7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları
|
|
- Erdem Karakaş
- 8 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Hatırlatma: ( Ω, U, P) bir olasılık uzayı ve 7. Ders Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları : Ω ω R ( ω) foksiyou Borel ölçülebilir, yai B B içi { ω Ω : ( ω) B } U oluyorsa foksiyoua bir Rasgele Değişke deir. D ( Ω ) { : R, ω Ω içi ( ω) } olmak üzere, D kümesi solu veya sayılabilir sosuz elemalı olduğuda e kesikli rasgele değişke (discrete radom variable) deir. üzere, Kesikli bir rasgele değişkei dağılım foksiyou F ve olasılık foksiyou f olmak F : R [,] F( ) P( ) f ( i ) i D, i f ( ) P( ) F( ) F( ), D ) f ( ), D ) f ( ) D Bu derste bir oktada yoğulaşmış dağılım (Dirac Dağılımı), iki oktada yoğulaşmış dağılım (Beroulli Dağılımı), Biom Dağılımı, Hipergeometrik Dağılım, Geometrik Dağılım, Negatif Biom (Pascal) Dağılımı, Poisso Dağılımı ve Düzgü Dağılım ı göreceğiz.
2 Bir Noktada Yoğulaşmış Dağılım ( Ω, U, P) Ω ω R a Örek uzayı her elemaıı bir a sayısıa döüştüre foksiyoa, a oktasıda yoğulaşmış dağılıma sahip rasgele değişke deir. D { a} ve i olasılık foksiyou, olasılık tablosu, dağılım foksiyou, f ( ), a a f P ( ) ( ) ( ) F,, < a a ve ( ). ( ) E f a ( ). ( ) E f a ( ) ( ) ( ) Var E E ( t ) at M ( t) E e e, t R
3 Sıfır oktasıda yoğulaşmış dağılıma Dirac Dağılımı deir. f() F() f ( ),, < F ( ), E ( ) ( ) E Var ( ) M ( t), t R Beroulli Dağılımı Bir deeydeki souçlar başarı ya da başarısızlık olarak iteledirildiğide, böyle deeylere iki tür souçlu deey, Beroulli deeyi veya Beroulli deemesi deir. Bu deeylerde Olasılık uzayı, Ω, U {,, B, B} ( B B Ω, P( B) p ) olmak üzere, B olayıa başarı elde etme olayı ve p olasılığıa başarı olasılığı ve < p < içi q p P( B) olasılığıa başarısızlık olasılı deir. Aşağıdaki gibi taımlaa rasgele değişkeie Beroulli rasgele değişkei ve dağılımıa da Beroulli dağılımı deir.
4 ( Ω, U, P) Ω B ω B Beroulli dağılımıda rasgele değişkeii aldığı değerler, olup, D {,} i olasılık foksiyou, ( ) ( ) f p p,, olasılık tablosu, f P q p ( ) ( ) dağılım foksiyou,, < F ( ) q, <, R f() q F() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E. f. q +. p p E. f. q +. p Var E E p p p p p. q ( ) t t ( ) ( ) ( ) M t E e e f e t. q e t. p q p. e t p p. e t, t R Beroulli dağılımıda, beklee değer başarı elde etme olasılığıa eşittir. Beroulli dağılımıdaki p ( < p < ) sayısıa dağılımı parametresi deir.
5 Beroulli dağılımları arasıda varyası e büyük ola dağılım hagisidir? Beroulli Dağılımıı varyası p i bir foksiyoudur. g( p) pq p( p) p p, < p< g '( p) p g ''( p) olmak üzere, p ola Beroulli dağılımıı varyası e büyüktür. Parametresi ½ ola Beroulli dağılımı e büyük varyaslı Beroulli dağılımıı iki tür souçlu deeylerii modellemeside (alatımıda) kullaırız. Öreği kişilik bir kitlede kişi sigara içmiyor ve 8 kişi içiyor, yai %6 ı sigara içmiyor olsu. Bu kitlede rasgele bir kişi seçildiğide Örek Uzay, Ω sigara içiyor, sigara içmiyor { } olmak üzere, seçile kişii sigara içmiyor olması olayıı olasılığı p.6 olup, rasgele değişkei sigara içmeye içi, içe içi değerii alsı. bir Beroulli rasgele değişkeidir. p Bir olayı olasılığı p olmak üzere, sayısıa, bu olayı değilie göre karşıtlığı p p diyelim. Kısaca sayısıa karşıtlık (odds) diyelim. Karşıtlık (, ) aralığıda bir sayı p Yukarıda sözü edile kitlede, sigara içmemei içmeye karşıtlığı,.6.5 :8 3:.6 8 dir. Sigara içmeye 3 kişiye karşılık kişi sigara içmektedir. Ölümcül bir tür kaser tedaviside %8 olasılıkla başarı elde ediliyorsa,.8 Karşıtlık 4 :.8 p Bir olay içi karşıtlık p ve başka bir olay içi karşıtlık p olmak üzere, bu p iki olay içi p p p ( p ) Karşıtlık Oraı ( Odds Ratio, OR) p p ( p ) p olarak taımlamakta Ölümcül bir tür kaser tedaviside başarı olasılığı, bayalar içi p %8, erkekler içi p %4 olduğuda, bir bayaı kurtulma olasılığı erkeği iki katı Bayalar içi p.8 4 KarşıtlıkB 4 p.8 olmak üzere, 4 kurtula bayaa karşılık baya ölmektedir. Erkekler içi, p.4 4 KarşıtlıkE p olup, 4 kurtula erkeğe karşılık 6 erkek ölmektedir. Bu karşıtlıkları oraı,
6 p.8 4 p OR.8 6 p.4 4 p.4 6 Tedavi sorası bir bayaı kurtulma olasılığı erkeği kurtulma olasılığıı iki katı, Karşıtlık Oraı ise OR6 Bir tedavide başarı oraı (olasılığı), sigara içme oraı, bozuk ürüleri oraı, 8 yaşı üzeridekileri oraı, kısaca bir kitlede belli bir özelliğe sahip eseleri oraı kitleyi karakterize etmede öemli parametrelerde birisidir. Ayrıca bu parametreye bağlı olarak Karşıtlık ve Karşıtlık Oraı gibi kavramlar söz kousudur. Bir kitlede belli bir özelliğe sahip eseleri oraı, bir Beroulli deemeside başarı olasılığı p ( < p < ) olmak üzere, bu ora, yai p parametresi bilimediğide tahmi edilmesi gerekmektedir. Biom Dağılımı Başarı olasılığı p ola bir Beroulli deemesii ayı şartlar altıda, bağımsız olarak kez tekrarlamasıyla oluşa deeye Biom Deeyi deir.. Tura gelmesi başarı sayıla bir para atışıı kez tekrarlaması,. Kusursuz parça üretme olasılığı p.99 ola bir makiada tae parça üretilmasi, 3. Bir atışta başarı olasılığı p.8 ola bir basketbolcuu 5 atış yapması, 4. 6 Kırmızı ve 4 siyah top içere bir kavaozda iadeli olarak 3 top çekilmesi, birer Biom Deeyidir. Biom Deeyide örek uzay, BB... B, BB... B, BBB... B,..., BB... B ( bir başarı) tae tae tae tae BB... B,... BB... BBB ( iki başarı) tae tae Ω BBBB... B,..., BB... BBBB ( üç başarı) tae tae..., BB... B ( başarı) tae olmak üzere, rasgele değişkei deemede elde edile başarı sayısı olsu.
7 başarı başarı başarı başarı başarı Ω BB... B, BB... B, BBB... B,..., BB... BB, BBB... B,..., BB... BBB,..., BB... B, BB... B,..., BB... B, BB... B tae tae tae tae tae tae tae tae tae tae R... - rasgele değişkeii aldığı değerleri kümesi, D {,,,...,, } ve bu değerleri alması olasılıkları, P( ) P( BB... B) qq... q q tae tae P ( ) P ( BB... B veya BBB... B veya... veya BB... BB ) tae tae tae q p p q P( ) P( BBB... B veya... vaya BB... BBB) p q tae tae P( ) P( BB... B) p tae olup, i olasılık foksiyou, f p q ( ),,,..., Momet çıkara foksiyo, olmak üzere, t t ( ) ( ) ( ) M t E e e f ( pe ) t ( ), t q q + pe t R
8 ( ) E ( ) dm ( t) t ( ) t q pe pe t t dt ( t) + p d M t t t t ( )( ) ( ) ( ) t t E q + pe pe + q + pe pe dt ( ) p + p ( ) ( ) ( ( )) ( ) + ( ) Var E E p p p ( ) + p p p p pq Başarı olasılığı p ola bir Beroulli deemesii ayı şartlar altıda, bağımsız olarak kez tekrarlaması deeyide, yai bir Biom Deeyide elde edile başarı sayısı rasgele değişkei olmak üzere, e Biom Dağılımıa sahiptir deir ve b(, p) biçimide gösterilir. içi Biom Dağılımı bir Beroulli dağılımı Beroulli Dağılımıı b(, p ) biçimide gösterebiliriz. + Biom Dağılımıda iki parametre bulumakta Birisi ( {,,3,... } diğeri p( p (,) R) Z, dir. Bu parametreleri bildiğimiz zama, Biom Dağılımıa sahip bir rasgele değişkei ile ilgili olasılık, beklee değer, varyas ve başka hesaplamalar yapabiliriz. Biom Dağılımıda parametre tahmii kousuu burada ele almayacağız. Örek: Düzgü bir paraı üç kez atılışıda örek uzay, Ω { YYY, YYT, YTY, TYY, YTT, TYT, TTY, TTT} olmak üzere, rasgele değişkei üç atışta gele turaları sayısı olsu. Böyle taımlaa rasgele değişkei 3 ve p ola Biom Dağılımıa sahiptir, yai b( 3, p ) rasgele değişkei aldığı değerleri kümesi, D ( Ω ) {,,, 3} olmak üzere, i olasılık foksiyou, 3 3 f ( ),,,,3 ve olasılık tablosu 3 f ( ) P( ) /8 3/8 3/8 /8 rasgele değişkeii dağılım foksiyou,
9 F : R [,], <, < 8 4 F ( ) P ( ), < 8 7, < 3 8, 3 Olasılık foksiyou ile dağılım foksiyouu grafikleri, 3/8 f() /8 3 7/8 F() 4/8 ve 3 E ( ) p.5, Var ( ) E( 3 ) ( E( )) pq.75 4 Örek: b( 3, p ) olsu. Aşağıdaki Matlab programıı gözde geçiriiz. >>:3 >> biopdf(,3,/) >> biocdf(,3,/) >> stairs(,as) /
10 Örek: Bir tora makiası bir güde 5 parça işlemektedir. Bir parçayı kusursuz olarak 4 işlemesi olasılığıı p olduğu bilisi. Bir güde kusursuz olarak işlee parça 5 sayısı rasgele değişkei olsu. 4 b( 5, p ) dağılımıa sahiptir. i 5 olasılık foksiyou, f ( ) 3 4 5,,,,,, 5 5 ve olasılık tablosu, f ( ) Tablodaki olasılıklar: >> :5; >> biopdf(,5,4/5) Dağılımı beklee değeri ve varyası, 4 E( ) p 4, Var( ) pq.8 5 Đşlememiş parçaı alış değeri a TL, işleme masrafı b TL, kusurlu işlemiş parçaı hurda değeri c TL ve kusursuz işlemiş parçaı satış değeri d 3 TL olduğuda, K 5( c a b) + ( d c) E( K) E( ) Var 4 5 ( ) 3 Var( ) 3 7 σ Gülük kazacı beklee değeri 5 TL dir. Gülük kazacı olasılık dağılımı, P( ) k P( K k) olmak üzere, bazı gülerde 55 TL kazaç olduğu gibi, 95, 65 ya da 35 TL kayıp söz kousu olabilir.
11 Hipergeometrik Dağılım Hatırlatma: pozitif tamsayı ve a R olsu. ( ) [ ] a a( a -) a -... a ( ) (-) (.) (.) ( ) ( 3) ( 4) ( 5) a Taım: N tae esede a taesi belli özelliğe sahip olsu. Bu eselerde iadesiz olarak, ardı ardıa kez birer ese çekilmesi veya ayı ada tae ese ekilmesi deeyii göz öüe alalım. rasgele değişkei çekile ese arasıda belli özelliğe sahip olaları sayısı olsu. f ( ) a N a N,,,,..., ( < N a, a) ( N a), ( N a) +,..., ( N a, a),,,..., a ( < N a, > a) ( N a), ( N a) +,..., a ( N a, > a) olmak üzere, Hipergeometrik Dağılıma sahiptir deir. Not: a N a N Öreği, ( 6)( 9) + ( 6)( 9) + ( 6)( 9) + ( 6)( ) + ( 6)( 9) + ( 6)( 9) ( 5) ( 8)( 4) + ( 8)( 4) + ( 8)( 4) ( )
12 a N a E( ) f ( ) N a! N a N! ( a )! a ( a )! N a N ( )!( a + )! a a N a N ( y deilsi) a a N ( a ) N y y y a N a ( N )! N N! ( )!( N )!! N! ( ) a. a. N N Var ( ) bulmak içi öce E ( ) değeri bulusu. a N a E ( ) ( ) N a! N a ( ) N! ( a )! a ( a ) ( a )! N a N ( )!( a )! a ( a ) ( ) N N ( )
13 y deilsi. ( ) a a a N a N ( ) a ( ) a a N a N y y ( ) N a a N ( ) ( ) ( N ) ( ) ( ) a a! N!! N!! N! ( ) ( ) ( ) E E E ( ) ( ) N ( N ) E ( ) a a a N a a ( ) ( ) N ( N ) ( ) ( ) ( ) Var E ( E ) ( ) ( ) ( ) a a a a N N N N ( )( ) N ( N ) a N a N N a N a N N N Var N a a N N N ( ) Hipergeometrik Dağılımda üç tae parametre bulumakta Bular N, a ve dir. Bu parametreleri bildiğimiz zama, Hipergeometrik Dağılıma sahip bir rasgele değişkei ile ilgili olasılık, beklee değer, varyas ve başka hesaplamalar yapabiliriz.
14 Örek: Bir torbadaki topta 6 taesi beyaz olsu. Ayı ada 5 top (iadesiz olarak ardı ardıa 5 kez birer top) çekilmesi deeyide gele beyaz topları sayısı rasgele değişkei olsu. N, a 6, N a 4, 5 olmak üzere, rasgele değişkeii olasılık foksiyou, a N a f ( ),,,3,4,5 N 5 ve olasılık tablosu, f ( ) Matlab hesaplaması: >> : >> hygepdf(,,6,5) as a a 6 E( ) 5 3 N N ( ) Var N a a 5 ( ) N N N 3 Örek: Bir iş yeride 8 kadı ve erkek çalışmakta Rasgele seçile 3 kişi arasıda erkekleri sayısı rasgele değişkei olsu. N, a, N a 8, 3 olmak üzere, rasgele değişkeii olasılık foksiyou, a N a 8 f ( ),,, N 3 olasılık tablosu, f ( )
15 a a E( ) 3.6 N N ( ) Var N a 3 8 a 3 ( ) N N N 45 Örek: beyaz ve 5 siyah top bulua bir kavaozda iadesiz olarak 5 kez birer top (ayı ada 5 top) çekildiğide, a) Gele siyah topları sayısıı beyazlarda çok olması olasılığı edir? b) Siyah topları beklee sayısı edir? c) Siyah top içi TL kaybedilse, beyaz top içi 5 TL kazaılsa, böyle bir oyuda kazacı beklee değeri ve varyası edir? Olasılık dağılımı edir? -rasgele değişkei çekilişte gele siyah topları sayısı olsu. N 5, a 5, N a, 5 olmak üzere, rasgele değişkeii olasılık foksiyou, a N a 5 5 f ( ),,,,3, 4,5 N 5 olasılık tablosu, a N a f ( ) N Matlab hesaplaması: >> : >> hygepdf(,5,5,5) as a a 5 E( ) 5 N N 5 3 ( ) Var N a a 5 ( ) N N N
16 a) b) P( 3) a 5 E( ) N c) K rasgele değişkei kazaç olsu. K + 5(5 ) E( K) 5 E( ) Var( K) Var( 5+ 5) 5 Var( ) f ( ) k g ( k ) Bu örekte, çekilişler iadeli olarak yapılsaydı, rasgele değişkei Biom Dağılımıa sahip olurdu. b( 5, p ) 3 5 E( ) p 5 3 3, Var ( ) pq 5, P( 3) f ( ) ( ) ( ) 3 3 k g(k) K + 5(5 ) E( K) 5 E( ) Var( K) Var( 5+ 5) 5 Var( ) olmak üzere, ve K rasgele değişkelerii dağılımları değişmiş, beklee değerleri ayı kalmış ve varyasları büyümüştür.
17 Đadeli ve iadesiz çekilişleri karşılaştıralım. N tae esede a taesi belli özelliğe sahip olsu. Bu eselerde iadeli olarak ardı ardıa kez birer ese çekilmesi deeyide Y rasgele değişkei çekile ese arasıda belli özelliğe sahip olaları sayısı olsu. Y Biom Dağılımıa sahiptir. a Y b(, p ) N y y f ( y) p q, y,,,..., y a E( Y ) p N a a Var( Y) pq ( ) N N N tae esede a taesi belli özelliğe sahip olsu. Bu eselerde iadesiz olarak ardı ardıa kez birer ese çekilmesi veya ayı ada tae ese çekilmesi deeyii göz öüe alalım. rasgele değişkei çekile ese arasıda belli özelliğe sahip olaları sayısı olsu. Hiprdeometrik Dağılıma sahiptir. a N a f ( ) N a a E( ) N N Var ( ) N a a N N N Görüldüğü gibi rasgele çekile eseler arasıda belli özelliğe sahip eseleri sayısıı beklee değeri iadeli ve iadesiz çekilişlerde ayı Fakat varyaslar N birbirie eşit değildir. Đadeli çekilişlerde varyas daha büyüktür ( < ). N E( Y ) E( ) Var( Y) Var( ) Toplam ese sayısı N artsı (eseler çoğalsı) ve belli özelliğe sahip ola ese sayısı a a sabit bir sayıya p yakısası. Başka bir ifade ile, belli özelliğe N N sahip ola ese sayısı a sabit bir sayıya yakısayacak şekilde N olsu. Çekile N ese sayısı sabit (ayı) kalsı. Bu durumda, N lim N N olmak üzere, toplam ese sayısı çok büyük olduğuda, a a Var( Y) pq ( ) N N Var N a a N N N ( )
18 değerleri yaklaşık olarak birbirie eşit olacaktır. Hatta, toplam ese sayısı N oldukça büyük ve çekile ese sayısı bua göre ispete küçük olduğuda, N N olmak üzere, a a N a a N N N N N olmakta Ayrıca, a N a a N a f ( ) ( ) ( ) a! N a!! N! N N! ( a )!( )!( N a + )! N! ( ) ( ) ( )... ( a + )... a N a N a N + N ( )...( ( ) )( )( )... ( ) ( )... ( ) ( ) ( ) a a a N a N a N a N N N a a a a N a N + + a N N N N N N N N N... N N olmak üzere, a N a lim f ( ) lim N N N a a a a N a N + + a N N N N N N N N N N lim N... N N p q
19 yai, a N a N a p q N p N a N ve p N durumuda, Hipergeometrik Dağılımıdaki olasılıklar Biom Dağılımıdaki olasılıklara yakısamakta Bu duruma şimdilik, Hipergeometrik Dağılım, Biom Dağılımıa yakısamaktadır diyelim. Bu özelliği olasılık foksiyoları grafiklerii çizerek görmeye çalışalım. N, a 8, ola 8 Hipergeometrik Dağılım ile b(, p.4) Biom Dağılımıı olasılık foksiyolarıı grafikleri (koyu oktalar-hipergeometrik, açıklar-biom), N 4, a 6, ola Hipergeometrik Dağılım ile Dağılımıı olasılık foksiyolarıı grafikleri, 6 b(, p ) Biom
20 3 N 8, a 3, ola Hipergeometrik Dağılım ile b(, p ) Biom Dağılımıı 8 olasılık foksiyolarıı grafikleri, ve N 6, a 64, ola Hipergeometrik Dağılım ile Dağılımıı olasılık foksiyolarıı grafikleri, 64 b(, p ) Biom Görüldüğü gibi, parametreleri N, a, ola Hipergeometrik Dağılımdaki olasılıklar, a N a sabit kalma koşuyla, N büyüdükçe b(, p ) Biom Dağılımıdaki olasılıklara N yaklaşmakta Toplam ese sayısı N büyük ve çekile ese sayısı küçük (N göre küçük) olduğuda iadesiz olarak birer birer ese çekilişi, iadeli yapılmış gibi ele alıabilir.
21 Geometrik Dağılım Hatırlatma: Bir deeydeki souçlar başarı ya da başarısızlık olarak iteledirildiğide, böyle deeylere iki tür souçlu deey, Beroulli deeyi veya Beroulli deemesi deir. Bu deeylerde Olasılık uzayı, ( B B U Ω,, B, B, P( B) p ) Ω, { } olmak üzere, B olayıa başarı elde etme olayı ve p olasılığıa başarı olasılığı ve < p < içi q p P( B) olasılığıa başarısızlık olasılı deir. Başarı olasılığı p ola bir Beroulli deemesii ayı şartlar altıda, bağımsız olarak kez tekrarlamasıyla oluşa deeye Biom Deeyi deir. rasgele değişkei deemede elde edile başarı sayısı olduğuda, e Biom dağılımıa sahiptir deir ve b(, p) biçimide gösterilir. Biom dağılımıda, f ( ) p q,,,..., t t ( ) ( ) ( ) +, E ( ) M t E e q pe p, Var ( ) pq Geometrik Dağılım: Başarı olasılığı p ola bir Beroulli deemesi, ayı şartlar altıda, bağımsız olarak bir başarı elde ediceye kadar tekrarlası. Yapıla deeme sayısı rasgele değişkei olsu. Ω b aş a r ı s ı z lı k B, B B, B B B,...,, B B... B B,... d e e m e R olmak üzere, rasgele değişkeii aldığı değerler,,3,... ve olasılık foksiyou, ( ) f P( ) P( BB... B B) P( B) P( B)... P( B) P( B) q p olmak üzere, dağılım foksiyou, tae tae F( ) P( ), R
22 j ( ),,,3,... j F q p q Momet çıkara foksiyou, t t t ( ) ( ) ( ) M t E e e f e q p ( ( ) ( ) ) 3 t t 3t t t t t e p + e qp + e q p + pe + qe + qe + qe t t e p, ( qe <, t < l q) t qe ( ) E dm p ( t) dt t ( ) ( ) t ( qe ) pe qe pe qe t t t t t ( ) + ( q) p q pq ( ) E d M dt t t t t t ( t) pe ( qe ) pe ( qe )( qe ) t t 4 ( qe ) t ( ) + ( ) 4 ( q) p q pq q Var ( ) E ( ) E ( ) q p ( q)( p pq + pq) ( q) 4 + q p Örek: Bir atıcı içi belli bir hedefi vurması olasılığıı p,75 olduğu bilisi. Atıcı, hedef bir isabet alıcaya kadar atış yapmaya kararlı a) Hedefi 4 atışta öce vurması olasılığı? b) E az 3 atış yapması olasılığı edir? c) atış yaptığı bilidiğide buda sora e az 3 atış yapması olasılığı edir? d) Amacıa yaıda bulua mermi ile ulaşması olasılığı edir? e) Hedefi değeri TL ve bir atışı maliyeti TL olduğua göre, böyle bir oyuda kazacı beklee değeri edir? Kazacı olasılık dağılımı edir? f) Oyuu dürüst olması içi hedefi değeri e olmalıdır?
23 Hedef bir isabet alıcaya kadar yapıla atış sayısı rasgele değişkei olsu. Geometrik Dağılıma sahiptir. 3 ( ),,,... f q p 4 4 a) b) 4 q 4 E( ), Var( ) p 3 p P( < 4) f () + f () + f (3) P( 3) P( < 3) f () f () c) P( 3) P( ) F() ( ) P( 3 ve > ) P( 3) P( ) P( 3 / > ) P( > ) P( > ) P( ) F() q q F() q d) P( ) f () + f () e) Kazaç: K - E( K) - E( ) 4 E( K) Kazacı olasılık dağılımı: k f ( k) E( K), Var( K) Var( ) f) Oyuu dürüst olması içi kazacı beklee değeri (kazaç ortalaması) sıfır olmalı K a -., E( K) ( oyuu dürüst olması) a -. E( ) 4 a a 3
24 Negatif Biom Dağılımı Başarı olasılığı p ola bir Beroulli deemesii ayı şartlar altıda bağımsız olarak k başarı elde ediceye kadar yapılması deeyii göz öüe alalım. rasgele değişkei, k başarı elde ediliceye kadar yapıla deemeleri sayısı olsu. rasgele değişkeii aldığı değerleri kümesi, ve D { k, k+, k+,...} P( k) P( BB... B) pp... p p k tae tae k k deeme k deeme k deeme k başarı k başarı k başarı P( k+ ) P( BB... B B veya BBB... B B veya... veya BB... BB B) k+ tae k+ tae k+ tae... k k k q p ( p) k q p k so deeme deeme başarı k başarı ( ) ) P( ) P(.... ) p q p q p k k tae... olup, i olasılık foksiyou, k k k k k f ( ) q p k k, k, k +, k +,... Olasılıklar toplamı olduğuda, k k q p k k, k q p ( q) k k k k
25 Bazı gösterim ve formüller. + a R ve k Z a a ( a )... ( a ( k ) , k... k , f ( u) ( u ) a, u< a a j + foksiyouu McLauri serisi ( ) ( ) ( j) + Z içi biom (iki terimli) açılımı: j j ( j) ( j) ( + u) ( u) ( u) j j p p ( q+ p) q ( + ) q p q q q + k Z içi egatif biom açılımı: f u + u u k k j k k k ( ) ( ) ( j k k ) ( + u) u u ( u) j k k k ( k q k ) q, ( k ) ( ) k ( k ) k t k t k ( qe ) ( qe ), t< l q k q p k k Biom Dağılımı ile Negatif Biom Dağılımı isimleri bu açılımlarda gelmektedir. t t k k t k t k M ( t) E( e ) e q p ( pe ) ( qe ) k k k k j ( ) E ( ) E t t k t k pe ( pe ) ( qe ) t qe dm ( t) dt t ( t) d M dt t k p k( k + q) p k, t< l q Var ( ) E ( ) E ( ) kq p Geometrik Dağılım k içi Negatif Biom Dağılımıı özel bir halidir.
26 Örek: Bir atıcı içi belli bir hedefi vurması olasılığıı p,75 olduğu bilisi. Atıcı, hedef üç isabet alıcaya kadar atış yapmaya kararlı a) 4 atış yapması olasılığı edir? b) E çok 4 atış yapması olasılığı edir? c) E az 4 atış yapması olasılığı edir? d) Amacıa yaıda bulua 5 mermi ile ulaşması olasılığı edir? e) Hedefi değeri TL ve bir atışı maliyeti TL olduğua göre, böyle bir oyuda kazacı beklee değeri edir? Kazacı olasılık dağılımı edir? f) Oyuu dürüst olması içi hedefi değeri e olmalıdır? Hedef üç isabet alıcaya kadar yapıla atış sayısı rasgele değişkei olsu. Negatif Biom Dağılımıa sahiptir. f ( ) , 3,45,... k kq 4 E( ) 4, Var( ) p p 3 olmak üzere: a) P( 4) b) P( 4) f (3) + f (4) c) 7 48 P( 4) P( < 4) f (3) 64 56
27 P( 5) f (3) + f (4) + f (5) d) e) Kazaç: K - E( K) 3 - E( ) 6 E( K) 6-4 Kazacı olasılık dağılımı: k f ( k) E( K) Var( K) Var( ) f) Oyuu dürüst olması içi kazacı beklee değeri (kazaç ortalaması) sıfır olmalı K 3a -. E( K) ( oyuu dürüst olması) 3a -. E( ) 3a - 4 a 4 3
28 Poisso Dağılımı Poisso Dağılımı sürekli (zama, ala, hacim gibi) ortamlarda kesikli souçlar vere ve aşağıda a),b),c) şıklarıda belirtile özelliklere sahip deeyleri modellemeside kullaıla bir dağılım Öreği : ) Belli bir zama aralığıda bir yolda geçe arabaları sayısıı gözlemesi, ) Belli bir zama aralığıda bir radyoaktif maddei ışıladığı parçacık sayısıı gözlemesi, 3) Belli bir zama arlığıda bir mağazaya gele müşterileri sayısıı gözlemesi, 4) Seyrek rastlaıla bir hastalık içi belli bir zama araalığıda bu hastalığa yakalaaları sayısıı gözlemesi, 5) Belli bir bölgeye düşe gök cisimlerii sayısıı gözlemesi, 6) Belli bir bölgede bulua yaba hayvalarıı sayısıı gözlemesi, durumlarıda Poisso Dağılımı kullaılabilir. Poisso bir matematikçi ismi olup puaso olarak telâfuz edilir. Poisso Dağılımı ile ilgili açıklamaları ortamı zama olması halide yapalım. (,t zama aralığıda meydaa gele souçları (bir olayı gerçekleşme) sayısı ] olsu. Souçları ortaya çıkara deey ile ilgili aşağıdaki özellikler geçerli olsu: a) Küçük t uzuluklu bir zama aralığıda bir başarı elde etme olasılığı t ile oratılı b) Küçük t uzuluklu bir zama aralığıda iki veya daha çok başarı elde etme olasılığı yaklaşık olarak sıfır c) t uzuluklu ayrık aralıklar içi elde edile souçlar bağımsız birer Beroulli Deemesidir. (,t zama aralığıda meydaa gele souç sayısı, kesikli bir rasgele ] değişke olmak üzere, i aldığı değerler,,, i olasılık foksiyouu bulmaya çalışalım. (,t] aralığıı yeterice küçük t uzuluklu, t tae alt aralığa parçalayalım. Belli bir parçada veya tae souç ortaya t çıkabilir diyebiliriz. t zama aralığıda bir souç çıkması veya çıkmaması bir Beroulli Deemesi olup, soucu ortaya çıkması olasılığı t ile oratılı Bu olasılık, c bir sabit olmak üzere, p c t olsu. (,t] aralığıda tae t uzuluklu ayrık aralık bulumakta ve bu aralıklarda bağımsız souçlar vere p c t olasılıklı
29 Beroulli Deemeleri gerçekleşmektedir. O zama (,t] aralığıda elde edile t souçları sayısı b(, p c t) Biom Dağılımıa sahip olacaktır. t içi t t t t, p c t ct λ olmak üzere, b(, p c t) Biom t t t Dağılımıdaki olasılıkları limitleri Poisso Dağılımıdaki olasılıkları verecektir. Başka bir ifade ile, (,t] zama aralığıda meydaa gele souç sayısı ola ve Poisso dağılımıa sahip ola rasgele değişkeii olasılık foksiyou, t / t f P c t c t ( ) ( ) lim ( ) ( ) t ( ) λ λ t t lim ( ) ( )! λ λ λ lim...! ( )! λ ( )...( ( )) λ λ lim.! e λ λ,,,,3,...! ( )...( ( ))... λ, λ λ e ve Poisso Dağılımıa sahip bir rasgele değişke olduğuda, e f ( ) λ λ,,,,3,...! t t M ( t) E( e ) e f ( ) λ λ e t e λ λ t e e.! e e λ t ( λe )! ( e t ) e λ, t R olmak üzere,
30 dm ( ) t t t λ ( e ) E( ) λe e λ dt t t d M ( t) E( ) e e e e t t t λ ( e ) t λ ( e ) λ + ( λ ) λ + λ dt t t ( ) + Var( ) E( ) E λ λ λ λ Poisso Dağılımıı parametresi ola λ ( λ (, )) sayısı ayı zamada dağılımı beklee değeri (ortalaması) ve varyası λ parametresii bazı değerleri içi Poisso dağılımıı olasılık foksiyouu grafikleri aşağıdaki gibidir. λ λ λ
31 λ λ λ λ
32 Örek: Bir hastaei acil servisie dakikalık bir zama aralığıda ortalama 3 hasta gelmektedir. Bu zama aralığıda, a) hasta gelmemesi olasılığı edir? b) bir hasta gelmesi olasılığı edir? c) e az 5 hasta gelmesi olasılığı edir? dakikalık bir zama aralığıda gele hasta sayısı i λ 3 ola Poisso Dağılımıa sahip olduğu düşüülebilir. i olasılık foksiyou, 3 e 3 f ( ),,,,...! olmak üzere, 3 a) P( ) e e 3 3 b) P( ) 3e.4936! c) P( 5) P( < 5) f () f () f () f (3) f (4) >> :4 ; -sum(poisspdf(,3)) as.8474 e 3 e 3 e 3 e 3 e 3!!! 3! 4! Örek: Bir keti içide bir ayda ortalama 3, bir güde ortalama trafik kazası olmakta Belli bir gü içi meydaa gele kaza sayısıı, a) b) da az c) da çok olması olasılığı edir? bir güde meydaa gele kaza sayısı olsu. i λ ola Poisso Dağılımıa sahip olduğu düşüülebilir. i olasılık foksiyou, e f ( ),,,,...! olmak üzere, a) P( ) e b) >> :9 ; -sum(poisspdf(,)) as.547 c) >> : ; -sum(poisspdf(,)) as e P( < ) P( 9).547! e P( > ) P( ) P( ).4696!
33 Kesikli Düzgü Dağılım Bir rasgele değişkei aldığı değerleri eşit olasılıkla alıyorsa düzgü dağılıma sahiptir deir. Düzgü dağılıma sahip bir rasgele değişkeii aldığı değerler,,..., olmak üzere olasılık foksiyou, f ( ),,,..., ( < <... < ) olasılık tablosu, f ( ) dağılım foksiyou,, < i F( ), i < i +, i,,...,, ve E( ) f ( ) i i i i i i i i i i i i i E( ) f ( ) f ( ) i i i i i Var( ) E( ) ( E ) ( ) Var( ) E( E ) E( ) ( ) f ( ) i i i i ( ) i ( i ) i i + i i i i i i
34 t ti i i i t M ( t) E( e ) e f ( ) e f ( ) e ti t t t3 t e + e + e e, t R Özel olarak i aldığı değerler,,,..., olduğuda, f ( ),,..., 3... f ( )... E( ) f ( ) i f ( i ) i i i ( + ) + ( ) + (² + ² ²) i Var( ) ( + )( + ) + 6 ³ ² Örek: Düzgü bir tavla zarı atılması deeyide üste gele okta sayısı olsu. i olasılık foksiyou, olasılık tablosu, f ( ) f ( ),,3,4,5, olasılık foksiyouu grafiği,
35 /6 f() dağılım foksiyou,, <, < 6, < 3 6, < 3 F ( ) P ( ), 3 < 4, < , 6, 4 5 < 6 5, 5 < 6 6, 6 dağılım foksiyouu grafiği, F() 5/6 4/6 3/6 /6 / beklee değeri, E( ) 3.5 varyası, ² 35 Var( ), stadart sapması σ.778 Bu zarla oyaa bir oyuda üste gele her okta içi 5 TL kazaıldığıda, oyuu dürüst olması içi oyu kaç TL ye oyatılmalıdır? K 5 a ( a : oyua giriş içi verile para ) Oyuu dürüst olması içi E( K ) olmalı E( K) 5 E( ) a a a 75 TL
36 Örek: Düzgü dağılıma sahip kesikli bir rasgele değişkei aldığı değerler, olsu. olmak üzere, rasgele değişkei her bir değeri alması olasılığı / olup olasılık foksiyou, f ( ),.33,.85,..., 5.8 ve dağılım foksiyou,, <, <.33 i i F( ), i < i +, i,,...,, i < i +, i,,...,9,, 5.38 Dağılım foksiyouu grafiği aşağıdaki gibidir. >> [ ]; >> stairs(,(:)/ )
37 Çok Terimli Dağılım
38
39
40
41
{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI
OLASILIK HESABI Bu derste, uygulamalarda sıkça karşılaşıla, Olasılık Uzaylarıda bazılarıa değieceğiz ve verilmiş bir Olasılık Uzayıda olasılık hesabı yapacağız. Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω {
Detaylı2016 YILI I.DÖNEM AKTÜERLİK SINAVLARI RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME. aşağıdaki seçeneklerden hangisinde verilmiştir? n exp 1.
06 YILI I.DÖNEM AKTÜERLİK SINAVLARI Soru Toplam hasar miktarı S i olasılık ürete foksiyou X x i PS ( t) = E( t ) = exp λi( t ) ise P S(0) aşağıdaki seçeeklerde hagiside verilmiştir? A) 0 B) C) exp λ i
Detaylı12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi,
. Ders Büyü Sayılar Kauları Kouya geçmede öce DeMoivre-Stirlig formülüü ve DeMoivre-Laplace teoremii hatırlayalım. DeMoivre, geel terimi, a!,,, 3,... e ola dizii yaısa olduğuu göstermiş, aca limitii bulamamış.
DetaylıTümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...
MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız
DetaylıTAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı)
3 TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ 3.1. Sapmasızlık 3.. Tutarlılık 3.3. Etkilik miimum varyas 3.4. Aralık tahmii (güve aralığı) İyi bir tahmi edici dağılımı tahmi edilecek populasyo parametresie yakı civarda
Detaylıİşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler.
OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSLERİ ÖZET NOTLARI İstatistik: verileri toplaması, aalizi, suulması ve yorumlaması ile ilgili ilkeleri ve yötemleri içere ve bu işlemleri souçlarıı probabilite ilkelerie göre
DetaylıSAB 101 OLASILIK DERS NOTLARI. Prof.Dr. Fatih TANK. SAB 101 Olasılık. F.Tank. 1. Geometirk Dağılım. 2. Negatif Binom Dağılımı
SAB 101 OLASILIK DERS NOTLARI Prof.Dr. Fatih TANK Ankara Üniversitesi Uygulamalı Bilimler Fakültesi Sigortacılık ve Aktüerya Bilimleri Bölümü Prof.Dr. Fatih TANK - Olasılık Ders Notları- Sayfa : 1/7 Haftalık
Detaylı6. Uygulama. dx < olduğunda ( )
. Uygulama Hatırlatma: Rasgele Değşelerde Belee Değer Kavramı br rasgele değşe ve g : R R br osyo olma üzere, ) esl ve g ) ) < olduğuda D ) sürel ve g ) ) d < olduğuda g belee değer der. c R ve br doğal
DetaylıİÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...
İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı
DetaylıBölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışları. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER
Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Doç.D. Suat ŞAHİNLE Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Olasılık: Eşit saşla meydaa gele tae olayda A taesi A olayı olsu. Bu duumda A olayıı meydaa gelme olasılığı;
DetaylıĐki Oyun Yaz Dnemi 22 Haziran 2011, Çarşamba Đst201 Đstatistik Teorisi Dersin konusu: Olasılık Hesabı
Đki Oyu Yaz Demi 22 Hazira 20, Çarşamba Đst20 Đstatistik Teorisi Dersi kousu: Olasılık Hesabı - Çocuklar, Đstatistik Teorisi bir tarafa, istatistikçileri işi rasgelelik ortamıda hesap yapmaktır. Şöyle
Detaylı4/16/2013. Ders 9: Kitle Ortalaması ve Varyansı için Tahmin
4/16/013 Ders 9: Kitle Ortalaması ve Varyası içi Tahmi Kitle ve Öreklem Öreklem Dağılımı Nokta Tahmii Tahmi Edicileri Özellikleri Kitle ortalaması içi Aralık Tahmii Kitle Stadart Sapması içi Aralık Tahmii
DetaylıBağımsızlık özelliğinden hareketle Ortak olasılık fonksiyonu (sürekli ise
YTÜ-İktisat İstatistik II Örekleme ve Öreklem Dağılımları BASİT RASSAL ÖRNEKLEME N tae ese arasıda taelik bir öreklem seçilmesii istediğii düşüelim. eseli olaaklı her öreklemi seçilme şasıı eşit kıla seçim
DetaylıKi- kare Bağımsızlık Testi
PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN Ki- kare Bağımsızlık Testi Daha öceki bölümlerde ölçümler arasıdaki ilişkileri asıl iceleeceğii gördük. Acak sıklıkla ilgileile veriler ölçüm
Detaylıİstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı
İstatistik Nedir? İstatistik rasgelelik içere olaylar, süreçler, sistemler hakkıda modeller kurmada, gözlemlere dayaarak bu modelleri geçerliğii sıamada ve bu modellerde souç çıkarmada gerekli bazı bilgi
DetaylıDers 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar
Ders 2: üme Teorisi, Örek Uzay, Permütasyolar ve ombiasyolar üme avramı üme İşlemleri Deey, Örek Uzay, Örek Nokta ve Olay avramları Örek Noktaları Sayma Permütasyolar ombiasyolar Parçalamalar (Partitio)
Detaylı4) Seyrek rastlanılan bir hastalık için belli bir zaman araalığında bu hastalığa yakalananların sayısının gözlenmesi,
POĐSSON DAĞILIMI Poisson Dağılımı sürekli oramlarda (zaman, alan, hacim, ) kesikli sonuçlar veren ve aşağıda a),b),c) şıklarında belirilen özelliklere sahip deneylerin modellenmesinde kullanılan bir dağılım
DetaylıBir Rasgele Değişkenin Fonksiyonunun Olasılık Dağılımı
5.Ders Döüşümler Bir Rasgele Değişkei Foksiyouu Olasılık Dağılımı Bu kısımda olasılık dağılımı bilie bir rasgele değişkei foksiyoları ola rasgele değişkeleri olasılık dağılımlarıı buluması ile ilgileeceğiz.
DetaylıÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ
İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE İSTATİSTİKSEL YORUMLAMA TAHMİNLEME SÜRECİ VE YORUMLAMA SÜRECİ ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ ÖRNEKLEME VE ÖRNEKLEME ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI VE ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI Yorumlama
DetaylıA= {1,2,3}, B={1,3,5,7}kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyon değildir?
ÖRNEK 1 : A= {1,,}, B={1,,5,7}kümeleri veriliyor. A da B ye taımlaa aşağıdaki bağıtılarda hagisi foksiyo değildir? A) {(1,), (,5), (,7)} B) {(1,), (1,5), (,1)} C) {(1,1), (,1), (,1)} D) {(1,5), (,1), (,7)}
DetaylıAKT201 MATEMATİKSEL İSTATİSTİK I ÖDEV 6 ÇÖZÜMLERİ
AKT MATEMATİKSEL İSTATİSTİK I ÖDEV 6 ÇÖZÜMLERİ KESİKLİ RASLANTI DEĞİŞKENLERİ & KESİKLİ DAĞILIMLAR. X aşağıdaki olasılık foksiyoua sahip kesikli bir r.d. olsu. Bua göre;. ; x =.. ; x =. 4. ; x =. 5 p X
DetaylıİSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr
İSTATİSTİK 2 Tahmi Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI aysecagli@beyket.edu.tr İstatistik yötemler İstatistik yötemler Betimsel istatistik Çıkarımsal istatistik Tahmi Hipotez testleri Nokta tahmii Aralık
Detaylı3. Ders Parametre Tahmini Tahmin Edicilerde Aranan Özellikler
3. Ders Parametre Tahmii Tahmi Edicilerde Araa Özellikler Gerçek düyada rasgelelik olgusu içere bir özellik ile ilgili ölçme işlemie karş l k gele X rasgele de¼gişkeii olas l k (yo¼guluk) foksiyou, F ff(;
DetaylıOLASILIK DAĞILIŞLARI. Ek 1. Moment Türeten Fonksiyon
6 OLASILIK DAĞILIŞLARI 6.. Kesikli Olasılık Dağılışları 6.. Kesikli Uıform Dağılışı 6... Beroulli Dağılışı 6..3. Biom Dağılışı 6..4. Hyer-Geometrik Olasılık Dağılışı ( İadesiz Örekleme ) 6..5. Geometrik
Detaylıİstatistik Ders Notları 2018 Cenap Erdemir BÖLÜM 5 ÖRNEKLME DAĞILIMLARI. 5.1 Giriş
İstatistik Ders Notları 08 Ceap Erdemir BÖLÜM 5 ÖRNEKLME DAĞILIMLARI 5. Giriş Öreklem istatistikleri kullaılarak kitle parametreleri hakkıda çıkarsamalar yapmak istatistik yötemleri öemli bir bölümüü oluşturur.gülük
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri
Detaylı5. Ders. Dağılımlardan Rasgele Sayı Üretilmesi Ters Dönüşüm Yöntemi
5. Drs Dağılımlarda Rasgl Sayı Ürtilmsi Trs Döüşüm Yötmi sürkli bir rasgl dğişk v bu rasgl dğişki dağılım foksiyou olsu. Dağılımı dstk kümsi üzrid dağılım foksiyou arta v bir-bir bir foksiyo olmaktadır.
DetaylıİSTATİSTİKSEL TAHMİN. Prof. Dr. Levent ŞENYAY VIII - 1 İSTATİSTİK II
8 İSTATİSTİKSEL TAHMİN 8.. İstatistiksel tahmileyiciler 8.. Tahmileyicileri Öellikleri 8... Sapmasılık 8... Miimum Varyaslılık 8..3. Etkilik 8.3. Aralık Tahmii 8.4. Tchebysheff teoremi Prof. Dr. Levet
DetaylıISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ
8. HAFTA ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ PORTFÖY YÖNETİMİ II Doç.Dr. Murat YILDIRIM muratyildirim@karabuk.edu.tr Geleeksel Portföy Yaklaşımı, Bu yaklaşıma göre portföy bir bilim değil,
Detaylıˆp x p p(1 p)/n. Ancak anakütle oranı p bilinmediğinden bu ilişki doğrudan kullanılamaz.
YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmii II 1 ANAKÜTLE ORANININ (p GÜVEN ARALIKLARI (BÜYÜK ÖRNEKLEMLERDE Her birii başarı olasılığı p ola birbiride bağımsız Beroulli deemeside öreklemdeki başarı oraıı ˆp
DetaylıTahmin Edici Elde Etme Yöntemleri
6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme
DetaylıUygulama 3 Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH
BİYOİSTATİSTİK Uygulama 3 Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim AD. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr Olasılık Hatırlatma Olasılık teorisi,
DetaylıEME 3117 SİSTEM SIMÜLASYONU. Girdi Analizi Prosedürü. Dağılıma Uyum Testleri. Dağılıma Uyumun Kontrol Edilmesi. Girdi Analizi-II Ders 9
..7 EME 37 Girdi Aalizi Prosedürü SİSTEM SIMÜLASYONU Modelleecek sistemi (prosesi) dokümate et Veri toplamak içi bir pla geliştir Veri topla Verileri grafiksel ve istatistiksel aalizii yap Girdi Aalizi-II
DetaylıALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI
µ µ içi Güve Aralığı ALTERNATİF İTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMAI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları
DetaylıALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI
ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları Alteratif üretim
DetaylıRassal Değişken. Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK
Rassal Değişken Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK tover@sakarya.edu.tr S örnek uzayı içindeki her bir basit olayı yalnız bir gerçel (reel) değere dönüştüren fonksiyona rassal değişken adı verilir. O halde
DetaylıİSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE HİPOTEZ TESTİ
İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE HİPOTEZ TESTİ Bu bölümdeki yötemler, bilimeye POPULASYON PARAMETRE değeri hakkıda; TAHMİN yapmaya yöelik ve, KARAR vermekle ilgili, olmak üzere iki grupta icelemektedir. Parametre
DetaylıRASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN
RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılığa ilişkin olayların çoğunluğunda, deneme sonuçlarının bir veya birkaç yönden incelenmesi
DetaylıBİYOİSTATİSTİK İstatistiksel Tahminleme ve Hipotez Testlerine Giriş Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH
BİYOİSTATİSTİK İstatistiksel Tahmileme ve Hipotez Testlerie Giriş Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH Ege Üiversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim AD. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr
Detaylı3.Ders Rasgele Değişkenler
3.Ders Rasgele Değişkenler Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X : R X olmak üzere, a R için, : X a U oluyorsa X fonksiyonuna bir rasgele değişken denir. a R için X, a : X a U özelliğine sahip bir X rasgele
DetaylıKesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları
Kesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli ġans DeğiĢkenlerinin Olasılık Fonksiyonları X, şans değişkeni ve, 2,.., n ise bu tesadüfi değişkenin
DetaylıDiziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV
Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı
DetaylıÖrnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2
Bir Olayın Olasılığı P(A) = n(a) n(s) = A nın eleman sayısı S nin eleman sayısı Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? Çözüm: S
DetaylıDENEYĐN AMACI: Bu deneyin amacı MOS elemanların temel özelliklerini, n ve p kanallı elemanların temel uygulamalarını öğretmektir.
DENEY NO: 7 MOSFET ÖLÇÜMÜ ve UYGULAMALARI DENEYĐN AMACI: Bu deeyi amacı MOS elemaları temel özelliklerii, ve p kaallı elemaları temel uygulamalarıı öğretmektir. DENEY MALZEMELERĐ Bu deeyde 4007 MOS paketi
Detaylı{ 1 3 5} UYGULAMA-2 OLASILIK HESABI { } i, i = 1, 2,, n elemanına aşağıdaki özelliklere sahip bir p. her bir ω. sayısı karşılık getirilsin.
UYGULAMA- OLASILIK HESABI Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω { ω, ω,, ω }, U olmak üzere, Ω ı her bir ω i, i,,, elemaıa aşağıdaki özelliklere sahip bir p i sayısı karşılık getirilsi. ) p 0, i,,...,
DetaylıDr. Mehmet AKSARAYLI
Dr. Mehmet AKSARAYLI Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir. Şans Değişkenleri KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Kesikli
DetaylıTEMEL KAVRAMLAR GİRİŞ
TEMEL KAVRAMLAR GİRİŞ İstatistik kelimesii kökei Almaca olup devlet alamıa gelmektedir. İstatistik kelimesi gülük hayatta farklı alamlarda kullaılmaktadır. Televizyoda bir futbol müsabakasıı izleye bir
Detaylı(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.
Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit
DetaylıBir KANUN ve Bir TEOREM. Büyük Sayılar Kanunu
Br KANUN ve Br TEOREM Büyük Türkçe Sözlük kau Đg. law Doğa olaylarıı oluş edeler ortaya koya ve gelecektek olayları öcede kestrme olaağı vere bağıtı; Newto kauu, Kepler kauları. (BSTS / Gökblm Termler
Detaylı5.1 Olasılık Tarihi. 5.2. Temel Olasılık Kavramları
5 OLSILIK 5.. Olasılık Tarh 5.. Temel Olasılık Kavramları 5.3. Deeysel Olasılık 5.4. Temel olasılık Teoremler 5.5. Olasılığı Tolaablrlk Kuralı: 5.6. Olasılığı çarım kuralı: 5.7. Değl ağıtısı: 5.8. Koşullu
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri
DetaylıVII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( )
Sıava Katıla Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR 2 997. ( )( )( ) ( ) ( ) k x x x... k. x... 997. x poliomu ( ) a x a x... a x, a 0 ve k < k
DetaylıNormal Dağılımlı Bir Yığın a İlişkin İstatistiksel Çıkarım
Normal Dağılımlı Bir Yığı a İlişi İstatistisel Çıarım Bir üretici edi ürüleride, piyasadai 3,5 cm li vidalarda yalıca boyları 3,4 cm ile 3,7 cm aralığıda olaları ullaabilmetedir. Üretici, piyasadai bu
DetaylıDÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkanı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ
DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkaı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ ARAŞTIRMADA PLANLAMA VE ÇÖZÜMLEME (03-09 Ocak 014 Y.ÇELİK) Araştırma Süreci (The research
DetaylıLİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2
LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ SABİT NOKTA İTERASYONU YÖNTEMİ Bu yötemde çözüme gitmek içi f( olarak verile deklem =g( şeklie getirilir. Bir başlagıç değeri seçilir ve g ( ardışık
DetaylıİSTATİSTİK DERS NOTLARI
Balıkesir Üiversitesi İşaat Mühedisliği Bölümü umutokka@balikesir.edu.tr İSTATİSTİK DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Umut OKKAN idrolik Aabilim Dalı Balıkesir Üiversitesi İşaat Mühedisliği Bölümü Bölüm 5 Örekleme
DetaylıBEKLENEN DEĞER. 6. Ders. Tanım: X, bir rasgele değişken ve g : R R, B B R için x : g x B B R özelliğine sahip bir fonksiyon olmak üzere:
6. Ders BEKLENEN DEĞER Taım: X, bir rasgele değişke ve g : R R, B BR içi x : gx B BR özelliğie sahip bir foksiyo olmak üzere: i) X kesikli ve ii) X sürekli ve gx fx olduğuda, x EgX gxfx gx fxdx olduğuda,
Detaylı5. Ders Yeterlilik. f(x 1 ; x 2 ; :::; x n ; ) = g (T (x 1 ; x 2 ; :::; x n ); ) h(x 1 ; x 2 ; :::; x n )
5. Ders Yeterlilik Yeterlilik Ilkesi: Bir T(X ; X ; :::; X ) istatisti¼gi, hakk da yeterli bir istatistik olacaksa hakk da herhagi bir souç ç kar m T arac l ¼g ile (X ; X,...,X ) öreklemie ba¼gl olmal
Detaylıİstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik
6.SUNUM İstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik özellikleri (ortalama, varyans v.b. gibi) hakkında
DetaylıÖRNEKLEME VE ÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI
7 ÖRNEKLEME VE ÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI 7.. Niçi Örekleme Yapılır 7.. Olasılıklı Örekleme 7... Basit Şas Öreklemesi 7... Tabakalı Örekleme 7... Küme Öreklemesi 7..4. Sistematik Örekleme 7.. Olasılıklı Olmaya
DetaylıISF404 SERMAYE PİYASALAR VE MENKUL KIYMETLER YÖNETİMİ
4. HAFTA ISF44 SERMAYE PİYASALAR VE MENKUL KIYMETLER YÖNETİMİ PARANIN ZAMAN DEĞERİ VE GETİRİ ÇEŞİTLERİ Doç. Dr. Murat YILDIRIM muratyildirim@karabuk.edu.tr 2 Paraı Zama Değeri Paraı Zama Değeri Yatırım
DetaylıTesadüfi Değişken. w ( )
1 Tesadüfi Değişken Tesadüfi değişkenler gibi büyük harflerle veya gibi yunan harfleri ile bunların aldığı değerler de gibi küçük harflerle gösterilir. Tesadüfi değişkenler kesikli veya sürekli olmak üzere
Detaylı4. Ders Fisher informasyonu s f rdan büyük ve sonlu, yani 0 < I() < 1; R f(x; )dx (kesikli da¼g l mlarda R yerine P.
4. Ders tkilik Küçük varyasl olmak, tahmi edicileri vazgeçilmez bir özelli¼gidir. Bir tahmi edicii, yal veya yas z, küçük varyasl olmas isteir. Parametrei kedisi () veya bir foksiyou (g()) ile ilgili tahmi
DetaylıRastlantı Değişkenleri
Rastlantı Değişkenleri Olasılık Kütle Fonk. Example: A shipment of 8 similar microcomputers to a retail outlet contains 3 that are defective. If a school makes a random purchase of 2 of these computers,
Detaylı2.2. Fonksiyon Serileri
2.2. Foksiyo Serileri Taım.. Herhagi bir ( u (x reel (gerçel değerli foksiyo dizisi verilsi. Bu m foksiyo dizisii tüm terimlerii toplamıa, yai u m (x + u m+ (x + u m+2 (x + u m+3 (x + + u m+ (x + = k=m
DetaylıÖrnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1
Örek.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III Markov Süreçleri Ders 7 Yrd. Doç. Dr. Beyazıt Ocakta Web site: ocakta.bau.edu.tr E-mail: bocakta@gmail.com Reault marka otomobil sahilerii bir soraki otomobillerii de Reault
DetaylıDers 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları
Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları Rastgele değişken kavramı Kesikli ve sürekli rastgele değişkenler İki boyutlu rastgele değişkenler Beklenen değer Varyans Örnek uzaydaki her elemanı bir sayıyla
Detaylı( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri
V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı
Detaylı1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz...
1-2 - * Bu Ders Notları tam olarak emin olmamakla birlikte 2012-2013 yıllarına aiitir.tekrardan Sn.Hakan Paçal'a çoook tsk ederiz... CABİR VURAL BAHAR 2006 Açıklamalar
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.
DetaylıDİZİLER - SERİLER Test -1
DİZİLER - SERİLER Test -. a,,,,, dizisii altıcı terimi. Geel terimi, a ola dizii kaçıcı terimi dir? 6. Geel terimi, a! ola dizii dördücü terimi 8 8 6. Geel terimi, a k k ola dizii dördücü terimi 6 0 6
DetaylıFaktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir,
14. Binom ve Poisson olasılık dağılımları Faktöriyeller ve kombinasyonlar Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, n! denir ve n! = 1.2.3...(n-2).(n-l).n biçiminde gösterilir.
DetaylıBAYES KURAMI. Dr. Cahit Karakuş
BAYES KURAMI Dr. Cahit Karakuş Deney, Olay, Sonuç Küme Klasik olasılık Bayes teoremi Permütasyon, Kombinasyon Rasgele Değişken; Sürekli olasılık dağılımı Kesikli - Süreksiz olasılık dağılımı Stokastik
DetaylıParametrik Olmayan İstatistik Çözümlü Sorular - 2
Parametrk Olmaya İstatstk Çözümlü Sorular - Soru Böbrek hastalarıa at Kreat (KRT) değerlere lşk br araştırma yapılmak stemektedr. Buu ç rasgele seçle hastaya at Kreat değerler aşağıdak gb elde edlmştr
DetaylıEME Sistem Simülasyonu. Giriş. Olasılık Dağılımı. Rassal Degiskenler
EME 3105 1 Giriş Sistem Simülasyonu Önümüzdeki hafta simulasyon girdilerinin modellenmesinde kullanılan kesikli ve sürekli Simulasyonda İstatistiksel Modeller-I Ders 4 dağılımlar hatırlatılacaktır. Rassal
DetaylıNOT: BU DERS NOTLARI TEMEL EKONOMETRİ-GUJARATİ KİTABINDAN DERLENMİŞTİR. HAFTA 1 İST 418 EKONOMETRİ
NOT: BU DERS NOTLARI TEMEL EKONOMETRİ-GUJARATİ KİTABINDAN DERLENMİŞTİR. KULLANILAN ŞEKİLLERİN VE NOTLARIN TELİF HAKKI KİTABIN YAZARI VE BASIM EVİNE AİTTİR. HAFTA 1 İST 418 EKONOMETRİ Ekoometri: Sözcük
DetaylıHipotez Testleri. Parametrik Testler
Hipotez Testleri Parametrik Testler Hipotez Testide Adımlar Bir araştırma sorusuu belirlemesi Araştırma sorusua dayaa istatistiki hipotezleri oluşturulması (H 0 ve H A ) Hedef populasyoda öreklemi elde
DetaylıYrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol
komşuluğu: Taım: ; isteildiği kadar küçük seçilebile poziti bir sayı olmak üzere a a açık aralığıa a R sayısıı komşuluğu deir Örek : Taım: a a a a ve 0 00 olsu ' i 0 00 0 00 999 00 : Z R bir dizi deir
Detaylı5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ
5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ Bir lieer deklemi geel çözümüü bulmak homoje kısmı temel çözümlerii belirlemesie bağlıdır. Sabit katsayılı diferasiyel deklemleri temel çözümlerii
DetaylıDr. AKIN PALA. Damızlık Değeri, genotipik değer, allel frekansları. Damızlık değeri hesabı. Damızlık değeri hesabı. Damızlık değeri hesabı
Damızlık Değeri, geotipik değer, allel frekasları Aki Pala, aki@comu.edu.tr ttp://members.comu.edu.tr/aki/ Damızlık değeri esabı µ Ökkeş =800 gr gülük calı ağırlık Sürü A Sürü µ Döller µ 500gr 700 DD esabı
DetaylıTÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi
Detaylı0.04.03 Standart Hata İstatistikte hesaplanan her istatistik değerin mutlaka hatası da hesaplanmalıdır. Çünkü hesaplanan istatistikler, tahmini bir değer olduğu için mutlaka hataları da vardır. Standart
DetaylıMAK312 ÖLÇME ve DEĞERLENDİRME OTOMATİK KONTROL LABORATUARI 1. Elektriksel Ölçümler ve İşlemsel Kuvvetlendiriciler
MAK32 ÖLÇME ve DEĞELENDİME OTOMATİK KONTOL LABOATUAI Elektriksel Ölçümler ve İşlemsel Kuvvetlediriciler AMAÇLA:. Multimetre ile direç, gerilim ve akım ölçümleri, 2. Direç ölçümüde belirsizlik aalizii yapılması
DetaylıNİÇİN ÖRNEKLEME YAPILIR?
İÇİ ÖREKEME YAPIIR? Zama Kısıdı Maliyeti Azaltma Hata Oraıı Azaltma Souca Ulaşma Hızı Doç.Dr. Ali Kemal ŞEHİRİOĞU Araş.Gör. Efe SARIBAY Örekleme Teorisi kousuu içide, Örekleme Tipleri populasyoda örek
Detaylı6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI
6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay
DetaylıTĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz
TĐCARĐ MATEMATĐK - 5 Bileşik 57ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER: Örek 57: 0000 YTL yıllık %40 faiz oraıyla yıl bileşik faiz ile bakaya yatırılmıştır Bu paraı yılı souda ulaşacağı değer edir? IYol: PV = 0000 YTL = PV (
DetaylıBLAST A C G T T A A A C T C G G C I I I I I I I I I A C T T T A A G C C A A G C
BLS Öcei erste; DN izilerie,,g, bazlarıı izilişi, RN izilerie,,g,u bazlarıı izilişi ve protei izilerie amio asitleri izilişi baımıa, orta bir alfabe ile yazılmış izileri hizalaması üzerie urulu. Hizalamış
DetaylıTek Bir Sistem için Çıktı Analizi
Tek Bir Sistem içi Çıktı Aalizi Bezetim ile üretile verile icelemesie Çıktı Aalizi deir. Çıktı Aalizi, bir sistemi performasıı tahmi etmek veya iki veya daha fazla alteratif sistem tasarımıı karşılaştırmaktır.
DetaylıKesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları
Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları 1 Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir.
DetaylıBÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER
BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii
Detaylıkümeleri sırasıyla n 1, n 2,..., n k eleman içeriyorsa, önce A 1 nin bir elemanını seçmenin n 1
3. Olasılık Hesapları ve Olasılık Dağılımları 3.3. Sayma Teknikleri Olasılık hesapları ve istatistikte birçok problem, verilen küme elemanlarının sayılmasını veya sıralanmasını gerektirir. Eğer bir olayın
DetaylıORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ
ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze
Detaylın, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,
KÖKLÜ SAYILAR, de üyük ir sayma sayısı olmak üzere, x = α deklemii sağlaya x sayısıa α ı yici derecede kökü deir. x m = x m O halde tersi düşüülürse, ir üslü sayıı üssü kesirli ise, o sayı köklü sayı içimide
DetaylıİSTANBUL İL MİLLİ EĞİTİM MÜDÜRLÜĞÜ BİLİM OLİMPİYATLARI 2018 SINAVI
ÖGRENCİNİN ADI SOYADI : T.C. KİMLİK NO : OKULU / SINIFI : SINAVA GİRDİĞİ İLÇE: SINAVLAİLGİLİUYARILAR: İSTANBUL İL MİLLİ EĞİTİM MÜDÜRLÜĞÜ BİLİM OLİMPİYATLARI 018 SINAVI Kategori: Lise Matematik Soru Kitapçık
DetaylıBurçin Gonca OKATAN YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ AĞUSTOS 2007 ANKARA
UYUM İYİLİĞİ İÇİN AMICO TEK-ÖRNEK TESTİ VE İĞER UYUM İYİLİĞİ TESTLERİ İLE KARŞILAŞTIRILMASI Burçi Goca OKATAN YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ AĞUSTOS 7 ANKARA TEZ
DetaylıH.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Kısım Bir Reel Değişkeli Foksiyolar Teorisi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Reel
DetaylıAKTÜERLK SINAVLARI OLASILIK VE STATSTK SINAVI ÖRNEK SORULARI. için. 01 olaslk younluk fonksiyonu aa daki seçeneklerden hangisinde yer.
SORU : AKTÜERLK SINAVLARI OLASILIK VE STATSTK SINAVI ÖRNEK SORULARI X raslat deikeii olas l k youluk foksiyou 8x, x f(x) = 0, ö.d olarak verilmitir. Bua göre 0< y içi Y = raslat deikeii X olaslk youluk
DetaylıVERİ. gelir (bin) y l ÜNİTE 66 VERİ 2,5 1,5 1,2 KAVRAMSAL ADIM. Sayfa No VERİ... 478 496. σ = 1. İstatistik, Veri ve Grafikler...
ÜİTE KAVRAMSAL ADIM Sayfa o.... 8 9 İstatistik, Veri ve Grafikler.... 8 Merkezi, Eğilim ve Yayılım Ölçüleri... 8 Açıklık, Çeyrekler Açıklığı........................................................ 8 Varyas
DetaylıOlasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:
OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi
Detaylın ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10
KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise
Detaylı