4 + ) ( ) olma üzere, bu belee değer maral dağılımıda da hezaplayablrz. maral olasılı osyou, ) + ),, 4 ve olasılı tablosu, olup ) / /

11 E( ) + E( ) değer hesaplayalım. E( ),, ) + ),, 4 + ) ( ) olma üzere, bu değer (, ) vetörüü maral dağılımıda ( le maral orta dağılımıda) da bulablrz. le maral orta olasılı osyou,,, ),,,, ) + ) 4, (+ ), 4,, olma üzere, olasılı tablosu ) P( ) /4 /4 7/4 /4 /4 /4 4/4 /4 ) P( ) 9/4 /4 /4, E( ), ) (, ) + (,) + (, ) + (, ),,,, + (,) + (, ),, Tabloda görüldüğü gb, maral dağılımıı olasılı tablosu, ) 9/4 /4 /4

12 9 7 E( ) E( ) Var( ) E( ) ( E( )) 4 4 Şmd,, rasgele değşeler varyas-ovaryas matrs hesaplamaya çalışalım. Đl öce şerl maral dağılımları elde edelm. Yuarıda, le maral orta olasılı osyou,,, ),,,, ) + ) 4, (+ ), 4,, olma üzere, olasılı tablosu ) P( ) /4 /4 7/4 /4 /4 /4 4/4 /4 ) P( ) 9/4 /4 /4 olduğuu bulmuştu. Ayrıca, E( ), E( ), Var( ) E( ), E( ), Var( ) E( ), Cov(, ) E( ) E E( ) 9 değerler böyle br tabloda olayca hesaplayablrz. Bezer şelde, le ü maral orta olasılı osyou,,, ),,,, ) + ) 4 + ),,,,, olasılı tablosu, ) P( ) / / / / / / 4/ 9/ ) P( ) / / 7/ ve

13 E( ), E( ), E( ), Var( ) E( ), Cov(, ) E( ) E( ) E( ) 7 le ü maral orta olasılı osyou, olasılı tablosu,, ),, ) + ),,, 4 ( + ),,,, ) P( ) / 4/ / / / 9/ ) P( ) / / ve 4 E( ), E( ), E( ) 4 Cov(, ) E( ) E E( ),, rasgele değşeler varyas-ovaryas matrs Cov(, ) Cov(, ) Cov(, ) Σ Cov(, ) Cov(, ) Cov(, ) Cov(, ) Cov(, ) Cov(, ) Var( ) Cov(, ) Cov(, ) Cov(, ) Var( ) Cov(, ) Cov(, ) Cov(, ) Var( )

14 ve oralasyo matrs, R olara elde edlr.. (, Y ) rasgele vetörüü dağılımı, başa br ade le, Y rasgele değşeler orta dağılımı aşağıda olasılı tablosu le verls. y ) / / / / / / / / / / / Y ( y ) / / / olma üzere,, Y,, (),, Y, Y Y () olduğuda le Y bağımsız değldr. Faat, E( ) 4, E( ), Var( ) E( Y ) 4, E( Y ), Var( Y ) E( Y ), Cov(, Y) E( Y ) E( ) E( Y) ρ, Y Görüldüğü gb orelasyo atsayısı, Y ρ ola rasgele değşe bağımsız olmayablr.

15 Korelasyo atsayısıı büyülüğüü rdeleyelm y ) / / / / / / Y ( y ) / / / E( ), E( Y ), 4 E( Y ), 4 E( ), Var( ) 4 E( Y ), Var( Y ) Cov(, Y) E( Y ) E( ) E( Y ) ρ, Y Görüldüğü gb, P( Y) P( Y ), ya le Y arasıda tam br leer lş olma üzere, orelasyo atsayısı ρ, Y le Y rasgele değşeler arasıda pozt br lş söz ousudur. Rasgele değşelerde br büyü değer aldığıda dğer de büyü, br üçü değer aldığıda dğer de üçü değer almata y ) / / / / / / / / Y ( y ) / / / olması durumuda, E( ) 4, E( ), Var( ) E( Y ) 4, E( Y ), Var( Y ) E( Y ), Cov(, Y) E( Y ) E( ) E( Y ) ρ, Y. % le Y rasgele değşeler arasıda olduça güçlü pozt br leer lş söz ousudur.

16 y ) / / / / / / / / Y ( y ) / / / olması durumuda, E( ) 4, E( ), Var( ) E( Y ) 4, E( Y ), Var( Y ) E( Y ), Cov(, Y) E( Y ) E( ) E( Y ) ρ, Y. % le Y rasgele değşeler arasıda olduça güçlü egat br leer lş söz ousudur. y ) / / / / / / Y ( y ) / / / olması durumuda, 4 E( ), E( ), Var( ) 4 E( Y ), E( Y ), Var( Y ) E( Y ), Cov(, Y) E( Y ) E( ) E( Y ) ρ, Y le Y rasgele değşeler arasıda tam egat br leer lş söz ousudur.

17 olması durumuda, y ) / / / / / / / / / / Y ( y ) / / / E( ), E( Y ), 7 E( Y ), ρ, Y 4 E( ), Var( ) 4 E( Y ), Var( Y ) Cov(, Y) E( Y ) E( ) E( Y ).-% le Y rasgele değşeler arasıda zayı, egat br leer lş söz ousudur. Maral dağılımları ayı ola yuarıda olasılı dağılımlarıı, orelasyo atsayıları le brlte br ez daha göz öüe alalım. y / / / ρ, Y y / / / ρ, Y y / / / / / ρ, Y %

18 y / / / / / ρ, Y % y / / / / / / / ρ, Y - % y / / / / / / / / ρ, Y ve y ) 9/4 /4 9/4 / /4 4/4 /4 / 9/4 /4 9/4 / Y ( y ) / / / olması durumuda le Y rasgele değşeler bağımsız (orta olasılılar maraller çarpımı) olduğuda ρ, Y 7. (, Y, Z ) rasgele vetörüü olasılı yoğulu osyou, z + y) e, < <, < y <, z >, Y, Z, y, z), d. y. olsu. ve (, Y, Z ) vetörüü varyas-ovaryas matrs le orelasyo matrs bulalım. maral olasılı yoğulu osyou, z ) + y) e dydz z + y) + y) dy e dz + y) dy y+, <y< y

19 ve 7 E( ) ) d ( + ) d + 4 E( ) ) d + ) d Var( ) E( ) ( E( )) 44 Y maral olasılı yoğulu osyou, z ( y) + y) e ddz Y ve z + y) + y) dy e dz + y) d y+, << y y 7 E( Y ) yy ( y) dy y( y+ ) dy + Y y 4 y y E( Y ) y ( y) dy y ( y+ ) dy Var( Y) E( Y ) ( E( Y )) 44 Z maral olasılı yoğulu osyou, y z z ( z) + y) e ddy e + y) ddy Z z y) + z z e dy e y + dy e, z> Z rasgele değşe θ parametrel üstel dağılıma sahptr ve E( Z ) Var( Z )

20 le Y orta maral olasılı yoğulu osyou, olma üzere, z, Y, y) + y) e dz + y, < <, < y<, y, z), y) ( z), Y, Z, Y Z Z rasgele değşe le Y rasgele değşelerde bağımsız Bua göre, Cov(, Z) Cov( Y, Z) Cov(, Y) hesabıa gelce, olma üzere, E( Y) y, y) ddy, Y y+ y) ddy y ( y ) + dy y y y y + dy ( + ) y 7 7 Cov( Y ) E( Y ) E( ) E( Y ) 4 (, Y, Z ) rasgele vetörüü varyas-ovaryas matrs Var( ) Cov(, Y ) Cov(, Z) 44 4 Cov( Y, ) Var( Y ) Cov( Y, Z) Σ Cov( Z, ) Cov( Z, Y ) Var( Z) 4 44 ve oralasyo matrs,

21 R olara elde edlr.. a),..., rasgele değşeler bağımsız ve ayı λ parametrel Posso dağılıma sahp olsu. olma üzere, M t e λ,,..., ( e ) t, λ( et ) λ ( et ) M ( t) M ( t) ( e ) e rasgele değşe parametres λ ola Posso dağılımıa sahptr. b),..., rasgele değşeler bağımsız ve ayı θ parametrel üstel dağılıma sahp olsu. olma üzere, M t t ( θ ),,,..., ( θ ) M ( t) M ( t) ( t) ( θt) rasgele değşe parametreler Γ( θ, ) M t t θ t M ( θ ) ( t) α ve β θ ola gamma dağılımıa sahptr.

22 θ Γ ( α, β ) c),..., rasgele değşeler bağımsız, ayı µ ortalamalı ve ayı σ varyaslı Nµσ (, ) ormal dağılımıa sahp olsu. olma üzere, µ+ t σ t M ( t) e,,,..., + σ t t+ σ t t M ( t) M ( t) e e µ µ N( µ, σ ) t σ σ t t t t µ + µ + M ( t) M e e σ N( µ, ) 9.,..., rasgele değşeler bağımsız ve ayı b(, p ) Beroull dağılımıa sahp olduğuda, Y b(, p) rasgele değşe aldığı değerler, y,,,..., olma üzere olasılı osyou, y y Y ( y) P( Y y) P( y) p q, y,,,..., y Y rasgele değşe aldığı değerler, değerler alması olasılıları ) P( ) P( ) P( y) p y q y,,,,,..., y,,,,..., bu

23 . a) Bell br tür pl ç dayama süres N( µ ( saat), σ ) dağılımıa sahp olduğu bls. Bu dağılımı olasılı yoğulu osyouu grağ, Bu pller arasıda rasgele seçle pl dayama süreler ortalamasıı göz öüe alalım. tae pl dayama süreler,..., rasgele değşeler olma üzere, bu rasgele değşeler her br N ( µ, σ ) dağılımıa sahptr. Ayrıca,,..., ler bağımsız se, rasgele değşe olasılı yoğulu osyouu grağ, Nµ (, σ ) (, ) rasgele değşe olasılı yoğulu osyouu grağ,

24 b) Bell br tür eletro parça ç dayama süres ayı θ yıl ortalama le üstel dağılıma sahp olduğu bls. Bu dağılımı olasılı yoğulu osyouu grağ, Bu parçalar arasıda rasgele seçle taes dayama süreler ortalamasıı göz öüe alalım. tae parçaı dayama süreler,..., rasgele değşeler olma üzere, bu rasgele değşeler her br θ parametrel üstel dağılıma sahptr. Ayrıca,,..., ler bağımsız se, Γ ( α, β ) rasgele değşe olasılı yoğulu osyouu grağ, Γ ( α, β ) rasgele değşe olasılı yoğulu osyouu grağ,

25